এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- ঐতিহাসিক পটভূমি
- জ্যামিতি (Geometry)
- বিন্দু (Point)
- অক্ষরেখা (Axis)
- মূলবিন্দু (Origin)
- চৌকোণ বা চতুর্ভাগ (Quadrants)
- স্থানাঙ্ক (Co-ordinate)
- সমতলে কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক
- কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
- বিভিন্ন চতুর্ভাগে \(\theta\) এর মান
- অধ্যায় \(3A\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(3A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Historical Background
জ্যামিতি (Geometry)
যে শিক্ষায় সুশিক্ষা অর্জন করে ভূমির পরিমাপ সম্পর্কে খুঁটিনাটি যাবতীয় বিষয় নিখুঁত ভাবে জানা যায় তাকে জ্যামিতি বলে। ইতিহাস থেকে নেয়া, প্রাচীন সভ্যতা মেসোপটমিয়া, মিসর এবং সিন্ধু উপত্যকায় কৃষি জমির সীমানা ও পরিমাপ সংক্রান্ত জরিফ কাজের মধ্যদিয়ে সর্বপ্রথম জ্যামিতির সূচনা হয়। গ্রীক দার্শনিক ইউক্লিড 
ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ অব্দে এই ধারনাকে পুষ্ট করে একটি সুবিন্যস্ত বৈজ্ঞানিক কাঠামো দিয়ে সাস্ত্র রূপে রূপান্তরিত করেন। এ কারণে ইউক্লিডকে জ্যামিতির জনক বলা হয়।
বিন্দু (Point)
যার দৈর্ঘ, প্রস্থ এবং উচ্চতা কিছুই নেই কিন্তু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে। ‘পশ্চিমা গোষ্টির আধুনিক দার্শনিকদের পিতা’ খেতাব প্রাপ্ত ফরাসী দার্শনিক, বিজ্ঞানী এবং গণিতবিদ রেনে দেকার্তে 
প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (১৫৯৬-১৬৫০) সর্বপ্রথম জ্যামিতকে বীজগণিতের সাহায্যে প্রয়োগ, সমতলীয় জ্যামিতিতে স্থানাংকের সূচনা করে বিন্দুর অবস্থান অংকের মাধ্যমে প্রকাশ, সর্বপরি প্রকৌশলবিদ্যায় জ্যামিতির অবতারণা প্রতিষ্ঠিত করেন। নিম্নে বিন্দুর স্থানাংক বিষয়ে আলোচনা করা হল।
অক্ষরেখা
Axis
কোনো সমতলে বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য, ভূমির সমান্তরাল বরাবর এবং উহার উপর লম্ব বরাবর দুইটি রেখাংশ অংকন করা হয় রেখাংশদ্বয় পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে, এদের প্রথমটিকে \(X\) অক্ষরেখা এবং দ্বিতীয়টিকে \(Y\) অক্ষরেখা বলা হয়। পার্শ্বে চিত্রে দেখানো হলো। 
মূলবিন্দু
Origin
কোনো সমতলে বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য, ভূমির সমান্তরাল বরাবর এবং উহার উপর লম্ব বরাবর দুইটি রেখাংশ অংকন করা হয় রেখাংশদ্বয় পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে, এই \(O\) বিন্দুকে বলা হয় মূলবিন্দু (Origin)। পার্শ্বে চিত্রে দেখানো হলো। 
চৌকোণ বা চতুর্ভাগ
Quadrants
কোনো সমতলে বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য, ভূমির সমান্তরাল বরাবর এবং উহার উপর লম্ব বরাবর দুইটি রেখাংশ অংকন করা হয় রেখাংশদ্বয় পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে, এর ফলে সমতলটি সমান চারটি অংশে বিভক্ত হয়, এই অংশ চারটির প্রত্যেকটিকে এক একটি চৌকোণ বা চতুর্ভাগ বলে। পার্শ্বে চিত্রে দেখানো হলো। 
স্থানাংক
Co-ordinate
বিন্দুর অবস্থান অঙ্কের সাহায্যে প্রকাশ করা হলে, ঐ অংকগুলিকে বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলে। যেমনঃ \(A(3, -7)\), \(B(3, 2)\)...........\(P(x, y)\). এখানে \(x\) এবং \(y\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
কার্তেসীয় স্থানাংক এবং পোলার স্থানাংক
Cartesian and Polar Co-ordinate
এখানে, দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিতে বিন্দুর দুই প্রকারের স্থানাংক আলোচনা করা হয়েছে। যেমনঃ কার্তেসীয় স্থানাংক এবং পোলার স্থানাংক।
১। কার্তেসীয় স্থানাংকঃ পরস্পর সমকোণে ছেদকৃত একজোড়া সরলরেখার সাপেক্ষে কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ককে আয়তাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক বলাহয়। সরলরেখাদ্বয়কে অক্ষরেখা যাদের একটি X-অক্ষ অপরটি Y-অক্ষ এবং তাদের ছেদবিন্দুকে মূল বিন্দু বলা হয়।
২। পোলার স্থানাংকঃ কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মূল বিন্দু হতে সরাসরি দূরত্ব এবং ঐ দূরত্ব রেখা X- অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে এই দুইয়ের সমন্বয়ে কোন বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করার পদ্ধতিকে পোলার স্থানাঙ্ক বলে।
কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
Relation between Cartesian and Polar Co-ordinate
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
\(y = r\sin\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
প্রমাণঃ
মনেকরি কোন সমতলে \(X^{\prime}OX\) ও \(Y^{\prime}OY\) সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। P বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, \(\theta\)) যখন O মেরু ( মূলবিন্দু ) এবং \(OX\) মেরু অক্ষ (অক্ষের ধনাত্মক দিক )। O, P যোগ করি এবং \(OX\) এর উপর \(PN\) লম্ব টানি। তাহলে,
\(ON = x\), \(PN = y\), \(OP = r\) এবং \(\angle PON=\theta\). এখন,
\(x = ON\)
\(\Rightarrow x = OP\times\frac{ON}{OP}\)
\(\Rightarrow x = r\cos\theta\)
\(\therefore x = r\cos\theta\)
আবার,
\(y = PN\)
\(\Rightarrow y = OP\times\frac{PN}{OP}\)
\(\Rightarrow y = r\sin\theta\)
\(\therefore y = r\sin\theta\)
\(x = r\cos\theta\)মনেকরি কোন সমতলে \(X^{\prime}OX\) ও \(Y^{\prime}OY\) সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। P বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, \(\theta\)) যখন O মেরু ( মূলবিন্দু ) এবং \(OX\) মেরু অক্ষ (অক্ষের ধনাত্মক দিক )। O, P যোগ করি এবং \(OX\) এর উপর \(PN\) লম্ব টানি। তাহলে,
\(ON = x\), \(PN = y\), \(OP = r\) এবং \(\angle PON=\theta\). এখন,
\(x = ON\)
\(\Rightarrow x = OP\times\frac{ON}{OP}\)\(\Rightarrow x = r\cos\theta\)
\(\therefore x = r\cos\theta\)
আবার,
\(y = PN\)
\(\Rightarrow y = OP\times\frac{PN}{OP}\)
\(\Rightarrow y = r\sin\theta\)
\(\therefore y = r\sin\theta\)
\(y = r\sin\theta\)
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(x = r\cos\theta........(i)\)
\(y = r\sin\theta........(ii)\)
এখন, \((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\)\(=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\)\(=r^{2}\times{1}\)\(=r^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}= x^{2}+y^{2}\)
\(\therefore r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
আবার, \((ii) \div (i)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}\)
\(=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\therefore \theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
আমরা জানি,
\(x = r\cos\theta........(i)\)
\(y = r\sin\theta........(ii)\)
এখন, \((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\)\(=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\)\(=r^{2}\times{1}\)\(=r^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\)\(\Rightarrow r^{2}= x^{2}+y^{2}\)
\(\therefore r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
আবার, \((ii) \div (i)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}\)
\(=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\therefore \theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
বিভিন্ন চতুর্ভাগে \(\theta\) এর মান নির্ণয়
Determine the value of \(\theta\) in different quadrants
১ম চতুর্ভাগে \((x, y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
২য় চতুর্ভাগে \((-x, y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=\pi-\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|}\)
৩য় চতুর্ভাগে \((-x, -y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=-\pi+\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|} \ \text{অথবা}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|}\)
৪র্থ চতুর্ভাগে \((x, -y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=2\pi-\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|} \ \text{অথবা}, \ \theta=-\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|}\)
২য় চতুর্ভাগে \((-x, y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=\pi-\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|}\)
৩য় চতুর্ভাগে \((-x, -y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=-\pi+\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|} \ \text{অথবা}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|}\)
৪র্থ চতুর্ভাগে \((x, -y)\) বিন্দুর জন্য \(\theta=2\pi-\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|} \ \text{অথবা}, \ \theta=-\tan^{-1}{\left|\frac{y}{x}\right|}\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004