ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য
Properties of the triangle
Posted on August 24, 2023, 7:15 am By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য
Properties or features of the triangle
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণসহ মোট ছয়টি উপাদান রয়েছে। এ তিনটি বাহু, তিনটি কোণ ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মধ্যে বিভিন্ন সম্পর্ক বিদ্যমান। এই সম্পর্ক গুলিকে ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য বলা হয়।
ত্রিভুজের সাইন সূত্র
The sine formula of the triangle
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
এখানে, \(ADB\) ত্রিভুজে \(\sin{B}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\sin{B}\)
\(\therefore AD=c\sin{B} ......(1)\) ➜ \(\because AB=c\)

১ম চিত্রে , \(ACD\) ত্রিভুজে \(\sin{C}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{C}\)
\(\therefore AD=b\sin{C}\) ➜ \(\because AC=b\)

২য় চিত্রে , \(ACD\) ত্রিভুজে \(\sin{\angle{ACD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{\angle{ACD}}\)
\(\Rightarrow AD=b\sin{(\pi-C)}\) ➜ \(\because AC=b\)
এবং \(\angle{ACD}=\pi-C\)

\(\Rightarrow AD=b\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\therefore AD=b\sin{C} .......(2)\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(b\sin{C}=c\sin{B}\)
\(\therefore \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
আবার,
৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ তাহলে \(ABC\) ত্রিভুজে \(\sin{B}=\frac{AC}{AB}\)
\(\Rightarrow AC=AB\sin{B}\)
\(\Rightarrow b=c\sin{B}\) ➜ \(\because AC=b\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{90^{o}}}\) ➜ \(\because \sin{90^{o}}=1\)

\(\therefore \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) ➜ \(\because C=90^{o}\)

এখন, \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} ........(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(B\) বিন্দু হতে \(AC\) এর উপর লম্ব অঙ্কন করে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} ........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ হতে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
ধরি, \(ABC\) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং ব্যাসার্ধ \(R\) । ১ম ও ২য় চিত্রে, \(B, \ O\) যোগ করে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন তা বৃত্তের পরিধিকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(D, \ C\) যোগ করি। তৃতীয় চিত্রে, \(\triangle{ABC}\) সমকোণী হওয়ায় \(BD\) রেখা \(BC\) এর সাথে সমাপতিত হবে বা মিলে যাবে।
straight3
এখন, ১ম ও ২য় চিত্র হতে,
\(\angle{BCD}=90^{o}\) (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)
যেখানে, \(BD=2R\)
সুতরাং ১ম চিত্রে , \(\triangle{BCD}\) হতে,
\(\sin{\angle{BDC}}=\frac{BC}{BD}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{a}{2R}\) ➜ \(\because \angle{BDC}=\angle{A}\) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণসমূহ সমান।
\(BC=a\)
এবং \(BD=2R\)

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
আবার,
২য় চিত্র হতে,
\(\angle{BDC}=180^{o}-A\) ➜ \(\because \) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি\(180^{o}\)
অর্থাৎ \(\angle{BDC}+A=180^{o}\)
\(\therefore \angle{BDC}=180^{o}-A\)

\(\therefore \sin{\angle{BDC}}=\frac{BC}{BD}\)
\(\Rightarrow \sin{(180^{o}-A)}=\frac{a}{2R}\) ➜ \(\because \angle{BDC}=180^{o}-A\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=2R\)

\(\Rightarrow \sin{(90^{o}\times2-A)}=\frac{a}{2R}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{a}{2R}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
আবার,
৩য় চিত্র হতে,
\(a=BD\)
\(\Rightarrow a=2R\) ➜ \(\because BD=2R\)

\(\Rightarrow \frac{a}{1}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{90^{o}}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\) ➜ \(\because A=90^{o}\)

সুতরাং প্রত্যেক ক্ষেত্রে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=2R .......(1)\)
অনুরূপভাবে,
\(A, \ O\) যোগ করে এবং \(C, \ O\) যোগ করে তাদেরকে বৃত্তের পরিধি পর্যন্ত বর্ধিত পৃথকভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\frac{b}{\sin{B}}=2R .......(2)\)
\(\frac{c}{\sin{C}}=2R .......(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
ত্রিভুজের কোসাইন সূত্র
The cosine formula of the triangle
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(A\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(B\) থেকে \(CA\) এর উপর \(BD\) লম্ব আঁকি যা \(CA\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ বিধায় \(CA\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(BD\) লম্ব, \(BA\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
১ম চিত্রে , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2-2CA.AD .....(1)\)
আবার, \(ABD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\therefore AD=c\cos{A}\) ➜ \(\because AB=c\)

\((1)\) হতে,
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) ➜ \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(AD=c\cos{A}\)

\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(A\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2+2CA.AD .....(2)\)
আবার, \(ABD\) ত্রিভুজে, \(\angle{BAD}=\pi-A\)
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-A)}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-A\right)}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow -\cos{A}=\frac{AD}{AB}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow AD=-AB\cos{A}\)
\(\therefore AD=-c\cos{A}\) ➜ \(\because AB=c\)

\((2)\) হতে,
\(a^2=b^2+c^2+2b\times-c\cos{A}\) ➜ \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(AD=-c\cos{A}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(A\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\) ➜ \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\times0\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\times\cos{90^{o}}\) ➜ \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) ➜ \(\because 90^{o}=A\)

\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
সুতরাং , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(B\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(B\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(C\) থেকে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি যা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ বিধায় \(AB\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(CD\) লম্ব, \(CB\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
১ম চিত্রে , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2-2AB.BD .....(1)\)
আবার, \(BCD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\therefore BD=a\cos{B}\) ➜ \(\because BC=a\)

\((1)\) হতে,
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) ➜ \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=a\cos{B}\)

\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(B\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2+2AB.BD .....(2)\)
আবার, \(BCD\) ত্রিভুজে, \(\angle{CBD}=\pi-B\)
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-B)}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-B\right)}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow -\cos{B}=\frac{BD}{BC}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow BD=-BC\cos{B}\)
\(\therefore BD=-a\cos{B}\) ➜ \(\because BC=a\)

\((2)\) হতে,
\(b^2=c^2+a^2+2c\times-a\cos{B}\) ➜ \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=-a\cos{B}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{B}\)
\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(B\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2\) ➜ \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(BC=a\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\times0\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\times\cos{90^{o}}\) ➜ \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) ➜ \(\because 90^{o}=B\)

\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
সুতরাং , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
১ম চিত্রে , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2-2BC.CD .....(1)\)
আবার, \(ACD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\therefore CD=b\cos{C}\) ➜ \(\because AC=b\)

\((1)\) হতে,
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜ \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
\(AC=b\)
এবং \(CD=b\cos{C}\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(C\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2+2BC.CD .....(2)\)
আবার, \(ACD\) ত্রিভুজে, \(\angle{ACD}=\pi-C\)
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-C)}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow -\cos{C}=\frac{CD}{AC}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow CD=-AC\cos{C}\)
\(\therefore CD=-b\cos{C}\) ➜ \(\because AC=b\)

\((2)\) হতে,
\(c^2=a^2+b^2+2a\times-b\cos{C}\) ➜ \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
\(CA=b\)
এবং \(CD=-b\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2\) ➜ \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(CA=b\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\times0\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\times\cos{90^{o}}\) ➜ \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜ \(\because 90^{o}=C\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
সুতরাং , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে তার ওপর অবস্থিত কোণ ও অপর বাহুদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ
Each side of the triangle is expressed by the angle on it and the other side
\(a=b\cos{C}+c\cos{B}\)
\(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার, ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
১ম চিত্রে , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\triangle{ABD}\)-এ
\(\cos{\angle{ABD}}=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow BD=AB\cos{\angle{ABD}}\)
\(\therefore BD=c\cos{B} ....(1)\) ➜ \(\because AB=c\)

\(\triangle{ACD}\)-এ
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\therefore CD=b\cos{C} ....(2)\) ➜ \(\because AC=b\)

এখন, \(BC=BD+CD\)
\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\) ➜ \(\because BC=a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(BD=c\cos{B}\)
এবং \(CD=b\cos{C}\)

২য় চিত্রে , \(C\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{ABD}\)-এ
\(\cos{\angle{ABD}}=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow BD=AB\cos{\angle{ABD}}\)
\(\therefore BD=c\cos{B} ....(3)\) ➜ \(\because AB=c\)

\(\triangle{ACD}\)-এ
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\Rightarrow CD=b\cos{(\pi-C)}\) ➜ \(\because AC=b\)
এবং \(\angle{ACD}=\pi-C\)

\(\Rightarrow CD=b\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\therefore CD=-b\cos{C} .....(4)\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

এখন, \(BC=BD-CD\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}-(-b\cos{C})\) ➜ \(\because BC=a\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(BD=c\cos{B}\)
এবং \(CD=-b\cos{C}\)

\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{ABC}}=\frac{BC}{AB}\)
\(\Rightarrow BC=AB\cos{\angle{ABC}}\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}\) ➜ \(\because BC=a\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow a=c\cos{B}+b\times0\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}+b\cos{90^{o}}\) ➜ \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\) ➜ \(\because C=90^{o}\)

সুতরাং , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
\(a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(A\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(B\) থেকে \(CA\) এর উপর \(BD\) লম্ব আঁকি যা \(CA\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ বিধায় \(CA\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(BD\) লম্ব, \(BA\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
১ম চিত্রে , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{BCD}}=\frac{CD}{BC}\)
\(\Rightarrow CD=BC\cos{\angle{BCD}}\)
\(\therefore CD=a\cos{C} ....(1)\) ➜ \(\because BC=a\)

\(\triangle{BAD}\)-এ
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\therefore AD=c\cos{A} ....(2)\) ➜ \(\because AB=c\)

এখন, \(AC=CD+AD\)
\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\) ➜ \(\because AC=b\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(CD=a\cos{C}\)
এবং \(AD=c\cos{A}\)

২য় চিত্রে , \(A\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{BAD}\)-এ
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\Rightarrow AD=c\cos{(\pi-A)}\) ➜ \(\because AB=c\)

\(\Rightarrow AD=c\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-A\right)}\)
\(\therefore AD=-c\cos{A} ....(3)\)➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{BCD}}=\frac{CD}{BC}\)
\(\Rightarrow CD=BC\cos{\angle{BCD}}\)
\(\Rightarrow CD=a\cos{C} ......(4)\) ➜ \(\because BC=a\)

এখন, \(AC=CD-AD\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}-(-c\cos{A})\) ➜ \(\because AC=b\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(CD=a\cos{C}\)
এবং \(AD=-c\cos{A}\)

\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\)
৩য় চিত্রে , \(A\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{BCA}}=\frac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow AC=BC\cos{\angle{BCA}}\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}\) ➜ \(\because AC=b\)
এবং \(BC=a\)

\(\Rightarrow b=a\cos{C}+c\times0\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}+c\cos{90^{o}}\) ➜ \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\) ➜ \(\because A=90^{o}\)

সুতরাং , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(b=a\cos{C}+c\cos{A}\)
\(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(B\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(B\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(C\) থেকে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি যা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ বিধায় \(AB\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(CD\) লম্ব, \(CB\) রেখার সাথে মিলে যায়।
straight3
১ম চিত্রে , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(ADC\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\cos{\angle{CAD}}\)
\(\therefore AD=b\cos{A} ....(1)\) ➜ \(\because AC=b\)

\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\therefore BD=a\cos{B} ....(2)\) ➜ \(\because BC=a\)

এখন, \(AB=AD+BD\)
\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\) ➜ \(\because AB=c\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(AD=b\cos{A}\)
এবং \(BD=a\cos{B}\)

২য় চিত্রে , \(B\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{CAD}\)-এ
\(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\cos{\angle{CAD}}\)
\(\therefore AD=b\cos{A} ....(3)\) ➜ \(\because AC=b\)

\(\triangle{CBD}\)-এ
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\Rightarrow BD=a\cos{(\pi-B)}\) ➜ \(\because BC=a\)
এবং \(\angle{CBD}=\pi-B\)

\(\Rightarrow BD=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-B\right)}\)
\(\therefore BD=-a\cos{B} .....(4)\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

এখন, \(AB=AD-BD\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}-(-a\cos{B})\) ➜ \(\because BC=a\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(AD=b\cos{A}\)
এবং \(BD=-a\cos{B}\)

\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\)
৩য় চিত্রে , \(B\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{BAC}}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow AB=AC\cos{\angle{BAC}}\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}\) ➜ \(\because AB=c\)
এবং \(AC=b\)

\(\Rightarrow c=b\cos{A}+a\times0\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}+a\cos{90^{o}}\) ➜ \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\) ➜ \(\because B=90^{o}\)

সুতরাং , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(c=b\cos{A}+a\cos{B}\)
\(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)
ত্রিভুজের অর্ধ কোণসমূহের সাইন অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ
Express through the sine ratio of the half angles of the triangle
\(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
\(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\)
\(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(2\sin^2{\frac{A}{2}}=1-\cos{A}\)
\(=1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ➜ \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\)
\(=\frac{a^2-(b^2-2bc+c^2)}{2bc}\)
\(=\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\) ➜ \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(=\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}\) ➜ \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=\frac{(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)}{2bc}\)
\(=\frac{(2s-2c)(2s-2b)}{2bc}\) ➜ ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(=s\)
অর্থাৎ \(2s=a+b+c\)

\(=\frac{2(s-c)\times2(s-b)}{2bc}\)
\(\therefore 2\sin^2{\frac{A}{2}}=\frac{2(s-c)(s-b)}{bc}\)
\(\Rightarrow \sin^2{\frac{A}{2}}=\frac{(s-c)(s-b)}{bc}\)
\(\therefore \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-b)}{bc}}\) ➜ \(\because \frac{A}{2}\) সূক্ষ্ণকোণ,
বিধায়, \(\sin{\frac{A}{2}}\) ধনাত্মক।

\(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\)
\(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)
ত্রিভুজের অর্ধ কোণসমূহের কোসাইন অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ
Express through the cosine ratio of the half angles of the triangle
\(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
\(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(2\cos^2{\frac{A}{2}}=1+\cos{A}\)
\(=1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ➜ \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(b^2+2bc+c^2)-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\) ➜ \(\because a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\) ➜ \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=\frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)}{2bc}\)
\(=\frac{2s(2s-2a)}{2bc}\) ➜ ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(=s\)
অর্থাৎ \(2s=a+b+c\)

\(=\frac{2s\times2(s-a)}{2bc}\)
\(\therefore 2\cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{2s(s-a)}{bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{bc}\)
\(\therefore \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) ➜ \(\because \frac{A}{2}\) সূক্ষ্ণকোণ,
বিধায়, \(\cos{\frac{A}{2}}\) ধনাত্মক।

\(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
\(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)
ত্রিভুজের অর্ধ কোণসমূহের ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্ট অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ
Express through the tangent and cotangent ratio of the half angles of the triangle
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)\(=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}\)\(=\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\)
\(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\)\(=\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\tan{\frac{A}{2}}=\frac{\sin{\frac{A}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}{\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}}\) ➜ \(\because \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
এবং \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}{\frac{s(s-a)}{bc}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\times\frac{bc}{s(s-a)}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)^2(s-c)^2}{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(=\frac{(s-b)(s-c)}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\) ➜ \(\because \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\triangle\)

\(\therefore \tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}=\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\)
\(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}=\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\)
আবার,
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}\) ➜ ব্যাস্তকরণ করে,

\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s^2(s-a)^2}{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan{A}}=\cot{A}\)
ডান পাশের লব ও হরকে \(\sqrt{s(s-a)}\) দ্বারা গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(\therefore \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of a triangle
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\)\(\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\triangle=\frac{abc}{4R}\)
\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-\)\(a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব এবং ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রফের \(=\triangle\) straight3
এখন, \(\triangle{ACD}\)-এ
\(\sin{\angle{ACD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{\angle{ACD}}\)
\(\therefore AD=b\sin{C}\) ➜ \(\because AC=b\)

\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}BC\times{AD}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{b\sin{C}}\) ➜ \(\because BC=a\)
এবং \(AD=b\sin{C}\)

\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
আবার, \(\triangle{ABD}\)-এ
\(\sin{\angle{ABD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\sin{\angle{ABD}}\)
\(\therefore AD=c\sin{B}\) ➜ \(\because AB=c\)

\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}BC\times{AD}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{c\sin{B}}\) ➜ \(\because BC=a\)
এবং \(AD=c\sin{B}\)

\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
অনুরূপভাবে, \(B\) বিন্দু হতে \(AC\) এর উপর লম্ব অংকন করে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times \text{যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফল}\times\text{বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের সাইন অনুপাত}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}bc\times2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜ \(\because \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=bc\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=bc\times\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\times\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) ➜ \(\because \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
এবং \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)

\(=bc\times\frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}}\times\frac{\sqrt{s(s-a)}}{\sqrt{bc}}\)
\(=bc\times\frac{1}{bc}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\therefore \triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}bc\times{\frac{a}{2R}}\) ➜ \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}\)

\(=\frac{abc}{4R}\)
\(\therefore \triangle=\frac{abc}{4R}\)
\(\triangle=\frac{abc}{4R}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}\) ➜ \(\because s=\frac{a+b+c}{2}\)

\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{a+b+c-2a}{2}\times\frac{a+b+c-2b}{2}\times\frac{a+b+c-2c}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{b+c-a}{2}\times\frac{a+c-b}{2}\times\frac{a+b-c}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\}\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)^2-a^2\}\{a^2-(b-c)^2\}}\) ➜ \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{b^2+2bc+c^2-a^2\}\{a^2-b^2+2bc-c^2\}}\) ➜ \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{2bc-(a^2-b^2-c^2)\}\{2bc+(a^2-b^2-c^2)\}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc)^2-(a^2-b^2-c^2)^2}\) ➜ \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2b^2c^2-2c^2a^2)}\) ➜ \(\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2-2b^2c^2+2c^2a^2}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4}\)
\(=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
অন্ত ব্যাসার্ধের সাহায্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of a triangle with the help of inner radius
\(\triangle=rs\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(\triangle{ABC}\) এর অন্ত কেন্দ্র \(O\) এবং অন্ত ব্যাসার্ধ \(r.\) straight3
এখানে, \(OD\perp{BC}, \ OF\perp{AC}\) এবং \(OF\perp{AB}\)
আবার, \(OD=OE=OF=r\)
চিত্র হতে,
\(\triangle=\triangle{ABC}\)
\(=\triangle{BOC}+\triangle{COA}+\triangle{AOB}\)
\(=\frac{1}{2}BC\times{OD}+\frac{1}{2}AC\times{OE}+\frac{1}{2}AB\times{OF}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{r}+\frac{1}{2}b\times{r}+\frac{1}{2}c\times{r}\) ➜ \(\because BC=a, \ AC=b, \ AB=c\)
এবং \(OD=OE=OF=r\)

\(=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr\)
\(=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)
\(=\frac{1}{2}r\times{2s}\) ➜ \(\because a+b+c=2s\)

\(=rs\)
\(\therefore \triangle=rs\)
\(\triangle=rs\)
\(\text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}=\text{ত্রিভুজের অন্ত ব্যসার্ধ}\times\text{ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা}\)
ত্রিভুজের কোণের সাইনের সহিত ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক
The relation of area with the sign of the angle of a triangle
\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
\(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
\(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}bc\sin{A}=\triangle\)
\(\Rightarrow bc\sin{A}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
আবার,
\(\triangle=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ca\sin{B}=\triangle\)
\(\Rightarrow ca\sin{B}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
\(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
আবার,
\(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin{C}=\triangle\)
\(\Rightarrow ab\sin{C}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)
\(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)
ত্রিভুজের ট্যানজেন্ট সূত্র
The tangent formula of the triangle
\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
\(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{\sin{B}}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜ বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜ \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{\pi-A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜ \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow B+C=\pi-A\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
আবার,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{c}{\sin{C}}=\frac{a}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{C}+\sin{A}}\) ➜ বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\frac{C+A}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜ \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\frac{\pi-B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜ \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow C+A=\pi-B\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\frac{1}{\tan{\frac{B}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
আবার,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\sin{A}}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\) ➜ বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\frac{A+B}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜ \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\frac{\pi-C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜ \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜ straight3
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)
ত্রিভুজের কোট্যানজেন্ট সূত্র
The cotangent formula of the triangle
\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}\)

\(=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times\frac{2R}{a}\)
\(=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
আবার,
\(\cot{B}=\frac{\cos{B}}{\sin{B}}\)
\(=\frac{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R}}\) ➜ \(\because \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{b}{2R}\)

\(=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\times\frac{2R}{b}\)
\(=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
আবার,
\(\cot{C}=\frac{\cos{C}}{\sin{C}}\)
\(=\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\frac{c}{2R}}\) ➜ \(\because \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{2R}{c}\)
\(=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) যদি কোনো ত্রিভুজে \(A=60^{o}\) হয় তবে দেখাও যে, \(b+c=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
বঃ ২০১৪, ২০০৯; যঃ২০১৩; কুঃ২০১১; সিঃ২০১০,২০০১; ঢাঃ২০১০; রাঃ২০০৯।

\(Ex.2.\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
মাঃ ২০১৪, ২০০৯; যঃ২০১৭,২০১৪,২০১২,২০০৯; সিঃ২০১৯,২০১১,২০০৬; ঢাঃ২০১৩,২০০৭; কুঃ২০১৩; বঃ২০১২,২০১০; রাঃ, চঃ ২০১২,২০০৮।

\(Ex.3.\) যদি \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\) হয় তবে দেখাও যে, \(ABC\) ত্রিভুজে \(C=60^{o}\)
কুঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১; সিঃ ২০১২,২০০৮,২০০৪; ঢাঃ ২০১২,২০০৫; বঃ ২০১১; মাঃ ২০১০; রাঃ ২০১৬,২০০৬; যঃ ২০১৩।

straight3
\(Ex.4.\)
\((a)\) দেখাও যে, \((b+c)\sin{\frac{A}{2}}=a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\((b)\) যদি \(a^4+b^4+c^4=2c^2(a^2+b^2)\) হয় তবে দেখাও যে, \(C=45^{o}\) অথবা \(135^{o}\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১১,২০০৬; রাঃ ২০১৪,২০১০,২০০৪; চঃ ২০১৪,২০০৩; দিঃ ২০১২;যঃ ২০১১,২০০৬; মাঃ ২০১১; কুঃ ২০০৮,২০০৬; বঃ ২০০৮।
\((c)\) \(a=\sqrt{3}+1, \ b=\sqrt{3}-1\) এবং \(C=60^{o}\) হলে \(c, \ A\) ও \(B\) নির্ণয় কর।
ঢাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯।

straight3
\(Ex.5.\)
\(\triangle{ABC}\) এর পরি ব্যাসার্ধ \(R\)
\((a)\) \(A+B=105^{o}\) হলে \(\sin{C}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(a^2+b^2+c^2=8R^2(1+\cos{A}\cos{B}\cos{C})\)
\((c)\) \(\triangle{PQR}\) এর ক্ষেত্রে \(\frac{1}{PQ+PS}=\frac{3}{PS+PQ+QS}-\frac{1}{PS+QS}\) হলে \(\angle{Q}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\((a)\) \(\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\)
\((c)\) \(60^{o}\)

\(Ex.6.\) যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)

\(Ex.7.\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)

\(Ex.8.\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)

straight3
\(Ex.9.\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)
\((b)\) উদ্দীপকের ত্রিভুজে যদি \(\cot{A}+\cot{A}+\cot{A}=\sqrt{3}\) হয় তবে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।
\((c)\) উদ্দীপকের ত্রিভুজের যে কোনো দুইটি কোণের কোসাইনের অনুপাত তাদের বিপরীত বাহুর সাথে ব্যস্তভেদে অন্বিত হলে, প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু অথবা সমকোণী।

straight3
\(Ex.10.\) একজন চরকা নির্মাতা তার নির্মিত চরকায় সাদা, কালো ও লাল এই তিন প্রকারের সিলিকন প্লেট ব্যবহার করেন। সাদা, কালো ও লাল প্রকারের প্লেটের মূল্য যথাক্রমে বর্গ সেমি প্রতি \(40\) টাকা, \(30\) টাকা ও \(25\) টাকা।
\((a)\) দেখাও যে, \(\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}=2\cos{x}+1\)
\((b)\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(b+c=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\((c)\) \(b=c=4\) হলে, চর্কার দাগাংকিত অংশ লাল, ছায়াঘেরা অংশ কালো এবং বাকি অংশ সাদা প্লেট দ্বারা তৈরি করতে মোট কত খরচ হবে?

\(Ex.11.\) \(\triangle{ABC}\) এ \(c=3.8\) সে.মি. \(a=5.2\) সে.মি. এবং \(A=35^{o}\) হলে, \(B\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(120.2^{o}\)

\(Ex.12.\) প্রাচীর দিয়ে ঘেরা একটি ত্রিভুজাকার জমির ক্ষেত্রফল \(1200\) বর্গ মিটার, ক্ষুদ্রাকৃতির দুই পাশের প্রাচীরের দৈর্ঘ্য যুথাক্রমে \(60\) মি. এবং \(80\) মি. হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত? সম্পূর্ণ প্রাচীরের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(150^{o}, \ 275.47\) মি.

\(Ex.13.\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}\)
\(s=\cos{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\)
\((a)\) \(\triangle{ABC}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a, \ b, \ c\) যেখানে \(a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab.\) \(C\) কোণের মান নির্ণয় কর।
\((b)\) যদি \(p+q=c, \ r+s=d\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
\((c)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
উত্তরঃ \( C=45^{o}\)
ঢঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর
\(Q.1.(i)\) \(\frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}=\tan{\frac{B-C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}\)
রাঃ ২০১০; কুঃ,সিঃ ২০০৮।

যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর
\(Q.1.(ii)\) \(\frac{a-b}{a+b}=\tan{\frac{A-B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}\)
অথবা, \((a+b)\tan{\frac{A-B}{2}}=(a-b)\cot{\frac{C}{2}}\)
যঃ ২০০৯।

\(Q.1.(iii)\) \(\sin{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}\)
চঃ ২০১৯,২০০৭; কুঃ ২০১৩,২০০৭; দিঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬।

\(Q.1.(iv)\) \(\cos{\frac{B-C}{2}}=\frac{b+c}{a}\sin{\frac{A}{2}}\)
যঃ ২০১৬,২০১৩,২০১০; সিঃ,চঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১২,২০০২; মাঃ ২০১২।

\(Q.1.(v)\) \(a\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}=a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
সিঃ ২০১১,২০০৯; ঢাঃ ২০১০; চঃ ২০১১।

\(Q.1.(vi)\) \(AC\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(AB+BC)\sin{\frac{B}{2}}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{a-b}{c}cosec \ {\frac{A-B}{2}}=\sec{\frac{C}{2}}\)
চঃ ২০১৯।

\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(\frac{b+c}{a}\sin{\frac{A}{2}}=\cos{\frac{B-C}{2}}\)
চঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১২,২০০২; যঃ ২০১৩,২০১০; বঃ ২০০৩; মাঃ ২০১২।

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{c+a}{b}\sin{\frac{B}{2}}=\cos{\frac{C-A}{2}}\)

\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(\frac{a+b}{c}\sin{\frac{C}{2}}=\cos{\frac{A-B}{2}}\)

\(Q.1.(xi)\) দেখাও যে, \(a\sin{\left(\frac{A}{2}+C\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}=\sin{\frac{B-C}{2}}\)
চঃ ২০১৯,২০০৭; কুঃ ২০১৩,২০০৭; দিঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬।

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)
কুঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০১।

\(Q.1.(xiv)\) \(\sin{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{\sin{(B-C)}}{\sin{A}}=\frac{b\cos{C}-c\cos{B}}{b\cos{C}+c\cos{B}}\)

Read Short Question
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর
\(Q.2.(i)\) \((b+c)\cos{A}+(c+a)\cos{B}+(a+b)\cos{C}=a+b+c\)
রাঃ ২০১৪; সিঃ ২০০৭,২০০৩; বঃ ২০০৫।

যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর
\(Q.2.(ii)\) \(a(\cos{B}+\cos{C})=2(b+c)\sin^2{\frac{A}{2}}\)
সিঃ ২০১৪,২০০৩; চঃ ২০১৩, ২০০৯,‌২০০৬; বঃ ২০১৩,২০০৪; ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০০।

\(Q.2.(iii)\) \(a(\cos{C}-\cos{B})=2(b-c)\cos^2{\frac{A}{2}}\)
বঃ ২০১৫; সিঃ ২০১২, ২০১০; ঢাঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০৯।

\(Q.2.(iv)\) \(a^2(\cos^2{B}-\cos^2{C})+b^2(\cos^2{C}-\cos^2{A})+\)\(c^2(\cos^2{A}-\cos^2{B})=0\)
যঃ ২০১২,২০০৭,২০০৪; রাঃ ২০০৭, ২০০২; চঃ ২০০৪,২০০০।

\(Q.2.(v)\) \(a^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})+b^2(\sin^2{C}-\sin^2{A})+\)\(c^2(\sin^2{A}-\sin^2{B})=0\)
যঃ, চঃ ২০০৮।

\(Q.2.(vi)\) \(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=\frac{s}{R}\)
বঃ ২০০৫; মাঃ ২০০০।

\(Q.2.(vii)\) \(a\sin{(B-C)}+b\sin{(C-A)}+\)\(c\sin{(A-B)}=0\)
মাঃ ২০০৩।

\(Q.2.(viii)\) \(\cos{C}-\cos{B}=\frac{2(b-c)}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}\)
বঃ ২০১৫; সিঃ ২০১২,২০১০; ঢাঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০৯।

\(Q.2.(ix)\) \((b-c)\sin{A}+(c-a)\sin{B}+(a-b)\sin{C}=0\)

\(Q.2.(x)\) \(a(\sin{B}-\sin{C})+b(\sin{C}-\sin{A})+\)\(c(\sin{A}-\sin{B})=0\)

\(Q.2.(xi)\) \((a+b+c)\left(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}\right)=2c\cot{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(xii)\) \((b+c-a)\tan{\frac{A}{2}}=(c+a-b)\tan{\frac{B}{2}}=\)\((a+b-c)\tan{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\cos{(B-C)}+\cos{A}=\frac{bc}{2R^2}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(2\left(a\sin^2{\frac{C}{2}}+c\sin^2{\frac{A}{2}}\right)=c+a-b\)

Read Board Question2
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর
\(Q.3.(i)\) \(a\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}+b\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}+\)\(c\sin{\frac{C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}=0\)
রাঃ ২০০৩।

যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর
\(Q.3.(ii)\) \(\frac{b^2-c^2}{a^2}\sin{2A}+\frac{c^2-a^2}{b^2}\sin{2B}+\frac{a^2-b^2}{c^2}\sin{2C}=0\)

\(Q.3.(iii)\) \(a^3\cos{(B-C)}+b^3\cos{(C-A)}+\)\(c^3\cos{(A-B)}=3abc\)
বঃ ২০০৩।

\(Q.3.(iv)\) \(b^2\sin{2C}+c^2\sin{2B}=4\triangle=2bc\sin{A}\)

\(Q.3.(v)\) \(c^2=(a-b)^2\cos^2{\frac{C}{2}}+(a+b)^2\sin^2{\frac{C}{2}}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{1}{a}\sin{A}+\frac{1}{b}\sin{B}+\frac{1}{c}\sin{C}=\frac{6\triangle}{abc}\)

\(Q.3.(vii)\) \(\frac{1}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{1}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{1}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}=\frac{s^2}{abc}\)

\(Q.3.(viii)\) \((b-c)\cot{\frac{A}{2}}+(c-a)\cot{\frac{B}{2}}+\)\((a-b)\cot{\frac{C}{2}}=0\)
মাঃ ২০০১।

\(Q.3.(ix)\) \(bc\cos^2{\frac{A}{2}}+ca\cos^2{\frac{B}{2}}+ab\cos^2{\frac{C}{2}}=s^2\)
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪; বুয়েটঃ ২০০০-২০০১।

\(Q.3.(x)\) \(\frac{b-c}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{c-a}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{a-b}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}=0\)

\(Q.3.(xi)\) \((b^2-c^2)\sin^2{A}+(c^2-a^2)\sin^2{B}+\)\((a^2-b^2)\sin^2{C}=0\)

\(Q.3.(xii)\) \(a^3\sin{(B-C)}+b^3\sin{(C-A)}+\)\(c^3\sin{(A-B)}=0\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{a\sin{(B-C)}}{b^2-c^2}=\frac{b\sin{(C-A)}}{c^2-a^2}=\frac{c\sin{(A-B)}}{a^2-b^2}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{A}}+\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{B}}+\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{C}}=0\)

\(Q.3.(xv)\) \(\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}+\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{C}+\sin{A}}+\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{A}+\sin{B}}=0\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{b^2-c^2}{\cos{B}+\cos{C}}+\frac{c^2-a^2}{\cos{C}+\cos{A}}+\frac{a^2-b^2}{\cos{A}+\cos{B}}=0\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\frac{a^2-b^2}{2}.\frac{\sin{A}\sin{B}}{\sin{(A-B)}}=\triangle\)

\(Q.3.(xviii)\) \(4\triangle(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})=a^2+b^2+c^2\)

\(Q.3.(xix)\) \((b^2-c^2)\cot{A}+(c^2-a^2)\cot{B}+\)\((a^2-b^2)\cot{C}=0\)

\(Q.3.(xx)\) \(a\sin{B}\sin{C}+b\sin{C}\sin{A}+c\sin{A}\sin{B}=\frac{3\triangle}{R}\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\frac{\cos{B}\cos{C}}{bc}+\frac{\cos{C}\cos{A}}{ca}+\frac{\cos{A}\cos{B}}{ab}=\frac{1}{4R^2}\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\frac{2\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}}{\cot{A}-\cot{B}+2\cot{C}}=\frac{b^2+c^2}{2b^2-c^2}\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(a^2+b^2+c^2=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+\)\(ab\cos{C})\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\frac{(b+c)\cos{A}+(c+a)\cos{B}+(a+b)\cos{C}}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}=\frac{a}{\sin{A}}=2R\)

Read Board Question3
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(\triangle{PQR}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে \(p, \ q, \ r\) এবং \(p^2+q^2-r^2=\sqrt{2}pq\) হয়, তবে \(R\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}\)
কুঃ২০১৭।

\(Q.4.(ii)\) \(\triangle{ABC}\) এর পরিসীমা \(2s\) এবং \(4s(s-b)=3ca\) হলে, \(\angle{B}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)
চঃ২০১৭।

\(Q.4.(iii)\) যদি \((a+b+c)(b+c-a)=3bc\) হয়, তবে \(\angle{A}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)
ঢাঃ ২০১৬,২০০৮; দিঃ ২০১৪,২০১১; রাঃ ২০০১৩,২০১১,২০০৭; সিঃ ২০১০; যঃ ২০০৮, ২০০৫।

\(Q.4.(iv)\) \(c^4-2(a^2+b^2)c^2+a^4+a^2b^2+b^4=0\) হলে দেখাও যে, \(C=60^{o}\) অথবা, \(120^{o}\)

\(Q.4.(v)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(C=60^{o}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\)

\(Q.4.(vi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ২০১৮।

\(Q.4.(vii)\) \(\frac{1}{\sec{A}}=\frac{1}{cosec \ {C}}-\frac{1}{\sec{B}}\) হলে \(\triangle{ABC}\)-এর কোন কোণটি সমকোণ তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}\)
চঃ ২০১৭।

\(Q.4.(viii)\) \(\triangle{XYZ}\)-এ \(\angle{Y}=15^{o}\) এবং \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\angle{X}+\angle{Y}=\angle{Z}\)
সিঃ ২০১৭।

\(Q.4.(ix)\) যদি ত্রিভুজের বাহুগুলি \(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}, \ \frac{z}{x}+\frac{x}{y}, \ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\) হয়, তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}}\) বর্গ একক।
ঢাঃ২০১৪; সিঃ২০০৭।

\(Q.4.(x)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(a=13cm, \ b=7cm\) এবং \(c=8cm.\) \(\angle{A}\) এর সাহায্যে \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24.25\) বর্গ একক।
কুঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xi)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(13, \ 14, \ 15\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(84\) বর্গ একক।
ঢাঃ২০০৯; যঃ২০০৭; বঃ২০০২; বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫।

\(Q.4.(xii)\) \(\triangle{ABC}\)-এর বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(3:4:5\) এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(24\) বর্গ সে.মি. হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6cm, \ 8cm, \ 10cm\)
বি আই টিঃ২০০০-২০০১।

straight3
\(Q.4.(xiii)\) চিত্রের সাহায্যে \(b\) এবং \(c\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b=3.76, \ c=5.06\)
ঢাঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xiv)\) \(\triangle{ABC}\)-এ যদি \(A=75^{o}, \ B=45^{o}\) হয় তবে দেখাও যে, \(c:b=\sqrt{3}:\sqrt{2}\)
বঃ ২০০৭।

\(Q.4.(xv)\) \(\triangle{ABC}\)-এ যদি \(A=45^{o}, \ B=75^{o}\) হয় তবে দেখাও যে, \(a+\sqrt{2}c=2b\)

\(Q.4.(xvi)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(a=\sqrt{3}b\) এবং \(A=2B\) ত্রিভুজটির কোণগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}, \ 30^{o}, \ 90^{o}\)
বঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xvii)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(a=2b\) এবং \(A=3B\) ত্রিভুজটির কোণগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(90^{o}, \ 30^{o}, \ 60^{o}\)
কুঃ ২০১৯,২০০৯; ঢাঃ ২০১৬,২০০৮; রাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭ ;দিঃ ২০১৩; যঃ ২০০৮,২০০৫; বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪।

\(Q.4.(xviii)\) দেখাও যে কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(3, \ 5, \ 7 \) হলে ত্রিভুজটি একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজ; স্থুলকোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}\)
দিঃ ২০১২; কুঃ,চঃ ২০১০; মাঃ ২০০৮,২০০৪।

\(Q.4.(xix)\) দেখাও যে কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(x^2+x+1, \ 2x+1\) এবং \(x^2-1\) হলে ত্রিভুজটির সর্বোচ্চ কোণটির মান \(120^{o}\)
চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪।

\(Q.4.(xx)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(m, \ n\) এবং \(\sqrt{m^2+mn+n^2}\) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান এবং ক্ষুদ্রতম কোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}, \ 60^{o}\)
চঃ ২০১৯; কুঃ ২০১২,২০০৯।

\(Q.4.(xxi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(A=45^{o}, \ C=105^{o}\) এবং \(c=\sqrt{3}+1\) হলে ত্রিভুজটির অপর কোণটির মান এবং বাহুদ্বয় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 2, \ \sqrt{2}\)

\(Q.4.(xxii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(B=30^{o}, \ C=45^{o}\) এবং \(a=\sqrt{3}+1\) সে.মি. হলে দেখাও যে, \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\) বর্গ সে.মি.

\(Q.4.(xxiii)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত হলে দেখাও যে, \(\cot{\frac{A}{2}}, \ \cot{\frac{B}{2}}\) ও \(\cot{\frac{C}{2}}\) সমান্তর প্রগমন ভুক্ত।

\(Q.4.(xxiv)\) \(\triangle{ABC}\) এ \(\triangle{A}=60^{o}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(b+c=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)

\(Q.4.(xxv)\) \(a, \ b, \ c\) ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং \(a=\sqrt{b^2+bc+c^2}\) হলে ত্রিভুজটির সূক্ষ্ণকোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)
চঃ২০১৯।

\(Q.4.(xxvi)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির বর্গ অর্থাৎ \(a^2, \ b^2, \ c^2\) সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত হলে দেখাও যে, \(\cot{A}, \ \cot{B}\) ও \(\cot{C}\) সমান্তর প্রগমন ভুক্ত।

\(Q.4.(xxvii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(a=2, \ b=\sqrt{3}+1\) এবং \(C=60^{o}\) হলে ত্রিভুজটির অপর বাহু এবং কোণদ্বয় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=\sqrt{6}, \ A=45^{o}, \ B=75^{o}\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{A}}{7}=\frac{\cos{B}}{19}=\frac{\cos{C}}{25}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(a=6, \ b=3\sqrt{3}\) এবং \(A=90^{o}\) হলে , \(B\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)

\(Q.4.(xxx)\) \(\frac{\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}}{\cos{(x+y+z)}}=\frac{\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}}{\sin{(x+y+z)}}=p\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\cos{(x+y)}+\cos{(y+z)}+\cos{(z+x)}=p\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ প্রমাণ কর যে, \(P=\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}\) সর্বোচ্চ হবে যদি \(A=B=C\) হয়।

\(Q.4.(xxxii)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(2x+3, \ x^2+3x+3\) এবং \(x^2+2x\) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}\)

\(Q.4.(xxxiii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য \(3, \ 5, \ 6 \) হলে ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(29.9^{o}\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য \(9.3, \ 6.2, \ 12.7 \) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(108.4^{o}\)

\(Q.4.(xxxv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত \(2:3:4 \) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(104.48^{o}\)

\(Q.4.(xxxvi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে \(AB=x, \ BC=4-x, \ A=45^{o}, \ C=30^{o}\) হলে দেখাও যে, \(x=4(\sqrt{2}-1)\)

\(Q.4.(xxxvii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে \(b=6.5, \ a=8.7, \ C=100^{o}\) হলে \(c\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(11.7\)

\(Q.4.(xxxviii)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যেখানে, \(b=7.8, \ c=8.6, \ A=45^{o}\)
উত্তরঃ \(23.7\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxxix)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যেখানে, \(a=2.5, \ c=3.5, \ B=100^{o}\)
উত্তরঃ \(4.31\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xL)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য \(24, \ 22, \ 14\) একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল, পরিব্যাসার্ধ \(R\) এবং অন্তব্যাসার্ধ্য \(r\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(48\sqrt{10}\) বর্গ একক। \(R=\frac{77\sqrt{10}}{20}, \ r=\frac{8\sqrt{10}}{5}\)

\(Q.4.(xLi)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত \(1:2:3 \) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর \(1:\sqrt{3}:2 \)

\(Q.4.(xLii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(\sqrt{3}+1, \ \sqrt{3}-1\) এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(60^{o} \) হলে ত্রিভুজটির অন্য বাহু এবং কোণসমূহ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(105^{o}, \ 15^{o}, \ \sqrt{6}\)
ঢাঃ ২০১৫।

\(Q.4.(xLiii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(3cm, \ 7cm\) এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(60^{o} \) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
উত্তরঃ \(\frac{21\sqrt{3}}{4}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xLiv)\) যদি \(ABC\) ত্রিভুজে, \(a\cos^2{\frac{C}{2}}+c\cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{3b}{2}\) হয় তবে দেখাও যে, \(a, \ b, \ c\) সমান্তর ধারা ভুক্ত।

\(Q.4.(xLv)\) \(ABC\) ত্রিভুজে, \(4s(s-b)=3ca\) হলে \(\angle{B}\) এর মাণ কত? যখন ত্রিভুজের পরিসীমা \(=2s\)
উত্তরঃ\(60^{o}\)
চঃ ২০১৭।

Read Board Question4
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
straight3
\(Q.5.(i)\)
\((a) \ \sec{\frac{5x}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{10x}}}}\)
\((b)\) উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,
\(AC\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(AB+BC)\sin{\frac{B}{2}}\)
\((c)\) উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,
\(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.5.(ii)\) \(p=\tan{A}\tan{B}\)
\(q=\tan{C}\tan{D}\)
\(r=4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}-1\)
\((a)\) \(\cos{75^{o}}\) এর মান নির্ণয় কর। (ক্যালকুলেটর ব্যাতীত)
\((b)\) \(A=20^{o}, \ B=2A, \ C=3A, \ D=4A\) হলে দেখাও যে, \(pq=3\)
\((c)\) \(\alpha+\beta+\gamma=0\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}-\cos{\gamma}=r+2\)
উত্তরঃ\((a)\) \(\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)
রাঃ২০১৯।

\(Q.5.(iii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(2P=\tan{\frac{x+y}{2}}+\tan{\frac{x-y}{2}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sin{x}=a-\sin{y}, \ \cos{x}=b-\cos{y}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(p=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{y}}\)
\((b)\) \(y=90^{o}\) হলে \(p\) এর লেখচিত্র অংকন কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}\pm{\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}}\)
উত্তরঃ\((a)\) \(\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)
কুঃ ২০১৯।

straight3
\(Q.5.(iv)\) দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২: \(\triangle{PQR}\)-এ \(p=2Q\) এবং \(P=3Q\)
\((a)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6371\) কি.মি.। ঢাকা ও দিল্লী পৃথিবীর পৃষ্টে দুইটি স্থান। ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(1882\) কি.মি. হলে স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে কত ডিগ্রী কোণ উৎপন্ন করবে?
\((b)\) \(\angle{A}\) এর সাহায্যে \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে \(R\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\((a) \ 17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
\((b) \ 24.25\)
\((c) \ 60^{o}\)
কুঃ ২০১৯।

\(Q.5.(v)\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{78^{o}19^{\prime}}\cos{18^{o}19^{\prime}}-\sin{11^{o}41^{\prime}}\sin{18^{o}19^{\prime}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\((b)\) \(a=\sqrt{b^2+bc+c^2}\) হলে ত্রিভুজটির সূক্ষ্ণকোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।
straight3
\((c)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\frac{a-b}{c}cosec \ {\frac{A-B}{2}}=\sec{\frac{C}{2}}\)
উত্তরঃ\((b) \ 60^{o}\)
চঃ ২০১৯।

\(Q.5.(vi)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle{ABC}\)-এ \(A=75^{o}, \ B-C=15^{o}\)
দৃশ্যকল্প-২:
\((a)\) \(\cos{30^{o}32^{\prime}}\cos{29^{o}28^{\prime}}-\sin{149^{o}28^{\prime}}\sin{29^{o}28^{\prime}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
straight3
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: অনুযায়ী দেখাও যে, \(\cos{\frac{C}{6}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: অনুযায়ী ত্রিভভুজটির সমাধান কর।
উত্তরঃ\((a) \ \frac{1}{2}\)
\((c) \ A=105^{o}, \ B=15^{o}, \ c=\sqrt{6}\)
যঃ ২০১৯।

\(Q.5.(vii)\) \(X=\sin{\alpha}-\cos{\alpha}, \ Y=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) যেখানে, \(\alpha\ne{\beta}, \ P=cosec \ {20^{o}}, \ Q=sec{20^{o}}\)
\((a)\) \(\theta=\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\) হলে \(\cos{3\theta}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(X=Y\) হলে দেখাও যে, \(2(\alpha+\beta)=\pi\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(P+\sqrt{3}Q=4\tan{50^{o}}\)
উত্তরঃ\((a) \ -\frac{23}{27}\)
দিঃ,বঃ ২০১৯।

\(Q.5.(viii)\) \(K=\cos{P}+\cos{R}, \ Y=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) যেখানে, \(\alpha\ne{\beta}, \ P=cosec \ {20^{o}}, \ Q=sec{20^{o}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{20^{o}}}-\frac{1}{\cos{20^{o}}}=4\)
\((b)\) \(P+Q+R=\pi\) হলে দেখাও যে, \(K-1+\cos{Q}=4\sin{\frac{P}{2}}\sin{\frac{Q}{2}}\sin{\frac{R}{2}}\)
\((c)\) \(K=\sin{Q}\) হলে দেখাও যে, \(\triangle{PQR}\) সমকোণী ।
সিঃ ২০১৯।

\(Q.5.(ix)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{2}\cos{A}-\cos{B}=\cos^3{B}\) এবং \(\sqrt{2}\sin{A}+\sin^3{B}=\sin{B}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: হতে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {(A-B)}=\pm{3}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮।

\(Q.5.(x)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}\)
\(s=\cos{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sec{\frac{3x}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
\((b)\) যদি \(p+q=c, \ r+s=d\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
\((c)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
ঢঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।

straight3
\(Q.5.(xi)\) দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২: \(p=\tan{\theta}\tan{2\theta}\tan{\alpha}\)
\((a)\) \(\sin{25^{o}}+\cos{25^{o}}\) এর মান কত?
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: হতে \(b\) ও \(c\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(p=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ\((a) \ \sqrt{3}\cos{20^{o}}\)
\((b) \ b=3.76(\text{প্রায়}), \ c=5.06(\text{প্রায়})\)
ঢঃ২০১৭।

\(Q.5.(xii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) দুইটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
দৃশ্যকল্প-২: \(\triangle{ABC}\) এর \(A+B+C=\pi\)
\((a)\) যদি \(\triangle{PQR}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(p, \ q, \ r\) এবং \(p^2+q^2-r^2=\sqrt{2}pq\) হয় তবে \(R\) কোণের মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: এর আলোকে \(\cos{(x+y)}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে প্রমাণ যে, \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
উত্তরঃ\((a) \ 45^{o}\)
\((b) \ \frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
কুঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xiii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle{XYZ}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: এর আলোকে দেখাও যে ত্রিভুজটি সমকোণী।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: এর আলোকে দেখাও যে, \(\cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xiv)\) \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\)
\((a)\) \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে \(\sin{2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে , \(2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\((c)\) দেখাও যে , \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{3}{5}\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xv)\) দৃশ্যকল্প: \(ABC\) ত্রিভুজের পরিসীমা \(2s\)
\((a)\) \(\frac{\cos{75^{o}}+\cos{15^{o}}}{\cos{75^{o}}-\cos{15^{o}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\sec{B}=\sec{C}\sec{A}\) হলে দেখাও যে , \(\tan{A}=2\cot{C}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্পের আলোকে \(4s(s-b)=3ca\) হলে \(\angle{B}\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ\((a) \ -\sqrt{3}\)
\((c) \ 60^{o}\)
চঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xvi)\) \(\sin{A}+\sin{B}=p, \ \cos{A}+\cos{B}=q\) যেখানে \(A\) ও \(B\) পূরক কোণ।
\((a)\) \(A=75^{o}\) হলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos{(A+B)}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((A-B)=2\cos^{-1}{\left(\frac{p+q}{2\sqrt{2}}\right)}\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{\sqrt{6}}{2}\)

\(Q.5.(xvii)\) \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণ।
\((a)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) হলে \(\cos{3\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) যদি \(\cos{\alpha}=\cos{\beta}\cos{\gamma}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cot{\beta}\cot{\gamma}=\frac{1}{2}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{(\beta-\gamma)}+\cos^2{(\gamma-\alpha)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)\(=1+2\cos{(\beta-\gamma)}\cos{(\gamma-\alpha)}\cos{(\alpha-\beta)}\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{1}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\)

straight3
\(Q.5.(xviii)\)
\((a)\) \(\sin{75^{o}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(2\cos{\frac{Q}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\((c)\) \(p^4+q^4+r^4=2r^2(p^2+q^2)\) হলে প্রমাণ কর যে, \(R=45^{o}\) অথবা \(R=135^{o}\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)

\(Q.5.(xix)\) \(\tan{\frac{q}{2}}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{p}{2}}\)
\((a)\) \(\theta=15^{o}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4\sqrt{2}\sin^3{\theta}-3\sqrt{2}\sin{\theta}+1=0\)
\((b)\) উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sec{q}-e}{1-e\sec{q}}=\sec{p}\)
\((c)\) \(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}=\frac{3}{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{q-p}{2}}=\frac{\sin{p}}{5-\cos{p}}\)

\(Q.5.(xx)\) \(A+B+C=\pi\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot{10^{o}}-\sqrt{3}=4\cos{10^{o}}\)
\((b)\) \(\cos{A}=\cos{B}\cos{C}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{A}=\tan{B}+\tan{C}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(\sin{(B+C-A)}+\sin{(C+A-B)}+\sin{(A+B-C)}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)

straight3
\(Q.5.(xxi)\)
চিত্রে \(PQR\) যে কোনো ত্রিভুজ।
\((a)\) \(\cos{P}\) কে \(p, \ q\) ও \(r\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \((p-q)^2\cos^2{\frac{R}{2}}+(p+q)^2\sin^2{\frac{R}{2}}=r^2\)
\((c)\) \(\frac{1}{p+r}+\frac{1}{q+r}=\frac{3}{p+q+r}\) হলে দেখাও যে, \(\angle{R}=60^{o}\)
উত্তরঃ\((a) \ \cos{P}=\frac{q^2+r^2-p^2}{2qr}\)

straight3
\(Q.5.(xxii)\)
চিত্রে \(PQR\)-এ \(2A+2B+2C=\pi\)
\((a)\) \(\tan{3A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((b)\) মাণ নির্ণয় করঃ \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}+2\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\sin{C}=0\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)
\((b) \ 1\)

straight3
\(Q.5.(xxiii)\)
চিত্রে \(ABC\) যে কোনো ত্রিভুজ।
\((a)\) \(cosec \ {A}+\sec{A}=cosec \ {B}+\sec{B}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{A}\tan{B}=\cot{\frac{A+B}{2}}\)
\((b)\) মাণ নির্ণয় করঃ \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{B}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}=4\cos{\frac{\pi-A}{2}}+\cos{\frac{\pi-B}{2}}+\cos{\frac{\pi-C}{2}}\)
উত্তরঃ \((b) \ 1\)

Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
\(Q.6.(i)\) সমাধান কর \(\cot{x}+\cot{2x}+\cot{3x}=\cot{x}\cot{2x}\cot{3x}\)
উত্তরঃ \(x=(4n\pm1)\frac{\pi}{12}\)
বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫।

\(Q.6.(ii)\) যদি \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1-P}{1+P}}\tan{\frac{\alpha}{2}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{\alpha}=\frac{\cos{\theta}-P}{1-P\cos{\theta}}\)
বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫।

\(Q.6.(iii)\) যদি \(\theta=\frac{\pi}{36}\) হয় তবে \(\sin^2{3\theta}+\sin^2{3\theta}+\sin^2{3\theta}+...+\sin^2{15\theta}\)-এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.5\)
বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪।

\(Q.6.(iv)\) যদি \(\theta=\frac{\pi}{20}\) হয় তবে \(\cot{\theta}.\cot{3\theta}.\cot{5\theta}... ... .\cot{19\theta}\)-এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1\)
বুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.6.(v)\) যদি \(A+B+C=\pi\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(vi)\) \(ABC\) একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজ। প্রমাণ কর যে, \(\cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\)
বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(vii)\) দেখাও যে, \(\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}=\cot{3A}\)
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(viii)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=1\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=0\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y=\pi\)
বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩।

\(Q.6.(ix)\) \(\alpha\) ও \(\beta\) দুইটি ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\cos{2\alpha}=\frac{3\cos{2\beta}-1}{3-\cos{2\beta}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\alpha}=\sqrt{2}\tan{\beta}\)
বুয়েটঃ ২০০১-২০০২।

\(Q.6.(x)\) প্রমাণ কর যে, \(16\cos{\frac{2\pi}{15}}\cos{\frac{4\pi}{15}}\cos{\frac{8\pi}{15}}\cos{\frac{14\pi}{15}}=1\)
বুয়েটঃ ২০০০-২০০১।

\(Q.6.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{80^{o}}=\sqrt{3}\)
বুটেক্সঃ২০১১-২০১২; বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \(2\sin{\frac{\pi}{16}}=2\sin{11^{o}15^{\prime}}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
বুটেক্সঃ ২০০৭-২০০৮; চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(xiii)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) হলে, \(\cos{4\theta}=?\)
রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(xiv)\) \(\tan{36^{o}}+\tan{9^{o}}+\tan{36^{o}}\tan{9^{o}}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xv)\) \(ABC\) ত্রিভুজ থেকে প্রমাণ কর যে, \(a\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}\)
বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮।

\(Q.6.(xvi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\) হলে দেখাও যে ত্রিভুজটি সমকোণী।
বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬,২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xvii)\) যদি \(a=2, \ b=1+\sqrt{3}, \ C=60^{o}\) হয় তবে ত্রিভুজটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \(c=\sqrt{6}, \ A=45^{o}, \ B=75^{o}\)
বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩।

\(Q.6.(xviii)\) যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\) এর জন্য দেখাও যে, \(\frac{1}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{1}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{1}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}=\frac{s^2}{abc}\)
বুয়েটঃ ২০০০-২০০১।

\(Q.6.(xix)\) দেখাও যে, কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(x^2+x+1, \ 2x+1, \ x^2-1\) হলে, এর সর্বোচ্চ কোণটির মান \(120^{o}\)
চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪।

\(Q.6.(xx)\) একটি ত্রিভুজের \((\sqrt{3}+1) cm\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু সংলগ্ন দুইটি কোণ \(30^{o}\) ও \(45^{o}\)। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\) বর্গএকক।
চুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর
\(Q.6.(xxi)\) \(\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}=1\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১; রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩,২০০৫-২০০৬।

\(Ex.6.(xxii)\) যদি \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{\phi}{2}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{\phi}=\frac{\cos{\theta}-e}{1-e\cos{\theta}}\)
বুয়েটঃ ২০০১-২০০২।

\(Q.6.(xxiii)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে দেখাও যে, \(cos{(\theta+\phi)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
বুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

Read Admission Question

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024