প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।

এখানে, \(ADB\) ত্রিভুজে \(\sin{B}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\sin{B}\)
\(\therefore AD=c\sin{B} ......(1)\) ➜Note \(\because AB=c\)

১ম চিত্রে , \(ACD\) ত্রিভুজে \(\sin{C}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{C}\)
\(\therefore AD=b\sin{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

২য় চিত্রে , \(ACD\) ত্রিভুজে \(\sin{\angle{ACD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{\angle{ACD}}\)
\(\Rightarrow AD=b\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(\angle{ACD}=\pi-C\)

\(\Rightarrow AD=b\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\therefore AD=b\sin{C} .......(2)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(b\sin{C}=c\sin{B}\)
\(\therefore \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
আবার,
৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ তাহলে \(ABC\) ত্রিভুজে \(\sin{B}=\frac{AC}{AB}\)
\(\Rightarrow AC=AB\sin{B}\)
\(\Rightarrow b=c\sin{B}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{90^{o}}}\) ➜Note \(\because \sin{90^{o}}=1\)

\(\therefore \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) ➜Note \(\because C=90^{o}\)

এখন, \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} ........(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(B\) বিন্দু হতে \(AC\) এর উপর লম্ব অঙ্কন করে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} ........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ হতে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
ধরি, \(ABC\) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং ব্যাসার্ধ \(R\) । ১ম ও ২য় চিত্রে, \(B, \ O\) যোগ করে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন তা বৃত্তের পরিধিকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(D, \ C\) যোগ করি। তৃতীয় চিত্রে, \(\triangle{ABC}\) সমকোণী হওয়ায় \(BD\) রেখা \(BC\) এর সাথে সমাপতিত হবে বা মিলে যাবে।

এখন, ১ম ও ২য় চিত্র হতে,
\(\angle{BCD}=90^{o}\) (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)
যেখানে, \(BD=2R\)
সুতরাং ১ম চিত্রে , \(\triangle{BCD}\) হতে,
\(\sin{\angle{BDC}}=\frac{BC}{BD}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{a}{2R}\) ➜Note \(\because \angle{BDC}=\angle{A}\) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণসমূহ সমান।
\(BC=a\)
এবং \(BD=2R\)

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
আবার,
২য় চিত্র হতে,
\(\angle{BDC}=180^{o}-A\) ➜Note \(\because \) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি\(180^{o}\)
অর্থাৎ \(\angle{BDC}+A=180^{o}\)
\(\therefore \angle{BDC}=180^{o}-A\)

\(\therefore \sin{\angle{BDC}}=\frac{BC}{BD}\)
\(\Rightarrow \sin{(180^{o}-A)}=\frac{a}{2R}\) ➜Note \(\because \angle{BDC}=180^{o}-A\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=2R\)

\(\Rightarrow \sin{(90^{o}\times2-A)}=\frac{a}{2R}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{a}{2R}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
আবার,
৩য় চিত্র হতে,
\(a=BD\)
\(\Rightarrow a=2R\) ➜Note \(\because BD=2R\)

\(\Rightarrow \frac{a}{1}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{90^{o}}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\) ➜Note \(\because A=90^{o}\)

সুতরাং প্রত্যেক ক্ষেত্রে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=2R .......(1)\)
অনুরূপভাবে,
\(A, \ O\) যোগ করে এবং \(C, \ O\) যোগ করে তাদেরকে বৃত্তের পরিধি পর্যন্ত বর্ধিত পৃথকভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\frac{b}{\sin{B}}=2R .......(2)\)
\(\frac{c}{\sin{C}}=2R .......(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(A\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(B\) থেকে \(CA\) এর উপর \(BD\) লম্ব আঁকি যা \(CA\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ বিধায় \(CA\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(BD\) লম্ব, \(BA\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2-2CA.AD .....(1)\)
আবার, \(ABD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\therefore AD=c\cos{A}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\((1)\) হতে,
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) ➜Note \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(AD=c\cos{A}\)

\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(A\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2+2CA.AD .....(2)\)
আবার, \(ABD\) ত্রিভুজে, \(\angle{BAD}=\pi-A\)
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-A)}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-A\right)}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow -\cos{A}=\frac{AD}{AB}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow AD=-AB\cos{A}\)
\(\therefore AD=-c\cos{A}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\((2)\) হতে,
\(a^2=b^2+c^2+2b\times-c\cos{A}\) ➜Note \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(AD=-c\cos{A}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(A\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\) ➜Note \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\times0\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\times\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) ➜Note \(\because 90^{o}=A\)

\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
সুতরাং , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(B\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(B\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(C\) থেকে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি যা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ বিধায় \(AB\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(CD\) লম্ব, \(CB\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2-2AB.BD .....(1)\)
আবার, \(BCD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\therefore BD=a\cos{B}\) ➜Note \(\because BC=a\)

\((1)\) হতে,
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) ➜Note \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=a\cos{B}\)

\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(B\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2+2AB.BD .....(2)\)
আবার, \(BCD\) ত্রিভুজে, \(\angle{CBD}=\pi-B\)
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-B)}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-B\right)}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow -\cos{B}=\frac{BD}{BC}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow BD=-BC\cos{B}\)
\(\therefore BD=-a\cos{B}\) ➜Note \(\because BC=a\)

\((2)\) হতে,
\(b^2=c^2+a^2+2c\times-a\cos{B}\) ➜Note \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=-a\cos{B}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{B}\)
\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(B\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2\) ➜Note \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(BC=a\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\times0\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\times\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) ➜Note \(\because 90^{o}=B\)

\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
সুতরাং , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2-2BC.CD .....(1)\)
আবার, \(ACD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\therefore CD=b\cos{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

\((1)\) হতে,
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
\(AC=b\)
এবং \(CD=b\cos{C}\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(C\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2+2BC.CD .....(2)\)
আবার, \(ACD\) ত্রিভুজে, \(\angle{ACD}=\pi-C\)
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-C)}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow -\cos{C}=\frac{CD}{AC}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow CD=-AC\cos{C}\)
\(\therefore CD=-b\cos{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

\((2)\) হতে,
\(c^2=a^2+b^2+2a\times-b\cos{C}\) ➜Note \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
\(CA=b\)
এবং \(CD=-b\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2\) ➜Note \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(CA=b\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\times0\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\times\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because 90^{o}=C\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
সুতরাং , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার, ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\triangle{ABD}\)-এ
\(\cos{\angle{ABD}}=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow BD=AB\cos{\angle{ABD}}\)
\(\therefore BD=c\cos{B} ....(1)\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\triangle{ACD}\)-এ
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\therefore CD=b\cos{C} ....(2)\) ➜Note \(\because AC=b\)

এখন, \(BC=BD+CD\)
\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\) ➜Note \(\because BC=a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(BD=c\cos{B}\)
এবং \(CD=b\cos{C}\)

২য় চিত্রে , \(C\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{ABD}\)-এ
\(\cos{\angle{ABD}}=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow BD=AB\cos{\angle{ABD}}\)
\(\therefore BD=c\cos{B} ....(3)\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\triangle{ACD}\)-এ
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\Rightarrow CD=b\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(\angle{ACD}=\pi-C\)

\(\Rightarrow CD=b\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\therefore CD=-b\cos{C} .....(4)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

এখন, \(BC=BD-CD\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}-(-b\cos{C})\) ➜Note \(\because BC=a\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(BD=c\cos{B}\)
এবং \(CD=-b\cos{C}\)

\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{ABC}}=\frac{BC}{AB}\)
\(\Rightarrow BC=AB\cos{\angle{ABC}}\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow a=c\cos{B}+b\times0\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}+b\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\) ➜Note \(\because C=90^{o}\)

সুতরাং , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
\(a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(A\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(B\) থেকে \(CA\) এর উপর \(BD\) লম্ব আঁকি যা \(CA\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ বিধায় \(CA\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(BD\) লম্ব, \(BA\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{BCD}}=\frac{CD}{BC}\)
\(\Rightarrow CD=BC\cos{\angle{BCD}}\)
\(\therefore CD=a\cos{C} ....(1)\) ➜Note \(\because BC=a\)

\(\triangle{BAD}\)-এ
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\therefore AD=c\cos{A} ....(2)\) ➜Note \(\because AB=c\)

এখন, \(AC=CD+AD\)
\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\) ➜Note \(\because AC=b\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(CD=a\cos{C}\)
এবং \(AD=c\cos{A}\)

২য় চিত্রে , \(A\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{BAD}\)-এ
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\Rightarrow AD=c\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\Rightarrow AD=c\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-A\right)}\)
\(\therefore AD=-c\cos{A} ....(3)\)➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{BCD}}=\frac{CD}{BC}\)
\(\Rightarrow CD=BC\cos{\angle{BCD}}\)
\(\Rightarrow CD=a\cos{C} ......(4)\) ➜Note \(\because BC=a\)

এখন, \(AC=CD-AD\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}-(-c\cos{A})\) ➜Note \(\because AC=b\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(CD=a\cos{C}\)
এবং \(AD=-c\cos{A}\)

\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\)
৩য় চিত্রে , \(A\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{BCA}}=\frac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow AC=BC\cos{\angle{BCA}}\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(BC=a\)

\(\Rightarrow b=a\cos{C}+c\times0\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}+c\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\) ➜Note \(\because A=90^{o}\)

সুতরাং , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(b=a\cos{C}+c\cos{A}\)
\(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(B\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(B\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(C\) থেকে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি যা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ বিধায় \(AB\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(CD\) লম্ব, \(CB\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(ADC\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\cos{\angle{CAD}}\)
\(\therefore AD=b\cos{A} ....(1)\) ➜Note \(\because AC=b\)

\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\therefore BD=a\cos{B} ....(2)\) ➜Note \(\because BC=a\)

এখন, \(AB=AD+BD\)
\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\) ➜Note \(\because AB=c\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(AD=b\cos{A}\)
এবং \(BD=a\cos{B}\)

২য় চিত্রে , \(B\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{CAD}\)-এ
\(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\cos{\angle{CAD}}\)
\(\therefore AD=b\cos{A} ....(3)\) ➜Note \(\because AC=b\)

\(\triangle{CBD}\)-এ
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\Rightarrow BD=a\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(\angle{CBD}=\pi-B\)

\(\Rightarrow BD=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-B\right)}\)
\(\therefore BD=-a\cos{B} .....(4)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

এখন, \(AB=AD-BD\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}-(-a\cos{B})\) ➜Note \(\because BC=a\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(AD=b\cos{A}\)
এবং \(BD=-a\cos{B}\)

\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\)
৩য় চিত্রে , \(B\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{BAC}}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow AB=AC\cos{\angle{BAC}}\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}\) ➜Note \(\because AB=c\)
এবং \(AC=b\)

\(\Rightarrow c=b\cos{A}+a\times0\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}+a\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\) ➜Note \(\because B=90^{o}\)

সুতরাং , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(c=b\cos{A}+a\cos{B}\)
\(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(2\sin^2{\frac{A}{2}}=1-\cos{A}\)
\(=1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\)
\(=\frac{a^2-(b^2-2bc+c^2)}{2bc}\)
\(=\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(=\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=\frac{(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)}{2bc}\)
\(=\frac{(2s-2c)(2s-2b)}{2bc}\) ➜Note ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(=s\)
অর্থাৎ \(2s=a+b+c\)

\(=\frac{2(s-c)\times2(s-b)}{2bc}\)
\(\therefore 2\sin^2{\frac{A}{2}}=\frac{2(s-c)(s-b)}{bc}\)
\(\Rightarrow \sin^2{\frac{A}{2}}=\frac{(s-c)(s-b)}{bc}\)
\(\therefore \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-b)}{bc}}\) ➜Note \(\because \frac{A}{2}\) সূক্ষ্ণকোণ,
বিধায়, \(\sin{\frac{A}{2}}\) ধনাত্মক।

\(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\)
\(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(2\cos^2{\frac{A}{2}}=1+\cos{A}\)
\(=1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(b^2+2bc+c^2)-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=\frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)}{2bc}\)
\(=\frac{2s(2s-2a)}{2bc}\) ➜Note ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(=s\)
অর্থাৎ \(2s=a+b+c\)

\(=\frac{2s\times2(s-a)}{2bc}\)
\(\therefore 2\cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{2s(s-a)}{bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{bc}\)
\(\therefore \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) ➜Note \(\because \frac{A}{2}\) সূক্ষ্ণকোণ,
বিধায়, \(\cos{\frac{A}{2}}\) ধনাত্মক।

\(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
\(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\tan{\frac{A}{2}}=\frac{\sin{\frac{A}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}{\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
এবং \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}{\frac{s(s-a)}{bc}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\times\frac{bc}{s(s-a)}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)^2(s-c)^2}{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(=\frac{(s-b)(s-c)}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\) ➜Note \(\because \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\triangle\)

\(\therefore \tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}=\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\)
\(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}=\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\)
আবার,
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}\) ➜Note ব্যাস্তকরণ করে,

\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s^2(s-a)^2}{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{A}}=\cot{A}\)
ডান পাশের লব ও হরকে \(\sqrt{s(s-a)}\) দ্বারা গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(\therefore \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব এবং ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রফের \(=\triangle\)
এখন, \(\triangle{ACD}\)-এ
\(\sin{\angle{ACD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{\angle{ACD}}\)
\(\therefore AD=b\sin{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}BC\times{AD}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{b\sin{C}}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(AD=b\sin{C}\)

\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
আবার, \(\triangle{ABD}\)-এ
\(\sin{\angle{ABD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\sin{\angle{ABD}}\)
\(\therefore AD=c\sin{B}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}BC\times{AD}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{c\sin{B}}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(AD=c\sin{B}\)

\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
অনুরূপভাবে, \(B\) বিন্দু হতে \(AC\) এর উপর লম্ব অংকন করে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times \text{যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফল}\times\text{বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের সাইন অনুপাত}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}bc\times2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=bc\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=bc\times\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\times\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
এবং \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)

\(=bc\times\frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}}\times\frac{\sqrt{s(s-a)}}{\sqrt{bc}}\)
\(=bc\times\frac{1}{bc}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\therefore \triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}bc\times{\frac{a}{2R}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}\)

\(=\frac{abc}{4R}\)
\(\therefore \triangle=\frac{abc}{4R}\)
\(\triangle=\frac{abc}{4R}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}\) ➜Note \(\because s=\frac{a+b+c}{2}\)

\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{a+b+c-2a}{2}\times\frac{a+b+c-2b}{2}\times\frac{a+b+c-2c}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{b+c-a}{2}\times\frac{a+c-b}{2}\times\frac{a+b-c}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\}\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)^2-a^2\}\{a^2-(b-c)^2\}}\) ➜Note \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{b^2+2bc+c^2-a^2\}\{a^2-b^2+2bc-c^2\}}\) ➜Note \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{2bc-(a^2-b^2-c^2)\}\{2bc+(a^2-b^2-c^2)\}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc)^2-(a^2-b^2-c^2)^2}\) ➜Note \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2b^2c^2-2c^2a^2)}\) ➜Note \(\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2-2b^2c^2+2c^2a^2}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4}\)
\(=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(\triangle{ABC}\) এর অন্ত কেন্দ্র \(O\) এবং অন্ত ব্যাসার্ধ \(r.\)
এখানে, \(OD\perp{BC}, \ OF\perp{AC}\) এবং \(OF\perp{AB}\)
আবার, \(OD=OE=OF=r\)
চিত্র হতে,
\(\triangle=\triangle{ABC}\)
\(=\triangle{BOC}+\triangle{COA}+\triangle{AOB}\)
\(=\frac{1}{2}BC\times{OD}+\frac{1}{2}AC\times{OE}+\frac{1}{2}AB\times{OF}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{r}+\frac{1}{2}b\times{r}+\frac{1}{2}c\times{r}\) ➜Note \(\because BC=a, \ AC=b, \ AB=c\)
এবং \(OD=OE=OF=r\)

\(=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr\)
\(=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)
\(=\frac{1}{2}r\times{2s}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=rs\)
\(\therefore \triangle=rs\)
\(\triangle=rs\)
\(\text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}=\text{ত্রিভুজের অন্ত ব্যসার্ধ}\times\text{ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}bc\sin{A}=\triangle\)
\(\Rightarrow bc\sin{A}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
আবার,
\(\triangle=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ca\sin{B}=\triangle\)
\(\Rightarrow ca\sin{B}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
\(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
আবার,
\(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin{C}=\triangle\)
\(\Rightarrow ab\sin{C}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)
\(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{\sin{B}}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{\pi-A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow B+C=\pi-A\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
আবার,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{c}{\sin{C}}=\frac{a}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{C}+\sin{A}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\frac{C+A}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\frac{\pi-B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow C+A=\pi-B\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\frac{1}{\tan{\frac{B}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
আবার,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\sin{A}}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\frac{A+B}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\frac{\pi-C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}\)

\(=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times\frac{2R}{a}\)
\(=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
আবার,
\(\cot{B}=\frac{\cos{B}}{\sin{B}}\)
\(=\frac{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{b}{2R}\)

\(=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\times\frac{2R}{b}\)
\(=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
আবার,
\(\cot{C}=\frac{\cos{C}}{\sin{C}}\)
\(=\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\frac{c}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{2R}{c}\)
\(=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)