প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POX}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে। অপর কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি ঐ একই অবস্থান \(OX\) হতে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে ঘুরে \(\theta\) কোণের সমপরিমানে \(\angle{QOX}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \angle{QOX}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর যে কোনো বিন্দু \(P\) থেকে \(XOX^{\prime}\) এর উপর \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। \(PN\) কে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন \(OQ\) কে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\triangle{OPN}\) ও \(\triangle{OQN}\) এ
\(\angle{PON}=\angle{QON}=\theta\)
\(\angle{ONP}=\angle{ONQ}=90^{o}\)
এবং \(ON\) উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু।
\(\therefore \triangle{OPN}\cong\triangle{OQN}\)
সুতরাং \(OP=OQ\)
\(PN=NQ\) যেখানে, \(NQ\) ঋণাত্মক।

এখন \(\sin{(-\theta)}=\frac{-NQ}{OQ}\)
\(=-\frac{NQ}{OP}\) ➜Note \(\because OQ=OP\)

\(=-\frac{PN}{OP}\) ➜Note \(\because NQ=PN\)

\(=-\sin{\theta}\)
\(\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\cos{(-\theta)}=\frac{ON}{OQ}\)
\(=\frac{ON}{OP}\) ➜Note \(\because OQ=OP\)

\(=\cos{\theta}\)
\(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\tan{(-\theta)}=\frac{-NQ}{ON}\)
\(=-\frac{NQ}{ON}\)
\(=-\frac{PN}{ON}\) ➜Note \(\because NQ=PN\)

\(=-\tan{\theta}\)
\(\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(-\theta)}=\sec{\theta}\) \(\cot{(-\theta)}=-\cot{\theta}\)

প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) এবং আরও ঘুরে \(\angle{XOY}=90^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এর পর রশ্মিটি আবার ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে ঘুরে \(\angle{YOP^{\prime}}=\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং \(\angle{XOP^{\prime}}=\angle{XOY}-\angle{YOP^{\prime}}\)
\(\therefore \angle{XOP^{\prime}}=90^{o}-\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
\(\angle{POM}=\angle{YOP^{\prime}}=\text{একান্তর }\angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\theta\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore OM=P^{\prime}M^{\prime}\)
এবং \(PM=OM^{\prime}\)
এখন \(\sin{(90^{o}-\theta)}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\)
\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\cos{POM}\)
\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(90^{o}-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{(90^{o}-\theta)}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\)
\(=\frac{OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\sin{POM}\)
\(=\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(90^{o}-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\tan{(90^{o}-\theta)}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\)
\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OM^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{PM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OM^{\prime}=PM\)

\(=\cot{POM}\)
\(=\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(90^{o}-\theta)}=\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(90^{o}-\theta)}=\sec{\theta}\) \(\sec{(90^{o}-\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\cot{(90^{o}-\theta)}=\tan{\theta}\)
দ্রষ্টব্যঃ \((90^{o}-\theta)\) এবং \(\theta\) পরস্পরের পূরক কোণ। দুইটি পূরক কোণের একটি কোণের সাইন অপরটির কোসাইন, একটি কোণের ট্যানজেণ্ট অপরটির কোট্যানজেণ্ট এবং একটি কোণের কোসেকেন্ট অপরটির সেকেন্ট এর সমান। এই সম্পর্কগুলি সূক্ষ্ণকোণের জন্য সত্য।

প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) এবং আরও ঘুরে \(\angle{POP^{\prime}}=90^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং \(\angle{XOP^{\prime}}=\angle{POP^{\prime}}+\angle{POM}=90^{o}+\theta\)
\(\therefore \angle{XOP^{\prime}}=90^{o}+\theta\)
\(\Rightarrow \angle{XOY}+\angle{YOP^{\prime}}=90^{o}+\theta\) ➜Note \(\because \angle{XOP^{\prime}}=\angle{XOY}+\angle{YOP^{\prime}}\)

\(\Rightarrow 90^{o}+\angle{YOP^{\prime}}=90^{o}+\theta\) ➜Note \(\because \angle{XOY}=90^{o}\)

\(\Rightarrow \angle{YOP^{\prime}}=90^{o}+\theta-90^{o}\)
\(\therefore \angle{YOP^{\prime}}=\theta\)
আবার, \(\angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\text{একান্তর } \angle{YOP^{\prime}}=\theta\)
\(\therefore \angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
\(\angle{POM}=\angle{YOP^{\prime}}=\text{একান্তর }\angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\theta\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore OM=P^{\prime}M^{\prime}\)
এবং \(PM=OM^{\prime}\) যেখানে, \(OM^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এখন \(\sin{(90^{o}+\theta)}=\sin{MOP^{\prime}}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\cos{POM}\)
\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(90^{o}+\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{(90^{o}+\theta)}=\cos{MOP^{\prime}}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-PM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{PM}{OP}\)
\(=-\sin{POM}\)
\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(90^{o}+\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\tan{(90^{o}+\theta)}=\tan{MOP^{\prime}}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{-OM^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{-PM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OM^{\prime}=PM\)

\(=-\frac{OM}{PM}\)
\(=-\cot{POM}\)
\(=-\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(90^{o}+\theta)}=-\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(90^{o}+\theta)}=\sec{\theta}\) \(\sec{(90^{o}+\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\cot{(90^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)

প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে। অপর কোণ রশ্মি একই আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{MOM^{\prime}}=180^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে অতঃপর তা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে \(\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং \(\angle{MOP^{\prime}}=\angle{MOM^{\prime}}-\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=180^{o}-\theta\)
তাহলে, \(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore PM=P^{\prime}M^{\prime}\)
এবং \(OM=OM^{\prime}\) যেখানে, \(OM^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এখন \(\sin{(180^{o}-\theta)}=\sin{MOP^{\prime}}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\sin{POM}\)
\(=\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(180^{o}-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(180^{o}-\theta)}=\cos{MOP^{\prime}}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-OM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{OM}{OP}\)
\(=-\cos{POM}\)
\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(180^{o}-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(180^{o}-\theta)}=\tan{MOP^{\prime}}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{-OM^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{-OM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OM^{\prime}=OM\)

\(=-\frac{PM}{OM}\)
\(=-\tan{POM}\)
\(=-\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(180^{o}-\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(180^{o}-\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\sec{(180^{o}-\theta)}=-\sec {\theta}\) \(\cot{(180^{o}-\theta)}=-\cot{\theta}\)

প্রমাণঃ
মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে এবং আরও ঘুরে \(\angle{POP^{\prime}}=180^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং \(\angle{MOP^{\prime}}=\angle{MOM^{\prime}}+\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=180^{o}+\theta\)
তাহলে, \(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore PM=P^{\prime}M^{\prime}\) যেখানে, \(P^{\prime}M^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এবং \(OM=OM^{\prime}\) যেখানে, \(OM^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এখন \(\sin{(180^{o}+\theta)}=\sin{MOP^{\prime}}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{ঋণাত্মক সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-PM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{PM}{OP}\)
\(=-\sin{POM}\)
\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(180^{o}+\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\cos{(180^{o}+\theta)}=\cos{MOP^{\prime}}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{ঋণাত্মক সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-OM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{OM}{OP}\)
\(=-\cos{POM}\)
\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(180^{o}+\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(180^{o}+\theta)}=\tan{MOP^{\prime}}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{ঋণাত্মক সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-P^{\prime}M^{\prime}}{-OM^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{OM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OM^{\prime}=OM\)

\(=-\tan{POM}\)
\(=-\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(180^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(180^{o}+\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(180^{o}+\theta)}=-\sec {\theta}\) \(\cot{(180^{o}+\theta)}=\cot{\theta}\)

প্রমাণঃ
পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((270^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(270^{o}-\theta)}=\sin{\{180^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(180^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}-A)}=\cos{A}\)

\(\sin{(270^{o}-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\cos{(270^{o}-\theta)}=\cos{\{180^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(180^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}-A)}=\sin{A}\)

\(\cos{(270^{o}-\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\tan{(270^{o}-\theta)}=\tan{\{180^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=\tan{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(180^{o}+A)}=\tan{A}\)

\(=\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \tan{(90^{o}-A)}=\cot{A}\)

\(\tan{(270^{o}-\theta)}=\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(270^{o}-\theta)}=-\sec{\theta}\) \(\sec{(270^{o}-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\cot{(270^{o}-\theta)}=\tan{\theta}\)

প্রমাণঃ
পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((270^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(270^{o}+\theta)}=\sin{\{180^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\sin{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(180^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}+A)}=\cos{A}\)

\(\sin{(270^{o}+\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\cos{(270^{o}+\theta)}=\cos{\{180^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(180^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-(-\sin{\theta})\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{\theta}\)
\(\cos{(270^{o}+\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\tan{(270^{o}+\theta)}=\tan{\{180^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=\tan{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(180^{o}+A)}=\tan{A}\)

\(=-\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \tan{(90^{o}+A)}=-\cot{A}\)

\(\tan{(270^{o}+\theta)}=-\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(270^{o}+\theta)}=-\sec{\theta}\) \(\sec{(270^{o}+\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\cot{(270^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)

প্রমাণঃ
পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(360^{o}-\theta)}=\sin{\{270^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(270^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}-A)}=\sin{A}\)

\(\sin{(360^{o}-\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\cos{(360^{o}-\theta)}=\cos{\{270^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=\sin{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(270^{o}+A)}=\sin{A}\)

\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}-A)}=\cos{A}\)

\(\cos{(360^{o}-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\tan{(360^{o}-\theta)}=\tan{\{270^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\cot{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(270^{o}+A)}=-\cot{A}\)

\(=-\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \cot{(90^{o}-A)}=\tan{A}\)

\(\tan{(360^{o}-\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(360^{o}-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(360^{o}-\theta)}=\sec {\theta}\) \(\cot{(360^{o}-\theta)}=-\cot{\theta}\)

প্রমাণঃ
পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(360^{o}+\theta)}=\sin{\{270^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(270^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-(-\sin{\theta})\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{\theta}\)
\(\sin{(360^{o}+\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(360^{o}+\theta)}=\cos{\{270^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=\sin{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(270^{o}+A)}=\sin{A}\)

\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}+A)}=\cos{A}\)

\(\cos{(360^{o}+\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\tan{(360^{o}+\theta)}=\tan{\{270^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\cot{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(270^{o}+A)}=-\cot{A}\)

\(=-(-\tan{\theta})\) ➜Note \(\because \cot{(90^{o}+A)}=-\tan{A}\)

\(=\tan{\theta}\)
\(\tan{(360^{o}+\theta)}=\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(360^{o}+\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\sec{(360^{o}+\theta)}=\sec {\theta}\) \(\cot{(360^{o}+\theta)}=\cot{\theta}\)