এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions in Infinite Series)
- আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতির অভিসারি (Convergency of Infinite Binomial Series)
- দ্বিপদী ধারা (Binomial Series)
- \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতি যখন \(n\in{\mathbb{N}}\)
- \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতি যখন \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\ne{\mathbb{N}}\)
- \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতি যখন \(n\in{\mathbb{N}}\)
- \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতি যখন \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\ne{\mathbb{N}}\)
- \((1+x)^{-1}\) এর বিস্তৃতি (Expansions)
- \((1-x)^{-1}\) এর বিস্তৃতি (Expansions)
- \((1+x)^{-2}\) এর বিস্তৃতি (Expansions)
- \((1-x)^{-2}\) এর বিস্তৃতি (Expansions)
- \((1+x)^{-3}\) এর বিস্তৃতি (Expansions)
- \((1-x)^{-3}\) এর বিস্তৃতি (Expansions)
- অসীম ধারা (Infinite Series)
- \(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+ ... ...\infty\)
- \(e^{-x}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}- ... ...\infty\)
- \(a^{x}=1+\frac{x}{1!}(\log_e{a})+\frac{x^2}{2!}(\log_e{a})^2+ ... ...\infty\)
- \(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}(\log_e{a})+\frac{x^2}{2!}(\log_e{a})^2- ... ...\infty\)
- \(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
- \(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
- \(\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty\)
- \(\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ... ...\infty\)
- \(\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ... ...\infty\)
- আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশের মাধ্যমে দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions by using partial fraction)
- বৃহত্তম পদ (Greatest Term)
- অধ্যায় \(3\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(3\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3\) / \(Q.6\)-এর ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি
Binomial Expansions in Infinite Series
\(n\in{\mathbb{N}}\) হলে,
\((1+x)^n=1+\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2+ ... ... +\ ^nC_{r}x^r+\)\( ... ... +x^n\)
\(=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... +\)\(\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ... +x^n\)
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ,
\(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
\(t_{r+1}\) এর সহগ, \(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\)
\(r=n\) হলে, \(t_{n+1}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1}{n!}=\frac{n!}{n!}=1\)
\(r=n+1\) হলে, \(t_{n+2}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1.0}{(n+1)!}=0\)
\(r\gt{n}\) হলে, সাধারণ পদ অর্থাৎ \((n+1)\) তম পদের পরে আর কোনো পদ থাকে না।
অতএব ধারাটি একটি সান্ত (finite) ধারা হয়।
কিন্তু \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা মূলদ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে, \(r\) এর এমন মান পাওয়া যাবে না যার জন্য সাধারণ পদের লবের কোনো উৎপাদক শূন্য হয়। সুতরাং এই ক্ষেত্রে বিস্তৃতির পদের সংখ্যা অসীম (infinite) হবে।
ফলে, \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি নামে পরিচিত।
বিস্তৃতিটি বৈধ হবে যদি \(-1\lt{x}\lt{1}\) অর্থাৎ \(|x|\lt{1}\) হয়।
\(=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... +\)\(\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ... +x^n\)
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ,
\(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
\(t_{r+1}\) এর সহগ, \(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\)
\(r=n\) হলে, \(t_{n+1}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1}{n!}=\frac{n!}{n!}=1\)
\(r=n+1\) হলে, \(t_{n+2}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1.0}{(n+1)!}=0\)
\(r\gt{n}\) হলে, সাধারণ পদ অর্থাৎ \((n+1)\) তম পদের পরে আর কোনো পদ থাকে না।
অতএব ধারাটি একটি সান্ত (finite) ধারা হয়।
কিন্তু \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা মূলদ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে, \(r\) এর এমন মান পাওয়া যাবে না যার জন্য সাধারণ পদের লবের কোনো উৎপাদক শূন্য হয়। সুতরাং এই ক্ষেত্রে বিস্তৃতির পদের সংখ্যা অসীম (infinite) হবে।
ফলে, \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি নামে পরিচিত।
বিস্তৃতিটি বৈধ হবে যদি \(-1\lt{x}\lt{1}\) অর্থাৎ \(|x|\lt{1}\) হয়।
আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতির অভিসারি
Convergency of Infinite Binomial Series
অভিসারী(convergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অভিসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি ধারার \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি সসীম সংখ্যার সমান হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অভিসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি সসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1-\frac{1}{2^n}\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\]
\[=1-\frac{1}{\infty}\]
\[=1-0\]
\[=1\]
অপসারী(divergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি অসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অপসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি অসীম সংখ্যা হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অপসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অপসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি অসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1+2^n\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1+2^n\right)\]
\[=1+\infty\]
\[=\infty\]
অসীম ধারার অভিসারী বা অপসারী নির্ণয়ঃ
অনুপাত পরীক্ষাঃ কোনো অসীম ধারার অভিসারী ধর্ম প্রমাণ করার জন্য সাধারণত \(D'Alembert\) অনুপাত পরীক্ষণ প্রয়োগ করা হয়।
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+u_{r+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: দেখাও যে, \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}\] ধারাটি অভিসারী।
\(Sol^n\): ধরি, \[U_{n}=\frac{n^3}{e^n}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}}{\frac{n^3}{e^n}}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n}.e}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{n^3}\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+0\right)^3\times\frac{1}{e}\] ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
\[=1\times\frac{1}{e}\]
\[=\frac{1}{e}\lt{1}\] কারণ \(2\lt{e}\lt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(n\ln{\frac{u_{n}}{u_{n+1}}}\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{1}{2}x+\frac{2!}{3^2}x^2+\frac{3!}{4^3}x^3+\frac{4!}{5^4}x^4+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{n!}{(n+1)^n}x^n}{\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}}\]
\[=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n(n-1)!}{(n+1)^n}x^{n-1}.x\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n.n^{n-1}}{(n+1)^n}.x\]
\[=\frac{n^n}{(n+1)^n}.x\]
\[=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.x\]
\[=\left\{\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right\}^n.x\]
\[=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n.x\]
\[=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(=\frac{1}{e}.x\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]
\(=\frac{x}{e}\)
যদি \(\frac{x}{e}\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(\frac{x}{e}=1 \Rightarrow x=e\) এর জন্য, লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{U_{n}}{U_{n+1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{x}}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}}\] ➜ \[\because x=e\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\ln{e}\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right\}\] ➜ \[\because \ln{e}=1\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}+ ... ...\right)-1\right\}\] ➜ \[\because \ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+ ... ...\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...-1\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{4n^2}+ ... ...\right\}\]
\[=-\frac{1}{2}+0-0+ ... ...\] ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3n}=0, \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{4n^2}=0 ....\]
\[=-\frac{1}{2}\lt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
র্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{3}{7}x+\frac{3.6}{7.10}x^2+\frac{3.6.9}{7.10.13}x^3+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n}{\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}}\]
\[=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^{n-1}.x\times\frac{7.10.13 .... (3n+1)}{3.6.9 .... (3n-3)x^{n-1}}\]
\[=\frac{3n}{(3n+4)}.x\]
\[=\frac{3n}{n\left(3+\frac{4}{n}\right)}.x\]
\[=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(=\frac{3}{3+0}.x\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{n}=0\]
\(=x\)
যদি \(x\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(x\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(x=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(x=1\) এর জন্য, র্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.x}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.1}-1\right)\] ➜ \[\because x=1\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(1+\frac{4}{3n}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\times\frac{4}{3n}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{3}\]
\[=\frac{4}{3}\gt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
তুলুনামূলক পরীক্ষণ (Comparision test): যদি \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] দুইটি ধনাত্মক পদের ধারা হয় এবং \[\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}\] এর মান অশূন্য সসীম সংখ্যা হয় (finite and non-zero) তাহলে \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] উভয়েই অভিসৃত বা উভয়েই অপসৃত হবে। অর্থাৎ একটি অভিসৃত হলে অপরটিও অভিসৃত হবে এবং বিপরীত-ক্রমে (vice-versa)।
\(p\) সিরিজ পর্যবেক্ষণঃ কোনো ধারার \(n\) তম পদ \(\frac{1}{n^p}\) হয় তবে ধারাটি অভিসারী হবে যদি \(p\gt{1}\) হয় এবং অপসারী হবে যদি \(p\le{1}\)।
\(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়, যেখানে \(l\lt{1}\)
এখানে, \(u_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
এবং \(u_{r}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}\)
এখন, \(\frac{u_{r+1}}{u_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x^{r-r+1}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x\)
\(=\frac{(n-r+1)}{r}x\)
\(=\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\)
\[\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\right|\]
\[=|(0-1+0)x|\]
\[=|-x|\]
\[=|x|\lt{1}\] এখানে \(l=|x|\)
অতএব, \((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যখন \(|x|\lt{1}\)
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি ধারার \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি সসীম সংখ্যার সমান হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অভিসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি সসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1-\frac{1}{2^n}\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\]
\[=1-\frac{1}{\infty}\]
\[=1-0\]
\[=1\]
অপসারী(divergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি অসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অপসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি অসীম সংখ্যা হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অপসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অপসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি অসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1+2^n\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1+2^n\right)\]
\[=1+\infty\]
\[=\infty\]
অসীম ধারার অভিসারী বা অপসারী নির্ণয়ঃ
অনুপাত পরীক্ষাঃ কোনো অসীম ধারার অভিসারী ধর্ম প্রমাণ করার জন্য সাধারণত \(D'Alembert\) অনুপাত পরীক্ষণ প্রয়োগ করা হয়।
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+u_{r+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: দেখাও যে, \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}\] ধারাটি অভিসারী।
\(Sol^n\): ধরি, \[U_{n}=\frac{n^3}{e^n}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}}{\frac{n^3}{e^n}}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n}.e}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{n^3}\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+0\right)^3\times\frac{1}{e}\] ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
\[=1\times\frac{1}{e}\]
\[=\frac{1}{e}\lt{1}\] কারণ \(2\lt{e}\lt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(n\ln{\frac{u_{n}}{u_{n+1}}}\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{1}{2}x+\frac{2!}{3^2}x^2+\frac{3!}{4^3}x^3+\frac{4!}{5^4}x^4+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{n!}{(n+1)^n}x^n}{\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}}\]
\[=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n(n-1)!}{(n+1)^n}x^{n-1}.x\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n.n^{n-1}}{(n+1)^n}.x\]
\[=\frac{n^n}{(n+1)^n}.x\]
\[=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.x\]
\[=\left\{\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right\}^n.x\]
\[=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n.x\]
\[=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(=\frac{1}{e}.x\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]
\(=\frac{x}{e}\)
যদি \(\frac{x}{e}\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(\frac{x}{e}=1 \Rightarrow x=e\) এর জন্য, লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{U_{n}}{U_{n+1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{x}}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}}\] ➜ \[\because x=e\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\ln{e}\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right\}\] ➜ \[\because \ln{e}=1\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}+ ... ...\right)-1\right\}\] ➜ \[\because \ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+ ... ...\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...-1\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{4n^2}+ ... ...\right\}\]
\[=-\frac{1}{2}+0-0+ ... ...\] ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3n}=0, \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{4n^2}=0 ....\]
\[=-\frac{1}{2}\lt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
র্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{3}{7}x+\frac{3.6}{7.10}x^2+\frac{3.6.9}{7.10.13}x^3+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n}{\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}}\]
\[=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^{n-1}.x\times\frac{7.10.13 .... (3n+1)}{3.6.9 .... (3n-3)x^{n-1}}\]
\[=\frac{3n}{(3n+4)}.x\]
\[=\frac{3n}{n\left(3+\frac{4}{n}\right)}.x\]
\[=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(=\frac{3}{3+0}.x\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{n}=0\]
\(=x\)
যদি \(x\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(x\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(x=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(x=1\) এর জন্য, র্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.x}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.1}-1\right)\] ➜ \[\because x=1\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(1+\frac{4}{3n}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\times\frac{4}{3n}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{3}\]
\[=\frac{4}{3}\gt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
তুলুনামূলক পরীক্ষণ (Comparision test): যদি \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] দুইটি ধনাত্মক পদের ধারা হয় এবং \[\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}\] এর মান অশূন্য সসীম সংখ্যা হয় (finite and non-zero) তাহলে \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] উভয়েই অভিসৃত বা উভয়েই অপসৃত হবে। অর্থাৎ একটি অভিসৃত হলে অপরটিও অভিসৃত হবে এবং বিপরীত-ক্রমে (vice-versa)।
\(p\) সিরিজ পর্যবেক্ষণঃ কোনো ধারার \(n\) তম পদ \(\frac{1}{n^p}\) হয় তবে ধারাটি অভিসারী হবে যদি \(p\gt{1}\) হয় এবং অপসারী হবে যদি \(p\le{1}\)।
\(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়, যেখানে \(l\lt{1}\)
এখানে, \(u_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
এবং \(u_{r}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}\)
এখন, \(\frac{u_{r+1}}{u_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x^{r-r+1}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x\)
\(=\frac{(n-r+1)}{r}x\)
\(=\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\)
\[\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\right|\]
\[=|(0-1+0)x|\]
\[=|-x|\]
\[=|x|\lt{1}\] এখানে \(l=|x|\)
অতএব, \((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যখন \(|x|\lt{1}\)
দ্বিপদী ধারা
Binomial Series
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{|a|}\) হলে,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... \infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...\infty \)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}x^r+...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-1\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-1}=1-x+\frac{-1(-1-1)}{2!}x^2+\frac{-1(-1-1)(-1-2)}{3!}\)\(x^3+... +\frac{-1(-1-1)(-1-2)... (-1-r+1)}{r!}x^r+ ...\infty\)
\(=1-x+\frac{-1(-2)}{2!}x^2+\frac{-1(-2)(-3)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-1(-2)(-3)... ... (-r)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{1.2}{2!}x^2-\frac{1.2.3}{3!}x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r\frac{1.2.3... ... r}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{2!}{2!}x^2-\frac{3!}{3!}x^3+...+(-1)^r\frac{r!}{r!}x^r+...\infty \)
\(=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\(\therefore (1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... \)\(+(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ \)\(... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+\)\( ... ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-1}=1-(-x)+(-x)^2-(-x)^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(-x)^r+... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^r(-1)^rx^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^{2r}x^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ... \) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)
\(\therefore (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... +x^r+ ...\infty \)
\((1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-2\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-2}=1-2x+\frac{-2(-2-1)}{2!}x^2+\frac{-2(-2-1)(-2-2)}{3!}\)\(x^3+ ... +\frac{-2(-2-1)(-2-2)... (-2-r+1)}{r!}x^r+... \)
\(=1-2x+\frac{-2(-3)}{2!}x^2+\frac{-2(-3)(-4)}{3!}x^3+ ... \)\(+\frac{-2(-3)(-4)... ... (-r-1)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-2x+\frac{6}{2}x^2-\frac{24}{6}x^3+...+(-1)^r\frac{1.2.3.4 ...(r+1)}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+... ... +(-1)^r\frac{(r+1)!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r\frac{(r+1)r!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ... ... \)
\(\therefore (1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r(r+1)x^r+ ...\infty \)
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(r+1)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ...+(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-2}=1-2(-x)+3(-x)^2-4(-x)^3+...\)\(+(-1)^r(r+1)(-x)^r+ ...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(-1)^r(-1)^r(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+...+(-1)^{2r}(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)
\(\therefore (1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ... ... +(r+1)x^r+\)\( ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}x^r+...\infty \)
ধরি, \(n=-3\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-3}=1-3x+\frac{-3(-3-1)}{2!}x^2+\frac{-3(-3-1)(-3-2)}{3!}\)\(x^3+ ...+\frac{-3(-3-1)(-3-2)...(-3-r+1)}{r!}x^r+ ...\)
\(=1-3x+\frac{-3(-4)}{2!}x^2+\frac{-3(-4)(-5)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-3(-4)(-5)... ... (-r-2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+\frac{12}{2}x^2-\frac{60}{6}x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.4.5... ... (r+2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)(r+1)r!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+ ...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\)
\(\therefore (1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)\)\(x^r+...\infty \)
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-3}=1-3(-x)+6(-x)^2-10(-x)^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)(-x)^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ... \)\(+(-1)^r(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+(-1)^{2r}\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+... \)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)
\(\therefore (1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{|a|}\) হলে,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... \infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...\infty \)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}x^r+...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-1\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-1}=1-x+\frac{-1(-1-1)}{2!}x^2+\frac{-1(-1-1)(-1-2)}{3!}\)\(x^3+... +\frac{-1(-1-1)(-1-2)... (-1-r+1)}{r!}x^r+ ...\infty\)
\(=1-x+\frac{-1(-2)}{2!}x^2+\frac{-1(-2)(-3)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-1(-2)(-3)... ... (-r)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{1.2}{2!}x^2-\frac{1.2.3}{3!}x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r\frac{1.2.3... ... r}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{2!}{2!}x^2-\frac{3!}{3!}x^3+...+(-1)^r\frac{r!}{r!}x^r+...\infty \)
\(=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\(\therefore (1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... \)\(+(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ \)\(... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+\)\( ... ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-1}=1-(-x)+(-x)^2-(-x)^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(-x)^r+... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^r(-1)^rx^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^{2r}x^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ... \) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)
\(\therefore (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... +x^r+ ...\infty \)
\((1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-2\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-2}=1-2x+\frac{-2(-2-1)}{2!}x^2+\frac{-2(-2-1)(-2-2)}{3!}\)\(x^3+ ... +\frac{-2(-2-1)(-2-2)... (-2-r+1)}{r!}x^r+... \)
\(=1-2x+\frac{-2(-3)}{2!}x^2+\frac{-2(-3)(-4)}{3!}x^3+ ... \)\(+\frac{-2(-3)(-4)... ... (-r-1)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-2x+\frac{6}{2}x^2-\frac{24}{6}x^3+...+(-1)^r\frac{1.2.3.4 ...(r+1)}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+... ... +(-1)^r\frac{(r+1)!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r\frac{(r+1)r!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ... ... \)
\(\therefore (1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r(r+1)x^r+ ...\infty \)
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(r+1)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ...+(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-2}=1-2(-x)+3(-x)^2-4(-x)^3+...\)\(+(-1)^r(r+1)(-x)^r+ ...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(-1)^r(-1)^r(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+...+(-1)^{2r}(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)
\(\therefore (1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ... ... +(r+1)x^r+\)\( ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}x^r+...\infty \)
ধরি, \(n=-3\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-3}=1-3x+\frac{-3(-3-1)}{2!}x^2+\frac{-3(-3-1)(-3-2)}{3!}\)\(x^3+ ...+\frac{-3(-3-1)(-3-2)...(-3-r+1)}{r!}x^r+ ...\)
\(=1-3x+\frac{-3(-4)}{2!}x^2+\frac{-3(-4)(-5)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-3(-4)(-5)... ... (-r-2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+\frac{12}{2}x^2-\frac{60}{6}x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.4.5... ... (r+2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)(r+1)r!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+ ...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\)
\(\therefore (1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)\)\(x^r+...\infty \)
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-3}=1-3(-x)+6(-x)^2-10(-x)^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)(-x)^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ... \)\(+(-1)^r(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+(-1)^{2r}\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+... \)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\) ➜ \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)
\(\therefore (1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
অসীম ধারা
Infinite Series
অসীম ধারাঃ যে ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয়
ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।
যেমনঃ \(1+2+3+ ... ... +n+ ... ...\)
\(1+3+5+ ... ... +(2n-1)+ ... ...\)
\(n\gt{1}\) হলে, \(x\) সকল মানের জন্য,
\(\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}^x=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}\)
\(\Rightarrow \left\{1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+ ...\right\}^x\)\(=1+nx.\frac{1}{n}+\frac{nx(nx-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{nx(nx-1)(nx-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...\) ➜ \(\because (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{n^2x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\)
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}^x\]\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}\] ➜ উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{n \rightarrow \infty}\] ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-0\right)}{2!}+\frac{\left(1-0\right)\left(1-0\right)}{3!}+...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-0\right)}{2!}+\frac{x\left(x-0\right)\left(x-0\right)}{3!}+...\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{n}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\infty\) ➜ \(\because 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ ... ...\infty=e\)
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{-x}=1+(-x)+\frac{(-x)^2}{2!}+\frac{(-x)^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(cx\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{cx}=1+(cx)+\frac{(cx)^2}{2!}+\frac{(cx)^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(e^{c}\right)^{x}=1+cx+\frac{c^2x^2}{2!}+\frac{c^3x^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(a\right)^{x}=1+\ln{a}.x+\frac{(\ln{a})^2x^2}{2!}+\frac{(\ln{a})^3x^3}{3!}+...\infty\) ➜ \(\because e^c=a\)
\(\Rightarrow c=\ln{a}\)
\(\therefore a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow a^{-x}=1+\frac{-x}{1!}\ln{a}+\frac{(-x)^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{(-x)^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\therefore a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^y=1+\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=y\left\{\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\] ➜ উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{y \rightarrow 0}\] ব্যাবহার করে।
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\ln{a}\] ➜ \[\because \lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{2!}=0\]
\[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y^2}{3!}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]
উপরোক্ত ধারায় \(a\) এর স্থলে \((1+x)\) বসিয়ে,
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}=\ln{(1+x)}\]
\[\Rightarrow \ln{(1+x)}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1+xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ... -1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}\]
\(=x+\frac{(-1)}{2!}x^2+\frac{(-1)(-2)}{3!}x^3+... ...\infty\)
\(=x-\frac{1}{2}+\frac{2}{6}x^3- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow \ln{(1-x)}=-x-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2+\frac{2}{2!}+\frac{2}{4!}+ ... ...\infty \)
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2+\frac{2}{3!}+\frac{2}{5!}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\)\( ...\infty ...(1)\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\)\(...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow \ln{(1+x)}-\ln{(1-x)}=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow \ln{\frac{1+x}{1-x}}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ... ...\infty \)
যেমনঃ \(1+2+3+ ... ... +n+ ... ...\)
\(1+3+5+ ... ... +(2n-1)+ ... ...\)
\(n\gt{1}\) হলে, \(x\) সকল মানের জন্য,
\(\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}^x=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}\)
\(\Rightarrow \left\{1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+ ...\right\}^x\)\(=1+nx.\frac{1}{n}+\frac{nx(nx-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{nx(nx-1)(nx-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...\) ➜ \(\because (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{n^2x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\)
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}^x\]\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}\] ➜ উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{n \rightarrow \infty}\] ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-0\right)}{2!}+\frac{\left(1-0\right)\left(1-0\right)}{3!}+...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-0\right)}{2!}+\frac{x\left(x-0\right)\left(x-0\right)}{3!}+...\) ➜ \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{n}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\infty\) ➜ \(\because 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ ... ...\infty=e\)
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{-x}=1+(-x)+\frac{(-x)^2}{2!}+\frac{(-x)^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(cx\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{cx}=1+(cx)+\frac{(cx)^2}{2!}+\frac{(cx)^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(e^{c}\right)^{x}=1+cx+\frac{c^2x^2}{2!}+\frac{c^3x^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(a\right)^{x}=1+\ln{a}.x+\frac{(\ln{a})^2x^2}{2!}+\frac{(\ln{a})^3x^3}{3!}+...\infty\) ➜ \(\because e^c=a\)
\(\Rightarrow c=\ln{a}\)
\(\therefore a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow a^{-x}=1+\frac{-x}{1!}\ln{a}+\frac{(-x)^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{(-x)^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\therefore a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^y=1+\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=y\left\{\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\] ➜ উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{y \rightarrow 0}\] ব্যাবহার করে।
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\ln{a}\] ➜ \[\because \lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{2!}=0\]
\[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y^2}{3!}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]
উপরোক্ত ধারায় \(a\) এর স্থলে \((1+x)\) বসিয়ে,
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}=\ln{(1+x)}\]
\[\Rightarrow \ln{(1+x)}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1+xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ... -1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}\]
\(=x+\frac{(-1)}{2!}x^2+\frac{(-1)(-2)}{3!}x^3+... ...\infty\)
\(=x-\frac{1}{2}+\frac{2}{6}x^3- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow \ln{(1-x)}=-x-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2+\frac{2}{2!}+\frac{2}{4!}+ ... ...\infty \)
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2+\frac{2}{3!}+\frac{2}{5!}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\)\( ...\infty ...(1)\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\)\(...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow \ln{(1+x)}-\ln{(1-x)}=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow \ln{\frac{1+x}{1-x}}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ... ...\infty \)
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশের মাধ্যমে দ্বিপদী বিস্তৃতি
Binomial Expansions by using partial fraction
যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফল বা বিয়োগফল রূপে প্রকাশ করা যায়, তবে শেষোক্ত ভগ্নাংশগুলির প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলে।
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করার জন্য ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক ভগ্নাংশের জন্য দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করতে হয়।
যেমনঃ\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}+\frac{b}{(b-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(a-b)}(x-a)^{-1}-\frac{b}{(a-b)}(x-b)^{-1}\)
উদাহরণঃ \(\frac{x}{(1-4x)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-5\times\frac{1}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-4\times\frac{1}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-\frac{5}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-\frac{4}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\times\frac{4-5}{4}}+\frac{\frac{1}{5}}{\frac{5-4}{5}\times(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}\times4}{-(1-4x)}+\frac{\frac{1}{5}\times5}{(1-5x)}\)
\(=-\frac{1}{(1-4x)}+\frac{1}{(1-5x)}\)
\(=\frac{1}{1-5x}-\frac{1}{1-4x}\)
\(=(1-5x)^{-1}-(1-4x)^{-1}\)
\(=(1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty)-\)\((1+4x+16x^2+64x^3+ ... ...\infty)\) ➜ \(\because (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty\)
\(=1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty-\)\(1-4x-16x^2-64x^3- ... ...\infty\)
\(=x+9x^2+61x^3+ ... ...\infty\)
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করার জন্য ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক ভগ্নাংশের জন্য দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করতে হয়।
যেমনঃ\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}+\frac{b}{(b-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(a-b)}(x-a)^{-1}-\frac{b}{(a-b)}(x-b)^{-1}\)
উদাহরণঃ \(\frac{x}{(1-4x)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-5\times\frac{1}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-4\times\frac{1}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-\frac{5}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-\frac{4}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\times\frac{4-5}{4}}+\frac{\frac{1}{5}}{\frac{5-4}{5}\times(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}\times4}{-(1-4x)}+\frac{\frac{1}{5}\times5}{(1-5x)}\)
\(=-\frac{1}{(1-4x)}+\frac{1}{(1-5x)}\)
\(=\frac{1}{1-5x}-\frac{1}{1-4x}\)
\(=(1-5x)^{-1}-(1-4x)^{-1}\)
\(=(1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty)-\)\((1+4x+16x^2+64x^3+ ... ...\infty)\) ➜ \(\because (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty\)
\(=1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty-\)\(1-4x-16x^2-64x^3- ... ...\infty\)
\(=x+9x^2+61x^3+ ... ...\infty\)
বৃহত্তম পদ
Greatest Term
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যা সূচক বৃহত্তম পদটি নির্ণয় করতে হবে, যখন \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\)
পদসমূহের সংখ্যা সূচক মানের জন্য কেবল \(x\) এর যোগবোধক মান সমূহ বিবেচনা করি।
ধরি, \(t_{r},\) \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদ প্রকাশ করে।
তাহলে, \(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r\)
এবং \(t_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
\(\therefore \frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}}\)
\(=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}x}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{(n-r+1)x}{ar}\)
এখন যদি, \(t_{r+1}\gt{t_{r}}\) অথবা \(t_{r+1}=t_{r}\) অথবা \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) হয়।
তাহলে, \((n-r+1)x\gt{ar}\) অথবা \((n-r+1)x=ar\) অথবা \((n-r+1)x\lt{ar}\) হবে।
\(\Rightarrow nx-rx+x\gt{ar}\) অথবা \(nx-rx+x=ar\) অথবা \(nx-rx+x\lt{ar}\)
\(\Rightarrow nx+x\gt{ar+rx}\) অথবা \(nx+x=ar+rx\) অথবা \(nx+x\lt{ar+rx}\)
\(\Rightarrow (n+1)x\gt{(a+x)r}\) অথবা \((n+1)x=(a+x)r\) অথবা \((n+1)x\lt{(a+x)r}\)
\(\Rightarrow (a+x)r\lt{(n+1)x}\) অথবা \((a+x)r=(n+1)x\) অথবা \((a+x)r\gt{(n+1)x}\)
\(\therefore r\lt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\) অথবা \(r=\frac{(n+1)}{a+x}x\) অথবা \(r\gt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\)
\((i)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে ধরি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p\)
তাহলে, যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং পদগুলি বৃদ্ধি পেতে থাকে।
যখন \(r=p, \ t_{r+1}=t_{r}\)
\(\Rightarrow t_{p+1}=t_{p}\)
আবার, যখন \(r\gt{p}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এবং পদগুলি হ্রাস পায়।
সুতরাং, \(t_{p+1}=t_{p}\) এবং অন্য যে কোনো পদ হতে এদের মান বৃহত্তর।
\((ii)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p+f\) যেখানে \(f\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
এইক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p+f}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং
যখন \(r\gt{p+f}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}},\)
অতএব, \(r\le{p}\) এর জন্য পদসমূহ বৃদ্ধি পেতে থাকে, \(t_{p+1}\) পদটি, \(t_{p}\) এবং সকল পূর্ব্বর্তী পদসমূহ অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(r\ge{p+1}\) এর জন্য \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এর পদসমূহ হ্রাস পায়।
অতএব, \(t_{p+1}\) পদটি বৃহত্তম।
সংখ্যামান বৃহত্তম পদ নির্ণয় পদ্ধতিঃ
\((a\pm{x})^n\) বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদের জন্য, \(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=1\) যখন \(n\gt{0}\)
\(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=-1\) যখন \(n\lt{0}\)
\(r\) পূর্ণসংখ্যা হলে, \(t_{r}\) ও \(t_{r+1}\) সংখ্যামান বৃহত্তম পদ। \(r\) ভগ্নাংশ হলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা তম পদটি সংখ্যামান বৃহত্তম।
পদসমূহের সংখ্যা সূচক মানের জন্য কেবল \(x\) এর যোগবোধক মান সমূহ বিবেচনা করি।
ধরি, \(t_{r},\) \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদ প্রকাশ করে।
তাহলে, \(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r\)
এবং \(t_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
\(\therefore \frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}}\)
\(=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}x}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{(n-r+1)x}{ar}\)
এখন যদি, \(t_{r+1}\gt{t_{r}}\) অথবা \(t_{r+1}=t_{r}\) অথবা \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) হয়।
তাহলে, \((n-r+1)x\gt{ar}\) অথবা \((n-r+1)x=ar\) অথবা \((n-r+1)x\lt{ar}\) হবে।
\(\Rightarrow nx-rx+x\gt{ar}\) অথবা \(nx-rx+x=ar\) অথবা \(nx-rx+x\lt{ar}\)
\(\Rightarrow nx+x\gt{ar+rx}\) অথবা \(nx+x=ar+rx\) অথবা \(nx+x\lt{ar+rx}\)
\(\Rightarrow (n+1)x\gt{(a+x)r}\) অথবা \((n+1)x=(a+x)r\) অথবা \((n+1)x\lt{(a+x)r}\)
\(\Rightarrow (a+x)r\lt{(n+1)x}\) অথবা \((a+x)r=(n+1)x\) অথবা \((a+x)r\gt{(n+1)x}\)
\(\therefore r\lt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\) অথবা \(r=\frac{(n+1)}{a+x}x\) অথবা \(r\gt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\)
\((i)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে ধরি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p\)
তাহলে, যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং পদগুলি বৃদ্ধি পেতে থাকে।
যখন \(r=p, \ t_{r+1}=t_{r}\)
\(\Rightarrow t_{p+1}=t_{p}\)
আবার, যখন \(r\gt{p}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এবং পদগুলি হ্রাস পায়।
সুতরাং, \(t_{p+1}=t_{p}\) এবং অন্য যে কোনো পদ হতে এদের মান বৃহত্তর।
\((ii)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p+f\) যেখানে \(f\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
এইক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p+f}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং
যখন \(r\gt{p+f}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}},\)
অতএব, \(r\le{p}\) এর জন্য পদসমূহ বৃদ্ধি পেতে থাকে, \(t_{p+1}\) পদটি, \(t_{p}\) এবং সকল পূর্ব্বর্তী পদসমূহ অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(r\ge{p+1}\) এর জন্য \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এর পদসমূহ হ্রাস পায়।
অতএব, \(t_{p+1}\) পদটি বৃহত্তম।
সংখ্যামান বৃহত্তম পদ নির্ণয় পদ্ধতিঃ
\((a\pm{x})^n\) বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদের জন্য, \(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=1\) যখন \(n\gt{0}\)
\(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=-1\) যখন \(n\lt{0}\)
\(r\) পূর্ণসংখ্যা হলে, \(t_{r}\) ও \(t_{r+1}\) সংখ্যামান বৃহত্তম পদ। \(r\) ভগ্নাংশ হলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা তম পদটি সংখ্যামান বৃহত্তম।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007