এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- সরলরেখার (Straight line)
- সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ (General equation of straight line)
- সরলরেখার ঢাল (Slope of a straight line)
- সরলরেখার সমীকরণ চিনবার উপায় (Identifying the equation of a straight line)
- পরামিতিক সমীকরণ (Parametric Equation):
- দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল (Slope of the straight line joining two points)
- \(X\) অক্ষের সমীকরণ (Equation of the \(X\) axis)
- \(Y\) অক্ষের সমীকরণ (Equation of the \(Y\) axis)
- \(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ (Equation of the straight line parallel to the \(X\) axis)
- \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ (Equation of the straight line parallel to the \(Y\) axis)
- মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ (General equation of a straight line through the origin)
- \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ এবং ঢাল দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ (Equation of the straight line given the intercept and slope of the \(Y\) axis)
- উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ (Equation of straight line given intersection of both axes)
- একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ (Equation of a straight line through a fixed point)
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ (Equation of a straight line through two fixed points)
- মূলবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ (Equation of a straight line through the origin and a fixed point)
- সরলরেখার লম্বরূপ সমীকরণ (Perpendicular type equation of straight line)
- একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখাটির সমীকরণ (Equation of a straight line through a fixed point and making an angle \(\theta \) with the positive direction of the \(X\) axis)
- তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of triangle formed by three straight lines)
- দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু (Intersection of two straight lines)
- দুইটি সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্ত (The condition that two equations point to the same straight line)
- শর্টকাট টেকনিক (Shortcut Technique)
- অধ্যায় \(3F\) -এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(3F\) / \(Q.1\) -এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3F\) / \(Q.2\) -এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3F\) / \(Q.3\) -এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(3F\) / \(Q.4\) -এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সরলরেখা
Straight line
সরলরেখাঃ
একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।
সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ
General equation of straight line
সরলরেখার সাধারণ সমীকরণঃ
\(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। \(a, \ b, \ c\) প্রত্যেকে ধ্রুবক এবং \(a, \ b\) উভয়ে শূন্য না হলে, \(ax+by+c=0\) একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। আবার, যে কোনো সরলরেখার সমীকরণকে উক্ত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করা যায়। তাই \(ax+by+c=0\) কে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ বলা হয়।
প্রমাণঃ
মনে করি,
\(ax+by+c=0 .........(1)\)
এখানে, \(a, \ b, \ c\) ধ্রুবক।
\((1)\) নং সমীকরণের সঞ্চারপথের উপর \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2}), \ (x_{3}, y_{3})\) যে কোনো তিনটি বিন্দু।
তাহলে, \(ax_{1}+by_{1}+c=0 .........(2)\)
\(ax_{2}+by_{2}+c=0 .........(3)\)
\(ax_{3}+by_{3}+c=0 .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{a}{y_{2}-y_{3}}=\frac{b}{x_{3}-x_{2}}=\frac{c}{x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}}=k\) ( ধরি )
\(\therefore a=k(y_{2}-y_{3}), \ b=k(x_{3}-x_{2}), \ c=k(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\)
\(a, \ b, \ c\) এর মাণ \((2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(k(y_{2}-y_{3})x_{1}+k(x_{3}-x_{2})y_{1}+k(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0\)
\(\Rightarrow k\{(y_{2}-y_{3})x_{1}+(x_{3}-x_{2})y_{1}+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\}=0\)
\(\Rightarrow (y_{2}-y_{3})x_{1}+(x_{3}-x_{2})y_{1}+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0; \ \because k\ne{0}\)
\(\Rightarrow x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})+1(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0\)
\(\therefore \left|\begin{array}{c}x_{1}&y_{1}&1\\ x_{2}&y_{2}&1 \\ x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right|=0\)
যা, \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2}), \ (x_{3}, y_{3})\) বিন্দু তিনটির সমরেখ হওয়ার শর্ত।
যেহেতু এই সমরেখ বিন্দুত্রয় \((1)\) নং এর সঞ্চারপথের উপর অবস্থান করে,
সুতরাং, \(ax+by+c=0\) যে কোনো সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ।
এখানে, \(a, \ b, \ c\) ধ্রুবক।
\((1)\) নং সমীকরণের সঞ্চারপথের উপর \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2}), \ (x_{3}, y_{3})\) যে কোনো তিনটি বিন্দু।
তাহলে, \(ax_{1}+by_{1}+c=0 .........(2)\)
\(ax_{2}+by_{2}+c=0 .........(3)\)
\(ax_{3}+by_{3}+c=0 .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{a}{y_{2}-y_{3}}=\frac{b}{x_{3}-x_{2}}=\frac{c}{x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}}=k\) ( ধরি )
\(\therefore a=k(y_{2}-y_{3}), \ b=k(x_{3}-x_{2}), \ c=k(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\)
\(a, \ b, \ c\) এর মাণ \((2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(k(y_{2}-y_{3})x_{1}+k(x_{3}-x_{2})y_{1}+k(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0\)
\(\Rightarrow k\{(y_{2}-y_{3})x_{1}+(x_{3}-x_{2})y_{1}+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\}=0\)
\(\Rightarrow (y_{2}-y_{3})x_{1}+(x_{3}-x_{2})y_{1}+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0; \ \because k\ne{0}\)
\(\Rightarrow x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})+1(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0\)
\(\therefore \left|\begin{array}{c}x_{1}&y_{1}&1\\ x_{2}&y_{2}&1 \\ x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right|=0\)
যা, \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2}), \ (x_{3}, y_{3})\) বিন্দু তিনটির সমরেখ হওয়ার শর্ত।
যেহেতু এই সমরেখ বিন্দুত্রয় \((1)\) নং এর সঞ্চারপথের উপর অবস্থান করে,
সুতরাং, \(ax+by+c=0\) যে কোনো সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ।
সরলরেখার ঢাল
Slope of a straight line
সরলরেখার ঢালঃ
কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\) .
সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণ
Identifying the equation of a straight line
সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায়ঃ
\(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।
পরামিতিক সমীকরণ
Parametric Equation
পরামিতিক সমীকরণঃ
যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\) , \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।
দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল
Slope of the straight line joining two points
দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢালঃ
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\) , \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল
\(m=\tan\theta=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\) .
\(m=\tan\theta=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\) , \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করে।
\(A\) ও \(B\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(AM\) ও \(BN\) লম্ব আঁকি।
\(RM\parallel BS\) বলে, \(\angle ARM=\angle ABS=\theta \) .
এখানে,
\(ON=x_{2}, OM=x_{1}, BN=y_{2}, AM=y_{1} \)
আবার,
\(BS=NM=OM-ON=x_{1}-x_{2}=\delta_{x}\)
\(AS=AM-SM=AM-BN=y_{1}-y_{2}=\delta_{y} \)
সরলরেখাটির ঢাল \(=m=\tan\theta=\frac{AS}{BS}\)
\(=\frac{\delta_{y}}{\delta_{x}}\)
\(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(A\) ও \(B\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(AM\) ও \(BN\) লম্ব আঁকি।
\(RM\parallel BS\) বলে, \(\angle ARM=\angle ABS=\theta \) .
এখানে,
\(ON=x_{2}, OM=x_{1}, BN=y_{2}, AM=y_{1} \)
আবার,
\(BS=NM=OM-ON=x_{1}-x_{2}=\delta_{x}\)
\(AS=AM-SM=AM-BN=y_{1}-y_{2}=\delta_{y} \)
সরলরেখাটির ঢাল \(=m=\tan\theta=\frac{AS}{BS}\)
\(=\frac{\delta_{y}}{\delta_{x}}\)
\(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(X\) অক্ষের সমীকরণ
Equation of the \(X\) axis
\(X\) অক্ষের সমীকরণঃ
\(y=0\) .
প্রমাণঃ
\(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((x_{1}, 0)\) , \((x_{2}, 0)\) , \((x_{3}, 0)\) ......\((x_{n}, 0)\) .
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) .
\(\therefore X\) অক্ষের সমীকরণ \(y=0\) .
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) .
\(\therefore X\) অক্ষের সমীকরণ \(y=0\) .
\(Y\) অক্ষের সমীকরণ
Equation of the \(Y\) axis
\(Y\) অক্ষের সমীকরণঃ
\(x=0\) .
প্রমাণঃ
\(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, y_{1})\) , \((0, y_{2})\) , \((0, y_{3})\) .........\((0, y_{n})\) .
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\) .
\(\therefore Y\) অক্ষের সমীকরণ \(x=0\) .
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\) .
\(\therefore Y\) অক্ষের সমীকরণ \(x=0\) .
\(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ
Equation of the straight line parallel to the \(X\) axis
\(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণঃ
\(y=b\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) সরলরেখাদ্বয় \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং রেখাদ্বয় \(X\) অক্ষকে যথাক্রমে \(R\) ও \(\acute{R}\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OR=b\) এবং \(O\acute{R}=\left|-b\right|=b\) হয়।
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\) , \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow y=b\)
আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow y=\left|-b\right|=b\)
\(\therefore X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(y=b\) .
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\) , \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow y=b\)
আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow y=\left|-b\right|=b\)
\(\therefore X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(y=b\) .
\(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ
Equation of the straight line parallel to the \(Y\) axis
\(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণঃ
\(x=a\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) সরলরেখাদ্বয় \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং রেখাদ্বয় \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(R\) ও \(\acute{R}\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OR=a\) এবং \(O\acute{R}=\left|-a\right|=a\) হয়।
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\) , \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow x=a\)
আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow x=\left|-a\right|=a\)
\(\therefore Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(x=a\) .
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\) , \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow x=a\)
আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow x=\left|-a\right|=a\)
\(\therefore Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(x=a\) .
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ
General equation of a straight line through the origin
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণঃ
\(y=mx\) .এখানে, \(m\) সরলরেখাটির ঢাল।
প্রমাণঃ
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে গমন করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OM=x, PM=y\) এবং \(\angle POM=\theta\) .
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PM}{OM}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y=mx \)
\(\therefore\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\) .
এখানে,
\(OM=x, PM=y\) এবং \(\angle POM=\theta\) .
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PM}{OM}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y=mx \)
\(\therefore\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\) .
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ এবং ঢাল দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
Equation of the straight line given the intercept and slope of the \(Y\) axis
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ এবং ঢাল দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণঃ
\(y=mx+c\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QR\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OQ=RM=c, OM=QR=x, PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\) .
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\) .
এখানে,
\(OQ=RM=c, OM=QR=x, PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\) .
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\) .
উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
Equation of straight line given intersection of both axes
উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণঃ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(CD\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(CD\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এবং \(OY\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। অতপর \(P, O\) যোগ করি।
এখানে,
\(OA=a, OB=b, OM=PN=x, PM=y.\)
তাহলে,
\(\triangle AOB=\triangle AOP+\triangle BOP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}a.b=\frac{1}{2}a.y+\frac{1}{2}b.x\) ➜ \(\because \triangle =\frac{1}{2}\times Base \times Height\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(ay+bx)\)
\(\Rightarrow ab=ay+bx\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ab}{ab}=\frac{ay}{ab}+\frac{bx}{ab}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(ab\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1=\frac{y}{b}+\frac{x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) .
এখানে,
\(OA=a, OB=b, OM=PN=x, PM=y.\)
তাহলে,
\(\triangle AOB=\triangle AOP+\triangle BOP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}a.b=\frac{1}{2}a.y+\frac{1}{2}b.x\) ➜ \(\because \triangle =\frac{1}{2}\times Base \times Height\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(ay+bx)\)
\(\Rightarrow ab=ay+bx\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ab}{ab}=\frac{ay}{ab}+\frac{bx}{ab}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(ab\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1=\frac{y}{b}+\frac{x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) .
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line through a fixed point
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণঃ
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(X\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং নির্দিষ্ট \(Q(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুদিয়ে গমন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং \(Q\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) ও \(QN\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(ON=x_{1}, OM=x, PM=y, QN=y_{1}.\)
\(QR=OM-ON=x-x_{1},\) \(PR=PM-RM=PM-QN=y-y_{1}.\)
এবং \(\angle PCM=\angle PQR=\theta.\)
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) .
এখানে,
\(ON=x_{1}, OM=x, PM=y, QN=y_{1}.\)
\(QR=OM-ON=x-x_{1},\) \(PR=PM-RM=PM-QN=y-y_{1}.\)
এবং \(\angle PCM=\angle PQR=\theta.\)
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) .
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line through two fixed points
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণঃ
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি দুইটি নির্দিষ্ট \(Q(x_{1}, y_{1})\) , \(R(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং \(X\) অক্ষকে \(E\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) ।
এখন,
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\) .
\(QR\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\) .
\(P, \ Q, \ R\) একই সরলরেখা \(AB\) এর উপর অবস্থিত।
তাহলে,
\(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\) .
এখন,
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\) .
\(QR\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\) .
\(P, \ Q, \ R\) একই সরলরেখা \(AB\) এর উপর অবস্থিত।
তাহলে,
\(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\) .
মূলবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line through the origin and a fixed point
মূলবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণঃ
\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\) .
প্রমাণঃ
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(P(x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ।
অর্থাৎ \(OP\) এর সমীকরণ
\(\frac{x-0}{0-x_{1}}=\frac{y-0}{0-y_{1}}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\) , \(PQ\) -এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-x_{1}}=\frac{y}{-y_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x\times -y_{1}}{-x_{1}}=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{x\times y_{1}}{x_{1}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\) .
অর্থাৎ \(OP\) এর সমীকরণ
\(\frac{x-0}{0-x_{1}}=\frac{y-0}{0-y_{1}}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\) , \(PQ\) -এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-x_{1}}=\frac{y}{-y_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x\times -y_{1}}{-x_{1}}=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{x\times y_{1}}{x_{1}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\) .
সরলরেখার লম্বরূপ সমীকরণ
Perpendicular type equation of straight line
সরলরেখার লম্বরূপ সমীকরণঃ
মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ\(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) .
প্রমাণঃ
মনে করি, \(PQ\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু হতে \(PQ\) এর উপর \(OC\) লম্ব আঁকি। \(OC\) লম্বের দৈর্ঘ্য \(p\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে।
এখন,
\(OA=\frac{OA}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OA=\sec\alpha \times p\)
\(\Rightarrow OA=p\sec\alpha \)
আবার,
\(OB=\frac{OB}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OB=\sec\angle COB \times p\)
\(\Rightarrow OB=p\sec(90^{o}-\alpha)\) ➜ \(\because \angle COB=90^{o}-\alpha \)
\(\Rightarrow OB=p\ cosec\alpha \)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{OA}+\frac{y}{OB}=1\) ➜ \(\because \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p\sec\alpha}+\frac{y}{p\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\times \frac{1}{\sec\alpha}+\frac{y}{p}\times \frac{1}{\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\cos{\alpha}+\frac{y}{p}\sin{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(p\) গুণ করে।
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x\cos{\alpha} + y\sin{\alpha}=p\) .
এখন,
\(OA=\frac{OA}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OA=\sec\alpha \times p\)
\(\Rightarrow OA=p\sec\alpha \)
আবার,
\(OB=\frac{OB}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OB=\sec\angle COB \times p\)
\(\Rightarrow OB=p\sec(90^{o}-\alpha)\) ➜ \(\because \angle COB=90^{o}-\alpha \)
\(\Rightarrow OB=p\ cosec\alpha \)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{OA}+\frac{y}{OB}=1\) ➜ \(\because \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p\sec\alpha}+\frac{y}{p\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\times \frac{1}{\sec\alpha}+\frac{y}{p}\times \frac{1}{\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\cos{\alpha}+\frac{y}{p}\sin{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(p\) গুণ করে।
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x\cos{\alpha} + y\sin{\alpha}=p\) .
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখাটির সমীকরণ
Equation of a straight line through a fixed point and making an angle \(\theta \) with the positive direction of the \(X\) axis
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণঃ
\(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\) .যেখানে, \((x, y)\) বিন্দু হতে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর দূরত্ব=\(r\) .
প্রমাণঃ
\(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\)
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(Q(x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমন করে, \(X\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করে। \(P\) ও \(Q\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) , \(QN\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QL\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(OM=x, \ ON=x_{1}, \ PM=y,\)
\(QN=y_{1}, \ PQ=r,\)
\(\angle PCM=\angle PQL=\theta \)
\(QL=NM=OM-ON=x-x_{1},\)
\(PL=PM-LM=PM-QN=y-y_{1}\)
\(\sin\theta=\frac{PL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \sin\theta=\frac{y-y_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r ........(i)\)
আবার,
\(\cos\theta=\frac{QL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-x_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=r ........(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই,
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\) .
এখানে,
\(OM=x, \ ON=x_{1}, \ PM=y,\)
\(QN=y_{1}, \ PQ=r,\)
\(\angle PCM=\angle PQL=\theta \)
\(QL=NM=OM-ON=x-x_{1},\)
\(PL=PM-LM=PM-QN=y-y_{1}\)
\(\sin\theta=\frac{PL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \sin\theta=\frac{y-y_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r ........(i)\)
আবার,
\(\cos\theta=\frac{QL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-x_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=r ........(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই,
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\) .
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=r, \ \frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\)
\(\Rightarrow x-x_{1}=r\cos\theta, \ y-y_{1}=r\sin\theta\)
\(\therefore x=x_{1}+r\cos\theta, \ y=y_{1}+r\sin\theta\)
সুতরাং, রেখাটির উপর যেকোনো বিন্দুর স্থানাংক \((x_{1}+r\cos\theta, y_{1}+r\sin\theta)\)
তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of triangle formed by three straight lines
তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\) , \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(\triangle= \frac{1}{2} \frac{D^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\) , \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
যেখানে,\(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(D\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।
অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটি যথাক্রমে
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .........(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) হতে \(x, y\) অপনয়ন করে পাই
\(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)
ধরি,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(x_{1},y_{1})\Rightarrow a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ........(4),\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 .........(5)\)
\((3)\) ও \((1)\) এর ছেদবিন্দু \(B(x_{2},y_{2})\Rightarrow a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}=0 ........(6),\)
\(a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}=0 ........(7) \)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(C(x_{3},y_{3})\Rightarrow a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}=0 ........(8),\)
\(a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}=0 ........(9) \)
এখন, \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right| \)
\(=\frac{1}{2}\frac{\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3} \\ a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}\\ a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2D} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2D} \) ➜ (4),(5),(6),(7),(8),(9) এর সাহায্যে
\(=\frac{(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2})(a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3})}{2D} ..........(10)\)
ধরি,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=k_{1}\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}-k_{1}=0 ............. (11)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ............(12)\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 ............. (13)\)
\((11), (12), (13)\) হতে \(x_{1}, y_{1}\) অপনয়ন করে পাই ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}-k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{2} \ \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{3} \ \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ -k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow D-k_{1}\left|\begin{array}{c}a_{2} \ \ \ \ b_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow D-k_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\)
\(\Rightarrow D-k_{1}C_{1}=0\) ➜ \(C_{1}= D \) নির্ণায়কে \( c_{1}\) এর সহগুণক।
\(\Rightarrow D=k_{1}C_{1}\)
\(\Rightarrow k_{1}C_{1}=D\)
\(\therefore k_{1}=\frac{D}{C_{1}}\)
অনুরূপভাবে,
\(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}=k_{2}, \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}=k_{3} \) কল্পনা করে পাই
\(k_{2}=-\frac{D}{C_{2}}, \ k_{3}=\frac{D}{C_{3}}\) ➜ \(C_{2}, C_{3}\) যথাক্রমে \(D \) নির্ণায়কে \( c_{2},c_{3} \) এর সহগুণক।
এখন \((10)\) হতে পাই,
ক্ষেত্রফল \(\triangle=\frac{\frac{D}{C_{1}}\times -\frac{D}{C_{2}}\times \frac{D}{C_{3}}}{2D\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=-\frac{D^{3}}{2D\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=\frac{D^{2}}{2C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜ \(\triangle \neq -ve\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}\frac{D^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .........(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) হতে \(x, y\) অপনয়ন করে পাই
\(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)
ধরি,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(x_{1},y_{1})\Rightarrow a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ........(4),\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 .........(5)\)
\((3)\) ও \((1)\) এর ছেদবিন্দু \(B(x_{2},y_{2})\Rightarrow a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}=0 ........(6),\)
\(a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}=0 ........(7) \)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(C(x_{3},y_{3})\Rightarrow a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}=0 ........(8),\)
\(a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}=0 ........(9) \)
এখন, \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right| \)
\(=\frac{1}{2}\frac{\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3} \\ a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}\\ a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2D} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2D} \) ➜ (4),(5),(6),(7),(8),(9) এর সাহায্যে
\(=\frac{(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2})(a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3})}{2D} ..........(10)\)
ধরি,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=k_{1}\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}-k_{1}=0 ............. (11)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ............(12)\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 ............. (13)\)
\((11), (12), (13)\) হতে \(x_{1}, y_{1}\) অপনয়ন করে পাই ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}-k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{2} \ \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{3} \ \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ -k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow D-k_{1}\left|\begin{array}{c}a_{2} \ \ \ \ b_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow D-k_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\)
\(\Rightarrow D-k_{1}C_{1}=0\) ➜ \(C_{1}= D \) নির্ণায়কে \( c_{1}\) এর সহগুণক।
\(\Rightarrow D=k_{1}C_{1}\)
\(\Rightarrow k_{1}C_{1}=D\)
\(\therefore k_{1}=\frac{D}{C_{1}}\)
অনুরূপভাবে,
\(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}=k_{2}, \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}=k_{3} \) কল্পনা করে পাই
\(k_{2}=-\frac{D}{C_{2}}, \ k_{3}=\frac{D}{C_{3}}\) ➜ \(C_{2}, C_{3}\) যথাক্রমে \(D \) নির্ণায়কে \( c_{2},c_{3} \) এর সহগুণক।
এখন \((10)\) হতে পাই,
ক্ষেত্রফল \(\triangle=\frac{\frac{D}{C_{1}}\times -\frac{D}{C_{2}}\times \frac{D}{C_{3}}}{2D\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=-\frac{D^{3}}{2D\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=\frac{D^{2}}{2C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜ \(\triangle \neq -ve\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}\frac{D^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)
দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু
Intersection of two straight lines
দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুঃ
ধরি,\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
উপরক্ত \((1)\) এবং \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু
\(P\left(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\right)\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ \frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ y=\frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(P\left(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\right)\)
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ \frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ y=\frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(P\left(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\right)\)
দুইটি সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্ত
The condition that two equations point to the same straight line
দুইটি সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তঃ
ধরি,\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
উপরক্ত \((1)\) এবং \((2)\) সমীকরণদ্বয় একই সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(\because (1)\) ও \((2)\) সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে,
\(\therefore m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{a_{1}}{b_{1}}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(\therefore \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} ....(3)\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c_{1}}{b_{1}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\((2)\) নং সরলরেখার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c_{2}}{b_{2}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\(\because (1)\) ও \((2)\) সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে,
\(\therefore -\frac{c_{1}}{b_{1}}=-\frac{c_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c_{1}}{b_{1}}=\frac{c_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c_{2}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{b_{1}}\)
\(\therefore \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(\because (1)\) ও \((2)\) সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে,
\(\therefore m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{a_{1}}{b_{1}}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(\therefore \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} ....(3)\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c_{1}}{b_{1}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\((2)\) নং সরলরেখার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c_{2}}{b_{2}}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\(\because (1)\) ও \((2)\) সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে,
\(\therefore -\frac{c_{1}}{b_{1}}=-\frac{c_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c_{1}}{b_{1}}=\frac{c_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c_{2}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{b_{1}}\)
\(\therefore \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
শর্টকাট টেকনিক
Shortcut Technique
কোন সমতলে \(ax+by+c=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ-
সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{c}{a}\right|\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{c}{b}\right|\)
অক্ষদ্বয় দ্বারা সরলরেখাটি হতে খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{a^2+b^2}\)
সরলরেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|ab|\) বর্গ একক।
উদাহরণঃ \(3x-4y-12=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ-
সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{3}{-4}\)
\(=\frac{3}{4}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{-12}{3}\)
\(=4\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{-12}{3}\right|\)
\(=|4|\)
\(=4\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{-12}{-4}\)
\(=-3\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{-12}{-4}\right|\)
\(=|-3|\)
\(=3\)
অক্ষদ্বয় দ্বারা সরলরেখাটি হতে খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{3^2+(-4)^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
সরলরেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|3\times-4|\)
\(=\frac{1}{2}|-12|\)
\(=\frac{1}{2}\times12\)
\(=6\) বর্গ একক।
কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দু \((\alpha, \beta)\) হলে রেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=2\)
উদাহরণঃ একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দু \((3, 4),\) হলে রেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2\)
\(\Rightarrow 4x+3y=24\)
\(\therefore 4x+3y-24=0\)
মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(ax+by+c=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{b}{a}x\)
উদাহরণঃ মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(5x+7y+3=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{7}{5}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{7x}{5}\)
\(\Rightarrow 7x=5y \)
\(\therefore 7x-5y=0 \)
মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(ax+by+c=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\frac{2b}{a}x, \ y=\frac{b}{2a}x\)
উদাহরণঃ মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(5x+7y+3=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\frac{2\times7}{5}x, \ y=\frac{7}{2\times5}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{14x}{5}, \ y=\frac{7x}{10}\)
\(\Rightarrow 14x=5y, \ 7x=10y\)
\(\therefore 14x-5y=0, \ 7x-10y=0 \)
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপরোস্থ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \(r\) একক দূরবর্তী বিন্দুর স্থানাংক \((x_{1}+r\cos{\theta}, y_{1}+r\sin{\theta})\)
যেখানে, \(\tan{\theta}=-\frac{a}{b};\) অতএব, লম্ব \(=a,\) ভূমি \(=b,\) অতিভুজ \(=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\therefore \cos{\theta}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin{\theta}=-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
অথবা, \(\cos{\theta}=-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin{\theta}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
বিন্দুর স্থানাংকঃ
\(a\) ও \(b\) সমচিহ্নযুক্ত হলে,
\(\left(x_{1}+\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}-\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\) অথবা, \(\left(x_{1}-\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}+\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)
\(a\) ও \(b\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে,
\(\left(x_{1}+\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}+\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\) অথবা, \(\left(x_{1}-\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}-\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)
সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{c}{a}\right|\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{c}{b}\right|\)
অক্ষদ্বয় দ্বারা সরলরেখাটি হতে খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{a^2+b^2}\)
সরলরেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|ab|\) বর্গ একক।
উদাহরণঃ \(3x-4y-12=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ-
সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{3}{-4}\)
\(=\frac{3}{4}\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{-12}{3}\)
\(=4\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{-12}{3}\right|\)
\(=|4|\)
\(=4\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{-12}{-4}\)
\(=-3\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\left|-\frac{-12}{-4}\right|\)
\(=|-3|\)
\(=3\)
অক্ষদ্বয় দ্বারা সরলরেখাটি হতে খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{3^2+(-4)^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
সরলরেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|3\times-4|\)
\(=\frac{1}{2}|-12|\)
\(=\frac{1}{2}\times12\)
\(=6\) বর্গ একক।
কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দু \((\alpha, \beta)\) হলে রেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=2\)
উদাহরণঃ একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দু \((3, 4),\) হলে রেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2\)
\(\Rightarrow 4x+3y=24\)
\(\therefore 4x+3y-24=0\)
মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(ax+by+c=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{b}{a}x\)
উদাহরণঃ মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(5x+7y+3=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{7}{5}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{7x}{5}\)
\(\Rightarrow 7x=5y \)
\(\therefore 7x-5y=0 \)
মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(ax+by+c=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\frac{2b}{a}x, \ y=\frac{b}{2a}x\)
উদাহরণঃ মূলবিন্দু এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা \(5x+7y+3=0\) সরলরেখার মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\frac{2\times7}{5}x, \ y=\frac{7}{2\times5}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{14x}{5}, \ y=\frac{7x}{10}\)
\(\Rightarrow 14x=5y, \ 7x=10y\)
\(\therefore 14x-5y=0, \ 7x-10y=0 \)
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপরোস্থ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \(r\) একক দূরবর্তী বিন্দুর স্থানাংক \((x_{1}+r\cos{\theta}, y_{1}+r\sin{\theta})\)
যেখানে, \(\tan{\theta}=-\frac{a}{b};\) অতএব, লম্ব \(=a,\) ভূমি \(=b,\) অতিভুজ \(=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\therefore \cos{\theta}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin{\theta}=-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
অথবা, \(\cos{\theta}=-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin{\theta}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
বিন্দুর স্থানাংকঃ
\(a\) ও \(b\) সমচিহ্নযুক্ত হলে,
\(\left(x_{1}+\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}-\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\) অথবা, \(\left(x_{1}-\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}+\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)
\(a\) ও \(b\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে,
\(\left(x_{1}+\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}+\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\) অথবা, \(\left(x_{1}-\frac{r|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{1}-\frac{r|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশ \((1, 5)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
উত্তরঃ \(5x+y=10\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উত্তরঃ \(5x+y=10\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Ex.2.\) দেখাও যে \(y=m_{1}x\), \(y=m_{2}x\) এবং \(y=b\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{b^2}{2}\left|(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\right|\) বর্গ একক।
ঢাঃ ২০০৯, কুঃ ২০১০,২০১৫; দিঃ ২০১২ মাঃ ২০০৭; ২০১৩।
ঢাঃ ২০০৯, কুঃ ২০১০,২০১৫; দিঃ ২০১২ মাঃ ২০০৭; ২০১৩।
\(Ex.3.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরী করে এবং মূলবিন্দু থেকে উক্ত রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে ।
উত্তরঃ \(x+y=4\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
রুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; যঃ ২০১০, চঃ ২০১৬,২০১৩,২০০৬; কুঃ ২০১৪; রাঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৫।
উত্তরঃ \(x+y=4\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
রুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; যঃ ২০১০, চঃ ২০১৬,২০১৩,২০০৬; কুঃ ২০১৪; রাঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৫।
\(Ex.4.\) \(x=3\), \(x=5\), \(y=4\) এবং \(y=6\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত আয়তের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+1=0\) এবং \(x+y-9=0\)।
যঃ ২০১১,২০০৫; সিঃ ২০০৫; রাঃ,বঃ ২০০৭
উত্তরঃ \(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+1=0\) এবং \(x+y-9=0\)।
যঃ ২০১১,২০০৫; সিঃ ২০০৫; রাঃ,বঃ ২০০৭
\(Ex.5.\) \(x+3y-12=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \( x-6y=0\) এবং \( 2x-3y=0\).
ঢাঃ ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩; কুঃ ২০০৭; যঃ ২০১৪।
উত্তরঃ \(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \( x-6y=0\) এবং \( 2x-3y=0\).
ঢাঃ ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩; কুঃ ২০০৭; যঃ ২০১৪।
\(Ex.6.\) \(ax+by+c=0\), \(bx+cy+a=0\), \(cx+ay+b=0\) সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হলে দেখাও যে, \(a+b+c=0\)।
ঢাঃ ২০১৪।
ঢাঃ ২০১৪।
\(Ex.7.\) যে সরলরেখা \((-1, 3)\) এবং \((4,-2)\) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং অক্ষদুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=2\); \(2\sqrt{2}\)।
সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৭; বঃ ২০০৯।
উত্তরঃ \(x+y=2\); \(2\sqrt{2}\)।
সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৭; বঃ ২০০৯।
\(Ex.8.\) \(3x-4y-12=0\) সরলরেখার ঢাল এবং অক্ষদুইটি থেকে ছেদিতাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{3}{4}\); \(4\) এবং \(-3\)।
ঢাঃ ২০১৪।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{3}{4}\); \(4\) এবং \(-3\)।
ঢাঃ ২০১৪।
\(Ex.9.\) \(3x+4y+6=0\) সরলরেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। \(3x+4y+6=0\) এর উপরস্থ \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে এর উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); \((10, -9)\) এবং \((-6, 3)\)
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); \((10, -9)\) এবং \((-6, 3)\)
\(Ex.10.\) একটি ফ্যাক্টরিতে \(200\) বাল্ব তৈরী করতে \(800\) টাকা এবং \(400\) বাল্ব তৈরী করতে \(1200\) টাকা খরচ হয়। যদি ব্যায় রেখাটি সরলরেখা হয়, তবে এর সমীকরণ নির্ণয় কর। এ থেকে \(300\) বাল্ব তৈরী করতে কত টাকা খরচ হবে তা বের কর।
উত্তরঃ \(300\) বাল্ব তৈরী করতে খরচ হবে \(1000 \) টাকা।
উত্তরঃ \(300\) বাল্ব তৈরী করতে খরচ হবে \(1000 \) টাকা।
\(Ex.11.\) \(ax+by=c ........(1)\) \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p ........(2)\) ।
\((a)\) যে সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) একই সরলররেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) ও \(c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর
\((c)\) \(a=3, \ b=4, \ c=25 \) হলে \((1)\) রেখার উপর \((-5, 10)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) রেখাটির সমীকরণ \(3x+2y=12\)।
\((b) p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
\((c)\) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((16, -13)\) এবং \((3, 4)\) ।
\((a)\) যে সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) একই সরলররেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) ও \(c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর
\((c)\) \(a=3, \ b=4, \ c=25 \) হলে \((1)\) রেখার উপর \((-5, 10)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) রেখাটির সমীকরণ \(3x+2y=12\)।
\((b) p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
\((c)\) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((16, -13)\) এবং \((3, 4)\) ।
\(Ex.12.\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \((5, -3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=5\)।
উত্তরঃ \(x=5\)।
\(Ex.13.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ঋনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((2, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)।
\(Ex.14.\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{2}\) একক এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x+y=4\)।
উত্তরঃ \(x+y=4\)।
\(Ex.15.\) \(3x+4y=25\) রেখার উপর \((-5, 10)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((-13, 16)\), \((3, 4)\)।
উত্তরঃ \((-13, 16)\), \((3, 4)\)।
\(Ex.16.\) \(ax+by=c\) এবং \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(a, b\) এবং \(p\) এর মাধ্যমে অক্ষদ্বয় দ্বারা রেখাটির খন্ডিতাংশ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(\frac{p(a^2+b^2)}{ab}\)।
সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৮; রাঃ ২০০৭; বঃ ২০০৯; দিঃ ২০১৩
উত্তরঃ \(\frac{p(a^2+b^2)}{ab}\)।
সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৮; রাঃ ২০০৭; বঃ ২০০৯; দিঃ ২০১৩
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিম্নলিখিত সরলরেখার ঢাল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(a)\) \((3, -4)\) এবং \((4, -5)\) বিন্দুগামীউত্তরঃ \(-1\)
নিম্নলিখিত সরলরেখার ঢাল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(b)\) \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
\(Q.1.(i).(d)\) \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(-60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
নিম্নলিখিত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ii).(a)\) \((2, -1)\) এবং \((-3, 5)\)উত্তরঃ \(6x+5y-7=0\)
নিম্নলিখিত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ii).(b)\) \((6, 7)\) এবং \((0, -4)\)উত্তরঃ \(11x-6y-24=0\)
\(Q.1.(ii).(e)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(4x-3y=0\)
উত্তরঃ \(4x-3y=0\)
\(Q.1.(ii).(f)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \((-3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(2x+3y=0\)
উত্তরঃ \(2x+3y=0\)
\(Q.1.(iii).(a)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং তার নিচে \(4\) একক দূরে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(y=-4\)
উত্তরঃ \(y=-4\)
\(Q.1.(iii).(b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং তার ডানে \(5\) একক দূরে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x=5\)
উত্তরঃ \(x=5\)
\(Q.1.(iv)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সাথে \((a)\) \(60^{o}\) এবং \((b)\) \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \((a)\) \(y-\sqrt{3}x=0\); \((b)\) \(x+y=0\)।
উত্তরঃ \((a)\) \(y-\sqrt{3}x=0\); \((b)\) \(x+y=0\)।
\(Q.1.(v).(a)\) \(6x-5y+30=0\) সরলরেখাটির ঢাল এবং অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); খন্ডিতাংশ \(=-5\) এবং \(6\)।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); খন্ডিতাংশ \(=-5\) এবং \(6\)।
\(Q.1.(v).(b)\) \(3x+4y-12=0\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর। অক্ষদুইটি দ্বারা রেখাটির খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(4, 0), \ B(0, 3)\); খন্ডিতাংশ \(5\) একক।
উত্তরঃ \(A(4, 0), \ B(0, 3)\); খন্ডিতাংশ \(5\) একক।
\(Q.1.(vi).(a)\) দুইটি সরলরেখা উভয়ে \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা যথাক্রমে \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর উপর লম্ব । রেখা দ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+4=0\) এবং \(x-3=0\)।
উত্তরঃ \(y+4=0\) এবং \(x-3=0\)।
\(Q.1.(vi).(b)\) দুইটি সরলরেখা উভয়ে একটি \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং অপরটি \(y=0\) রেখার সাথে লম্ব। উভয়ে \((4, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়, এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-4=0\) এবং \(y-5=0\)।
উত্তরঃ \(x-4=0\) এবং \(y-5=0\)।
\(Q.1.(vii)\) \(ax+by=c\) এবং \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) এবং \(c\) তে প্রকাশ কর ।
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)।
দিঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০০৪; রাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৩; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)।
দিঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০০৪; রাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৩; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯
\(Q.1.(viii).(a)\) \(3x+7y=21\) এবং \(2ax-3by+6=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।
ঢাঃ ২০০২
উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।
ঢাঃ ২০০২
\(Q.1.(viii).(b)\) \(2x+3y=7\) এবং \(3ax-5by+15=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।
ঢাঃ ২০০২
উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।
ঢাঃ ২০০২
\(Q.1.(ix)\) \(12x+5y-6=0\) এবং \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{6}{13}\)।
ঢাঃ ২০০২
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{6}{13}\)।
ঢাঃ ২০০২
\(Q.1.(x)\) \(3x+\sqrt{3}y+2=0\) এবং \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(\alpha\) ও \(p\) এর মান নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(\alpha=210^{o}, \ p=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
ঢাঃ ২০০২
উত্তরঃ \(\alpha=210^{o}, \ p=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
ঢাঃ ২০০২
\(Q.1.(xi)\) \(3x-4y=12\) এবং \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এবং \(\alpha\) এর মান নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{12}{5}\); \(\alpha=\tan^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)\)।
ঢাঃ ২০০২
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{12}{5}\); \(\alpha=\tan^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)\)।
ঢাঃ ২০০২
\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে \(x-2y+5=0\) রেখাটি \((-3, 6)\) বিন্দু হতে \(x-2y-5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত সকল সরলরেখাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ঢাঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, দিঃ ২০১২; যঃ ২০০৫।
ঢাঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, দিঃ ২০১২; যঃ ২০০৫।
\(Q.1.(xiii)\) একটি সরলরেখা \((1, 2)\) ও \((3, 4)\) বিন্দুগামী এবং \((x, y)\) বিন্দুটি তার উপর অবস্থিত । দেখাও যে, \(x-y+1=0\)।
ঢাঃ ২০০৩; রাঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৯।
ঢাঃ ২০০৩; রাঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৯।
\(Q.1.(xiv)\) \(P(x, y)\) \(C(1, 2)\) রেখাটি \(A(-7, 3)\) \(B(1, -5)\) রেখার উপর লম্ব হলে, দেখাও যে, \(x-y+1=0\)।
\(Q.1.(xv)\) \((a, b)\), \((\acute{a}, \acute{b})\), \((a-\acute{a}, b-\acute{b})\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, এদের সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(a\acute{b}=\acute{a}b\)।
কুঃ ২০০৯
কুঃ ২০০৯
\(Q.1.(xvi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((3, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x+y-8=0\)।
উত্তরঃ \(x+y-8=0\)।
\(Q.1.(xvii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে
\((a) \ 30^{o}\) \((b) \ 60^{o}\) \((c) \ 90^{o}\) \((d) \ \cos^{-1}{\frac{2}{3}}\) \((e) \ 135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \((a) \ x-\sqrt{3}y=0\); \((b) \ \sqrt{3}x-y=0\); \((c) \ x=0\); \((d) \ \sqrt{5}x-2y=0\); \((e) \ x+y=0\)।
\((a) \ 30^{o}\) \((b) \ 60^{o}\) \((c) \ 90^{o}\) \((d) \ \cos^{-1}{\frac{2}{3}}\) \((e) \ 135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \((a) \ x-\sqrt{3}y=0\); \((b) \ \sqrt{3}x-y=0\); \((c) \ x=0\); \((d) \ \sqrt{5}x-2y=0\); \((e) \ x+y=0\)।
\(Q.1.(xviii)\) একটি সরলরেখা \(2, -3\) বিন্দুগামী এবং
\((a)\) রেখাটির ঢাল \(\frac{3}{4}, \ \) \((b) \ x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে, \((c) \ x\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে \(5\) একক অংশ খন্ডিত করে, \((d) \ y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে \(4\) একক অংশ খন্ডিত করে, \((e) \ y\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে \(5\) একক অংশ খন্ডিত করে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-\sqrt{3}y=0\); \((b) \ \sqrt{3}x+y+(3-2\sqrt{3})=0\); \((c) \ x-y-5=0\); \((d) \ 7x+2y-8=0\); \((e) \ y=\pm\sqrt{3}x+5\)।
\((a)\) রেখাটির ঢাল \(\frac{3}{4}, \ \) \((b) \ x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে, \((c) \ x\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে \(5\) একক অংশ খন্ডিত করে, \((d) \ y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে \(4\) একক অংশ খন্ডিত করে, \((e) \ y\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে \(5\) একক অংশ খন্ডিত করে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-\sqrt{3}y=0\); \((b) \ \sqrt{3}x+y+(3-2\sqrt{3})=0\); \((c) \ x-y-5=0\); \((d) \ 7x+2y-8=0\); \((e) \ y=\pm\sqrt{3}x+5\)।
\(Q.1.(xix)\) \((a, 0)\), \((0, b)\) এবং \((1, 1)\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\).
\(Q.1.(xx).(a)\) একটি সরলরেখা \(4, 5\) বিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+1=0\)
উত্তরঃ \(x-y+1=0\)
\(Q.1.(xx).(b)\) একটি সরলরেখা \(4, 5\) বিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-(5+4\sqrt{3})=0\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-(5+4\sqrt{3})=0\)
\(Q.1.(xx).(c)\) একটি সরলরেখা \(4, 3\) বিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-7=0\)
উত্তরঃ \(x+y-7=0\)
\(Q.1.(xxi)\) \(m\) ও \(c\) এর মান কত হলে, \(y=mx+c\) রেখাটি \((2, 3)\) ও \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যাবে?
উত্তরঃ \(m=c=1\)
উত্তরঃ \(m=c=1\)
\(Q.1.(xxii)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে যে অংশ ছেদ করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}; \ 5\) একক।
উত্তরঃ \(120^{o}; \ 5\) একক।
\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখা ঢাল \(\frac{4}{5}\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-5y+22=0\)
উত্তরঃ \(4x-5y+22=0\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(k\) এর মান কত হলে, \(\frac{5}{12}\) ঢালবিশিষ্ট সমীকরণটি \((-7, 10)\) ও \((5, k)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে?
উত্তরঃ \(k=15\)
উত্তরঃ \(k=15\)
\(Q.1.(xxv)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে এমনভাবে ছেদ করে যেন \(x\) অক্ষের ছেদক অংশ \(y\) অক্ষের ছেদক অংশের দ্বিগুণ হয় এবং রেখাটি \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y=10\)
উত্তরঃ \(x+2y=10\)
\(Q.1.(xxvi)\) কোনো সরলরেখা \((3, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষ দুইটি থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+2=0\)
উত্তরঃ \(x-y+2=0\)
\(Q.1.(xxvii)\) একটি বিন্দু \(4x-2y+7=0\) রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3), \ (-2, 4)\) বিন্দু দুইটি হতে সমদূরবর্তী। বিন্দুটির স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(0, \frac{7}{2}\right)\)
উত্তরঃ \(\left(0, \frac{7}{2}\right)\)
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i).(a)\) কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(3x+2y=12\)।
কুঃ ২০১৫,২০১৩।
উত্তরঃ \(3x+2y=12\)।
কুঃ ২০১৫,২০১৩।
\(Q.2.(i).(b)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((6, 2)\) বিন্দুতে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x+2y-10=0\)।
বঃ ২০০৪,২০০৭; রাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৬,২০১১; মাঃ ২০১১।
উত্তরঃ \(x+2y-10=0\)।
বঃ ২০০৪,২০০৭; রাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৬,২০১১; মাঃ ২০১১।
\(Q.2.(i).(c)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(9x-20y+96=0\)।
সিঃ ২০১১,২০০৬; বঃ ২০১৩
উত্তরঃ \(9x-20y+96=0\)।
সিঃ ২০১১,২০০৬; বঃ ২০১৩
\(Q.2.(i).(d)\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে, এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-2y=0\); \(5x-8y=0\)।
ঢাঃ ২০০৫;চঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১৬।
উত্তরঃ \(5x-2y=0\); \(5x-8y=0\)।
ঢাঃ ২০০৫;চঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১৬।
\(Q.2.(i).(e)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\sin^{-1}(\frac{5}{13})\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের ছেদাংশ \(5\) একক ।
উত্তরঃ \(12y=5x+60\)।
উত্তরঃ \(12y=5x+60\)।
\(Q.2.(i).(f)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের ছেদাংশ \(5\) একক ।
উত্তরঃ \(y=\pm\sqrt{3}x+5\)।
উত্তরঃ \(y=\pm\sqrt{3}x+5\)।
\(Q.2.(i).(g)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-5, 4)\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x-5y+30=0\)।
সিঃ ২০১১,২০০৬
উত্তরঃ \(2x-5y+30=0\)।
সিঃ ২০১১,২০০৬
\(Q.2.(i).(h)\) কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(\frac{x}{x_{1}}+\frac{y}{y_{1}}=2\)।
উত্তরঃ \(\frac{x}{x_{1}}+\frac{y}{y_{1}}=2\)।
\(Q.2.(ii)\) \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) চলমান রেখাটি অক্ষরেখা দুইটিকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, এখানে \(P\) ধ্রুবক । দেখাও যে, \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ হবে \(P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)।
রাঃ ২০১০।
রাঃ ২০১০।
\(Q.2.(iii)\) একটি বর্গের কর্ণদ্বয় অক্ষদ্বয় বরাবর এবং প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\) একক । বর্গের চারটি বাহুর সমীকরণ বের কর।
উত্তরঃ \(x+y+2=0;\) \(x-y-2=0;\) \(x+y-2=0;\) \( x-y+2=0\)।
উত্তরঃ \(x+y+2=0;\) \(x-y-2=0;\) \(x+y-2=0;\) \( x-y+2=0\)।
\(Q.2.(iv).(a)\) একটি সরলরেখা \((2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের সমষ্টি \(15\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।
মাঃ ২০০৪, ২০০৮
উত্তরঃ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।
মাঃ ২০০৪, ২০০৮
\(Q.2.(iv).(b)\) একটি সরলরেখা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের সমষ্টি ও অন্তরফল যথক্রমে \(9\) ও \(5\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+7y=14\) বা, \(7x+2y=14\)।
উত্তরঃ \(2x+7y=14\) বা, \(7x+2y=14\)।
\(Q.2.(iv).(c)\) একটি সরলরেখা এমনভাবে চলে যাতে অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুণাত্মক বিপরীত মানের সমষ্টি ধ্রুবসংখ্যা। দেখাও যে, রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী।
\(Q.2.(iv).(d)\) \(AB\) রেখা অক্ষদ্বয় হতে সমান \(2a\) অংশ কর্তন করে। \(AB\) রেখাস্থ \(P\) বিন্দু হতে অক্ষদ্বয়ের উপর অংকিত লম্বদ্বয় \(PR\) ও \(PS\)। \(RS\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a.\)
উত্তরঃ \(x+y=a.\)
\(Q.2.(iv).(e)\) \(LM\) সরলরেখাটি মূলবিন্দু হতে \(5\) একক দূরবর্তী এবং \(x\) ও \(y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে \(LM\) এর উপর অংকিত লম্ব \(y\) অক্ষের যোগবোধক দিকের সাথে \(\frac{\pi}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(C\) বিন্দুর স্থানাংক \((-1, -2)\) হলে, \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20\sqrt{3}-5\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(20\sqrt{3}-5\) বর্গ একক।
\(Q.2.(v).(a)\) যে সরলরেখাটি \((6, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(=1\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x+4y-2=0\) বা, \(x+9y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x+4y-2=0\) বা, \(x+9y+3=0\)।
\(Q.2.(v).(b)\) যে সরলরেখাটি \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(=6\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(3x+2y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।
উত্তরঃ \(3x+2y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।
\(Q.2.(vi)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমান সমান অংশ ছেদ করে এবং \((\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x+y=\alpha+\beta\)।
কুঃ ২০০৪, দিঃ ২০১১
উত্তরঃ \(x+y=\alpha+\beta\)।
কুঃ ২০০৪, দিঃ ২০১১
\(Q.2.(vii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 8)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের ধনাত্মক অংশ ছেদ করে ।
উত্তরঃ \(x+y-5=0\)।
উত্তরঃ \(x+y-5=0\)।
\(Q.2.(viii)\) একটি সরলরেখা \((3, 7)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+4=0\)।
চঃ ২০০১
উত্তরঃ \(x-y+4=0\)।
চঃ ২০০১
\(Q.2.(ix).(a)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(4\) একক ।
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
কুঃ,বঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
কুঃ,বঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩
\(Q.2.(ix).(b)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু থেকে \(4\) একক দূরত্বে অবস্থিত; \(x\) ও \(y\) অক্ষের ছেদাংশের দৈর্ঘ্য দুইটিও বের কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y=8\); অক্ষদ্বয়ের ছদাংশ \(\frac{8}{\sqrt{3}}, \ -8\) একক।
কুঃ,বঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y=8\); অক্ষদ্বয়ের ছদাংশ \(\frac{8}{\sqrt{3}}, \ -8\) একক।
কুঃ,বঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩
\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে প্রথম চতুর্ভাগে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+y=8\)।
কুঃ ২০১২; চঃ ২০১০; বঃ ২০০৬
উত্তরঃ \(4x+y=8\)।
কুঃ ২০১২; চঃ ২০১০; বঃ ২০০৬
\(Q.2.(xi)\) \(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত ; \(AB\) সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-6=0\)।
ঢাঃ ২০০৮, ২০১২, ২০১৪; রাঃ ২০১৬,২০১১,২০০৭,২০০৫; সিঃ ২০১৪; বঃ ২০১০,২০০৪; চঃ ২০১৪,২০১২,২০০৪;কুঃ ২০০৩, দিঃ ২০০৯; যঃ ২০১৪,২০১১; মাঃ ২০১০।
উত্তরঃ \(x+y-6=0\)।
ঢাঃ ২০০৮, ২০১২, ২০১৪; রাঃ ২০১৬,২০১১,২০০৭,২০০৫; সিঃ ২০১৪; বঃ ২০১০,২০০৪; চঃ ২০১৪,২০১২,২০০৪;কুঃ ২০০৩, দিঃ ২০০৯; যঃ ২০১৪,২০১১; মাঃ ২০১০।
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i).(a)\) দেখাও যে, \(x=a\), \(y=b\) এবং \(y=mx\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2m}(b-ma)^{2}\) ।
কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩
কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩
\(Q.3.(i).(b)\) \(2y+x-5=0\), \(y+2x-7=0\) এবং \(x-y+1=0\) রেখাত্রয়ের সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\) বর্গ একক ।
কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩; যঃ ২০০৩।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\) বর্গ একক ।
কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩; যঃ ২০০৩।
\(Q.3.(i).(c)\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) একক এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x-\sqrt{3}y+10=0\)।
মাঃবঃ ২০০৮
উত্তরঃ \(x-\sqrt{3}y+10=0\)।
মাঃবঃ ২০০৮
\(Q.3.(i).(d)\) একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x-y+2=0\), \(x+2y-4=0\) এবং \(2x-y-3=0\) প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমকোণী । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\frac{1}{2}\) বর্গ একক ।
উত্তরঃ \(7\frac{1}{2}\) বর্গ একক ।
\(Q.3.(i).(e)\) প্রমাণ কর যে, \((-4, 4), \ (0, -4), \ (2, 7)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। অতিভুজের মধ্যবিন্দু ও বিপরীত শীর্ষের সংযোগরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-4=0\)
উত্তরঃ \(x+2y-4=0\)
\(Q.3.(ii).(a)\) চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দু দুইটি \(AB\) কে সমান তিনভাগে ভাগ করে। \(OP\) ও \(OQ\) সরলরেখাসমূহ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x=8y, \ 3x=2y\)
বঃ ২০১৯
\(Q.3.(ii).(b)\) চিত্রে \(AB\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+8y=0, \ 3x+2y=0\)
সিঃ ২০১৯
\(Q.3.(iii).(a)\) একটি সরলরেখা \((-2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-8y=18\)।
যঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩
উত্তরঃ \(3x-8y=18\)।
যঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩
\(Q.3.(iii).(b)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y-8=0\)।
যঃ ২০১২,২০০৬; ঢাঃ ২০১৩,২০০৬; চঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; বঃ ২০০৮,২০১০,২০১৫;দিঃ ২০১৪,২০১৫।
উত্তরঃ \(x-2y-8=0\)।
যঃ ২০১২,২০০৬; ঢাঃ ২০১৩,২০০৬; চঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; বঃ ২০০৮,২০১০,২০১৫;দিঃ ২০১৪,২০১৫।
\(Q.3.(iv)\)এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA-OB=2\) হয়। যখন \(O\) মূলবিন্দু ।
উত্তরঃ \(2x+3y=12\) বা, \(x-y=1\)।
যঃ ২০১০,২০১২; বঃ ২০০৫; রাঃ ২০০৯; সিঃ,রাঃ ২০১২; চঃ,দিঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০১০; মাঃ ২০১৪।
উত্তরঃ \(2x+3y=12\) বা, \(x-y=1\)।
যঃ ২০১০,২০১২; বঃ ২০০৫; রাঃ ২০০৯; সিঃ,রাঃ ২০১২; চঃ,দিঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০১০; মাঃ ২০১৪।
\(Q.3.(v)\) \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশ ছেদ করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটির যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক বের কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0\); \((3, 6)\)।
উত্তরঃ \(x-y+3=0\); \((3, 6)\)।
\(Q.3.(vi)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-10=0\).
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-10=0\).
\(Q.3.(vii).(a)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(16\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\).
সিঃ ২০০৫; যঃ ২০১০।
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\).
সিঃ ২০০৫; যঃ ২০১০।
\(Q.3.(vii).(b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(32\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y=8\).
উত্তরঃ \(x+y=8\).
\(Q.3.(viii)\) \(x+2y+7=0\) সরলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপরক্ত খন্ডিতাংশ কোন বর্গের বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4}\right)\); \(61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।
ঢাঃ ২০০৭; চঃ ২০০৮; রাঃ ২০১০; বঃ ২০১২,২০০৫; যঃ ২০১৩; দিঃ ২০১০; সিঃ ২০১৪; মাঃ ২০১২।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4}\right)\); \(61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।
ঢাঃ ২০০৭; চঃ ২০০৮; রাঃ ২০১০; বঃ ২০১২,২০০৫; যঃ ২০১৩; দিঃ ২০১০; সিঃ ২০১৪; মাঃ ২০১২।
\(Q.3.(ix)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2t+2, t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y=10\); \(25\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(x-2y=10\); \(25\) বর্গ একক।
\(Q.3.(x)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((t+5, 2t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয় থেকে যে পরিমান অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y=14\); অক্ষদ্বয় দ্বারা ছেদিতাংশের পরিমাণ, \(7; \ -14\)
উত্তরঃ \(x-2y=14\); অক্ষদ্বয় দ্বারা ছেদিতাংশের পরিমাণ, \(7; \ -14\)
\(Q.3.(xi)\) \(3x+by+1=0\) এবং \(ax+6y+1=0\) রেখা দুইটি \((5, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে; \(a\) ও \(b\) এর মান কত? যদি প্রথম রেখাটি \(X\) অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় রেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, তবে \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-5, \ b=-4\); \(3x+6y+1=0\).
যঃ ২০০২; রাঃ ২০১৪।
উত্তরঃ \(a=-5, \ b=-4\); \(3x+6y+1=0\).
যঃ ২০০২; রাঃ ২০১৪।
\(Q.3.(xii).(a)\) \(3x-7y+5=0\) এবং \(x-2y=7\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=85\).
যঃ ২০০২; রাঃ ২০১৪।
উত্তরঃ \(x+y=85\).
যঃ ২০০২; রাঃ ২০১৪।
\(Q.3.(xii).(b)\) \(3x+2y-6=0\) এবং \(2x+3y-8=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ। রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং উভয় অক্ষের ধনাত্মক দিক থেকে সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x+5y-14=0\).
রাঃ, কুঃ, চঃ, বঃ ২০১৮।
উত্তরঃ \(5x+5y-14=0\).
রাঃ, কুঃ, চঃ, বঃ ২০১৮।
\(Q.3.(xii).(c)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(7x+13y-87=0\) এবং \(5x-8y+7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি হতে সমান সংখ্যামানের অংশ ছেদ করে।
উত্তরঃ \(x+y-9=0, \ x-y-1=0\).
চঃ,সিঃ ২০০৬; বঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০০৩।
উত্তরঃ \(x+y-9=0, \ x-y-1=0\).
চঃ,সিঃ ২০০৬; বঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০০৩।
\(Q.3.(xii).(d)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষ দুইটি থেকে সমান সাংখ্যিক মানের অংশ ছেদ করে এবং \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে সমবিন্দু।
উত্তরঃ \(x-y+2=0\).
উত্তরঃ \(x-y+2=0\).
\(Q.3.(xii).(e)\) \(5x-9y+13=0\) এবং \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\).
রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; ঢাঃ ২০১২; কুঃ ২০০৯।
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\).
রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; ঢাঃ ২০১২; কুঃ ২০০৯।
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(a\) এর মান কত হলে \((i) 3x+2y-5=0\), \((ii) ax+4y-9=0\), \((iii) x+2y-7=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে? বিশেষ অবস্থা দুইটি আলোচনা কর, যখন \(a=2\) এবং \(a=6\)।
উত্তরঃ \(a=7\); প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে। দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(a=7\); প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে। দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।
\(Q.4.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\); \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(6x+2y-17=0\)।
ঢাঃ ২০১১; কুঃ ২০১৪; যঃ ২০০৯; মাঃ ২০০৭
উত্তরঃ \(6x+2y-17=0\)।
ঢাঃ ২০১১; কুঃ ২০১৪; যঃ ২০০৯; মাঃ ২০০৭
\(Q.4.(iii).(a)\) \(A(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(C(6, -8)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে, ঐ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।
চঃ ২০০৭
উত্তরঃ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।
চঃ ২০০৭
\(Q.4.(iii).(b)\) \(A(-3, -1)\), \(B(11, 13)\) এবং \(C(-1, -3)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে, ঐ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং তাদের ছেদবিন্দু বের কর।
উত্তরঃ \(3x-4y+5=0\), \(15x-13y+4=0\), \(9x-5y-6=0\); \(\left(\frac{7}{3}, 3\right)\)।
চঃ ২০০৭
উত্তরঃ \(3x-4y+5=0\), \(15x-13y+4=0\), \(9x-5y-6=0\); \(\left(\frac{7}{3}, 3\right)\)।
চঃ ২০০৭
\(Q.4.(iv).(a)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) বিন্দুত্রয় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু ; ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।
উত্তরঃ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।
\(Q.4.(iv).(b)\) \(ax+y=a\) সরলরেখাটি \(x\) এবং \(y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন মূলবিন্দু \(O\) হলে, \(3OA=4OB\) হয়। \(AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}\) বর্গ একক।
\(Q.4.(v).(a)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত । \(OC\) রেখার সমীকরণ \(y=2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) । \(A\) ও \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AC\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(3, 0)\), \(C(1, 2)\), \(x+y-3=0\)।
চঃ ২০১৫,২০১১, রাঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬,২০০৪;ঢাঃ ২০১৫,২০০৮; যঃ ২০০৭; কুঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৪; সিঃ ২০০৮; বঃ ২০১৪।
উত্তরঃ \(A(3, 0)\), \(C(1, 2)\), \(x+y-3=0\)।
চঃ ২০১৫,২০১১, রাঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬,২০০৪;ঢাঃ ২০১৫,২০০৮; যঃ ২০০৭; কুঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৪; সিঃ ২০০৮; বঃ ২০১৪।
\(Q.4.(v).(b)\) \(OPQR\) একটি সামান্তরিক। ঋণাত্মক \(X\) অক্ষ বরাবর \(OP\) অবস্থিত । \(OR\) রেখার সমীকরণ \(y=-2x\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, 2)\) । \(PR\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0\)।
দিঃ ২০১৯।
উত্তরঃ \(x-y+3=0\)।
দিঃ ২০১৯।
\(Q.4.(vi)\) \(x+by=b\) রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। যদি \(OA=3.OB\), যখন \(O\) মূলবিন্দু এবং \(Q\) এর স্থনাংক \((0, -9)\) হয়, তবে \(AQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(AQ\perp AB\) ।
উত্তরঃ \(3x-y=9\)।
উত্তরঃ \(3x-y=9\)।
\(Q.4.(vii)\) \(x=4\), \(x=8\), \(y=6\) এবং \(y=10\) রেখাগুলি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তার পরস্পর লম্ব ।
উত্তরঃ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।
চঃ ২০০২
উত্তরঃ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।
চঃ ২০০২
\(Q.4.(viii)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+3=0\) এবং \(y+2=0\) সমীকরণ চারটি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x-y+1=0\), \(x+y-2=0\)।
ঢাঃ ২০১২; চঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৯; বঃ ২০১৪
উত্তরঃ \(x-y+1=0\), \(x+y-2=0\)।
ঢাঃ ২০১২; চঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৯; বঃ ২০১৪
\(Q.4.(ix).(a)\) \(X\) অক্ষের উপর \(P, Q\) বিন্দুদ্বয় \(Y\) অক্ষের উপর \(R, S\) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত। \(PR\) ও \(QS\) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y+6=0\) এবং \(x+2y-1=0\) ; দেখাও যে, \(PQ=RS\) ।
ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০১৫।
ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০১৫।
\(Q.4.(ix).(b)\) \(EF\) রেখাংশ \(x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে \(E\) ও \(F\) বিন্দুতে ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে \(EF\) রেখার উপর অংকিত লম্ব \(EF\) কে \(C(2, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(P\) বিন্দু \(EF\) রেখাংশের একটি সমত্রিখন্ডক বিন্দু হলে \(OP\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে, \(EP:PF=2:1\)
উত্তরঃ \(2x-y=0\)।
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।
উত্তরঃ \(2x-y=0\)।
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।
\(Q.4.(x)\) \((2, -1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(-\frac{3}{4}\) এ রেখার উপর \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(15\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((14, -10)\), \((-10, 8)\)।
উত্তরঃ \((14, -10)\), \((-10, 8)\)।
\(Q.4.(xi).(a)\) \((-1, 1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \((-1, 1)\) বিন্দু হতে \(26\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((23, 11)\) এবং \((-25, -9)\)
উত্তরঃ \((23, 11)\) এবং \((-25, -9)\)
\(Q.4.(xi).(b)\) \((1, -2)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \((1, -2)\) বিন্দু হতে \(13\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((13, 3)\) এবং \((-11, -7)\)
উত্তরঃ \((13, 3)\) এবং \((-11, -7)\)
\(Q.4.(xii)\) \(A(3, -\frac{7}{2})\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেন, \(AP=\frac{13}{2}\) হয়।
উত্তরঃ \((9, -1)\), \((-3. -6)\)।
উত্তরঃ \((9, -1)\), \((-3. -6)\)।
\(Q.4.(xiii).(a)\) একটি কারখনায় \(75\) একক এবং \(100\) একক জিনিস তৈরী করতে যথাক্রমে \(350\) টাকা এবং \(400\) টাকা খরচ হয়। জিনিস্টির খরচ ও পরিমানের মধ্যকার বিদ্যমান সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং তা থেকে \(150\) একক জিনিস তৈরী করার খরচ বের কর।
উত্তরঃ \(y=2x+200\); \(500\) টাকা।
উত্তরঃ \(y=2x+200\); \(500\) টাকা।
\(Q.4.(xiii).(b)\) কোনো একটি ছাত্রাবাসের মোট ব্যায় \(y\) এবং সদস্য সংখ্যা \(x\); \(12\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1040\) টাকা এবং \(20\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1600\) টাকা হলে, \((a)\) \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর। \((b)\) সদস্য সংখ্যা \(15\) হলে, মোট ব্যায় কত হবে?
উত্তরঃ \(y=70x+200\); \(1250\) টাকা।
উত্তরঃ \(y=70x+200\); \(1250\) টাকা।
\(Q.4.(xiii).(c)\) একটি বৃক্ষ রোপণ কর্মসূচির মোট স্থানের সংখ্যা \(x\) এবং বৃক্ষ রোপণের জন্য নিয়োগকৃত মোট লোক \(y\); \(30\) টি স্থানে বৃক্ষ রোপণের জন্য \(15\) জন এবং \(45\) টি স্থানের জন্য \(25\) জন লোক লাগে। \(x\) ও \(y\) এর মধ্যে একটি সরল রৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং তা হতে \(60\) টি স্থানের জন্য কত জন লোক লাগবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y-15=0\); \(35\) জন।
উত্তরঃ \(2x-3y-15=0\); \(35\) জন।
\(Q.4.(xiv)\) মূলবিন্দু এবং \(x=4\) রেখার \((4, 2)\) বিন্দু হতে \(5\) একক দূরে অবস্থিত রেখাস্থ বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x-4y=0, \ 3x+4y=0\)
উত্তরঃ \(7x-4y=0, \ 3x+4y=0\)
\(Q.4.(xv)\) \(5x+12y=49\) রেখার \((5, 2)\) বিন্দু হতে \(13\) একক দূরে অবস্থিত রেখাস্থ বিন্দুদ্বয় \(A\) বিন্দুর সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ভরকেন্দ্র \((7, 4)\)। \(A\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((11, 8)\)
উত্তরঃ \((11, 8)\)
\(Q.4.(xvi)\) \(2x+y=3\) ও \(3x-5y=-4\) রেখাদ্বয় \(x\) অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{289}{156}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(\frac{289}{156}\) বর্গ একক।
\(Q.4.(xvii).(a)\) দেখাও যে, \(2x+7y=14\) ও \(2x-7y=14\) রেখাদ্বয় \(y\) অক্ষের সাথে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.4.(xvii).(b)\) দেখাও যে, \(4x+9y=36\) ও \(4x-9y=36\) রেখাদ্বয় \(y\) অক্ষের সাথে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.4.(xviii)\) \((a, b)\) বিন্দুগামী একটি পরিবর্তনশীল সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(bx+ay-3xy=0\)
উত্তরঃ \(bx+ay-3xy=0\)
\(Q.4.(xix)\) একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। একটি কর্ণের ঢাল \(\frac{3}{4}\) এবং দৈর্ঘ্য \(10\) একক। অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য \(6\) একক হলে, রম্বসের শীর্ষ চারটির স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 4), \ (-2, -2), \ \left(\frac{19}{5}, -\frac{7}{5}\right), \ \left(\frac{1}{5}, \frac{17}{5}\right)\)
উত্তরঃ \((6, 4), \ (-2, -2), \ \left(\frac{19}{5}, -\frac{7}{5}\right), \ \left(\frac{1}{5}, \frac{17}{5}\right)\)
\(Q.4.(xx)\) একটি সামান্তরিকের কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) একক ও \(6\) একক এবং এরা \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত। সামান্তরিকের বাহু চারটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y\pm{12}=0, \ 3x-4y\pm{12}=0\)
উত্তরঃ \(3x+4y\pm{12}=0, \ 3x-4y\pm{12}=0\)
\(Q.4.(xxi)\) \(y=c\) সরলরেখাটি \(x+2y=2\) এবং \(x+2y=4\) রেখাদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(P\) ও \(Q\) বিন্দু দুইটির স্থানাংক যথাক্রমে \((-4, 0)\) ও \((-2, 0)\); দেখাও যে, \(PB\) ও \(QA\) পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে এবং সাধারণ মধ্যবিন্দু \(x+2y=0\) রেখার উপর অবস্থিত।
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002