উল্লেখ্য যে, নির্ণায়ক একটি ফাংশন যার ডোমেন সকল বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট। প্রত্যেক নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে যা একটি সংখ্যা বা একটি রাশি বা একটি ফাংশন হতে পারে।
নির্ণায়ককে \(\Delta\) (ডেল্টা) বা \(D\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। নির্ণায়কের সারি (Row) ও কলাম (Column) সংখ্যা সমান হওয়া বাঞ্ছনীয়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) ইহা তৃতীয় ক্রমের ( Third order) নির্ণায়ক।
\(A=\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} \\a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(|A|=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right|=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\)
একটি \(n\) ক্রমের নির্ণায়ক নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়।
\(\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array}\right|\)

নির্ণায়কের সারি এবং কলামঃ নির্ণায়কের ভুক্তিগুলির আনুভূমিক বিন্যাসকে সারি এবং উল্লম্ব বিন্যাসকে কলাম বলা হয়। অর্থাৎ বাম থেকে ডানের ভুক্তিগুলি নিয়ে সারি এবং উপর থেকে নিচের ভুক্তিগুলি নিয়ে কলাম গঠিত হয়। সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাসকে দুই প্রকারে বিশ্লেষণ করা হয়।
যথাঃ আনুভূমিক রেখা বরাবর এবং উল্লম্ব রেখা বরাবর। সংখাগুলির আনুভূমিক রেখাগুলিকে সারি (row) এবং উল্লম্ব রেখাগুলিকে কলাম (column) বলা হয়।

নির্ণায়কের বিস্তৃতিঃ সারাসের চিত্র ব্যবহার করে একটি নির্ণায়কের বিস্তৃতি নিম্নে দেখানো হলো।
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির জন্য সারাসের চিত্র নিম্নরূপঃ

\(a_{1}\)	\(a_{2}\)	\(a_{3}\)	\(a_{1}\)	\(a_{2}\)
\(b_{1}\)	\(b_{2}\)	\(b_{3}\)	\(b_{1}\)	\(b_{2}\)
\(c_{1}\)	\(c_{2}\)	\(c_{3}\)	\(c_{1}\)	\(c_{2}\)

\(=\) \(a_{1}b_{2}c_{3}\)\(+\)\(a_{2}b_{3}c_{1}\)\(+\)\(a_{3}b_{1}c_{2}\)\(-\)\(a_{3}b_{2}c_{1}\)\(-\)\(a_{1}b_{3}c_{2}\)\(-\)\(a_{2}b_{1}c_{3}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ নির্দেশ করে। যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -3 & \ \ 1 \\ \ \ 3 & \ \ 2 & -4 \\ -2 & \ \ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির জন্য সারাসের চিত্র নিম্নরূপঃ

\( \ \ \ 2\)	\(-3\)	\( \ \ \ 1\)	\( \ \ \ 2\)	\(-3\)
\( \ \ \ 3\)	\( \ \ \ 2\)	\(-4\)	\( \ \ \ 3\)	\( \ \ \ 2\)
\(-2\)	\( \ \ \ 5\)	\( \ \ \ 6\)	\(-2\)	\( \ \ \ 5\)

\(=\) \(2\times2\times6\)\(+\)\((-3)\times(-4)\times(-2)\)\(+\)\(1\times3\times5\)\(-\)\((-2)\times2\times1\)\(-\)\(5\times(-4)\times2\)\(-\)\(6\times3\times(-3)\)
\(=\) \(24\)\(-\)\(24\)\(+\)\(15\)\(+\)\(4\)\(+\)\(40\)\(+\)\(54\)
\(=147-24\)
\(=123\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ।

নির্ণায়কের পদঃ সারাসের চিত্র ব্যবহার করে নির্ণায়কের বিস্তৃতি বা মাণ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত \(a_{1}b_{2}c_{3}, \ a_{2}b_{3}c_{1}, \ a_{3}b_{1}c_{2}, \ a_{3}b_{2}c_{1}, \ a_{1}b_{3}c_{2}, \ a_{2}b_{1}c_{3}\) প্রত্যেকটি নির্ণায়কের এক একটি পদ।
নির্ণায়কের মূখ্য কর্ণঃ নির্ণায়কের \(a_{1}, \ b_{2}, \ c_{3}\) ভুক্তিগুলি যে কর্ণ গঠন করে তাকে নির্ণায়কের মূখ্য কর্ণ বলে। নিম্নে মূখ্য কর্ণের স্বচিত্র প্রতিবেদন দেওয়া হলো।

	\(a_{1}\)	\(a_{2}\)	\(a_{3}\)
	\(b_{1}\)	\(b_{2}\)	\(b_{3}\)
	\(c_{1}\)	\(c_{2}\)	\(c_{3}\)

নির্ণায়কের মাধ্যমিক কর্ণঃ নির্ণায়কের \(a_{3}, \ b_{2}, \ c_{1}\) ভুক্তিগুলি যে কর্ণ গঠন করে তাকে নির্ণায়কের মাধ্যমিক কর্ণ বলে। নিম্নে মাধ্যমিক কর্ণের স্বচিত্র প্রতিবেদন দেওয়া হলো।

	\(a_{1}\)	\(a_{2}\)	\(a_{3}\)
	\(b_{1}\)	\(b_{2}\)	\(b_{3}\)
	\(c_{1}\)	\(c_{2}\)	\(c_{3}\)

অনুরাশিঃ নির্ণায়কের কনো একটি ভুক্তি যে সারি ও কলামে অবস্থিত সে সারি ও কলামের ভুক্তিগুলি বাদ দিয়ে যে ভুক্তিগুলি অবশিষ্ট থাকে তাদের নিয়ে গঠিত নির্ণায়ককে ঐ ভুক্তির অনুরাসি বলে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) নির্ণায়কে ভুক্তিগুলির সকল অনুরাশি নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{11}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{21}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{31}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array}\right|=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{12}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{22}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{32}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array}\right|=a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{13}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{23}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{33}\) এর অনুরাশি ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -3 & \ \ 1 \\ \ \ 3 & \ \ 2 & -4 \\ -2 & \ \ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|\) নির্ণায়কে দুইটি ভুক্তির অনুরাশি নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(2\) এর অনুরাশি ,

	\( \ \ \ 2\)	\(-3\)	\( \ \ \ 1\)
	\( \ \ \ 3\)	\( \ \ \ 2\)	\(-4\)
	\(-2\)	\( \ \ \ 5\)	\( \ \ \ 6\)

\(=\left|\begin{array}{c} 2 & -4 \\ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|=12-(-20)=12+20=32\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(3\) এর অনুরাশি ,

	\( \ \ \ 2\)	\(-3\)	\( \ \ \ 1\)
	\( \ \ \ 3\)	\( \ \ \ 2\)	\(-4\)
	\(-2\)	\( \ \ \ 5\)	\( \ \ \ 6\)

\(=\left|\begin{array}{c} -3 & 1 \\ \ \ 5 & 6 \end{array}\right|=-18-5=-23\)

সহগুণকঃ নির্ণায়কের কনো একটি ভুক্তির অনুরাসির সামনে যথাযথ চিহ্ন বসালে তাকে ঐ ভুক্তির সহগুণক বলে।
একটি ভুক্তি \(i\) তম সারি এবং \(j\) তম কলামে অবস্থান করলে তার সগুণকের চিহ্ন হবে \((-1)^{i+j}\) অর্থাৎ \((i,j)\) তম সহগুণকের চিহ্ন \((-1)^{i+j}\)। সহগুণকের চিহ্ন সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য নিম্নে আলোচনা করা হলো।
যেমনঃ \(3\) ক্রমের একটি নির্ণায়কে ভুক্তিগুলির সহগুণকের চিহ্ন নিম্নে দেখানো হলো-
\(\left|\begin{array}{c} (-1)^{1+1} & (-1)^{1+2} & (-1)^{1+3} \\ (-1)^{2+1} & (-1)^{2+2} & (-1)^{2+3} \\ (-1)^{3+1} & (-1)^{3+2} & (-1)^{3+3} \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} (-1)^{2} & (-1)^{3} & (-1)^{4} \\ (-1)^{3} & (-1)^{4} & (-1)^{5} \\ (-1)^{4} & (-1)^{5} & (-1)^{6} \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}\right|\)
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) নির্ণায়কে ভুক্তিগুলির সকল সহগুণক নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{11}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{2}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{21}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{3}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})=-(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{31}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array}\right|=(-1)^{4}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{12}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{3}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{22}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{4}(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{32}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array}\right|=(-1)^{5}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})=-(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{13}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=(-1)^{4}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{23}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=(-1)^{5}(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})=-(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{33}\) এর সহগুণক ,

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

\(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=(-1)^{6}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -3 & \ \ 1 \\ \ \ 3 & \ \ 2 & -4 \\ -2 & \ \ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|\) নির্ণায়কে দুইটি ভুক্তির সহগুণক নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(2\) এর সহগুণক ,

	\( \ \ \ 2\)	\(-3\)	\( \ \ \ 1\)
	\( \ \ \ 3\)	\( \ \ \ 2\)	\(-4\)
	\(-2\)	\( \ \ \ 5\)	\( \ \ \ 6\)

\(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 2 & -4 \\ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|=(-1)^{2}\{12-(-20)\}=12+20=32\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(3\) এর সহগুণক ,

	\( \ \ \ 2\)	\(-3\)	\( \ \ \ 1\)
	\( \ \ \ 3\)	\( \ \ \ 2\)	\(-4\)
	\(-2\)	\( \ \ \ 5\)	\( \ \ \ 6\)

\(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} -3 & 1 \\ \ \ 5 & 6 \end{array}\right|=(-1)^{3}(-18-5)=-(-23)=23\)

নির্ণায়কের মাণঃ নির্ণায়কের মাণ নির্ণয়ের বহুল প্রচলিত পদ্ধতি নিম্নে আলোচনা করা হলো।

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(a_{21}\)	\(a_{22}\)	\(a_{23}\)
	\(a_{31}\)	\(a_{32}\)	\(a_{33}\)

নির্ণায়কটি প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেঃ
\(=\)\(a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})\)\(-\)\(a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})\)\(+\)\(a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ। নির্ণায়কটি দ্বিতীয় সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেঃ
\(=-\)\(a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})\)\(+\)\(a_{22}(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})\)\(-\)\(a_{23}(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})\)
\(=-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{13}a_{32}+a_{22}a_{11}a_{33}-a_{22}a_{13}a_{31}-a_{23}a_{11}a_{32}+a_{23}a_{12}a_{31}\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ। নির্ণায়কটি তৃতীয় সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেঃ
\(=\)\(a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})\)\(-\)\(a_{32}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\)\(+\)\(a_{33}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\)
\(=a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{13}a_{22}-a_{32}a_{11}a_{23}+a_{32}a_{13}a_{21}+a_{33}a_{11}a_{22}-a_{33}a_{12}a_{21}\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ। ইহা স্পষ্ট যে, নির্ণায়কটির যে কোনো একটি সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলে এর মাণ পাওয়া যাবে।
অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে, নির্ণায়কটির যে কোনো একটি কলাম বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেও এর মাণ পাওয়া যাবে।

নির্ণায়কের ভুক্তি ও সহগুণক সম্পর্কিত আলোচনাঃ
\(\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{array}\right|\) নির্ণায়কের,
ভুক্তিগুলি \(=a_{11}, \ a_{12}, \ a_{13}, \ b_{21}, \ b_{22}, \ b_{23}, \ c_{31}, \ c_{32}, \ c_{33}\)

	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{13}\)
	\(b_{21}\)	\(b_{22}\)	\(b_{23}\)
	\(c_{31}\)	\(c_{32}\)	\(c_{33}\)

সহগুণকগুলিঃ
\(a_{11}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+1}(b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32})\)
\(=(-1)^{2}(b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32})=b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32}=A_{11}\)
\(a_{12}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+2}(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})\)
\(=(-1)^{3}(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})=-(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})=A_{12}\)
\(a_{13}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+3}(b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31})\)
\(=(-1)^{4}(b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31})=b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31}=A_{13}\)
\(b_{21}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})\)
\(=(-1)^{3}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})=-(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})=B_{21}\)
\(b_{22}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+2}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})\)
\(=(-1)^{4}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})=a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31}=B_{22}\)
\(b_{23}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+3}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\)
\(=(-1)^{5}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})=-(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})=B_{23}\)
\(c_{31}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{3+1}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})\)
\(=(-1)^{4}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}=C_{31}\)
\(c_{32}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{3+2}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(=(-1)^{5}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})=C_{32}\)
\(c_{33}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{3+3}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\)
\(=(-1)^{6}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}=C_{33}\)
ভুক্তিগুলিকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুন করে যোগ করিঃ
\(a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\)
\(=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\) ➜Note \(\because A_{11}=b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32}\)
\(A_{12}=-(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})\)
\(A_{13}=b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31}\)

\(=a_{11}b_{22}c_{33}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
\(=a_{11}b_{22}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ।
আবার,
\(b_{21}B_{21}+b_{22}B_{22}+b_{23}B_{23}\)
\(=-b_{21}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})+b_{22}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})-b_{23}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\) ➜Note \(\because B_{21}=-(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})\)
\(B_{22}=a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31}\)
\(B_{23}=-(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\)

\(=-a_{12}b_{21}c_{33}+a_{13}b_{21}c_{32}+a_{11}b_{22}c_{33}-b_{22}a_{13}c_{31}-a_{11}b_{23}c_{32}+a_{12}b_{23}c_{31}\)
\(=a_{11}b_{22}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ।
আবার,
\(c_{31}C_{31}+c_{32}C_{32}+c_{33}C_{33}\)
\(=c_{31}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})-c_{32}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})+c_{33}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\) ➜Note \(\because C_{31}=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}\)
\(C_{32}=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(C_{33}=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}\)

\(=c_{31}a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}c_{31}-a_{11}b_{23}c_{32}+a_{13}b_{21}c_{32}+a_{11}b_{22}c_{33}-a_{12}b_{21}c_{33}\)
\(=a_{11}b_{22}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ।
সিদ্ধান্তঃ
কোনো নির্ণায়কের একটি সারি বা কলামের ভুক্তিগুলিকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুন করে যোগ করলে তা ঐ নির্ণায়কের মাণের সমান হয়।
ভুক্তিগুলিকে অপর সারির অনুরূপ ভুক্তির সহগুণক দ্বারা গুণ করে যোগ করিঃ
\(a_{11}B_{21}+a_{12}B_{22}+a_{13}B_{23}\)
\(=-a_{11}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})+a_{12}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})-a_{13}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\) ➜Note \(\because B_{21}=-(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})\)
\(B_{22}=a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31}\)
\(B_{23}=-(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\)

\(=-a_{11}a_{12}c_{33}+a_{11}a_{13}c_{32}+a_{11}a_{12}c_{33}-a_{12}a_{13}c_{31}-a_{11}a_{13}c_{32}+a_{12}a_{13}c_{31}\)
\(=0\)
আবার,
\(a_{11}C_{31}+a_{12}C_{32}+a_{13}C_{33}\)
\(=a_{11}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})-a_{12}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})+a_{13}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\) ➜Note \(\because C_{31}=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}\)
\(C_{32}=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(C_{33}=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}\)

\(=a_{11}a_{12}b_{23}-a_{11}a_{13}b_{22}-a_{11}a_{12}b_{23}+a_{12}a_{13}b_{21}+a_{11}a_{13}b_{22}-a_{12}a_{13}b_{21}\)
\(=0\)
আবার,
\(b_{21}C_{31}+b_{22}C_{32}+b_{23}C_{33}\)
\(=b_{21}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})-b_{22}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})+b_{23}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\) ➜Note \(\because C_{31}=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}\)
\(C_{32}=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(C_{33}=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}\)

\(=a_{12}b_{21}b_{23}-a_{13}b_{21}b_{22}-a_{11}b_{22}b_{23}+a_{13}b_{21}b_{22}+a_{11}b_{22}b_{23}-a_{12}b_{21}b_{23}\)
\(=0\)
সিদ্ধান্তঃ
কোনো নির্ণায়কের একটি সারি বা কলামের ভুক্তিগুলিকে অপর কোনো সারি বা কলামের অনুরূপ ভুক্তির সহগুণক দ্বারা গুণ করে যোগ করলে যোগফল শূন্য (0) হয়।

কোনো নির্ণায়কের একটি সারির (বা কলামের) সকল ভুক্তি শূন্য হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে।
যেমনঃ \(D_{1}=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=0\)
আবার,
\(D_{2}=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & 0 \\ b_{1} & b_{2} & 0 \\ c_{1} & c_{2} & 0 \end{array}\right|=0\)
Proof

কোনো নির্ণায়কের দুইটি সারি (বা কলাম) একই হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে।
যেমনঃ \(D_{1}=\left|\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=0\)
আবার,
\(D_{2}=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{2} \\ b_{1} & a_{2} & a_{2} \\ c_{1} & a_{2} & a_{2} \end{array}\right|=0\)
Proof

কোনো নির্ণায়কের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে স্থানান্তর করলে নির্ণায়কের মাণ অপরিবর্তিত থাকে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\)
Proof

কোনো নির্ণায়কের দুইটিসারি (বা কলাম ) পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের সাংখ্যিক মাণ একই থাকে কিন্তু চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)
Proof

কোনো নির্ণায়কের যেকোনো সারি (বা কলাম ) এর প্রত্যেক ভুক্তিকে যেকোনো সংখ্যা \(m\) দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়কের মাণকে ঐ সংখ্যা \('m'\) দ্বারা গুণ বুঝায়।
যেমনঃ \(A=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\) হলে,
\(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ mc_{1} & mc_{2} & mc_{3} \end{array}\right|=m\left|\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=mA\)
Proof

কোনো নির্ণায়কের একটি সারি (বা কলাম ) এর প্রত্যেক ভুক্তিকে দুই বা (ততোধিক) সংখ্যার যোগফলরূপে প্রকাশ করা সম্ভব হলে নির্ণায়কটিকেও দুইটি বা (ততোধিক) নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1}+a & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+b & b_{2} & b_{3} \\ c_{1}+c & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} a & a_{2} & a_{3} \\ b & b_{2} & b_{3} \\ c & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)
Proof

একটি নির্ণায়কের একটি সারি (বা কলামের ) ভুক্তিগুলির সাথে ঐ নির্ণায়কের অপর এক বা একাধিক সারির বা (কলামের) ভুক্তিগুলির \(m\) গুনিতক যোগ করলে নির্ণায়কের মাণ অপরিবর্তিত থাকে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_{1}+mb_{1} & a_{2}+mb_{2} & a_{3}+mb_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)
Proof