সরলরেখা-৩(straightline-3)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
  • মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
  • দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
  • কোনো সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শ।
  • একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
  • মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
  • সরলরেখার প্রতিচ্ছবি।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান।
  • একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শঃ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার যে কোনো পার্শের যে কোনো বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এর জন্য যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ এবং তার বিপরীত পার্শটিকে ঋনাত্মক পার্শ বলা হয়।
straight3straight3
মূলবিন্দুর অবস্থানঃ যদি \(ax+by+c=0\) সমীকরণের \(c\) ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শে এবং \(c\) ঋনাত্মক হলে, মূলবিন্দু রেখাটির ঋনাত্মক পার্শে অবস্থিত হবে।

মূলবিন্দু ও অপর যে কোনো বিন্দুর অবস্থানঃ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ক্ষেত্রে, যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) এবং \(c\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির একই পার্শে অবস্থিত হবে। আর যদি বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির বিপরীত পার্শে অবস্থিত হবে।

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

straight3

লম্ব দূরত্ব

\(1.\) একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।

\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Proof

Continue Reading →

সরলরেখা-২ (Straightline-2)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • দুইটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়।
  • সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব ও সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
  • নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব বা, এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • বিভিন্ন শর্তাধীনে সরলরেখার সমীকরণ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ

\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণঃ

ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\theta=tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)

সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে

অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\theta=tan^{-1}(\pm \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}})\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)

Proof

Continue Reading →

সরলরেখা-১ (Straightline-1)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • সরলরেখার সঙ্গা ও বিস্তারিত বিবরণ।
  • সরলরেখার সমীকরণ চিনবার উপায়।
  • সরলরেখার ঢাল।
  • সরলরেখার বিভিন্ন আকার।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

সরলরেখা (Straight line):

একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।

সরলরেখার ঢাল (Slope or Gradient):

কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\).

সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায়ঃ

\(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।

পরামিতিক সমীকরন (Parametric Equation):

যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\), \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল

\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল

\(m=\tan\theta=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\).

Proof

Continue Reading →

সঞ্চারপথ ( Locus )

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • সঞ্চারপথের বিস্তারিত বিবরণ।
  • কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে কোনো বিন্দুর চলার পথ নির্ণয়।
  • সেটের ধারণা থেকে কোনো বিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

সঞ্চারপথঃ কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে চলমান কোনো বিন্দু যে সরল বা বক্ররেখায় সঞ্চরণ করে তাকে প্রদত্ত শর্তাধীনে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথ বলা হয়। মাধ্যমিক জ্যামিতিতে আমরা তিনটি সঞ্চারপথের সহিত পরিচিত।


\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A, B\) থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথ \(AB\) রেখাংশের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখা। এখানে \(PA=PB\) শর্থাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান, যেখানে \(PA\) ও \(PB\) যথাক্রমে \(P\) বিন্দু হতে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর দূরত্ত বুঝায়।

Continue Reading →

ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ত্রিভুজ তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
  • দুইয়ের অধীক বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্ত।
  • একটি রেখাংশের সাপেক্ষে দুইটি বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

ত্রিভুজের বা, বহুভুজের ক্ষেত্রফল (Area of the Triangle or polygon. )

# ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,

area1

# \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)

# \(\triangle ABC=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})]\)

Proof

Continue Reading →