সরলরেখা-১ (Straightline-1)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • সরলরেখার সঙ্গা ও বিস্তারিত বিবরণ।
  • সরলরেখার সমীকরণ চিনবার উপায়।
  • সরলরেখার ঢাল।
  • সরলরেখার বিভিন্ন আকার।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

সরলরেখা (Straight line): একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।

সরলরেখার ঢাল (Slope or Gradient): কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\).

সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায়ঃ \(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।

পরামিতিক সমীকরন (Parametric Equation): যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\), \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল

\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল

\(m=\tan\theta=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\).

Proof

Continue Reading →

সঞ্চারপথ ( Locus )

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • সঞ্চারপথের বিস্তারিত বিবরণ।
  • কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে কোনো বিন্দুর চলার পথ নির্ণয়।
  • সেটের ধারণা থেকে কোনো বিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

সঞ্চারপথঃ কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে চলমান কোনো বিন্দু যে সরল বা বক্ররেখায় সঞ্চরণ করে তাকে প্রদত্ত শর্তাধীনে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথ বলা হয়। মাধ্যমিক জ্যামিতিতে আমরা তিনটি সঞ্চারপথের সহিত পরিচিত।


\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A, B\) থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথ \(AB\) রেখাংশের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখা। এখানে \(PA=PB\) শর্থাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান, যেখানে \(PA\) ও \(PB\) যথাক্রমে \(P\) বিন্দু হতে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর দূরত্ত বুঝায়।

Continue Reading →

ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ত্রিভুজ তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
  • দুইয়ের অধীক বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্ত।
  • একটি রেখাংশের সাপেক্ষে দুইটি বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

ত্রিভুজের বা, বহুভুজের ক্ষেত্রফল (Area of the Triangle or polygon. )

# ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,

area1

# \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)

# \(\triangle ABC=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})]\)

Proof

Continue Reading →

রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • কোন রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয়।
  • শর্ত সাপেক্ষে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

বিভক্তিকরণ সূত্র (Section Formulae)

# অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ

কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\).
Proof

# বহির্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ

কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। তব, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\).
Proof

# মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ

কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\).
Proof

# ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থনাংক হবে,
\(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
Proof

Continue Reading →

দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র প্রতিষ্ঠা এবং বাস্তব প্রয়োগ।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে বিভিন্ন প্রকার ত্রীভুজ ও চতুর্ভুজের বাস্তব প্রমাণ।
  • দুইয়ের অধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থানের শর্ত।
  • বিভিন্ন শর্তাধীনে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ

# কোন সমতলের উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।

\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
Proof

পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ

# কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।

\(PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
Proof

Continue Reading →