\(Q.2.(i)\) একটি সেটের বিন্দুসমূহ \((2, -1)\) বিদু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২
সমাধান

\(Q.2.(ii)\) একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদান \((2, -1)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
সমাধান

\(Q.2.(iii)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.
সমাধান

\(Q.2.(iv).(a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^{2}=\pm 4ax\).
সমাধান

\(Q.2.(iv).(b)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের চার গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\pm{4x}\).
সমাধান

\(Q.2.(v).(a)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^{2}=4a(x-a)\).
সমাধান

\(Q.2.(v).(b)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন কর হয়েছে যে, \((b, 0)\) বিন্দু থেকে সেটটির যে কোনো বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে এর দূরত্বের সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^2-2bx+b^2=0\).
মাঃ ২০০১।
সমাধান

\(Q.2.(vi)\) \((a, 0)\) বিন্দু এবং \(x+a=0\) রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চারপথ গঠন করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^{2}=4ax\).
সমাধান

\(Q.2.(vii)\) \(y\) অক্ষ হতে একটি বিন্দু-সেটের যেকোনো উপাদানের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^2=3x^2\).
সমাধান

\(Q.3.(i)\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x\pm 1\).
ঢাঃ ২০০৭, যঃ ২০০৭, ২০১২, বঃ ২০০৮, ২০০৩।
সমাধান

\(Q.3.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১৪,২০০৫; রাঃ ২০০৭ দিঃ ২০১১,২০১৫; চঃ ২০১১,২০০৪; বঃ ২০১২।
সমাধান

\(Q.3.(iii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। একটি বিন্দু-সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে। যেন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দু থেকে সেটের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।
সমাধান

\(Q.3.(iv)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে, \(X\) অক্ষ থেকে এর প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^{2}=\pm 4x\).
সমাধান

\(Q.3.(v).(a)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^{2}=3x^{2}\).
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫
সমাধান

\(Q.3.(v).(b)\) \(x\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}-3y^{2}=0\).
কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫
সমাধান

\(Q.3.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}=4ay\).
সমাধান

\(Q.3.(vii)\) অক্ষদ্বয় হতে একটি সমতলে অবস্থিত একটি চলমান বিন্দুর দূরত্বের যোগফল \(1\) হলে, বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2+1\).
সমাধান

\(Q.3.(viii)\) \(t\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য একটি চলমান বিন্দুর স্থানাংক \((at^{2}, 2at)\); বিন্দুটির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^{2}=4ax\).
সমাধান

\(Q.3.(ix)\) \(t\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য একটি চলমান বিন্দুর স্থানাংক \((a\cos{t}, a\sin{t})\); বিন্দুটির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^{2}=a^2\).
সমাধান

\(Q.3.(x)\) \(t\) একটি পরামিতি এবং \(P\) বিন্দুর স্থানাংক \((t-1, 2t+3)\) হলে, \(P\) বিন্দুটির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-y+5=0\).
সমাধান

\(Q.3.(xi)\) \(t\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাংক \((3t+2, 5t-1)\) হলে, \(P\) বিন্দুটির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং ঐ সঞ্চারপথ অক্ষদ্বয় হতে যে অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-3y-13=0; \ \frac{13}{5}, \ -\frac{13}{3}\).
সমাধান

\(Q.3.(xii)\) দেখাও যে, \(t\) এর সকল মানের জন্য \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(5x-3y-13=0\).
সমাধান

\(Q.3.(xiii)\) \(t\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(t+5, 2t-4)\) বিন্দুটির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-y=14\).
সমাধান

\(Q.4.(i)\) \(A(0, 4)\) এবং \(B(0, 6)\) দুইটি স্থির বিন্দু। কার্তেসীয় সমতলে বিন্দুসমূহের এমন একটি সেট গঠন করা হয়েছে যে, \(AB\) রেখাংশ ঐ সেটের যে কোনো বিন্দুতে এক সমকোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\).
চঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০১০; রাঃ ২০১৪।
সমাধান

\(Q.4.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
যঃ ২০১০, রাঃ,চঃ ২০১৩।
সমাধান

\(Q.4.(iii).(a)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A(a, b)\) এবং \(B(0, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
যঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩।
সমাধান

\(Q.4.(iii).(b)\) \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ \(AC;\) \(A\) ও \(C\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাংক যথক্রমে \((a, b)\) \((c, d);\) \(B\) বিন্দুর সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-(a+c)x-(b+d)y+(ac+bd)=0\).
সমাধান

\(Q.4.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(AP\bot BP\) হয়, তবে \(P\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).
সমাধান

\(Q.4.(v)\) \(O, A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((2, 6)\), \((x, y)\); \(B\) ও \(C\) বিন্দু দুইটি \(OA\) রেখার এক পার্শ্বে অবস্থিত। এবং \((x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেক বিন্দুর ক্ষেত্রে \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, তাহলে দেখাও যে, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ \(5x-3y+16=0\)।
সমাধান

\(Q.4.(vi)\) \(B(2, 6)\) ও \(C(x, y)\) বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) ও \((3, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত। \(C(x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রতিটি বিন্দুর জন্য \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-3y+16=0\).
সমাধান

\(Q.4.(vii)\) \(A(x, y)\), \(B(1, 1)\) ও \(C(-1, -1)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক হলে, \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y=\pm 5\).
চুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯
সমাধান

\(Q.4.(viii)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y=\pm 5\).
চুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯
সমাধান

\(Q.4.(ix)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু যেন, \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\). \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2cx=c^{2}-a^{2}\).
সমাধান

\(Q.4.(x)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\); \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(5\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=25\).
সিঃ ২০০১; চঃ ২০০২; দিঃ ২০০৯
সমাধান

\(Q.4.(xi)\) \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(7\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=49\).
সমাধান

\(Q.4.(xii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((4, -3)\), \((2, 5)\), \((-3, 1)\). \(P(x, y)\) এমন একটি চলমান বিন্দু যেন সর্বদা \(\triangle PBC=\frac{1}{4}\triangle ABC\) খাটে। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-5y+5=0\).
সমাধান

\(Q.5.(i)\) \(ABP\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। \(3\triangle OAP=\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0;\)
\((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0;\)
\((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
সমাধান

\(Q.5.(ii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু ।
\((a)\) \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APC=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(2cx=c^{2}-a^{2};\)
\((b)\) \(2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0;\)
\((c)\) \(y=0\)
সমাধান

\(Q 5.(iii)\) \(A(4, 3)\), \(B(11, 2)\) এবং \(C(2, -1)\) বিন্দুত্রয় \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) মূলবিন্দ এবং অক্ষদ্বয় হতে \(C\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\) বিন্দু হতে \(\sqrt{10}\) একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
[ রাঃ ২০০২, ২০০৭, মাঃ বোঃ ২০০৫,২০০৮,২০১২,২০১৪, ঢাঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
\((c)\) \(B\) কেন্দ্র ও \(10\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ঠ বৃত্তের যে জ্যা \(C\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((a)\) \(1\) একক; \(2\) একক।
\((b)\) \((3, 6)\) অথবা, \((1, 2)\).
\((c)\) \(2\sqrt{10}\) একক।
সমাধান

\(Q.5.(iv)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D(13, -4)\)বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দুইটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত বিন্দুচারটি একটি রম্বস গঠন করে। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) দূরত্ব \(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\).
\((b)\) \(AC=7\sqrt{2}\) এবং \(BD=17\sqrt{2}\)।
\((c)\) \(119\) বর্গ একক।
সমাধান

\(Q.5.(v)\) \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(D(6, -5)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলতে কি বুঝ?
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর প্রকৃতি আলচনা কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c)\) \(122\) বর্গ একক।
সমাধান

\(Q.5.(vi)\) \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\), \(C(1, -7)\) এবং \(D(-7, -3)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) কার্তেসিয় এবং পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্কগুলি লিখ।
\((b)\) \(\triangle ABC\) সমকোণী হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) বিন্দুগুলি কি কোন বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থান করবে? যদি সত্য হয় তবে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b)\) \(20\) বর্গ একক।
\((c)\) পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(P(-2, -3)\)
সমাধান

\(Q 5.(vii)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\).
উত্তরঃ \((b)\) \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
সমাধান

\(Q.5.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) ।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\)
উত্তরঃ \((b)\) \(D(5, 2)\)
উত্তরঃ \((c)\) \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\) .
সমাধান

\(Q.5.(ix)\) \(A, B, C, D\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\).
\((a)\) \(ABD\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, চতুর্থ শীর্ষ \(C\) এর স্থনাংক \((9, 12)\)।
\((c)\) রম্বসটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সাহায্যে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(3.5\) বর্গ একক।
\((c)\) \(7\) বর্গ একক।
সমাধান

\(Q.5.(x)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\).
\((a)\) \(AB:CD\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC:\triangle ABD\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \((a)\) \(3\sqrt{13}:\sqrt{37}\)
\((b)\) \(2:3\)
সমাধান

\(Q.5.(xi)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\).
\((a)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) হলে চতুর্থ শীর্ষ \(D\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(CD\) সরলরেখা \(AB\) রেখাংশকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AD\) রেখাংশকে \(X\) অক্ষ এবং \(Y\) অক্ষ যে বিন্দুতে ছেদ করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((9, 0)\); \((b)\)\(2:1\); \((c)\) \(\left(\frac{2}{5}, 0\right)\) এবং \((0, \frac{2}{13})\)।
সমাধান

\(Q.6.(i)\) দেখাও যে, \(P(7, 7)\),\(Q(6, -2)\) এবং \(R(2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(20\frac{1}{2}\) বর্গ একক।
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪
সমাধান

\(Q.6.(ii)\) \(A(1, 2)\), \(B(-3, 1)\), \(C(-2, -3)\) এবং \(D(2, -2)\) চারটি বিন্দু। \(ABCD\) কি একটি ট্রাপিজিয়াম?
রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।
সমাধান

\(Q.6.(iii)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দু দুইটির পোলার স্থানাংক যথাক্রমে \(\left(5\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)\) এবং \((5\sqrt{2}, 0)\)। \(D,\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু। \(D\) এর পোলার স্থানাংক কত?
উত্তরঃ \(\left\{\frac{5}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}, \ \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)\right\}\).
শাবিপ্রবিঃ ২০১৮-২০১৯ ।
সমাধান

\(Q.6.(iv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(6, -8)\)।
রুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯; ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০
সমাধান

\(Q.6.(v)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-5, 7)\); \(170\) বর্গ একক।
রাঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩; রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭।
সমাধান

\(Q.6.(vi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃমধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\) একক।
রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫
সমাধান

\(Q.6.(vii)\) \(A(5, 3), \ B(-2, 0)\) এবং \(C(1, 1)\) বিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে, বৃত্তের কেন্দ্র ও ত্রিভুজ \(ABC\) এর ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(26.74\) একক (প্রায়)
বুয়েটঃ ২০১৭-২০১৮
সমাধান

\(Q.6.(viii)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) যথাক্রমে \(\triangle ABC\) এর বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32\) বর্গ একক।
বুয়েটঃ ২০০১-২০০২
সমাধান

\(Q.6.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির মধ্যবিন্দু \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(128\) বর্গ একক।
বুয়েটঃ ২০০১-২০০২
সমাধান

\(Q.6.(x)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y=\pm 5\).
চুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯
সমাধান