অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি
Binomial Expansions in Infinite Series
Posted on January 12, 2023, 12:44 pm By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি
Binomial Expansions in Infinite Series
\(n\in{\mathbb{N}}\) হলে, \((1+x)^n=1+\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2+ ... ... +\ ^nC_{r}x^r+\)\( ... ... +x^n\)
\(=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... +\)\(\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ... +x^n\)
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ,
\(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
\(t_{r+1}\) এর সহগ, \(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\)
\(r=n\) হলে, \(t_{n+1}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1}{n!}=\frac{n!}{n!}=1\)
\(r=n+1\) হলে, \(t_{n+2}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1.0}{(n+1)!}=0\)
\(r\gt{n}\) হলে, সাধারণ পদ অর্থাৎ \((n+1)\) তম পদের পরে আর কোনো পদ থাকে না।
অতএব ধারাটি একটি সান্ত (finite) ধারা হয়।
কিন্তু \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা মূলদ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে, \(r\) এর এমন মান পাওয়া যাবে না যার জন্য সাধারণ পদের লবের কোনো উৎপাদক শূন্য হয়। সুতরাং এই ক্ষেত্রে বিস্তৃতির পদের সংখ্যা অসীম (infinite) হবে।
ফলে, \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি নামে পরিচিত।
বিস্তৃতিটি বৈধ হবে যদি \(-1\lt{x}\lt{1}\) অর্থাৎ \(|x|\lt{1}\) হয়।
আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতির অভিসারি
Convergency of Infinite Binomial Series
অভিসারী(convergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অভিসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি ধারার \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি সসীম সংখ্যার সমান হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অভিসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি সসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1-\frac{1}{2^n}\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\]
\[=1-\frac{1}{\infty}\]
\[=1-0\]
\[=1\]
অপসারী(divergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি অসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অপসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি অসীম সংখ্যা হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অপসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অপসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি অসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1+2^n\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1+2^n\right)\]
\[=1+\infty\]
\[=\infty\]
অসীম ধারার অভিসারী বা অপসারী নির্ণয়ঃ
অনুপাত পরীক্ষাঃ কোনো অসীম ধারার অভিসারী ধর্ম প্রমাণ করার জন্য সাধারণত \(D'Alembert\) অনুপাত পরীক্ষণ প্রয়োগ করা হয়।
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+u_{r+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: দেখাও যে, \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}\] ধারাটি অভিসারী।
\(Sol^n\): ধরি, \[U_{n}=\frac{n^3}{e^n}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}}{\frac{n^3}{e^n}}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n}.e}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{n^3}\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+0\right)^3\times\frac{1}{e}\] ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]

\[=1\times\frac{1}{e}\]
\[=\frac{1}{e}\lt{1}\] কারণ \(2\lt{e}\lt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(n\ln{\frac{u_{n}}{u_{n+1}}}\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{1}{2}x+\frac{2!}{3^2}x^2+\frac{3!}{4^3}x^3+\frac{4!}{5^4}x^4+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{n!}{(n+1)^n}x^n}{\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}}\]
\[=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n(n-1)!}{(n+1)^n}x^{n-1}.x\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n.n^{n-1}}{(n+1)^n}.x\]
\[=\frac{n^n}{(n+1)^n}.x\]
\[=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.x\]
\[=\left\{\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right\}^n.x\]
\[=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n.x\]
\[=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(=\frac{1}{e}.x\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]

\(=\frac{x}{e}\)
যদি \(\frac{x}{e}\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(\frac{x}{e}=1 \Rightarrow x=e\) এর জন্য, লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{U_{n}}{U_{n+1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{x}}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}}\] ➜ \[\because x=e\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\ln{e}\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right\}\] ➜ \[\because \ln{e}=1\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}+ ... ...\right)-1\right\}\] ➜ \[\because \ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+ ... ...\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...-1\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{4n^2}+ ... ...\right\}\]
\[=-\frac{1}{2}+0-0+ ... ...\] ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3n}=0, \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{4n^2}=0 ....\]

\[=-\frac{1}{2}\lt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
র‍্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{3}{7}x+\frac{3.6}{7.10}x^2+\frac{3.6.9}{7.10.13}x^3+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n}{\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}}\]
\[=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^{n-1}.x\times\frac{7.10.13 .... (3n+1)}{3.6.9 .... (3n-3)x^{n-1}}\]
\[=\frac{3n}{(3n+4)}.x\]
\[=\frac{3n}{n\left(3+\frac{4}{n}\right)}.x\]
\[=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(=\frac{3}{3+0}.x\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{n}=0\]

\(=x\)
যদি \(x\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(x\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(x=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(x=1\) এর জন্য, র‍্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.x}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.1}-1\right)\] ➜ \[\because x=1\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(1+\frac{4}{3n}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\times\frac{4}{3n}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{3}\]
\[=\frac{4}{3}\gt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
তুলুনামূলক পরীক্ষণ (Comparision test): যদি \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] দুইটি ধনাত্মক পদের ধারা হয় এবং \[\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}\] এর মান অশূন্য সসীম সংখ্যা হয় (finite and non-zero) তাহলে \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] উভয়েই অভিসৃত বা উভয়েই অপসৃত হবে। অর্থাৎ একটি অভিসৃত হলে অপরটিও অভিসৃত হবে এবং বিপরীত-ক্রমে (vice-versa)।
\(p\) সিরিজ পর্যবেক্ষণঃ কোনো ধারার \(n\) তম পদ \(\frac{1}{n^p}\) হয় তবে ধারাটি অভিসারী হবে যদি \(p\gt{1}\) হয় এবং অপসারী হবে যদি \(p\le{1}\)।
\(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়, যেখানে \(l\lt{1}\)
এখানে, \(u_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
এবং \(u_{r}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}\)
এখন, \(\frac{u_{r+1}}{u_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x^{r-r+1}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x\)
\(=\frac{(n-r+1)}{r}x\)
\(=\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\)
\[\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\right|\]
\[=|(0-1+0)x|\]
\[=|-x|\]
\[=|x|\lt{1}\] এখানে \(l=|x|\)
অতএব, \((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যখন \(|x|\lt{1}\)
দ্বিপদী ধারা
Binomial Series
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{|a|}\) হলে,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... \infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...\infty \)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}x^r+...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-1\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-1}=1-x+\frac{-1(-1-1)}{2!}x^2+\frac{-1(-1-1)(-1-2)}{3!}\)\(x^3+... +\frac{-1(-1-1)(-1-2)... (-1-r+1)}{r!}x^r+ ...\infty\)
\(=1-x+\frac{-1(-2)}{2!}x^2+\frac{-1(-2)(-3)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-1(-2)(-3)... ... (-r)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{1.2}{2!}x^2-\frac{1.2.3}{3!}x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r\frac{1.2.3... ... r}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{2!}{2!}x^2-\frac{3!}{3!}x^3+...+(-1)^r\frac{r!}{r!}x^r+...\infty \)
\(=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\(\therefore (1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... \)\(+(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ \)\(... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+\)\( ... ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-1}=1-(-x)+(-x)^2-(-x)^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(-x)^r+... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^r(-1)^rx^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^{2r}x^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ... \) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)

\(\therefore (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... +x^r+ ...\infty \)
\((1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-2\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-2}=1-2x+\frac{-2(-2-1)}{2!}x^2+\frac{-2(-2-1)(-2-2)}{3!}\)\(x^3+ ... +\frac{-2(-2-1)(-2-2)... (-2-r+1)}{r!}x^r+... \)
\(=1-2x+\frac{-2(-3)}{2!}x^2+\frac{-2(-3)(-4)}{3!}x^3+ ... \)\(+\frac{-2(-3)(-4)... ... (-r-1)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-2x+\frac{6}{2}x^2-\frac{24}{6}x^3+...+(-1)^r\frac{1.2.3.4 ...(r+1)}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+... ... +(-1)^r\frac{(r+1)!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r\frac{(r+1)r!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ... ... \)
\(\therefore (1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r(r+1)x^r+ ...\infty \)
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(r+1)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ...+(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-2}=1-2(-x)+3(-x)^2-4(-x)^3+...\)\(+(-1)^r(r+1)(-x)^r+ ...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(-1)^r(-1)^r(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+...+(-1)^{2r}(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)

\(\therefore (1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ... ... +(r+1)x^r+\)\( ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}x^r+...\infty \)
ধরি, \(n=-3\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-3}=1-3x+\frac{-3(-3-1)}{2!}x^2+\frac{-3(-3-1)(-3-2)}{3!}\)\(x^3+ ...+\frac{-3(-3-1)(-3-2)...(-3-r+1)}{r!}x^r+ ...\)
\(=1-3x+\frac{-3(-4)}{2!}x^2+\frac{-3(-4)(-5)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-3(-4)(-5)... ... (-r-2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+\frac{12}{2}x^2-\frac{60}{6}x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.4.5... ... (r+2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)(r+1)r!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+ ...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\)
\(\therefore (1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)\)\(x^r+...\infty \)
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-3}=1-3(-x)+6(-x)^2-10(-x)^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)(-x)^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ... \)\(+(-1)^r(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+(-1)^{2r}\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+... \)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)

\(\therefore (1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
অসীম ধারা
Infinite Series
অসীম ধারাঃ যে ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।
যেমনঃ \(1+2+3+ ... ... +n+ ... ...\)
\(1+3+5+ ... ... +(2n-1)+ ... ...\)
\(n\gt{1}\) হলে, \(x\) সকল মানের জন্য,
\(\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}^x=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}\)
\(\Rightarrow \left\{1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+ ...\right\}^x\)\(=1+nx.\frac{1}{n}+\frac{nx(nx-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{nx(nx-1)(nx-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...\) ➜ \(\because (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)

\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{n^2x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\)
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}^x\]\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}\] ➜ উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{n \rightarrow \infty}\] ব্যাবহার করে।

\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-0\right)}{2!}+\frac{\left(1-0\right)\left(1-0\right)}{3!}+...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-0\right)}{2!}+\frac{x\left(x-0\right)\left(x-0\right)}{3!}+...\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{n}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]

\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\infty\) ➜ \(\because 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ ... ...\infty=e\)

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{-x}=1+(-x)+\frac{(-x)^2}{2!}+\frac{(-x)^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(cx\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{cx}=1+(cx)+\frac{(cx)^2}{2!}+\frac{(cx)^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(e^{c}\right)^{x}=1+cx+\frac{c^2x^2}{2!}+\frac{c^3x^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(a\right)^{x}=1+\ln{a}.x+\frac{(\ln{a})^2x^2}{2!}+\frac{(\ln{a})^3x^3}{3!}+...\infty\) ➜ \(\because e^c=a\)
\(\Rightarrow c=\ln{a}\)

\(\therefore a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow a^{-x}=1+\frac{-x}{1!}\ln{a}+\frac{(-x)^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{(-x)^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\therefore a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^y=1+\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=y\left\{\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\] ➜ উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{y \rightarrow 0}\] ব্যাবহার করে।

\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\ln{a}\] ➜ \[\because \lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{2!}=0\]
\[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y^2}{3!}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]

উপরোক্ত ধারায় \(a\) এর স্থলে \((1+x)\) বসিয়ে,
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}=\ln{(1+x)}\]
\[\Rightarrow \ln{(1+x)}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1+xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ... -1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}\]
\(=x+\frac{(-1)}{2!}x^2+\frac{(-1)(-2)}{3!}x^3+... ...\infty\)
\(=x-\frac{1}{2}+\frac{2}{6}x^3- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow \ln{(1-x)}=-x-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2+\frac{2}{2!}+\frac{2}{4!}+ ... ...\infty \)
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2+\frac{2}{3!}+\frac{2}{5!}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\)\( ...\infty ...(1)\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\)\(...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow \ln{(1+x)}-\ln{(1-x)}=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow \ln{\frac{1+x}{1-x}}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ... ...\infty \)
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশের মাধ্যমে দ্বিপদী বিস্তৃতি
Binomial Expansions by using partial fraction
যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফল বা বিয়োগফল রূপে প্রকাশ করা যায়, তবে শেষোক্ত ভগ্নাংশগুলির প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলে।
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করার জন্য ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক ভগ্নাংশের জন্য দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করতে হয়।
যেমনঃ\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}+\frac{b}{(b-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(a-b)}(x-a)^{-1}-\frac{b}{(a-b)}(x-b)^{-1}\)
উদাহরণঃ \(\frac{x}{(1-4x)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-5\times\frac{1}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-4\times\frac{1}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-\frac{5}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-\frac{4}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\times\frac{4-5}{4}}+\frac{\frac{1}{5}}{\frac{5-4}{5}\times(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}\times4}{-(1-4x)}+\frac{\frac{1}{5}\times5}{(1-5x)}\)
\(=-\frac{1}{(1-4x)}+\frac{1}{(1-5x)}\)
\(=\frac{1}{1-5x}-\frac{1}{1-4x}\)
\(=(1-5x)^{-1}-(1-4x)^{-1}\)
\(=(1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty)-\)\((1+4x+16x^2+64x^3+ ... ...\infty)\) ➜ \(\because (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty\)

\(=1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty-\)\(1-4x-16x^2-64x^3- ... ...\infty\)
\(=x+9x^2+61x^3+ ... ...\infty\)
বৃহত্তম পদ
Greatest Term
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যা সূচক বৃহত্তম পদটি নির্ণয় করতে হবে, যখন \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\)
পদসমূহের সংখ্যা সূচক মানের জন্য কেবল \(x\) এর যোগবোধক মান সমূহ বিবেচনা করি।
ধরি, \(t_{r},\) \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদ প্রকাশ করে।
তাহলে, \(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r\)
এবং \(t_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
\(\therefore \frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}}\)
\(=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}x}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{(n-r+1)x}{ar}\)
এখন যদি, \(t_{r+1}\gt{t_{r}}\) অথবা \(t_{r+1}=t_{r}\) অথবা \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) হয়।
তাহলে, \((n-r+1)x\gt{ar}\) অথবা \((n-r+1)x=ar\) অথবা \((n-r+1)x\lt{ar}\) হবে।
\(\Rightarrow nx-rx+x\gt{ar}\) অথবা \(nx-rx+x=ar\) অথবা \(nx-rx+x\lt{ar}\)
\(\Rightarrow nx+x\gt{ar+rx}\) অথবা \(nx+x=ar+rx\) অথবা \(nx+x\lt{ar+rx}\)
\(\Rightarrow (n+1)x\gt{(a+x)r}\) অথবা \((n+1)x=(a+x)r\) অথবা \((n+1)x\lt{(a+x)r}\)
\(\Rightarrow (a+x)r\lt{(n+1)x}\) অথবা \((a+x)r=(n+1)x\) অথবা \((a+x)r\gt{(n+1)x}\)
\(\therefore r\lt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\) অথবা \(r=\frac{(n+1)}{a+x}x\) অথবা \(r\gt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\)
\((i)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে ধরি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p\)
তাহলে, যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং পদগুলি বৃদ্ধি পেতে থাকে।
যখন \(r=p, \ t_{r+1}=t_{r}\)
\(\Rightarrow t_{p+1}=t_{p}\)
আবার, যখন \(r\gt{p}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এবং পদগুলি হ্রাস পায়।
সুতরাং, \(t_{p+1}=t_{p}\) এবং অন্য যে কোনো পদ হতে এদের মান বৃহত্তর।
\((ii)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p+f\) যেখানে \(f\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
এইক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p+f}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং
যখন \(r\gt{p+f}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}},\)
অতএব, \(r\le{p}\) এর জন্য পদসমূহ বৃদ্ধি পেতে থাকে, \(t_{p+1}\) পদটি, \(t_{p}\) এবং সকল পূর্ব্বর্তী পদসমূহ অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(r\ge{p+1}\) এর জন্য \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এর পদসমূহ হ্রাস পায়।
অতএব, \(t_{p+1}\) পদটি বৃহত্তম।
সংখ্যামান বৃহত্তম পদ নির্ণয় পদ্ধতিঃ
\((a\pm{x})^n\) বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদের জন্য, \(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=1\) যখন \(n\gt{0}\)
\(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=-1\) যখন \(n\lt{0}\)
\(r\) পূর্ণসংখ্যা হলে, \(t_{r}\) ও \(t_{r+1}\) সংখ্যামান বৃহত্তম পদ। \(r\) ভগ্নাংশ হলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা তম পদটি সংখ্যামান বৃহত্তম।
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.(a)\) \(x\) এর মান কত হলে, \(x\) এর ঘাতের ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\frac{1}{\sqrt[3]{8-5x}}\) রাশির বিস্তৃতি বৈধ হবে? বিস্তৃতিটিকে চতুর্ঘাত পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
উত্তরঃ \(|x|\lt{\frac{8}{5}}; \ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{5}{24}x+\frac{1}{2}.\frac{1.4}{2!}\left(\frac{5}{24}\right)^2x^2+\frac{1}{2}.\frac{1.4.7}{3!}\left(\frac{5}{24}\right)^3x^3+\)\(\frac{1}{2}.\frac{1.4.7.10}{4!}\left(\frac{5}{24}\right)^4x^4+ ... ... \)

\(Ex.1.(b)\) \(\frac{3-2x}{(1-x)(2-x)}\) কে \(n\) তম পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}+\frac{5}{4}x+\frac{9}{8}x^2+\frac{17}{16}x^3+ ... ...+\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}}x^n+ ... ...\)

\(Ex.1.(c)\) \((1+x)^{\frac{1}{2}}\) দ্বিপদী রাশিকে \(x^4\) যুক্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি এবং তা কোন ব্যাবধিতে অভিসৃত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4+ ... ... ; \ |x|\lt{1}\)

\(Ex.1.(d)\) \((1-2x)^{-3}\) দ্বিপদী রাশিকে \(x^4\) যুক্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি এবং তা কোন ব্যাবধিতে অভিসৃত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1+6x+24x^2+80x^3+240x^4+ ... ... ; \ |x|\lt{\frac{1}{2}}\)

\(Ex.1.(e)\) \((1-x)^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x=0.02\) বসিয়ে পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত \(\sqrt{2}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.41421\)

\(Ex.1.(f)\) \((1+x)^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x=0.08\) বসিয়ে চার দশমিক স্থান পর্যন্ত \(\sqrt{3}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.7321\)

\(Ex.1.(g)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{8-3x}}\) কে \(x\) এর ঘাতের উর্ধ্বক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং \(x\) এর মান কত হলে ঐ বিস্তৃতি বৈধ হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{8}{3}\lt{x}\lt{\frac{8}{3}}\)

\(Ex.1.(h)\) \((1-x)^{-4}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদটি সরলতম আকারে প্রকাশ কর এবং তা থেকে প্রথম চারটি পদ বের কর।
উত্তরঃ \(1+4x+10x^2+20x^3+ ... ...\)

\(Ex.2.(a)\) \(\frac{x}{(1-ax)(1-bx)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a^n-b^n}{a-b}\)

\(Ex.2.(b)\) দেখাও যে, \((1-2x)^{-\frac{1}{2}}\) রাশির বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^22^r}\)
চঃ ২০০৪,২০০৯,২০১১; রাঃ ২০০৪; সিঃ ২০০৪,২০১০; ঢাঃ ২০০৭,২০১৪; কুঃ ২০০৮,২০১৩; বঃ ২০১১,২০১৪; মাঃ ২০১৯ ।

\(Ex.3.\) \(y=x+x^2+x^3+ ... ... \infty\) হলে দেখাও যে, \(x=y-y^2+y^3-y^4+ ... ... \infty\)
অথবা,
\(y=x+x^2+x^3+ ... ... \infty\) হলে \(x\) কে \(y\) এর শক্তির উর্ধ্বক্রম ধারায় প্রকাশ কর।
বঃ ২০০১,২০১২; সিঃ ২০০৩; যঃ ২০০৩,২০১৪; চঃ ২০০৪,২০০৮,২০১২; ঢাঃ ২০১১; রাঃ ২০১২,২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Ex.4.(a)\) \(|x|\lt{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-x)^{\frac{1}{2}}\) বিস্তার করে যে দ্বিপদী ধারাটি পাওয়া যায় তা অভিসারী (convergent)।

\(Ex.4.(b)\) \(|y|\lt{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-y)^{\frac{1}{2}}\) বিস্তার করে যে দ্বিপদী ধারাটি পাওয়া যায় তা অভিসারী (convergent)।
দিঃ ২০১৩; সিঃ ২০১২,২০০৬; যঃ ২০১১,২০০৮,২০০৫; রাঃ ২০১১,২০০৮; কুঃ ২০১১; ঢাঃ ২০১০; বঃ,মাঃ ২০০৯।

\(Ex.4.(c)\) \(|x|\lt{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1+x)^{\frac{1}{2}}\) বিস্তার করে যে দ্বিপদী ধারাটি পাওয়া যায় তা অভিসারী (convergent)।

\(Ex.5.\) দেখাও যে, \((1-5x+6x^2)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(3^{r+1}-2^{r+1}\)
চঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪,২০১০; সিঃ ২০১১,২০১৪; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১২; কুঃ,রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; মাঃ ২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Ex.6.\) \(P=(1+x)^{\frac{21}{2}},\) \(Q=1+\frac{3}{4}+\frac{3.5}{4.8}+\frac{3.5.7}{4.8.12}+ ... ... \infty\)
\((a)\) \((1-2x)^{-\frac{1}{2}}\) দ্বিপদী রাশিটি কোন ব্যবধিতে অভিসৃত তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x=\frac{2}{3}\) হলে, \(P\) এর দ্বিপদী রাশিটির বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদটির মান নির্ণয় কর।
বঃ ২০০৬ ।
\((c)\) \(Q\) ধারার যোগফল নির্ণয় কর।
বুটেক্সঃ ২০১৭-২০১৮ ।
উত্তরঃ \((a) \ |x|\lt{\frac{1}{2}}\)
\((b) \ \frac{11305}{216}\)
\((c) \ 2\sqrt{2}\)

\(Ex.7.\) \(f(x)=ax^2+bx+c\) এবং \(h(x)=ac(x^2+1)-(b^2-2ac)x\) দুইটি বহুপদী রাশি।
\((a)\) \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ (সমূহ) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(h(x)=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((c)\) \(a=1, \ b=-3, \ c=2\) হলে, \(\frac{5x-7}{f(x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 252\)
\((b) \ h(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\frac{\alpha}{\beta}, \ \frac{\beta}{\alpha}\)
\((c) \ -\left(2+\frac{3}{2^{n+1}}\right)\)

\(Ex.8.\) \((i) \ \left(3x-\frac{5}{x^2}\right)^{15} \ (ii) \ \left(1-\frac{x}{5}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\((a)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(\frac{3x^2+5x+4}{(2+x)^2(3+x)}\) এর বিস্তৃতি বৈধ?।
\((b)\) \((i)\) এ বর্ণিত দ্বিপদীটির মধ্যপদ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((i)\) এ বর্ণিত দ্বিপদীটিকে \(x\) এর শক্তির ঊর্ধ্বক্রমানুসারে পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং দেখাও যে, \(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}.\frac{1}{5^2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{5^3}-\frac{1}{2^3}.\frac{1}{5^3}- ... ... =\sqrt{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ \((a) \ |x|\lt{2}\)
\((b) \ -\ ^{15}C_{7}\frac{3^85^7}{x^{6}}; \ \ ^{15}C_{8}\frac{3^{7}5^{8}}{x^{9}}\)
\((c) \ 1-\frac{1}{10}x-\frac{1}{2^3}.\frac{1}{5^2}x^2-\frac{1}{2^4}.\frac{1}{5^3}x^3-\frac{1}{2^7}.\frac{1}{5^3}x^4+ ... ... \)

\(Ex.9.\) \(f(x)=ax^2+bx+c\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
\((a)\) \(11\sqrt{-1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=1, \ b=-2p, \ c=p^2-r^2\) ও \(f(x)=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\alpha+\beta\) ও \(\alpha-\beta \ (\alpha\gt{\beta})\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, \ b=-\frac{4}{5x}, \ c=\frac{1}{25x^2}\) হলে, \(\{f(x)\}^7\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \pm\sqrt{\frac{11}{2}}(1+i)\)
\((b) \ x^2-2(p+r)x+4pr=0\)
\((c) \ -\ ^{14}C_{7}\frac{2^7}{5^7}\)

\(Ex.10.\) \(P=2x+3x^2+4x^3+ ... ... \) এবং \(Q=\frac{2+x}{2-x}\)
\((a)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) হলে, \(\left(x^p-\frac{1}{x^q}\right)^{2n}\) এর বিস্তৃতিতে শেষ হতে \((n+1)\) তম পদ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) হলে দেখাও যে, \((1+P)^{-n}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটির মান \(\frac{1.3.5 ... ... (2n-1)}{n!}(-2x)^n\)
\((c)\) কি শর্তে \(Q^3\) এর বিস্তৃতিতে \(x^4\) এর সহগ পাওয়া যাবে? উক্ত সহগটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1)^n\ ^{2n}C_{n}x^{(p-q)n}\)
\((c) \ \frac{33}{8}\)

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিম্নলিখিত বিস্তৃতিগুলি \(x\) এর কোন মানের জন্য বৈধ?
\(Q.1.(i).(a)\) \((3-2x)^{\frac{1}{2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{2}\lt{x}\lt{\frac{3}{2}}\)
যঃ ২০১৭।

চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ii).(a)\) \((1-nx)^{-\frac{1}{n}}\)
উত্তরঃ \(1+x+\frac{1}{2}(n+1)x^2+\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)x^3\)

চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ii).(b)\) \(\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{a}+\frac{1}{2}.\frac{x^3}{a^3}+\frac{3}{2^3}.\frac{x^5}{a^5}+\frac{5}{2^4}.\frac{x^7}{a^7}\)

\(Q.1.(ii).(c)\) \((1-x)^{\frac{3}{2}}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{3}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3\)

\(Q.1.(ii).(d)\) \((2+3x)^{-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}\left\{1-6x+\frac{45}{2}x^2-\frac{135}{2}x^3\right\}\)

\(Q.1.(ii).(e)\) \((1-2x)^{-\frac{1}{3}}\)
উত্তরঃ \(1+\frac{2}{3}x+\frac{8}{9}x^2+\frac{112}{81}x^3\)

\(Q.1.(ii).(f)\) \((5-3x)^{\frac{1}{2}}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{5}\left\{1-\frac{3}{10}x-\frac{9}{200}x^2-\frac{27}{2000}x^3\right\}\)

\(Q.1.(ii).(g)\) \((a-2y)^{-\frac{3}{2}}\)
উত্তরঃ \(a^{-\frac{3}{2}}\left\{1+\frac{3y}{a}+\frac{15y^2}{2a^2}+\frac{35y^3}{2a^3}\right\}\)

\(Q.1.(ii).(h)\) \((5-x)^{-\frac{3}{4}}\)
উত্তরঃ \(a^{-\frac{3}{2}}\left\{1+\frac{3y}{a}+\frac{15y^2}{2a^2}+\frac{35y^3}{2a^3}\right\}\)

\(Q.1.(ii).(i)\) \(3b(b^3-x)^{-\frac{1}{3}}\)
উত্তরঃ \(a^{-\frac{3}{2}}\left\{1+\frac{3y}{a}+\frac{15y^2}{2a^2}+\frac{35y^3}{2a^3}\right\}\)

\(Q.1.(ii).(j)\) \(\frac{1}{(2+x)^3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}x+\frac{3}{16}x^2-\frac{5}{32}x^3\)

\(Q.1.(iii).(a)\) \(|x|\lt{8}\) হলে, \(\left(1-\frac{x}{8}\right)^{\frac{1}{2}}\) কে \(x\) এর ঊর্ধবক্রমিক ধারায় চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং দেখাও যে, \(1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}.\frac{1}{16}-\frac{1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{3}{24}- ... ...\infty=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{x}{16}-\frac{1}{2!}.\frac{x^2}{16^2}-\frac{3}{3!}.\frac{x^3}{16^3}- ... ...\)
কুঃ ২০০০; বঃ ২০১৪।

\(Q.1.(iii).(b)\) \(x\gt{1}\) হলে, \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) এর বিস্তৃতির চতুর্থ পদ পর্যন্ত বের কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{1}{x^3}+\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{1}{x^5}-\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.\frac{1}{x^7}\)

\(Q.1.(iii).(c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \((1-2x)^{\frac{3}{5}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) যুক্ত পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1-\frac{6}{5}x-\frac{12}{25}x^2-\frac{56}{125}x^3- ... ... \)

\(Q.1.(iii).(d)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \((1-x+x^2)^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) যুক্ত পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{16}x^3\)

\(Q.1.(iii).(e)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^4\) যুক্ত পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{8}x^4+ ... ...\)

\(Q.1.(iii).(f)\) \((4+3x)^{\frac{1}{2}}-\left(1-\frac{x}{2}\right)^{-2}\) কে \(x^2\) সম্বলিত পদ পর্যন্ত \(x\) এর শক্তির ঊর্ধ্বক্রম ধারায় প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(1-\frac{1}{4}x-\frac{57}{64}x^2\)

\(Q.1.(iv).(a)\) \(|x|\lt{6}\) হলে, \(\left(1-\frac{x}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\) কে \(x\) এর ঊর্ধবক্রম ধারায় পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করে দেখাও যে, \(1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}.\frac{3}{18}- ... ...\infty=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{1}{6}\frac{x}{2}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}.\frac{x^2}{2^2}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}.\frac{3}{18}.\frac{x^3}{2^3}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}.\frac{3}{18}.\frac{5}{24}.\frac{x^4}{2^4}\)

\(Q.1.(iv).(b)\) \(x\) এর মান কত হলে, \(x\) এর ঘাতের ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\frac{1}{(8-3x)^{\frac{1}{2}}}\) এর বিস্তৃতি বৈধ হবে। ঐ বিস্তৃতিকে চতুর্ঘাত পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
উত্তরঃ \(-\frac{8}{3}\lt{x}\lt{\frac{8}{3}};\)
\(\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{3}{16}x+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1.3}{2!}\left(\frac{3}{16}\right)^2x^2+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1.3.5}{3!}\left(\frac{3}{16}\right)^3x^3\)\(+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1.3.5.7}{4!}\left(\frac{3}{16}\right)^4x^4+ ... ...\)
প্রভপঃ ২০০০; বঃ ২০১৪।

\(Q.1.(iv).(c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\frac{(1+3x)}{(1+2x)^{\frac{1}{2}}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^7\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(iv).(d)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \((1+3x)^{\frac{1}{2}}(1-2x)^{-\frac{1}{3}}\) এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1+\frac{13}{6}x+\frac{55}{72}x^2+... ...\)

\(Q.1.(v).(a)\) \(|x|\lt{\frac{8}{3}}\) হলে, \(\frac{1}{(8-3x)^{\frac{1}{3}}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7}{1536}\)
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.1.(v).(b)\) \(\frac{1+x}{\sqrt{1-2x}}\) রাশিটির বিস্তৃতি হতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.1.(v).(c)\) \((1-x)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদটি সরলতম আকারে প্রকাশ কর এবং তা থেকে প্রথম চারটি পদ বের কর।
উত্তরঃ \(1+3x+6x^2+10x^3+ ... ...\)

\(Q.1.(v).(d)\) দেখাও যে, \((1-4x)^{-\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^2}\)
ঢাঃ ২০১০; যঃ,রাঃ ২০০৮,২০১১; সিঃ ২০০৬,২০১২।

\(Q.1.(v).(e)\) \(P=4x+3\) হলে, \(P^{-\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় করে বিস্তৃতিতে পঞ্চম পদটিও বের কর।
উত্তরঃ \((-1)^r\frac{(2r)!}{(r!)^23^r\sqrt{3}}; \ \frac{70}{81\sqrt{3}}\)
দিঃ ২০১৭।

\(Q.1.(v).(f)\) \(g(x)=(1+px)^m\) এ \(p=-8\) এবং \(m=-\frac{1}{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^r\) এর সহগ \(\frac{(2r)!2^r}{(r!)^2}\)
চঃ ২০১৭।

\(Q.1.(v).(g)\) \(a=-12\) এবং \(b=-\frac{1}{2}\) হলে দেখাও যে, \((1+ax)^b\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(\frac{(2r)!3^r}{(r!)^2}\)
কুঃ,চঃ,বঃ,রাঃ ২০১৮।

\(Q.1.(v).(h)\) \(g(p)=1-\frac{1}{2}p\) হলে দেখাও যে, \(\{g(4x)\}^{-\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \((n+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2n)!}{(n!)^22^n}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.1.(v).(i)\) \((1+x^2)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{4r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((r+1)(2r+1)\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.1.(v).(j)\) দেখাও যে, \(\frac{1+x}{(1-x)^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \((2r+1)\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.1.(v).(k)\) প্রমাণ কর যে, \((1-x+x^2-x^3+ ... ...\infty)^3\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \((-1)^r\frac{(r+1)(r+2)}{2}\)

\(Q.1.(v).(l)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty)^3=1+3x+6x^2+10x^3+ ... ...\)

\(Q.1.(v).(m)\) \(0\lt{x}\lt{1}\) হলে, \((1-x)^{-\frac{p}{q}}\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদটি বের কর এবং দেখাও যে, বিস্তৃতিটির প্রতিটি পদের চিহ্ন \(+\)।
উত্তরঃ \(\frac{p(p+q)(p+2q) ... ...\{p+(r-1)q\}}{r!q^r}x^r\)

Read Short Question
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i).(a)\) \((1-3x)^{-1}\) এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1+3x+3^2x^2+3^3x^3+3^4x^4+ ... ... +3^rx^r+ ... ...\infty\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(i).(b)\) \((1-x)^{-1}-2(1-2x)^{-2}\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{1-(r+1)2^{r+1}\}x^r\)
রাঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(i).(c)\) দেখাও যে, \(\frac{(1+x)^n}{(1-x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ \(2^n\) \((n\in{\mathbb{N}})\)
কুঃ ২০১২; বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.2.(i).(d)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ \(4n\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.2.(i).(e)\) \((1+2x+3x^2+4x^3+ ... ... \infty)^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
সিঃ ২০০১ ।

\(Q.2.(i).(f)\) দেখাও যে, \((1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty)(1+2x+3x^2+ ... ... \infty)\)\(=\frac{1}{2}(1.2+2.3x+3.4x^2+4.5x^3+ ... ...\infty)\)
যঃ ২০০৭ ।

\(Q.2.(i).(g)\) দেখাও যে, \((1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty)^2=1+2x+3x^2+ ... ...\)\(+nx^{n-1}+ ... ... \infty\)
যঃ ২০০৭ ।

\(Q.2.(i).(h)\) \((1+x+x^2+x^3+ ... ... \infty)^{-15}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{15}\) এবং \(x^{16}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1; \ 0\)
সিঃ ২০০১ ।

\(Q.2.(i).(i)\) \(|x|\gt{1}\) হলে, \((1-x)^{-1}\) বিস্তৃত কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}- ... ...\infty\)
প্রভপঃ ১৯৯৮।

\(Q.2.(i).(j)\) \(\frac{2x+1}{(1+x^2)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1)^{\frac{r}{2}}; \ 2(-1)^{\frac{r-1}{2}}\)

\(Q.2.(i).(k)\) \(\frac{(1+x)^2}{(1-x)^3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2r^2+2r+1\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.2.(i).(l)\) \((1-x+x^2)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{13}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.2.(i).(m)\) \((1-x+x^2-x^3)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{4}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.2.(i).(n)\) \((1-x+x^2)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^7\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18\)

\(Q.2.(i).(O)\) \(\frac{3x^2-2}{x+x^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^8\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.2.(i).(p)\) \((1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty)^{\frac{2}{3}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.2.(i).(q)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x+x^2)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ \(1, \ -1\) অথবা \(0\) হবে, যদি \(n\) এর মান যথাক্রমে \(3m, \ 3m+1, \ 3m+2\) আকারের হয়।
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.2.(ii).(a)\) \(y=x-x^2+x^3-x^4+ ... ...\infty\) হলে দেখাও যে, \(x=y+y^2+y^3+y^4+ ... ...\infty\)
কুঃ ২০০৩; ঢাঃ,বঃ ২০০৮; দিঃ ২০০৯; রাঃ ২০১০।
অথবা, \(y=x-x^2+x^3-x^4+ ... ...\infty\) হলে, \(x\) কে \(y\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রমিক ধারায় প্রকাশ কর।

\(Q.2.(ii).(b)\) \(y=2x+3x^2+4x^3+ ... ...\infty\) হলে দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{8}y^2+\frac{5}{16}y^3-... ...\infty\)
চঃ ২০০০; যঃ ২০০১; বঃ ২০০২,২০১০; কুঃ,রাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৯ দিঃ ২০১১; বুয়েটঃ,চুয়েটঃ ২০০১-২০০২।

\(Q.2.(ii).(c)\) \(y=3x+6x^2+10x^3+ ... ...\infty\) হলে দেখাও যে, \(x=\frac{1}{3}y-\frac{1.4}{3^22!}y^2+\frac{1.4.7}{3^33!}y^3-... ...\infty\)
বুয়েটঃ ২০১৯-২০২০।

\(Q.2.(ii).(d)\) দেখাও যে, \(x^n=1+n\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{n(n+1)}{2!}\left(1-\frac{1}{x}\right)^2+ ... ...\)

\(Q.2.(ii).(e)\) দেখাও যে, \((1+x)^2=1+\frac{2x}{1+x}+\frac{3x^2}{(1+x)^2}+\frac{4x^3}{(1+x)^3}+ ... ...\)

Read Board Question2
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
নিচের ধারাগুলির অভিসারিতা যাচাই করঃ
\(Q.3.(i).(a)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2n}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অপসারী।

নিচের ধারাগুলির অভিসারিতা যাচাই করঃ
\(Q.3.(i).(b)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!(n+1)!}{(3n)!}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(c)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n!}{\pi^n}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অপসারী।

\(Q.3.(i).(d)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!n}{(n-1)!3^n}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
কুঃ ২০১৯।

\(Q.3.(i).(e)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(f)\) \[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(g)\) \(\frac{6}{1.3.5}+\frac{8}{3.5.7}+\frac{10}{5.7.9}+ ... .... \)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(h)\) \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(i)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(j)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(k)\) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n^2}\]
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(l)\) \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+ ... .... \)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(m)\) \(1+\frac{1}{2}x+\frac{1.3}{2^2.2!}x^2+\frac{1.3.5}{2^3.3!}x^3+\frac{1.3.5.7}{2^4.4!}x^4+ ... .... \)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(n)\) \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{x^2}{3\sqrt{2}}+\frac{x^3}{4\sqrt{3}}+\frac{x^4}{5\sqrt{4}}+ ... ...\)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(O)\) \(1+\frac{n}{3}+\frac{n(n+1)}{3.6}+\frac{n(n+1)(n+2)}{3.6.9}+ ... ...\)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(p)\) \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ... ...\)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(q)\) \(1.2+2.5+3.8+ ... ...\)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অপসারী।

\(Q.3.(i).(r)\) \(1.2.3+2.3.4+3.4.5+ ... ...\)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(i).(s)\) \(\frac{1}{1.3.5}+\frac{1}{3.5.7}+\frac{1}{5.7.9}+ ... ...\)
উত্তরঃ প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।

\(Q.3.(ii).(a)\) \(\frac{1}{(1-x)(1-2x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2^{r+1}-1\)
বঃ ২০০৩,২০০৭; সিঃ ২০০৮; চঃ,কুঃ,দিঃ ২০১০।

\(Q.3.(ii).(b)\) \(\frac{x}{(1-4x)(1-5x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{n}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5^n-4^n\)
রাঃ,কুঃ ২০১৪; বঃ২০১৩।

\(Q.3.(ii).(c)\) \(\frac{x}{(1-ax)(1-bx)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{n}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a^n-b^n}{a-b}\)
রাঃ ২০০২।

\(Q.3.(ii).(d)\) \(B=(1-9x+20x^2)^{-1}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(x^{9}\) এর সহগ \(5^{50}-4^{10}\)
রাঃ ২০১৭।

\(Q.3.(ii).(e)\) \((42x^2-13x+1)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{n}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7^{n+1}-6^{n+1}\)
সিঃ ২০১৭।

\(Q.3.(ii).(f)\) \(h(x)=\frac{-8x}{1-x^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(-1)^r-4\)
কুঃ ২০১৯।

\(Q.3.(ii).(g)\) \(\phi(x)=lx^2+mx+n\) এ \(l=42, \ m=-13, \ n=1\) হলে, \(\{\phi(x)\}^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{99}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7^{100}-6^{100}\)
সিঃ ২০১৯।

\(Q.3.(ii).(h)\) \(g(x)=\frac{1}{1-9x+20x^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{n}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5^{n+1}-4^{n+1}\)
চঃ ২০১৯।

\(Q.3.(ii).(i)\) দেখাও যে, \(\frac{1}{(1-x)(3-x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ \(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{r+1}}\right)\)
বুটেক্সঃ ২০২০-২০২১।

\(Q.3.(ii).(j)\) \(\frac{x}{1-4x+3x^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(3^r-1)\)
বঃ ২০১৭।

\(Q.3.(ii).(k)\) \(\frac{x}{(1-3x)(1-4x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{m}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4^m-3^m\)
রাঃ,কুঃ ২০১৪; বঃ২০১৩।

\(Q.3.(ii).(l)\) \(\frac{1+x}{1-x}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^9\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.3.(ii).(m)\) \((1+x+x^2+ ... ...)^{-14}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^8\) এবং \(x^9\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3003, \ -2002\)

\(Q.3.(ii).(n)\) \((1-x+x^2-x^3+ ... ...)^{3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^m\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3003, \ -2002\)

\(Q.3.(ii).(O)\) \(\frac{1+x}{(1-x)^3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{10}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(121\)

\(Q.3.(ii).(p)\) \(\frac{4-8x}{(1+x)(2-x)}\) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর; অতঃপর রাশিটিকে \(x^3\) সম্বলিত পদ পর্যন্ত দ্বিপদী দ্ধারায় বিস্তৃত কর। \(x\) এর কীরূপ মানের জন্য এই বিস্তৃতি বৈধ হবে তাও উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+x)}-\frac{4}{(2-x)},\) \(2-5x+\frac{7}{2}x^2-\frac{17}{4}x^3;\) \(|x|\lt{1}\)

\(Q.3.(ii).(q)\) \(\frac{4x^2+4x+4}{(1-x^2)(2+x)}\) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর; অতঃপর রাশিটিকে \(x^3\) সম্বলিত পদ পর্যন্ত দ্বিপদী দ্ধারায় বিস্তৃত কর। \(x\) এর কীরূপ মানের জন্য এই বিস্তৃতি বৈধ হবে তাও উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x}+\frac{2}{1-x}-\frac{4}{2+x}, \ 2+x+\frac{7}{2}x^2+\frac{1}{4}x^3;\) \(|x|\lt{1}\)

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যাবহার করে আসন্ন চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(iii).(a)\) \(\sqrt[3]{126}\)
উত্তরঃ \(5.0133\)

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যাবহার করে আসন্ন চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(iii).(b)\) \(\sqrt[3]{1.03}\)
উত্তরঃ \(1.0099\)

\(Q.3.(iii).(c)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{128}}\)
উত্তরঃ \(0.1984\)

\(Q.3.(iii).(d)\) \(\sqrt{4.004}\)
উত্তরঃ \(2.0010\)

\(Q.3.(iii).(e)\) \(\sqrt[3]{1010}\)
উত্তরঃ \(2.0010\)

Read Board Question3
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i).(a)\) \(x=\frac{1}{3}\) হলে, \((2+5x)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদটি এবং এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\) তম এবং \(6\) তম। মান \(=\frac{28}{27}\)

\(Q.4.(i).(b)\) \(x=\frac{4}{15}\) হলে, \((1+x)^{-7}\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদটি এবং এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) তম। মান \(=\frac{448}{225}\)

\(Q.4.(i).(c)\) \(x=\frac{3}{4}\) হলে, \((1-x)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদটি এবং এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6)\) তম এবং \(7\) তম। মান \(=\frac{3^6}{4^5}\)
কুয়েটঃ ২০১৯-২০২০ ।

ধারার যোগফল নির্ণয় করঃ
\(Q.4.(ii).(a)\) \(1+\frac{1}{3}+\frac{1.3}{3.6}+\frac{1.3.5}{3.6.9}+\frac{1.3.5.7}{3.6.9.12}+ ... ... \infty\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.4.(ii).(b)\) \(1+\frac{1}{4}+\frac{1.3}{4.8}+\frac{1.3.5}{4.8.12}+ ... ... \infty\)
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)
বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.4.(ii).(c)\) \(1-\frac{1}{5}+\frac{1.4}{5.10}-\frac{1.4.7}{5.10.15}+ ... ... \infty\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{5}\)

\(Q.4.(ii).(d)\) \(1-\frac{1}{4}+\frac{1.3}{4.8}-\frac{1.3.5}{4.8.12}+ ... ... \infty\)
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(Q.4.(ii).(e)\) \(\frac{n}{1!}.\frac{1}{5}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{5^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}.\frac{1}{5^3}+ ... ... +\frac{1}{5^n}\)
উত্তরঃ \(\left(\frac{6}{5}\right)^{n}-1\)

\(Q.4.(ii).(f)\) \(1+2\frac{1}{3^2}+\frac{2}{1}.\frac{5}{2}.\frac{1}{3^4}+\frac{2}{1}.\frac{5}{2}.\frac{8}{3}.\frac{1}{3^6}+ ... ... \)
উত্তরঃ \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)
বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.4.(ii).(g)\) \(1-\frac{3}{4}+\frac{3.5}{4.8}-\frac{3.5.7}{4.8.12}+ ... ... \)
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\)

\(Q.4.(ii).(h)\) \(1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{1}{3^2}- ... ... \)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.4.(ii).(i)\) \(1+\frac{1}{6}+\frac{1.4}{6.12}+\frac{1.4.7}{6.12.18}+ ... ... \)
উত্তরঃ \(\sqrt[3]{2}\)

\(Q.4.(ii).(j)\) \(1+2.\frac{1}{3^2}+\frac{2.5}{1.2}.\frac{1}{3^4}+\frac{2.5.8}{1.2.3}.\frac{1}{3^6}+ ... ... \)
উত্তরঃ \(\sqrt[3]{2}\)

\(Q.4.(ii).(k)\) \(\frac{1}{3}+\frac{1.3}{3.6}+\frac{1.3.5}{3.6.9}+\frac{1.3.5.7}{3.6.9.12}+ ... ... \infty\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}-1\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.4.(ii).(l)\) \(1+\frac{1}{10}+\frac{1.4}{10.20}+\frac{1.4.7}{10.20.30}+ ... ...\)
উত্তরঃ \(\left(\frac{10}{7}\right)^{\frac{1}{3}}\)

\(Q.4.(ii).(m)\) \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1.3}{2!2^4}+\frac{1.3.5}{3!2^6}+ ... ... \infty\)
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)

\(Q.4.(iii).(a)\) প্রমাণ কর যে, \(p+\frac{1}{p}=2\left\{1+\frac{(\ln{p})^2}{2!}+\frac{(\ln{p})^4}{4!}+ ... ... \right\}\)

Read Board Question4
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) \((1) \ \left(2x+\frac{1}{6x}\right)^6\) \((2) \ \left(x+\frac{1}{3x}\right)^{2n}\)
\((a)\) \((1)\) এর বিস্তৃতিতে \(x^6\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য বিস্তৃতি দুইটির মধ্যপদ সমান হলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(n=\frac{1}{4}\) হলে, \((2)\) এর বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদের সহগের গড় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 64\)
\((b) \ n=3\)
\((c) \ \frac{83}{216}\)

\(Q.5.(ii)\) \(P(x)=1-5x+6x^2\)
\((a)\) \((1+2x+3x^2+4x^3+ ... ...\infty)^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{1}{P(x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\{2-P(x)\}^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1\)
\((b) \ 3^{r+1}-2^{r+1}\)
\((c) \ 1+\frac{5}{2}x-\frac{49}{8}x^2+ ... ....\)

\(Q.5.(iii)\) \(P=\left(1-\frac{x}{6}\right)^{\frac{1}{2}}, \ Q=\left(\frac{4+x}{4-x}\right)^{\frac{1}{3}}\)
\((a)\) \(\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)^n\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x\lt{6}\) হলে, \(P\) কে \(x\) এর ঊর্ধবক্রমিক ধারায় পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করে দেখাও যে, \(1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}-\frac{1}{6}.\frac{1}{12}.\frac{1}{18}- ... ...=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\((c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(Q\) এর বিস্তৃতিতে \(x^2\) সম্বলিত পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1)^n\ ^{2n}C_{n}\)
\((c) \ 1+\frac{1}{6}x+\frac{1}{72}x^2+ ... ... \)

\(Q.5.(iv)\) \(P=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{m}}{x^2}, \ Q=8-3x\)
\((a)\) \((1+x^2)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে কোন পদটিতে \(x^{4r}\) বিদ্যমান তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান \(405\) হলে \(m\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\frac{1}{\sqrt{Q}}\) এর বিস্তৃতি বৈধ হওয়ার শর্ত উল্লেখ করে চতুর্ঘাত পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (r+1)(2r+1)x^{4r}\)
\((b) \ m=9\)
\((c) \ -\frac{8}{3}\lt{x}\lt{\frac{8}{3}};\)
\(\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{3}{16}x+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1.3}{2!}\left(\frac{3}{16}\right)^2x^2+\)\(\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1.3.5}{3!}\left(\frac{3}{16}\right)^3x^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1.3.5.7}{4!}\left(\frac{3}{16}\right)^4x^4+ ... ...\)

\(Q.5.(v)\) \(f(x)=1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty,\)
\(g(x)=x+3\)
\((a)\) \(\left(3x^2-\frac{1}{x}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\{g(x)\}^{15}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এবং \(x^{r+1}\) এর সহগ দুইটি সমান হলে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\frac{1}{\{f(x)\}^{15}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{5}\) এবং \(x^{15}\) এর সহগ দুইটির অনুপাত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((b) \ r=4\)
\((c) \ 3003:1\)

\(Q.5.(vi)\) \(P=1-x+x^2-x^3+ ... ...\infty,\)
\(f(x)=x\)
\((a)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য \(\left(x+2+\frac{1}{x}\right)^{n}\) এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবক পদটি কত?
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(P^3\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ \((-1)^r\frac{(r+1)(r+2)}{2}\)
\((c)\) \(\left\{f\left(x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right\}^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর পদ থাকার শর্ত উল্লেখ করে পদটির সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (n+1)\) তম পদটি ধ্রুবক। এর মান \(=\ ^{2n}C_{n}\)
\((c) \ \frac{n!}{\left(\frac{4n-2r}{5}\right)!\left(\frac{n+2r}{5}\right)!}\)

\(Q.5.(vii)\) \[y=\sum_{t=1}^{\infty}(t+1)x^t\]
এবং \(f(x)=x^n\) যেখানে \(n\) যোগবোধক পূর্ণসংখ্যা।
\((a)\) \((1+x+x^3)^9\) এর বিস্তৃতিতে \(x^5\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f\left(4+\frac{t}{3}\right)\) এর বিস্তৃতিতে \(t^7\) ও \(t^8\) এর সহগ সমান হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \[x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}y^n\]
উত্তরঃ \((a) \ 378\)
\((b) \ n=103\)
\((c) \ \)

\(Q.5.(viii)\) \(P=(1+4x+16x^2+64x^3+ ... ...\infty)^{\frac{1}{2}},\)\(Q(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}\)
\((a)\) \((1+x)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \((2r+1)\) তম এবং \((r+3)\) তম পদের সহগ সমান হলে, \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(P\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^2}\)
\((c)\) \(Q\left(-\frac{x}{8}\right)\) কে \(5\) তম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করে দেখাও যে, \(1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}.\frac{1}{16}-\frac{1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{3}{24}- ... ... =\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \((a) \ r=6\)

\(Q.5.(ix)\) \(P=(1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty)^n,\)
\(Q=(1-2x+3x^2-4x^3+ ... ...\infty)^m\)
\((a)\) \((1-2x)^{\frac{3}{5}}\) এর চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|P^{-1}|\gt{10}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(|x^2-1|\lt{\frac{21}{100}}\) যখন \(n=-1\)
\((c)\) \(l\) এর মান কত হলে, \(Q^{l}\) এর বিস্তৃতিতে \(x, \ x^2\) এবং \(x^3\) এর সহগগুলি একটি সমান্তর প্রগমন ভুক্ত হবে যখন \(m=-\frac{1}{2}\)?
উত্তরঃ \((a) \ 1-\frac{6}{5}x-\frac{12}{25}x^2-\frac{56}{125}x^3- ... ...\)
\((c) \ l=7\)

\(Q.5.(x)\) \(f(x)=1-9x+20x^2\)
\((a)\) \(\left(x^3-\frac{1}{x^4}\right)^{15}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{-18}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূল দুইটি \((\alpha+\beta)^2\) ও \((\alpha-\beta)^2\)
\((c)\) \(\frac{x}{f(x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -5005\)
\((b) \ 160000x^2+32800x+81=0\)
\((c) \ 5^n-4^n\)

\(Q.5.(xi)\) \(f(x)=1+3x, \ g(x)=1-2x\)
\((a)\) \(|f(x)|\le{\frac{1}{2}}\) এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\{f(x)\}^{\frac{1}{2}}\{g(x)\}^{-\frac{1}{3}}\) কে \(x\) এর ঊর্ধবক্রমিক ধারায় তৃতীয় পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
\((c)\) \(|f(x)|\le{|g(x)|}\) অসমতার সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((b) \ \)
\((c) \ \)

\(Q.5.(xii)\) \(f(x)=1+x, \ g(x)=1-x\)
\((a)\) \(n\) বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হলে দেখাও যে, \(\left(x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^n\) বিস্তৃতির মধ্যপদ দুইটির অনুপাত \(\left(\sqrt{x}\right)^5:1\)
\((b)\) \(\left\{g(i)+\frac{1}{f(i)}\right\}\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\{f(x)\}^n\) বিস্তৃতিতে \(x^{r-1}, \ x^r\) ও \(x^{r+1}\) এর সহগগুলি সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হলে প্রমাণ কর যে, \(n^2-n(4r+1)+4r^2-2=0\)
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((b) \ -\frac{\pi}{4}\)
\((c) \ \)

\(Q.5.(xiii)\) \(P=1+3x, \ Q=1-2x\)
\((a)\) \(\frac{(2x+1)}{(1+x^2)}\) বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|P|\lt{3}\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।
\((c)\) দেখাও যে, \(Q^{-\frac{1}{2}}\) বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^22^r}\)
উত্তরঃ \((a) \ 2(-1)^{\frac{r-1}{2}}\)
\((b) \ \)
\((c) \ \)

\(Q.5.(xiv)\) অভীষ্ট ফাংশন \(z=2x-y;\)
সীমাবদ্ধতাঃ \(x+y\le{5, \ x+2y\ge{8}}, \ x, \ y\ge{0}\)
\((a)\) \(x=i\) এবং \(y=2\sqrt{3}\) হলে, \(z\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y=\frac{1}{3x^2}\) হলে, \(z^{12}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার আলোকে অভীষ্ট ফাংশন \(z\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5\pi}{6}\)
\((b) \ ^{12}C_{4}\times\frac{2^{8}}{3^4}\)
\((c) \ Z_{min}=-5\) যখন, \(x=0, \ y=5\)

\(Q.5.(xv)\) \(f(x)=1+x\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\frac{f(x)}{\{2-f(x)\}^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \((2r+1)\)
\((b)\) \(|f(x-2)|\lt{\frac{1}{9}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(|f(x)f(x-2)|\lt{\frac{19}{81}}\)
\((c)\) \(\{f(x)\}^{24}\) এর বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদ নির্ণয় কর যাদের সহগের অনুপাত \(4:1\) হবে।
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((c) \ 20\)তম এবং \(21\) তম বা, \(5\)ম এবং \(6\)ষ্ঠ

\(Q.5.(xvi)\) \(f(x)=5x^2+6x-1\)
\((a)\) যদি \((1+x)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(x^{r-1}\) এর সহগের দ্বিগুণ হয়, তাহলে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)+2\lt{0}\) অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।
\((c)\) \(g(x)=5x^2-f(x)\) হলে দেখাও যে, \(\{g(x)\}^{-\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^2}\left(\frac{3}{2}\right)^r\)
উত্তরঃ \((a) \ r=7\)
\((b) \ |5x+3|\lt{2}\)

\(Q.5.(xvii)\) \(f(x)=1+x\)
\((a)\) \(\left(x^3-\frac{1}{x^4}\right)^{15}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{-18}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\times\sqrt{\frac{f(x)}{f(-x)}}\) এর \(x^3\) যুক্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর কর।
\((c)\) সংখ্যারেখার সাহায্যে সমাধান করঃ \(|f(x)|\le{|f(-x)|}\)
উত্তরঃ \((a) \ -5005\)
\((b) \ 1+2x+\frac{3}{2}x^2+x^3+ ... ... \)
\((c) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\le{0}\right\}\)

\(Q.5.(xviii)\) \(P=1-3x, \ Q=1+2x\)
\((a)\) যদি \((1+x)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদের সহগ \((r+4)\) তম পদের সহগের সমান হয়, তাহলে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|P|\gt{3}\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।
\((c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(P^{\frac{1}{2}}Q^{-\frac{1}{3}}\) এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((b) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\lt{-\frac{2}{3}} \ \text{অথবা} \ x\gt{\frac{4}{3}}\right\}\)
\((c) \ 1-\frac{13}{6}x+\frac{55}{72}x^2+ ... ... \)

\(Q.5.(xix)\) অভিষ্ট ফাংশন \(z=2x+y\)
সীমাবদ্ধতাঃ \(x+y\le{5}, \ x+2y\ge{8}, \ y\le{2x}, \ x\ge{0}, \ y\ge{0}\)
\((a)\) \(\frac{(1+x)^2}{(1-x)^3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y=\frac{1}{6x^2}\) হলে, \(z^{12}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) মুক্ত পদ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত যোগাশ্রয়ী প্রগ্রামকে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে সর্বনিম্নকরণ কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2r^2+2r+1\)
\((b) \ \frac{880}{9}\)
\((c) \ Z_{min}=6.4\) যখন, \(x=\frac{8}{5}, \ y=\frac{16}{5}\)

\(Q.5.(xx)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(P=\left\{x^2-2(\omega+\omega^2)+\frac{1}{x^2}\right\}^6\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x^2+(5-2i)x+2(7-i)=0\)
\((a)\) \((1-2x)^{\frac{3}{5}}\) এর চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিস্তৃতিতে ধ্রুবক পদের মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1-\frac{6}{5}x-\frac{12}{25}x^2-\frac{56}{125}x^3- ... ...\)
\((b) \ 924\)
\((c) \ -2-2i\) ও \(-3+4i\)

\(Q.5.(xxi)\) \(f(x)=3-4x+x^2\)
\((a)\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \((\alpha+\beta)^2\) ও \((\alpha-\beta)^2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\frac{1}{f(x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান।
\((b) \ x^2-20x+64=0\)
\((c) \ \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)\)

\(Q.5.(xxii)\) \(f(x)=x^2+2x+2\)
\((a)\) \(f(x)=0\) হলে দেখাও যে, \(x=-1\pm{\sqrt{-1}}\)
\((b)\) \(f(x)\lt{10}\) অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।
\((c)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\{f(x)\}^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ \(\frac{2^{n-1}}{3}n(n^2-1)\)
উত্তরঃ \((b) \ |x+1|\lt{3}\)

\(Q.5.(xxiii)\) \(f(x)=1+x, \ g(x)=1-x\)
\((a)\) \((1+x)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \((2r+1)\) তম এবং \((r+3)\) তম পদের সহগ সমান হলে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\times\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}\) এর \(x^4\) যুক্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি \(1+2x+\frac{3}{2}x^2+x^3+\frac{7}{8}x^4+ ... ...\)
\((c)\) সংখ্যারেখার সাহায্যে সমাধান করঃ \(|f(x)|\le{|g(x)|}\)
উত্তরঃ \((a) \ r=6\)
\((c) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\le{0}\right\}\)

\(Q.5.(xxiv)\) \(P=1+3x\)
\((a)\) বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\) এর উপসেট \(S=\{x: 5x^2-16x+3\lt{0}\}\) এর ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা \((SupS)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{1}{|P|}\ge{5}\) অসমতাটির সমাধান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\frac{P}{\sqrt{1+2x}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^7\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3\)
\((b) \ -\frac{2}{5}\le{x}\le{-\frac{4}{15}}, \ x\ne{-\frac{1}{3}}\)
\((c) \ 16\frac{1}{2}\)

\(Q.5.(xxv)\) \(f(x)=x-1\)
\((a)\) \(x\) এর মান কত হলে, \(\frac{f(x+3)}{|f(x+2)|}\) এর মান বাস্তব হবে?
\((b)\) \(2\le{\frac{1}{|f(x)|}}\) অসমতাটি পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর।
\((c)\) \(\{f(x+2)\}^n\) বিস্তৃতিতে তিনটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত \(1:7:42\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর; যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
উত্তরঃ \((a) \ x\) এর মান \(=\mathbb{R}-\{-1\}\)
\((b) \ \frac{1}{2}\le{x}\le{\frac{3}{2}}\)
\((c) \ n=55\)

\(Q.5.(xxvi)\) \(f(x)=1+qx+px^2, \ g(x)=1+px+qx^2\)
\((a)\) \((1-x+x^2)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{13}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) যে শর্ত সাপেক্ষে \(f(x)\) এবং \(g(x)\) রাশি দুইটির একটি সাধারণ উৎপাদক হতে পারে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(q=-1, \ p=1\) হলে, \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\{f(x)\}^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) যুক্ত পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1\)
\((b) \ p+q+1=0\)
\((c) \ 1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{16}x^3+ ... ...\)

\(Q.5.(xxvii)\) \(f(x)=2x^3+5x^2+8x+5, \ g(x)=1+x\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \(g(x)\)
\((b)\) \(\{g(x)\}^{24}\) এর বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদ নির্ণয় কর যাদের সহগের অনুপাত \(4:1\) হবে।
\((c)\) \(\frac{f(x)}{g(x)}=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে, \(\frac{1}{\alpha^3}\) এবং \(\frac{1}{\beta^3}\) মূল দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর, যেখানে \(g(x)\ne{0}\)
উত্তরঃ \((b) \ 5\)ম এবং \(6\)ষ্ঠ পদ
\((c) \ 125x^2-63x+8=0\)

\(Q.5.(xxviii)\) \(f(x)=2x^3-9x^2-7x-1, \ g(x)=2x+1\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \(g(x)\)
\((b)\) \(\frac{g(x)}{1+x^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলগুলি \(\alpha, \ \beta\) ও \(\gamma\) হলে, \[\sum{\alpha^3\beta}\] নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 2(-1)^{\frac{r-1}{2}}\)
\((c) \ -\frac{781}{8}\)

\(Q.5.(xxix)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0\) সমীকরণের একটি মূল \(1+i\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r-1}, \ x^r\) এবং \(x^{r+1}\) এর সহগগুলি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত।
\((a)\) \(x^3-7x^2+8x+10=0\) সমীকরণের একটি মূল \(1+\sqrt{3}\) হলে, অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লেখিত সমীকরণটি সমাধান কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, \(n^2-n(4r+1)+4r^2-2=0)\)
উত্তরঃ \((a) \ 1-\sqrt{3}, \ 5\)
\((b) \ 1, \ 2, \ 1-i\)

\(Q.5.(xxx)\) \(P=1+3x, \ Q=1-2x\)
\((a)\) \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2n}\) এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ ধ্রুবক; যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
\((b)\) \(|Q|\lt{3}\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।
\((c)\) \(x\) এর শক্তির ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(P^{\frac{1}{2}}Q^{-\frac{1}{3}}\) এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (n+1)\) তম পদটি ধ্রুবক।
\((b) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: -1\lt{x}\lt{2}\right\}\)
\((c) \ 1+\frac{13}{6}x+\frac{55}{72}x^2+... ...\)

\(Q.5.(xxxi)\) \(P=8-3x\)
\((a)\) \(P^{\frac{3}{5}}\) এর তৃতীয় পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x=i\) হলে, \(P^2+P\overline{P}+(\overline{P})^2\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x\) এর যে মানের জন্য, \(x\) এর ঘাতের ঊর্ধবক্রম অনুসারে \(\frac{1}{\sqrt{P}}\) এর বিস্তৃতি বৈধ তা নির্ধারণ করে ঐ বিস্তৃতিকে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
উত্তরঃ \((a) \ 8^{\frac{3}{5}}\left\{1-\frac{9}{40}x-\frac{27}{1600}x- ... ...\right\}\)
\((b) \ 183\)
\((c) \ \frac{1}{2\sqrt{2}}\left\{1+\frac{3}{16}x+\frac{1.3}{2!}\left(\frac{3}{8}\right)^2x^2+\frac{1.3.5}{3!}\left(\frac{3}{8}\right)^3x^3+ ... ...\right\}\)

\(Q.5.(xxxii)\) \(P=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{m}}{x^2}, \ Q=1+x^2\)
\((a)\) \(Q^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{4r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান \(405\) হলে, \(m\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Q=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের বর্গমূল চারটি দ্বারা সূচিত বিন্দু চারটির অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ (r+1)(2r+1)\)
\((b) \ \)
\((c) \ \)

\(Q.5.(xxxiii)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(P=\left\{x-2(\omega+\omega^2)+\frac{1}{x}\right\}^n\) যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\) এবং \(\omega\) এককের কাল্পনিক ঘনমূল।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x^2+(5-2i)x+2(7-i)=0\)
\((a)\) \((1+x)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \((4r+5)\) তম পদের সহগ \((2r+1)\) তম পদের সহগের সমান হলে, \(r\)এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবপদের মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয় \(-2-2i, \ -3+4i\)
উত্তরঃ \((a) \ r=1\)
\((b) \ ^{2n}C_{n}\)

\(Q.5.(xxxiv)\) \(P=x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty)^2\)\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ... ...+nx^{n-1}+... ...\infty\)
\((b)\) \(P^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) সম্বলিত পদ থাকার শর্ত উল্লেখ করে এর সহগ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x=3+4i\) হলে, দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত \(|P|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ \frac{n!}{\left(\frac{4n-2r}{5}\right)!\left(\frac{n+2r}{5}\right)!}\)
\((c) \ 24.70\) (প্রায়)

\(Q.5.(xxxv)\) \(P=\frac{(1+x)^2}{(1-x)^3}\)
\((a)\) , \((1+x)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(x^{r-1}\) এর সহগের দ্বিগুণ হয়, তাহলে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x=\omega\) হলে, \(|P|\) নির্ণয় কর যেখানে \(\omega\) এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল।
উত্তরঃ \((a) \ r=7\)
\((b) \ 2r^2+2r+1\)
\((c) \ \frac{1}{3\sqrt{3}}\)

\(Q.5.(xxxvi)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \((x+3)^{15}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এবং \(x^{r+1}\) এর সহগ দুইটি সমান।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(a=p+q, \ b=p\omega+q\omega^2\)
\((a)\) \((1+x+x^3)^{9}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^5\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(p=q=1\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(ax^2+3x+5bi=0\) এর মূলদ্বয় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 378\)
\((b) \ r=4\)
\((c) \ \frac{1+2i}{2}, \ -2-i\)

\(Q.5.(xxxvii)\) \(P=1-x, \ Q=1+x\)
\((a)\) \(|x|\gt{1}\) হলে, \(P^{-1}\) বিস্তৃত কর।
\((b)\) \(|P^{-1}|\gt{10}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(|PQ|\lt{\frac{21}{100}}\)।
\((c)\) \(n\) এর মান কত হলে, \(Q^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x, \ x^2\) এবং \(x^3\) এর সহগগুলি একটি সমান্তর প্রগমন ভুক্ত হবে?
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}- ... ...\)
\((c) \ n=7\)

\(Q.5.(xxxviii)\) \(f(x)=1-9x+45x^2\)
\((a)\) \(f(i)\) অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\alpha+\beta^{-1}\) ও \(\beta+\alpha^{-1}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\frac{x}{f(x)-25x^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -44+9i\)
\((b) \ 45x^2-414x+2116=0\)
\((c) \ 5^n-4^n\)

\(Q.5.(xxxix)\) \(f(x)=1-5x+5x^2-4x^3, \ g(x)=1-4x\)
\((a)\) দেখাও যে, \(g(x),\) \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
\((b)\) দেখাও যে, \(\{g(x)\}^{-\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^2}\)
\((c)\) \(\frac{f(x)}{g(x)}=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুইটির বর্গমূল নির্ণয় কর, যেখানে \(g(x)\ne{0}\)
উত্তরঃ \((c) \ \pm\frac{1}{2}(\sqrt{3}\pm{i})\)

\(Q.5.(xL)\) \(f(x)=1-x\)
\((a)\) \(x\) এর মান কত হলে, \(|f(x)|-\frac{1}{2}\) এর মান সর্বনিম্ন হবে।
\((b)\) \(\frac{1}{|f(x)|}\ge{2}\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।
\((c)\) \(\{f(x)\}^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদটি সরলতম আকারে প্রকাশ কর এবং তা থেকে প্রথম চারটি পদ বের কর।
উত্তরঃ \((a) \ x=1\)
\((b) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: \frac{1}{2}\le{x}\le{\frac{3}{2}}, \ x\ne{1}\right\}\)
\((c) \ \frac{(r+1)(r+2)}{2}x^r; \ 1, \ 3x, \ 6x^2, \ 10x^3\)

\(Q.5.(xLi)\) \(f(x)=1-x^2, \ g(x)=1+x\)
\((a)\) \(\{g(x)\}^{2n+1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এবং \(x^{r+1}\) এর সহগ দুইটি সমান হলে \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) যদি, \(\{g(x)\}^n\) বিস্তৃতিতে \(S_{1}\) এবং \(S_{2}\) যথাক্রমে বিজোড় ও জোড় স্থানের পদগুলির সমষ্টি হয়, তবে দেখাও যে, \(\{f(x)\}^n=S_{1}^2-S_{2}^2\) যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
\((c)\) \(|f(x)|\le{3(x-1)}\) এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ r=n\)
\((b) \ \)
\((c) \ \)

\(Q.5.(xLii)\) \(P=4x+3\) একটি দ্বিপদী রাশি।
\((a)\) \(\left(2x^2-\frac{3}{x}\right)^{12}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P^{34}\) এর বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদের সহগ সমান হলে, এ পদ দুইটির \(x\) এর ঘাত নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P^{-\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় করে বিস্তৃতিতে পঞ্চম পদটিও বের কর।
উত্তরঃ \((a) \ \ ^{12}C_{6}(6x)^{6}\)
\((b) \ 19; \ 20\)
\((c) \ (-1)^r\frac{(2r)!}{(r!)^23^r\sqrt{3}}; \ \frac{70}{81\sqrt{3}}\)
দিঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLiii)\) \(f(x)=\left(x^2+\frac{3}{x}\right)^{11} ......(1)\)
\(g(x)=(1+px)^{m} ......(2)\)
\((a)\) \((1-3x)^{-1}\) এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম ও \((r+2)\) তম পদের সহগ সমান হলে \(r\)এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\) এ \(p=-8\) এবং \(m=-\frac{1}{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^r\) এর সহগ \(\frac{(2r)!2^r}{(r!)^2}\)
উত্তরঃ \((a) \ 1+3x+3^2x^2+3^3x^3+ ... ... +3^rx^r+ ... ...\infty\)
\((b) \ r=8\)
\((c) \ \)
চঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLiv)\) \(f(x)=\left(2-\frac{3}{x}\right)^{15}\)
\((a)\) \(n=4\) এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজ আঁক।
\((b)\) \(f(x)\) এর বিস্তৃতিতে কততম পদ \(x\) বর্জিত এবং পদটির মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(x)\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ দুইটির পার্থক্য নির্ণয় কর যখন \(x=1\)
উত্তরঃ \((b) \ 1\)ম পদটি বর্জিত, মান \(=32768\)
\((c) \ 5\ ^{15}C_{7}2^{7}3^7\)
ঢাঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLv)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(A=\left(\frac{2}{x}+\frac{x}{2}\right)^n\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(B=(1-9x+20x^2)^{-1}\)
\((a)\) \(6x^2-5x-1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) \(n\) এর জন্য কোন শর্ত আরোপ করলে দৃশ্যকল্প-১ \(A\) এর একটি মধ্যপদ থাকবে? \(n=21\) হলে, মধ্যপদ বা (মধ্যপদসমূহের) মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ \(B\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(x^9\) এর সহগ \(5^{10}-4^{10}\)
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((b) \ \)
\((c) \ \)
রাঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLvi)\) \(z=\alpha+i\beta\) যেখানে \(\alpha\) ও \(\beta\) বাস্তব সংখ্যা।
\((a)\) \(\frac{x^3-8}{x-2}\) বহুপদীর ঘাত নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে \(\alpha=2, \ \beta=\sqrt{3}\) হলে, \(z\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে \(\beta=0\) এবং \(\alpha^5\) ও \(\alpha^{15}\) এর সহগ পরস্পর সমান হলে, \(\left(2z^2+\frac{R}{z^3}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতি থেকে \(R\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2\)
\((b) \ x^2-4x+7=0\)
\((c) \ R=\pm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
কুঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLvii)\) \((1+2y)^m\) একটি বীজগাণিতিক রাশি।
\((a)\) \((42x^2-13x+1)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(m=2n, \ n\in{\mathbb{N}}\) হলে দেখাও যে, উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান \(\frac{1.3.5 ... ...(2n-1)}{n!}2^{2n}y^n\)
\((c)\) \(m=20\) হলে, উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত \(11:20\) হয়। পদ দুইটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7^{n+1}-6^{n+1}\)
\((c) \ 2^{10}\ ^{20}C_{10}y^{10}, \ 2^{11}\ ^{20}C_{11}y^{11}\)
সিঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLviii)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x^2-5x+3=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\frac{1+x}{\sqrt{1-2x}}\)
\((a)\) \((3-2x)^{\frac{1}{2}}\) এর বিস্তৃতি \(x\) এর কোন মানের জন্য বৈধ?
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে \(\frac{3}{5-\alpha}\) ও \(\frac{3}{5-\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-2 এর সাহায্যে রাশিটির বিস্তৃতি হতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2}\lt{x}\lt{\frac{3}{2}}\)
\((b) \ x^2-5x+3=0\)
\((c) \ 4\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xLix)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)^{20}\)
\((a)\) \(p=q=1\) হলে, দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এ মূলদ্বয়ের অন্তর \(r\) হলে, \(p, \ q\) এবং \(r\) এর মধ্যে একটি সম্পর্ক লিখ।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-2 এর বিস্তৃতিতে \(x^{12}\) সম্বলিত পদের সহগ বের কর।
উত্তরঃ \((a)\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।
\((b) \ p=2q\pm{\sqrt{4q^2+r^2}}\)
\((c) \ \ ^{20}C_{12}2^{8}\)
ঢাঃ,দিঃ,যঃ,সিঃ ২০১৮।

\(Q.5.(L)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x^2+(-1)^npx+q=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \((1+ax)^b\)
\((a)\) \(\left(2-\frac{3}{x}\right)^{12}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ বের কর।
\((b)\) \(a=-12\) এবং \(b=-\frac{1}{2}\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ থেকে দেখাও যে, বিস্তৃতির \(x^r\) এর সহগ \(\frac{(2r)!3^r}{(r!)^2}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য \(1\) হলে প্রমাণ কর যে, \((p^2+4q^2)=(1+2q^2)^2\) যেখানে \(n=2\)
উত্তরঃ \((a) \ \ ^{12}C_{6}\left(\frac{6}{x}\right)^6\)
\((b) \ \)
\((c) \ \)
কুঃ,চঃ,বঃ,রাঃ ২০১৮।

\(Q.5.(Li)\) \(a=x^3, \ b=8\)
\((a)\) \(bi\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\left(2a-\frac{2}{a}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে যে পদটি ধ্রুব তার মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a-b=0\) সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় \(z_{1}\) ও \(z_{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(arg(z_{1}z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2})\)
উত্তরঃ \((a) \ \pm{2(1+i)}\)
\((b) \ -258048\)
দিঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lii)\) \(f(x)=3+\frac{x}{2}\) এবং \(g(p)=1-\frac{1}{2}p\)
\((a)\) \((3-y)^5\) বিস্তৃতির প্যাসকেলের ত্রিভুজ তৈরি কর।
\((b)\) \(\{f(x)\}^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^7\) এবং \(x^8\) এর সহগদ্বয় সমান হলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর। যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(\{g(4x)\}^{\frac{1}{2}}\) বিস্তৃতির \((n+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2n)!}{(r!)^22^n}\)
উত্তরঃ \((a) \ 243-405y+270y^2-90y^3+15y^4-y^5\)
\((b) \ n=55\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Liii)\) \(f(x)=a+bx\)
\((a)\) \(\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)^8\) এর পদসংখ্যা কত?
\((b)\) \(a=1, \ b=-2\) হলে, \(\{f(x)\}^{2m}\) এর মধ্যপদ নির্ণয় কর। যেখানে \(m\in{\mathbb{N}}\)
\((c)\) \(b=2\) এর জন্য \(\{f(x)\}^m\) এর প্রথম তিনটি পদ \(k, \ \frac{10}{3}kx\) এবং \(\frac{40}{9}kx^2\) হলে \(a, \ k\) এবং \(m\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 17\)
\((b) \ \frac{1.3.5 ... .... (2m-1)}{m!}(-4)^{m}x^{m}\)
\((c) \ a=3, \ k=3^5, \ m=5\)
যঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Liv)\) উদ্দীপকঃ \(h(x)=\frac{-8x}{1-x^2}\) একটি ভগ্নাংশ এবং \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!n}{(n-1)!3^n}\] হলো একটি ধারার সমষ্টি।
\((a)\) \(x=i\) হলে, \(h(x)\) এর বর্গমূল বের কর, যেখানে \(i\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
\((b)\) উদ্দীপকের ধারাটির অভিসারিতা যাচাই কর।
\((c)\) \(h(x)\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \pm\sqrt{2}(1-i)\)
\((b)\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
\((c) \ 4(-1)^r-4\)
কুঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lv)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(px^2+qx+q=0\) সমীকরণের মূল দুইটির অনুপাত \(u:v\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\left(3x^2-\frac{1}{x}\right)^n\)
\((a)\) \(4x^2+2x-1=0\) সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর \(\sqrt{\frac{u}{v}}+\sqrt{\frac{v}{u}}+\sqrt{\frac{q}{p}}=0\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(n=9\) ও \(n=12\) এর জন্য প্রদত্ত বিস্তৃতির মধ্যপদের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
\((c) \ 30618x^6, \ -10206x^3, \ 673596x^6\)
বঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lvi)\) \(\phi(x)=lx^2+mx+n\)
\((a)\) \(x^3+x^2+4x+4=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2i\) হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।
\((b)\) \(\phi(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(a, \ b\) হলে, \(nl(x^2+1)+(2nl-m^2)x=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়কে \(a, \ b\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((c)\) \(l=42, \ m=-13, \ n=1\) হলে, \(\{\phi(x)\}^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{99}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -1, \ 2i, \ -2i\)
\((b)\) প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় \(\frac{a}{b}, \ \frac{b}{a}\)
\((c) \ 7^{100}-6^{100}\)
সিঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lvii)\) \(z=2x+3y\)
\((a)\) \((a+x)^4\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ \(16\) হলে, \(a\) এর মান কত?
\((b)\) \(y=-\frac{1}{x^2}\) হলে, \(z^{12}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y\le{8}, \ x+y\le{6}\) এবং \(x, \ y\ge{0}\) শর্তাধিনে উদ্দীপকের আলোকে \(z\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=4\)
\((b) \ 10264320\)
\((c) \ Z_{max}=14\) যখন, \(x=4, \ y=2\)
রাঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lviii)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(g(x)=\frac{1}{1-9x+20x^2}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(mx^2+nx+s=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
\((a)\) \(-4-4i\) জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(g(x)\) এর বিস্তৃতির \(x^n\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(m=9, \ n=2, \ s=-\frac{1}{3}(p+2)\) হলে, প্রাপ্ত সমীকরণের একটি মূল যদি অপরটির বর্গের সমান হয় তবে (p\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3\pi}{4}\)
\((b) \ 5^{n+1}-4^{n+1}\)
\((c) \ p=-1, \ 6\)
চঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lix)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(8x^2-6x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(a\) ও \(b\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \((1+3y)^{2n}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((a)\) মান নির্ণয় করঃ \(\sqrt[3]{i}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে এরূপ একটি সমীকরণে নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় \(a+\frac{1}{b}\) এবং \(b+\frac{1}{a}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, প্রদত্ত বিস্তৃতির মধ্যপদ হবে \(\frac{1.3.5 ... .... (2n-1)}{n!}6^ny^n\)
উত্তরঃ \((a) \ -i, \ \frac{1}{2}(i\pm{\sqrt{3}})\)
\((b) \ 8x^2-54x+81=0\)
চঃ ২০১৯।

\(Q.5.(Lx)\) \(P=\left(2b^2-\frac{3}{b}\right)^{11}, \ Q=1-2x\)
\((a)\) \(\left(3x^2-\frac{1}{2x}\right)^8\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) এর বিস্তৃতিতে \(b^{10}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{\sqrt{Q}}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^22^r},\) যেখানে \(|r|\gt{\frac{1}{2}}\)
উত্তরঃ \((a) \ \ ^{8}C_{4}\left(\frac{3x}{2}\right)^4\)
\((b) \ \ ^{11}C_{4}2^73^4\)
\((c) \ \)
মাঃ ২০১৯।

Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
\(Q.6.(i)\) \(y=x+x^2+x^3+ ... ... \infty\) হলে দেখাও যে, \(x=y-y^2+y^3-y^4+ ... ... \infty\)
বঃ ২০০১,২০১২; সিঃ ২০০৩; যঃ ২০০৩,২০১৪; চঃ ২০০৪,২০০৮,২০১২; ঢাঃ ২০১১; রাঃ ২০১২,২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.6.(ii)\) \(1+\frac{1}{3}+\frac{1.3}{3.6}+\frac{1.3.5}{3.6.9}+\frac{1.3.5.7}{3.6.9.12}+ ... ... \infty\) ধারার যোগফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.6.(iii)\) \(y=3x+6x^2+10x^3+ ... ...\infty\) হলে দেখাও যে, \(x=\frac{1}{3}y-\frac{1.4}{3^22!}y^2+\frac{1.4.7}{3^33!}y^3-... ...\infty\)
বুয়েটঃ ২০১৯-২০২০।

\(Q.6.(iv)\) \(y=2x+3x^2+4x^3+ ... ...\infty\) হলে দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{8}y^2+\frac{5}{16}y^3-... ...\infty\)
চঃ ২০০০; যঃ ২০০১; বঃ ২০০২,২০১০; কুঃ,রাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৯ দিঃ ২০১১; বুয়েটঃ,চুয়েটঃ ২০০১-২০০২।

\(Q.6.(v)\) দেখাও যে, \(\frac{(1+x)^n}{(1-x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ \(2^n\) \((n\in{\mathbb{N}})\)
কুঃ ২০১২; বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.6.(vi)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2\) এর বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ \(4n\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.6.(vii)\) \(x\lt{\frac{8}{3}}\) হলে, \(\frac{1}{(8-3x)^{\frac{1}{3}}}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7}{1536}\)
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(viii)\) দেখাও যে, \((1-5x+6x^2)^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \(3^{r+1}-2^{r+1}\)
চঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪,২০১০; সিঃ ২০১১,২০১৪; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১২; কুঃ,রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; মাঃ ২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.6.(ix)\) \(1+\frac{1}{4}+\frac{1.3}{4.8}+\frac{1.3.5}{4.8.12}+ ... ... \infty\) ধারার যোগফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)
বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.6.(x)\) \(1+\frac{3}{4}+\frac{3.5}{4.8}+\frac{3.5.7}{4.8.12}+ ... ... \infty\) ধারার যোগফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sqrt{2}\)
বুটেক্সঃ ২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.6.(xi)\) \((1+2x)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r-1}\) এর সহগ \(C_{r}\) হলে এবং \(C_{r+2}=4C_{r}\) হলে, \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r=10\)
বুয়েটঃ ২০১৯-২০২০।

\(Q.6.(xii)\) যদি \(\left(2x^2+\frac{k}{x^3}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{5}\) এবং \(x^{15}\) এর সহগ দুইটি সমান হয়, তাহলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=\pm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
বুয়েটঃ ২০১৬-২০১৭; টেক্সটাঃ ২০০১-২০০২; কুয়েটঃ ২০১০-২০১১; কুঃ ২০১৭।

\(Q.6.(xiii)\) \(\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{m}}{x^2}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান \(405\) হলে \(m\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(m=9\)
বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮।

\(Q.6.(xiv)\) \(\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)^6\) এর বিস্তৃতি হতে \(x\) মুক্ত বা \(x\) বর্জিত বা ধ্রুবক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)ম পদ, মান \(=924\)
যঃ ২০০৭,২০১৩; বুয়েটঃ ২০১৭-২০১৮।

\(Q.6.(xv)\) \((x+a)^n\) এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে \(729, \ 7290\) এবং \(30375\) হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=5\)
বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; বুটেক্সঃ ২০১৯-২০২০।

\(Q.6.(xvi)\) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^7\) এবং \(x^8\) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হলে \(n\in{\mathbb{N}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n=55\)
ঢাঃ ২০০৩,২০১১,২০১৯; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭; যঃ ২০০৮,২০১০; সিঃ ২০১২; বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭।

\(Q.6.(xvii)\) \((a+2x)^{5}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{3}\) এর সহগ \(320\) হলে \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\pm{2}\)
ঢাঃ২০০৫; চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(xviii)\) \(\left(2x^2-\frac{1}{2x^3}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতি হতে \(x\) মুক্ত বা \(x\) বর্জিত বা ধ্রুবক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\)ম পদ, মান \(=840\)
ঢাঃ ২০০৯; বঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; বুটেক্সঃ ২০১২-২০১৩।

\(Q.6.(xix)\) যদি \((1+x)(a-bx)^{12}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^8\) এর সহগ শূন্য হয়, তবে \(\frac{a}{b}\) অনুপাতের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{8}\)
কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬,২০১২-২০১৩; চুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫।

\(Q.6.(xx)\) \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{21}\) এর বিস্তৃতি হতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11\) তম পদ, \(^{21}C_{10}\frac{x}{y};\) \(12\) তম পদ, \(^{21}C_{11}\frac{y}{x}.\)
কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.6.(xxi)\) \(r\) এর কোন মানের জন্য \(\left(2x^2+\frac{3}{x}\right)^{19}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদের সহগ এবং \((r+2)\) তম পদের সহগ সমান হবে?
উত্তরঃ \(r=11\)
কুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.6.(xxii)\) \(\left(\frac{x^4}{y^3}+\frac{y^2}{2x}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(y\) মুক্ত পদ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)ম পদ, মান \(=\frac{105}{32}x^{10}\)
যঃ ২০০৩; বুটেক্সঃ ২০১৮-২০১৯।

\(Q.6.(xxiii)\) \(\left(\frac{y^4}{x^3}+\frac{x^2}{2y}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদ বের করে এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)ম পদ, মান \(=\frac{105}{32}y^{10}\)
যঃ ২০০৩; বুটেক্সঃ ২০১৮-২০১৯।

\(Q.6.(xxiv)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) হলে, দেখাও যে, \(\left(x^p+\frac{1}{x^{p}}\right)^{2n}\) এর বিস্তৃতিতে সর্বদা \(x\) বর্জিত পদ থাকবে। \(n=5\) হলে ঐ পদের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(252\)
টেক্সটাঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Q.6.(xxv)\) \(\left(x^3+\frac{1}{x^6}\right)^{15}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদ বের করে এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\)ষ্ঠ পদ, মান \(=3003\)
টেক্সটাঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.6.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\frac{1}{(1-x)(3-x)}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ \(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{r+1}}\right)\)
বুটেক্সঃ ২০২০-২০২১।

\(Q.6.(xxvii)\) \(\frac{(1+x)^2}{(1-x)^3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{r}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2r^2+2r+1\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.6.(xxviii)\) দেখাও যে, \(\frac{1+x}{(1-x)^2}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^r\) এর সহগ \((2r+1)\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.6.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(\sqrt{8}=1+\frac{3}{4}+\frac{3.5}{4.8}+\frac{3.5.7}{4.8.12}+ ... ... \infty\)
বুটেক্সঃ ২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.6.(xxx)\) \(1+2\frac{1}{3^2}+\frac{2}{1}.\frac{5}{2}.\frac{1}{3^4}+\frac{2}{1}.\frac{5}{2}.\frac{8}{3}.\frac{1}{3^6}+ ... ... \)
উত্তরঃ \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)
বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.6.(xxxi)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) হলে, দেখাও যে, \(\left(x^p+\frac{1}{x^{p}}\right)^{2n}\) এর বিস্তৃতিতে সর্বদা \(x\) বর্জিত পদ থাকবে। \(n=5\) হলে ঐ পদের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(252\)
টেক্সটাঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Q.6.(xxxii)\) \(\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{m}}{x^2}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান \(405\) হলে \(m\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(m=9\)
বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮।

\(Q.6.(xxxiii)\) \(\left(2x-\frac{1}{4x^2}\right)^{12}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1760\)
বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫; ঢাবিঃ ২০১৫-২০১৬; দিঃ ২০১৬,২০১২; ঢাঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৭; বঃ ২০১২; সিঃ ২০১১।

\(Q.6.(xxxiv)\) যদি \(\left(x^3-\frac{5}{x^2}\right)^{12}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{11}\) এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\ ^{12}C_{5}5^5\)
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

Read Admission Question

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024