ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক
Matrix and Determinant
Posted on September 22, 2022, 8:50 am By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের মধ্যে পার্থক্য
Defference between Matrix and Determinant
ম্যাট্রিক্স নির্ণায়ক
১। ম্যাট্রিক্স আয়তাকার বা বর্গাকার যে কোনো আকৃতির হতে পারে। অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে। ১। নির্ণায়ক সর্বদা বর্গাকৃতির হয়ে থাকে। অর্থাৎ নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা সর্বদা সমান হয়।
২। ম্যাট্রিক্সকে তৃতীয় বন্ধনী \([ \ \ ]\) অথবা প্রথম বন্ধনী \(( \ \ )\) অথবা দুই জোড়া উল্লম্ব রেখা \(|| \ \ ||\) এর সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) অথবা \(\left(\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right)\) অথবা \(\left|\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|\right|\) 		২। নির্ণায়ককে দুইটি উল্লম্ব রেখার সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|\)
৩। ম্যাট্রিক্সের কোনো মান নেই। ৩। নির্ণায়কের মান আছে।
৪। কোনো ম্যাট্রিক্সকে যে কোনো সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি ভুক্তিকেই ঐ সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করাকে বুঝায়।
যেমনঃ \(k\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka & kb \\kc & kd \end{bmatrix}\) 		৪। কোনো নির্ণায়ককে যে কোনো সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করলে ঐ নির্ণায়ককের যে কোনো একটি সারি বা কলামের প্রতিটি ভুক্তিকেই ঐ সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করাকে বুঝায়।
যেমনঃ \(k\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}ka & kb \\c & d \end{array}\right|\)
ব্যাতিক্রমী ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Singular and Non-Singular Matrix
ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Singular Matrix
যে বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়, তাকে ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-12\)
\(=0\)
অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Non-Singular Matrix
যে বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(\begin{bmatrix}5 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}5 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=15-12\)
\(=3\)
বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স
Inverse Matrix of a Square Matrix
দুইটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর গুণফল যদি একক ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে এদের একটিকে অপরটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। অর্থাৎ যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। \(A\) এর জন্য একটি একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। \(B\) থাকে যেন \(AB=BA=I\) হয়, (যেখানে, \(I\) হলো একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স) তবে \(B\) ম্যাট্রিক্সকে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।
\(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে \(A^{-1}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অপরপক্ষে \(A\) ম্যাট্রিক্সকেও \(B\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
দ্রষ্টব্যঃ শুধুমাত্র অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।
উদাহরণঃ \(\begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\ \frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) হলে,
\(AB=\begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\\frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-5+6 & -10+10 \\ 3-3 & 6-5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=I\)
আবার,
\(BA=\begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\\frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-5+6 & 4-4 \\ \frac{-15}{2}+\frac{15}{2} & 6-5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=I\)
সুতরাং, \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(B\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A\)
অর্থাৎ \(A=B^{-1}\) এবং \(B=A^{-1}\)
দ্রষ্টব্যঃ দুই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} \ \ d & -b \\-c & \ \ a \end{bmatrix}\)
বর্গ ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট
Adjoint of a Square Matrix
ধরি, \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এবং \(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্টকে সংক্ষেপে \(adj A\) দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং নিম্নোলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
\(adj A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^{t}=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}\) ➜ ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

যেখানে \(A_{ij}=a_{ij}\) এর সহগুণক \(=(-1)^{i+j}\times{a_{ij}}\) এর অনুরাশি।
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাটিক্স নির্ণয়ঃ যদি \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তবে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj A\)
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট
Properties of Inverse Matrix
কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স মূল ম্যাট্রিক্সের সমান। অর্থাৎ \(A\) ম্যাট্রিক্স হলে \((A^{-1})^{-1}=A\)
\(A\) ও \(B\) যদি একই ক্রমের অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে \(AB\) ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে এবং \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের বিপরীত ম্যাট্রিক্স ঐ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের সমান।
অর্থাৎ \(A\) একটি ম্যাট্রিক্স হলে \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^{t}\)
কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকলে তা হবে অনন্য।
অর্থাৎ \(A^{-1}=B\) এবং \(A^{-1}=C\) হলে, \(B=C\)
অব্যাতিক্রমী প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হবে।
অর্থাৎ যদি \(A^{t}=A \Rightarrow \left(A^{-1}\right)^t=A^{-1}\) হয়।
\(A\) ও \(B\) যদি একই ক্রমের অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে \(BA\) ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে এবং \((BA)A^{-1}=B\left(AA^{-1}\right)=B\)
অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স
Orthogonal Matrix
যদি কোনো ম্যাট্রিক্স \((A)\) কে এর ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স \((A^{t})\) দ্বারা গুণ করলে গুণফল অভেদক বা একক ম্যাট্রিক্স হয় অথবা যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তাকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স বলে।
অর্থাৎ \(A^{t}A=AA^{t}=I\) অথবা \(A^{t}=A^{-1}\) হলে, \(A\) ম্যাট্রিক্সটি হলো অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}\) এবং \(C=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{bmatrix}\) প্রত্যেকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
একঘাত সমীকরণ জোট ও এর সমাধান
System of linear equations and it's solution
একঘাত সমীকরণ জোটঃ \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+ ... ... +a_{n}x_{n}=b \) কে \(x_{1}, \ x_{2}, ... ..., \ x_{n}\) চলকের একঘাত সমীকরণ বলা হয়, যেখানে \(a_{1}, \ a_{2}, ... ..., \ a_{n}\) হলো ধ্রুবক।
এইরূপ একাধিক একঘাত সমীকরণকে একত্রে একঘাত সমীকরণ জোট বলা হয়।
নির্ণায়কের সাহায্যে সমসংখ্যক চলক ও সমীকরণবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। সমাধান নির্ণয়ের এই পদ্ধতি ১৭৫০ খ্রিষ্টাব্দে সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার (Gabriel Cramer) straight3 ক্রেমার (১৭০৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৭৫২ খ্রিষ্টাব্দ)
গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার ছিলেন জেনেভান গণিতবিদ। তিনি চিকিত্সক জিন ক্র্যামার এবং অ্যান মাললেট ক্র্যামারের পুত্র ছিলেন। প্রতিষ্ঠা করেন বিধায় একে ক্রেমারের নিয়ম (Cramer's Rule) বলা হয়।
ক্রেমারের নিয়মে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solution of system of linear equations using cramer's rule
দুই চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানঃ ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(a_{1}x+b_{1}y=c_{1} .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y=c_{2} .......(2)\)
এখানে \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি দ্বার গঠিত নির্ণায়ক, \(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|\ne{0}\)
\(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{x}=\left|\begin{array}{c}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|\)
এবং \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{y}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|\)
এখন, \((1)\) ও \((2)\) বজ্রগুণ করে ,
\(a_{1}x+b_{1}y-c_{1}=0\)
\(a_{2}x+b_{2}y-c_{2}=0\)
\(\frac{x}{-b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}}=\frac{y}{-c_{1}a_{2}+c_{2}a_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}}=\frac{y}{c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\left|\begin{array}{c}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{y}{\left|\begin{array}{c}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{1}{D}, \ \frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}\)
\(\therefore x=\frac{D_{x}}{D}, \ y=\frac{D_{y}}{D}\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ জোটের সমাধান।
তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানঃ ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} .......(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} .......(3)\)
এখানে \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি দ্বার গঠিত নির্ণায়ক, \(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\ne{0}\)
\(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{x}=\left|\begin{array}{c}d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\)
\(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{y}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{array}\right|\)
এবং \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{z}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{array}\right|\)
এখন,
\(\frac{x}{D_{x}}=\frac{y}{D_{y}}=\frac{z}{D_{z}}=\frac{1}{D}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{1}{D}, \ \frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}, \ \frac{z}{D_{z}}=\frac{1}{D}\)
\(\therefore x=\frac{D_{x}}{D}, \ y=\frac{D_{y}}{D}, \ z=\frac{D_{z}}{D}\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ জোটের সমাধান।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solution of system of linear equations using inverse myatrix
ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}\)
সমীকরণ জোটটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখে পাই,
\(\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_{1} \\d_{2} \\d_{3} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow AX=B\) যেখানে, \(A=\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}d_{1} \\d_{2} \\d_{3} \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=A^{-1}B\) হতে,
ম্যাট্রিক্স সমতা প্রয়োগ করে \(x, \ y, \ z\) এর মান পাওয়া যায়।
বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস
Trace of Square Matrix
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলির যোগফলকে ঐ বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর ট্রেস বলা হয়।
যেমনঃ
  \(-4\) \(6\) \(3\)  
\( \ \ \ 5\) \(9\) \(7\)
\(-3\) \(7\) \(1\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
যার ট্রেস \(=-4+9+1\)
\(=-4+10\)
\(=6\)
উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) নিম্নের ম্যাট্রিক্সগুলির বিপরীত যোগ্যতা নির্ণয় কর।
\((i)\) \(A=\begin{bmatrix}5 & 4 \\7 & 10 \end{bmatrix}\)
\((ii)\) \(B=\begin{bmatrix}4 & 8 \\5 & 10 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \((i) \ A\) বিপরীত যোগ্য।
\((ii) \ B\) বিপরীত যোগ্য নয়।

উদাহরণ \(2.\) \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 4 \end{bmatrix}\) হলে, \(adj(A)\) এবং \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ 4 & -3 \\-1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \ \ \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(3.\) \(\begin{bmatrix}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & \ \ 1 \\1 & -1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\begin{bmatrix} \ \ 3 & -3 & 3 \\ \ \ 1 & -5 & 3 \\-1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\)
বঃ ২০০১৫ ।

উদাহরণ \(4.\) নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমাধান করঃ
\((a)\)
\(x+4y=11\)
\(4x-y=10\)
উত্তরঃ \((i) \ x=3, \ y=2\)

উদাহরণ \(5.\) নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমাধান করঃ
\((a)\)
\(2x+y-z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
উত্তরঃ \(x=\frac{11}{5}, \ y=\frac{7}{5}, \ z=-\frac{21}{5}\)

উদাহরণ \(5.\) নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমাধান করঃ
\((b)\)
\(2x+y-2z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
উত্তরঃ \(x=1, \ y=2, \ z=-3\)

উদাহরণ \(6.\) ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করঃ
\(x-y+2z=1\)
\(2x+6y-z=2\)
\(x+3y-3z=5\)
উত্তরঃ \(x=\frac{16}{5}, \ y=-1, \ z=-\frac{8}{5}\)

উদাহরণ \(7.\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\((a) \ A\times{C}\) নির্ণয় কর।
\((b) \ A^{-1}\) নির্ণয় কর।
\((c) \ A\times{B}=C\) হলে, ক্রামারের নিয়মে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix}30 \\20 \\27 \end{bmatrix}\)
\((b) \ \frac{1}{7}\begin{bmatrix}-9 & -2 & 12 \\-2 & -2 & 5 \\12 & 5 & -16 \end{bmatrix}\)
\((c) \ \ x=\frac{20}{7}, \ y=\frac{6}{7}, \ z=-\frac{15}{7}\)

উদাহরণ \(8.\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\3 & 2 & 1 \\2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -\frac{5}{13} & \ \ \frac{2}{13} & \ \ \frac{6}{13} \\ \ \ \frac{7}{13} & \ \ \frac{5}{13} & -\frac{11}{13} \\ \ \ \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} & \ \ \frac{4}{13} \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(9.\) \(B=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \\2 & 6 & 4 \\1 & 4 & 6 \end{bmatrix}\) হলে, \(B^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিপরীত যোগ্য নয়।

উদাহরণ \(10.\) \(C=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & \ \ 0 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) হলে, \(C^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -5 & \ \ 4 & -3 \\ \ \ 10 & -7 & \ \ 6 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(11.\) যদি \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 9 \\2x & 2 & 6 \\x^2 & 3 & 3 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1, \ 3\)

উদাহরণ \(12.\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -4 & 1 \\-2 & \ \ 1 & 0 \\-1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 3 & -4 \\3 & 5 & -7 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(13.\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\ -2 & \ \ 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(14.\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 1 & \ \ 2 \\-1 & 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} \ \ x & 2 & y \\ \ \ 1 & 2 & 2 \\-1 & z & 2 \end{bmatrix}\)
\((a) \ A+I=C\) হলে, \(x, \ y, \ z\) নির্ণয় কর।
\((b) \ |2A^{2}|\) নির্ণয় কর।
\((c) \ AB=I\) হলে, \(B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4, \ -1, \ 3\)
\((b) \ 5000\)
\((c) \ -\frac{1}{25}\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\ -3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(15.\) \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} -2 \\ \ \ 1 \\ \ \ 4 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(AX=B\) সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\)
\(\left(\frac{1}{2}, \ 7, \ -\frac{9}{2}\right)\)
রাঃ২০১৬; মাঃ ২০১৫ ।

উদাহরণ \(16.\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}\)
\((a) \ |A|\) নির্ণয় কর।
\((b) \ A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
\((c) \ AX=B\) হলে, ক্রামারের নিয়মে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) -1\)
\((b) \ \begin{bmatrix} \ \ 7 & -3 & -3 \\ -1 & \ \ 0 & \ \ 1 \\ -1 & \ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\((c) \ (1, \ 1, \ 1)\)

উদাহরণ \(17.\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{bmatrix}\)
\((a)\) 'সকল অভেদ ম্যাট্রিক্সেই স্কেলার ম্যাট্রিক্স'- ব্যাখ্যা কর।
\((b) \ \left(A^T\right)^{-1}\) নির্ণয় কর।
\((c) \ AB=C\) হতে প্রাপ্ত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের ( ক্রামারের নিয়মে) সাহায্যে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((b) \ \frac{1}{15}\begin{bmatrix} \ \ 10 & -3 & -11 \\ \ \ 5 & -3 & -1 \\ -5 & \ \ 6 & \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\((c) \ (2, \ 2, \ 1)\)

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024