এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্র (Internal section Formulae)
- বহির্বিভক্তিকরণ সূত্র (External section Formulae)
- মধ্যবিন্দুর সূত্র (Midpoint Formulae)
- ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (Center of mass of triangle)
- শর্টকাট টেকনিক (Shortcut Technique)
- অধ্যায় \(3C\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(3C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
বিভক্তিকরণ সূত্র
Section Formulae
অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্র
Internal section Formulae
অন্তর্বিভক্তিকরণঃ কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)\)
প্রমাণঃ
মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করি। \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) রেখাংশকে এরূপভাবে অন্তর্বিভক্ত করেছে যে, \(PR:RQ=m:n\).
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(R\) হতে \(QN\) এর উপর \(RT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
এখন,
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ RT=SN=ON-OS=x_{2}-x\)
\(\ RL=RS-SL=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ QT=QN-TN=QN-RS=y_{2}-y\) ➜ \(\because TN=RS\)
এখন, \(QTR\) ও \(RLP\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{RT}=\frac{RL}{QT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx_{2}-mx\)
\(\Rightarrow mx+nx=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m+n)=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{(m+n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my_{2}-my\)
\(\Rightarrow my+ny=my_{2}+ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m+n)=my_{2}+ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{(m+n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)
মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করি। \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) রেখাংশকে এরূপভাবে অন্তর্বিভক্ত করেছে যে, \(PR:RQ=m:n\).
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(R\) হতে \(QN\) এর উপর \(RT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
এখন,
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ RT=SN=ON-OS=x_{2}-x\)
\(\ RL=RS-SL=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ QT=QN-TN=QN-RS=y_{2}-y\) ➜ \(\because TN=RS\)
এখন, \(QTR\) ও \(RLP\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{RT}=\frac{RL}{QT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx_{2}-mx\)
\(\Rightarrow mx+nx=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m+n)=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{(m+n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my_{2}-my\)
\(\Rightarrow my+ny=my_{2}+ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m+n)=my_{2}+ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{(m+n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)
বহির্বিভক্তিকরণ সূত্র
External section Formulae
বহির্বিভক্তিকরণঃ কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}\right)\)
প্রমাণঃ
মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করে বর্ধিত করি। ধরি, \(PQ\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(R(x, y)\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(PR:RQ=m:n\).
অর্থাৎ \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(Q\) হতে \(RS\) এর উপর \(QT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ QT=NS=OS-ON=x-x_{2}\)
\(\ RL=RS-LS=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ RT=RS-TS=RS-QN=y-y_{2}\) ➜ \(\because TS=QN\)
এখন, \(RLP\) ও \(RTQ\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{QT}=\frac{RL}{RT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x-x_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx-mx_{2}\)
\(\Rightarrow mx-mx_{2}=nx-nx_{1}\)
\(\Rightarrow mx-nx=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m-n)=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{(m-n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y-y_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my-my_{2}\)
\(\Rightarrow my-my_{2}=ny-ny_{1}\)
\(\Rightarrow my-ny=my_{2}-ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m-n)=my_{2}-ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}-ny_{1}}{(m-n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)
মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করে বর্ধিত করি। ধরি, \(PQ\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(R(x, y)\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(PR:RQ=m:n\).
অর্থাৎ \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(Q\) হতে \(RS\) এর উপর \(QT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ QT=NS=OS-ON=x-x_{2}\)
\(\ RL=RS-LS=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ RT=RS-TS=RS-QN=y-y_{2}\) ➜ \(\because TS=QN\)
এখন, \(RLP\) ও \(RTQ\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{QT}=\frac{RL}{RT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x-x_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx-mx_{2}\)
\(\Rightarrow mx-mx_{2}=nx-nx_{1}\)
\(\Rightarrow mx-nx=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m-n)=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{(m-n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y-y_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my-my_{2}\)
\(\Rightarrow my-my_{2}=ny-ny_{1}\)
\(\Rightarrow my-ny=my_{2}-ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m-n)=my_{2}-ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}-ny_{1}}{(m-n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)
মধ্যবিন্দু
Midpoint
মধ্যবিন্দুঃ কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
\(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(m=n\) হবে। সে ক্ষেত্রে \(R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(R(\frac{mx_{2}+mx_{1}}{m+m}, \frac{my_{2}+my_{1}}{m+m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{m(x_{2}+x_{1})}{2m}, \frac{m(y_{2}+y_{1})}{2m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{2}+x_{1}}{2}, \frac{y_{2}+y_{1}}{2})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
মনে করি,
\(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(m=n\) হবে। সে ক্ষেত্রে \(R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(R(\frac{mx_{2}+mx_{1}}{m+m}, \frac{my_{2}+my_{1}}{m+m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{m(x_{2}+x_{1})}{2m}, \frac{m(y_{2}+y_{1})}{2m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{2}+x_{1}}{2}, \frac{y_{2}+y_{1}}{2})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র
Center of mass of triangle
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রঃ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থনাংক হবে,
\(G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
প্রমাণঃ
মনে করি, কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের \(G\).
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\), তাহলে \(AD\) হবে একটি মধ্যমা। \(AD\) এর উপর ভরকেন্দ্র \(G\) অবস্থান করবে। অর্থাৎ মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
ধরি, \(G(x, y)\).
এখন,
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\).
আবার,
\(AG:GD=2:1\) ➜ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{2\times \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1\times x_{1}}{2+1}, \frac{2\times \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1\times y_{1}}{2+1})\)
\(\Rightarrow G(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{3})\)
\(\therefore G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)
\(\therefore \) \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)
মনে করি, কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের \(G\).
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\), তাহলে \(AD\) হবে একটি মধ্যমা। \(AD\) এর উপর ভরকেন্দ্র \(G\) অবস্থান করবে। অর্থাৎ মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
ধরি, \(G(x, y)\).
এখন,
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\).
আবার,
\(AG:GD=2:1\) ➜ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{2\times \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1\times x_{1}}{2+1}, \frac{2\times \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1\times y_{1}}{2+1})\)
\(\Rightarrow G(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{3})\)
\(\therefore G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)
\(\therefore \) \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)
শর্টকাট টেকনিক
Shortcut Technique
কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\) এবং \(B(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ-
\(x\) অক্ষ দ্বারা \(|y_{1}|:|y_{2}|\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(y\) অক্ষ দ্বারা \(|x_{1}|:|x_{2}|\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উদাহরণঃ \((3, 4),\) \((-5, -7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \(x\) অক্ষ \((|4|:|-7|)\Rightarrow (4:7) \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং \(y\) অক্ষ \((|3|:|-5|) \Rightarrow (3:5)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\) এবং \(B(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুটি \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে,
\(m:n=|x_{1}-x_{3}|:|x_{2}-x_{3}|\)
উদাহরণঃ \((-3, 4)\) এবং \((8, -7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \((2, -5)\) বিন্দুটি \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে,
\(m:n=|-3-2|:|8-2| \)
\(\Rightarrow m:n=|-5|:|6| \)
\(\therefore m:n=5:6 \)
কোন সমতলে বর্গ অথবা, রম্বস অথবা, সামান্তরিক অথবা, আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণের দুইটি প্রান্তবিন্দু \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x_{3}, y_{3})\) হলে, চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক
\((x_{1}+x_{2}-x_{3}, \ y_{1}+y_{2}-y_{3})\)
উদাহরণঃ \(ABCD\) বর্গের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(8, -7), \ B(-3, 5)\) এবং \(C(7, -9)\) হলে, চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক
\((8-3-7, -7+5+9)\)
\(\Rightarrow (8-10, -7+14)\)
\(\therefore (-2, 7)\)
কোন সমতলে, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) হলে, ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়ের স্থানাংক
\((x_{2}+x_{3}-x_{1}, \ y_{2}+y_{3}-y_{1}),\)\((x_{3}+x_{1}-x_{2}, \ y_{3}+y_{1}-y_{2})\)\((x_{1}+x_{2}-x_{3}, \ y_{1}+y_{2}-y_{3})\)
উদাহরণঃ \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, \ CA, \ AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে \(A(8, -7), \ B(-3, 5)\) এবং \(C(7, -9)\) হলে, ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়ের স্থানাংক
\(A(-3+7-8, \ 5-9+7),\)\(B(7+8+3, \ -9-7+7),\)\(C(8-3-7, \ -7+5+9)\)
\(\Rightarrow A(-11+7, 12-9),\)\(B(18, -16+7),\)\(C(8-10, -7+14)\)
\(\therefore A(-4, 3),\)\(B(18, -9),\)\(C(-2, 7)\)
\(x\) অক্ষ দ্বারা \(|y_{1}|:|y_{2}|\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(y\) অক্ষ দ্বারা \(|x_{1}|:|x_{2}|\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উদাহরণঃ \((3, 4),\) \((-5, -7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \(x\) অক্ষ \((|4|:|-7|)\Rightarrow (4:7) \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং \(y\) অক্ষ \((|3|:|-5|) \Rightarrow (3:5)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\) এবং \(B(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুটি \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে,
\(m:n=|x_{1}-x_{3}|:|x_{2}-x_{3}|\)
উদাহরণঃ \((-3, 4)\) এবং \((8, -7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \((2, -5)\) বিন্দুটি \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে,
\(m:n=|-3-2|:|8-2| \)
\(\Rightarrow m:n=|-5|:|6| \)
\(\therefore m:n=5:6 \)
কোন সমতলে বর্গ অথবা, রম্বস অথবা, সামান্তরিক অথবা, আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণের দুইটি প্রান্তবিন্দু \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x_{3}, y_{3})\) হলে, চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক
\((x_{1}+x_{2}-x_{3}, \ y_{1}+y_{2}-y_{3})\)
উদাহরণঃ \(ABCD\) বর্গের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(8, -7), \ B(-3, 5)\) এবং \(C(7, -9)\) হলে, চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক
\((8-3-7, -7+5+9)\)
\(\Rightarrow (8-10, -7+14)\)
\(\therefore (-2, 7)\)
কোন সমতলে, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) হলে, ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়ের স্থানাংক
\((x_{2}+x_{3}-x_{1}, \ y_{2}+y_{3}-y_{1}),\)\((x_{3}+x_{1}-x_{2}, \ y_{3}+y_{1}-y_{2})\)\((x_{1}+x_{2}-x_{3}, \ y_{1}+y_{2}-y_{3})\)
উদাহরণঃ \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, \ CA, \ AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে \(A(8, -7), \ B(-3, 5)\) এবং \(C(7, -9)\) হলে, ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়ের স্থানাংক
\(A(-3+7-8, \ 5-9+7),\)\(B(7+8+3, \ -9-7+7),\)\(C(8-3-7, \ -7+5+9)\)
\(\Rightarrow A(-11+7, 12-9),\)\(B(18, -16+7),\)\(C(8-10, -7+14)\)
\(\therefore A(-4, 3),\)\(B(18, -9),\)\(C(-2, 7)\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002