উপবৃত্ত (Ellipse)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • উপবৃত্তের সংজ্ঞা।
  • উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
  • উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন।
  • উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামক।
  • উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাওক্ষ।
  • কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ।
  • উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ দেওয়া থাকলে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে এর বিভিন্ন অংশ চিহ্নিত করণ।
  • উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান ।
  • \((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ, যার অক্ষ দুইটি স্থানাংকের অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল ।
  • উপবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং তার সমাধান

উপবৃত্ত

Ellipse

straight3
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র এবং বৃহদাক্ষের প্রান্ত বিন্দু দুইটিকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

Continue Reading →

পরাবৃত্ত (Parabola)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • কনিকের উৎস।
  • কনিক কি এবং এর ব্যাখ্যা।
  • অক্ষ, উপকেন্দ্র(ফোকাস), উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামকরেখা এর ধারণা।
  • বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত চিহ্নিত করণের উপায়।
  • চিত্রের সাহায্যে কনিক উপস্থাপন।
  • কোনকের ও তলের ছেদ হিসাবে কনিকের ব্যাখ্যা।
  • মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সনাক্তকরণ।
  • পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন এবং শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিতকরণ।
  • পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয়।
  • বিভিন্ন শর্তসাপেক্ষে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • পরাবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

কনিক

Conics

straight3

Manaechmus
[380-320BC]

কোণক দ্বারা সমতলে বক্ররেখার ছেদাংশের বিভিন্ন অংশকে পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত নামকরণ করেন।

একটি স্থির বিন্দু ও একটি সরলরেখা হতে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি, তাদের সেটকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে উপকেন্দ্র বা ফোকাস, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে নিয়ামক বা দিকাক্ষ এবং স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়। এই স্থির রাশির মানের উপর কনিকের আকৃতি নির্ভশীল।
কনিক পরস্পরছেদী এমন একটি বক্রতা, যা একটি সমতলের কৌণিকতা সৃষ্টি করে এবং যার আকৃতি মোচাকৃতি। সৃষ্টি জগতের অতি কৌতূহলী, আকর্ষণীয় ও দুর্বোধ্য ক্ষেত্র থেকেই মানুষ কনিকের ধারণা লাভ করে আসছে। বাস্তব ও জটিল সংখ্যার স্থানাঙ্ক এবং ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে কনিক ব্যবহৃত হয়। প্রাচীন জ্যামিতিক পদ্ধতিতে এর তিনটি গঠন প্রয়োগ করা হত। যেমনঃ পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত ।
প্রাচীন গণিতবিদ ম্যানাকমাস ও এক্সোডাস (Manaechmus & Exodus) \(4^{th}\) century-তে প্লেটোর স্কুলে কনিকের এ ত্রিগঠন সংযোজন করেন। Elements গ্রন্থে ইউক্লিড (300-250 BC) কনিক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।এবং পরবর্তীতে “Quadrature of Parabola” গ্রন্থে আর্কিমিডিস (287-212 BC) এবং অ্যাপোলোনিয়াস কনিকের প্রথম সিরিজ আকারে আটটি গ্রন্থে কনিক সম্পর্কে মৌলিক ও মূল্যবান তত্ত্ব ও তথ্যাবলির উপস্থাপন করেন। গ্রিক বিজ্ঞানীদের উদ্ভাবিত এসব তথ্য ও উপাত্তকে সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহান ক্যাপলার (Johann Kepler) এবং রেনে দেকার্ত (Rene Descartes) বৈজ্ঞানিকরূপে প্রতিষ্ঠিত করেন। আধুনিক বিজ্ঞানে কনিকের বিস্তার ও প্রয়োগ ব্যপকভাবে বৃদ্ধি পায়। গ্রহ, উপগ্রহ, ধূমকেতু, নৌকা চালনায়, শিল্পকারখানায় যন্ত্রপাতি ( গিয়ার), অ্যান্টেনা, আলোকবিজ্ঞান, দূরবিক্ষণ যন্ত্র ইত্যাদিতে কনিকের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়।

Continue Reading →

বৃত্ত-২ (Circle-Two)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • বৃত্তের স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ।
  • দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক এবং সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়।
  • একটি সরলরেখার কোনো বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
  • বৃত্তের উপরোস্থ কোনো বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
  • বৃত্তের উপরোস্থ কোনো বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ।
  • বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য।
  • বৃত্তের কোনো স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • বৃত্তের কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দু দেওয়া থাকলে, উক্ত জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়।
  • বৃত্তের স্পর্শ জ্যা এবং স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়।
  • দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা এবং সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

বৃত্তের স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ

Tangent and Normal of a circle

straight3

মনে করি, একটি সরলরেখা কোনো বৃত্তকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। এখন \(Q\) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর দিয়ে ঘুরে \(P\) এর সন্নিকটবর্তী হলে অর্থাৎ \(P\) এর উপর \(Q\) সমপতিত হলে, ছেদক রেখাটিকে \(P\) বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়। এখানে \(PT\) হলো স্পর্শক এবং \(P\) কে স্পর্শবিন্দু বলে। \(PT\) এবং বৃত্ত উভয়ে একই সমতলে অবস্থান করে।

কোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বরেখাকে ঐ বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্ব (Normal) বলে। বৃত্তের অভিলম্ব সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমন করে।

Continue Reading →

বৃত্ত-১ (Circle-One)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • বৃত্ত সম্পর্কে ধারণা।
  • গনিত জগতে বৃত্তের আবির্ভাব।
  • বৃত্তের সঙ্গা।
  • বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য।
  • নির্দিষ্ট কেন্দ এবং ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ ।
  • পোলার স্থানাংকে বৃত্তের সমীকরণ।
  • বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
  • বিভিন্ন শর্ত সাপেক্ষে বৃত্তের সমীকরণ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

বৃত্ত

The Circle

straight3

ইউক্লিড

৩০০ খ্রিষ্টপূর্বাব্দে ইউক্লিড তাঁর এলিমেন্ট গ্রন্থের ত্রিতীয় খন্ডে বৃত্তের বইশিষ্ট্যসমূহের উপর আলোচনা করেন।

বক্ররেখার মধ্যে বৃত্ত সর্বাধীক পরিচিত এবং গুরুত্বপূর্ণ। স্কুল গণিতে বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয় আলোচিত হয়েছে। কোনো সমতলে একটি চলমান বিন্দু এমনভাবে পরিভ্রমণ করে যে, চলমান বিন্দু হতে ঐ সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব সর্বদা সমান হয়, তবে উক্ত চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথটিই বৃত্ত। নির্দিষ্ট দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে। গ্রীক শব্দ ‘Kirkos’ থেকে বৃত্ত (Circle) শব্দটি শব্দটি এসেছে। ‘Kirkos’ শব্দটির অর্থ আংটা।

বৃত্ত সম্পর্কে মানুষের ধারণা আক্রিতিক। গ্রিক দার্শনিক ইউক্লিড, প্লেটো এবং আর্কিমিডিস বৃত্তের পরিমার্জন করেন। ১৭০০ খ্রিস্টাব্দে রাইন্ড প্যাপিরাস ( Rhind Papyrus) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন। গাড়ীর চাকা, চন্দ্র, সূর্য এবং গাছের প্রস্তছেদ প্রভৃতি বস্তু বৃত্তাকার দেখায়। স্থানাংক জ্যামিতিতে, ক্যালকুলাসে, জ্যোতির্বিদ্যায় এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্স ডিজাইনে বৃত্ত সম্পর্কিত অধ্যয়ন গুরুত্বপূর্ণ। প্রাচীন সভ্যতায় যোগাযোগের মাধ্যম চাকাবৃত্তের ধারণা থেকে সৃষ্ট, যা এই উত্তর আধুনিক সভ্যতায় বিস্ময় এনেছে।

উচ্চমাধ্যমিক গণিতে বৃত্তকে সমীকরণের মাধ্যমে উপস্থাপন ও সংশ্লিষ্ট কতিপয় বিষয়ের উপর আলোকপাত করা হয়েছে।

বৃত্তের সঙ্গাঃ

সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুসমুহের সেট দ্বারা উৎপন্ন জ্যামিতিক চিত্রকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র (Center) এবং স্থির দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius) বলে।

Continue Reading →

সরলরেখা-৩(straightline-3)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
  • মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
  • দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
  • কোনো সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শ।
  • একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
  • মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
  • সরলরেখার প্রতিচ্ছবি।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান।
  • একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শঃ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার যে কোনো পার্শের যে কোনো বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এর জন্য যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ এবং তার বিপরীত পার্শটিকে ঋনাত্মক পার্শ বলা হয়।

straight3straight3

মূলবিন্দুর অবস্থানঃ যদি \(ax+by+c=0\) সমীকরণের \(c\) ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শে এবং \(c\) ঋনাত্মক হলে, মূলবিন্দু রেখাটির ঋনাত্মক পার্শে অবস্থিত হবে।

মূলবিন্দু ও অপর যে কোনো বিন্দুর অবস্থানঃ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ক্ষেত্রে, যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) এবং \(c\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির একই পার্শে অবস্থিত হবে। আর যদি বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির বিপরীত পার্শে অবস্থিত হবে।

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

straight3

লম্ব দূরত্ব

\(1.\) একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।

\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,

\(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Continue Reading →