প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামকরেখা \(MZ\acute M\)। উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি এবং \(SZ\) রেখা \(A\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। তাহলে \(SA=AZ\); সংজ্ঞানুসারে \(A\) শীর্ষবিন্দু এবং \(ZX\) পরাবৃত্তের অক্ষ। \(A\) বিন্দুকে মূলবিন্দু এবং \(AX\) ও \(AY\) রেখাকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ বিবেচনা করি।
আবার, \(AS=a=ZA\) এবং পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(S,P\) যোগ করি এবং \(P\) বিন্দু হতে নিয়ামক রেখার উপর \(PM\) ও \(AX\)-এর উপর \(PN\) লম্ব আঁকি।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=PM\)
\(\Rightarrow SP=ZN\) ➜Note \(PM=ZN\)
\(\Rightarrow SP=ZA+AN\)
\(\Rightarrow SP=a+x\) ➜Note \(AN=x, ZA=a\)
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\)
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=(a+x)^2\) ➜Note \(SPN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(SP^2=SN^2+PN^2\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(a+x)^2\) ➜Note \(\because SN=AN-AS=x-a\)
\(\Rightarrow y^2=(a+x)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=-a \Rightarrow x+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(x+a)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x+a)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=a \Rightarrow x-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=|x-a|\)
\(\Rightarrow (x+a)^2+y^2=(x-a)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x-a)^2-(x+a)^2\)
\(\Rightarrow y^2=-\{(x+a)^2-(x-a)^2\}\)
\(\therefore y^2=-4ax\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, -a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=a \Rightarrow y-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=|y-a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y+a)^2=(y-a)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y-a)^2-(y+a)^2\)
\(\Rightarrow x^2=-\{(y+a)^2-(y-a)^2\}\)
\(\therefore x^2=-4ay\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+2a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+x^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x+2a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=|x+2a|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(x+2a)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=x^2+4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow y^2=4ax+4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x+a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+y^2}=\frac{|x|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4ax+4a^2+y^2}=|x|\)
\(\Rightarrow x^2-4ax+4a^2+y^2=x^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax-4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x-a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha +a, \beta)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha -a, \beta)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\alpha-a\)
\(\Rightarrow x-\alpha +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜Note \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \{x-(\alpha +a)\}^2+(y-\beta)^2=\{x-(\alpha -a)\}^2\) ➜Note \(\because ZN=x-(\alpha -a)\)
\(\Rightarrow \{x-\alpha -a\}^2+(y-\beta)^2=\{x-\alpha +a\}^2\)
\(\Rightarrow \{(x-\alpha)-a\}^2+(y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2-\{(x-\alpha)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4(x-\alpha)a\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
এখন,
\(4a(x-\alpha)=(y-\beta)^2\)
\(\Rightarrow 4ax-4a\alpha=y^2-2y\beta+\beta^2\)
\(\Rightarrow 4ax=y^2-2y\beta+\beta^2+4a\alpha\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2-\frac{2y\beta}{4a}+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2+\frac{-\beta}{2a}y+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\beta}{2a}, c=\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(x=\acute ay^2+by+c \)
\(\therefore x=ay^2+by+c \) ➜Note \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(x=ay^2+by+c \)
\(\Rightarrow ay^2+by+c=x \)
\(\Rightarrow ay^2+by=x-c \)
\(\Rightarrow y^2+\frac{by}{a}=\frac{x-c}{a} \)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{b}{2a}y+(\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(x+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{1}{a}X ........(2)\) ➜Note ধরি, \(X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b^2-4ac}{4a}=0, y+\frac{b}{2a}=0 \) ➜Note \(\because X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\(\therefore x=-\frac{b^2-4ac}{4a}, y=-\frac{b}{2a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜Note \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)

প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha, \beta +a)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta -a)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\beta -a\)
\(\Rightarrow y-\beta +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜Note \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-(\beta +a)\}^2=\{y-(\beta -a)\}^2\) ➜Note \(\because ZN=y-(\beta -a)\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-\beta -a\}^2=\{y-\beta +a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{(y-\beta) -a\}^2=\{(y-\beta)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=\{(y-\beta)+a\}^2-\{(y-\beta)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4(y-\beta)a\) ➜Note \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
এখন,
\(4a(y-\beta)=(x-\alpha)^2\)
\(\Rightarrow 4ay-4a\beta=x^2-2x\alpha+\alpha^2\)
\(\Rightarrow 4ay=x^2-2x\alpha+\alpha^2+4a\beta\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{4a}x^2-\frac{2x\alpha}{4a}+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}x^2+\frac{-\alpha}{2a}x+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\alpha}{2a}, c=\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y=\acute ax^2+bx+c \)
\(\therefore y=ax^2+bx+c \) ➜Note \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(y=ax^2+bx+c \)
\(\Rightarrow ax^2+bx+c=y \)
\(\Rightarrow ax^2+bx=y-c \)
\(\Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}=\frac{y-c}{a} \)
\(\Rightarrow x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{1}{a}Y ........(2)\) ➜Note ধরি, \(X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a}, \)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0, y+\frac{b^2-4ac}{4a}=0 \) ➜Note \(\because X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a},\)
\(\therefore x=-\frac{b}{2a}, y=-\frac{b^2-4ac}{4a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜Note \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)

প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax ....(1)\)
\(PQ\) সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c ....(2)\)
পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু এবং \(PQ\) যে কোনো ছেদকরেখা। \(Q\) বিন্দু ক্রমশ \(P\) বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে \(P\) বিন্দুর উপর সমপতিত হলে ছেদকরেখাটি \(P\) বিন্দুতে উৎপন্ন পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mx+c)^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx+c^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx-4ax+c^2=0\)
\(\therefore m^2x^2+2(mc-2a)x+c^2=0 .......(3)\)
\(PQ\) সরলরেখাটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে যদি \((3)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।
\(\therefore \{2(mc-2a)\}^2=4m^2c^2\) ➜Note \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(mc-2a)^2=4m^2c^2\)
\(\Rightarrow (mc-2a)^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow m^2c^2-4amc+4a^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=m^2c^2-m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=0\)
\(\Rightarrow -4amc=-4a^2\)
\(\Rightarrow amc=a^2\)
\(\Rightarrow c=\frac{a^2}{am}\)
\(\therefore c=\frac{a}{m}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণে \(c=\frac{a}{m}\) বসিয়ে,
\(m^2x^2+2\left(m\times \frac{a}{m}-2a\right)x+(\frac{a}{m})^2=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2\left(a-2a\right)x+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2-2ax+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow \left(mx-\frac{a}{m}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow mx-\frac{a}{m}=0\)
\(\Rightarrow mx=\frac{a}{m}\)
\(\therefore x=\frac{a}{m^2}\)
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y=m\times \frac{a}{m^2}+\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a}{m}+\frac{a}{m}\)
\(\therefore y=\frac{2a}{m}\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2},\frac{2a}{m}\right)\)