ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান
General solution of trigonometric equations
Posted on August 26, 2023, 6:21 am By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান
General solution of trigonometric equations
এক বা একাধিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্বলিত সমীকরণকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়। সমীকরণটির সংশ্লিষ্ট কোণকেই চলরাশি বলা হয়। চলরাশির যে সকল মানের জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, সেগুলিকে সমীকরণটির সমাধান বলা হয়। সকল সমাধানকে অভিন্ন রাশিমালাতে প্রকাশ করা হলে সেটিকে সাধারণ সমাধান বলে।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে উৎপাদকে প্রকাশ করে যে সকল সরল সমীকরণ পাওয়া যায় সেগুলিকে মূল সমীকরণের প্রতীক সমীকরণ বলা হয়।
যেমনঃ \(2\tan^2{\theta}-3\tan{\theta}+1=0\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়,
\((2\tan{\theta}-1)(\tan{\theta}-1)=0\)
এখানে, প্রতীক সমীকরণ \(2\tan{\theta}-1=0\) এবং \(\tan{\theta}-1=0\)
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের এক বা একাধিক প্রতীক সমীকরণ থাকতে পারে। সে ক্ষেত্রে একটি প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধান মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান নয়। সকল প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধানই একত্রে মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান। এ অধ্যায়ে আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় অধ্যয়ন করব।
\(\sin{\theta}=0\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=0\)
\(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)\(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{2\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{3\pi}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(n\pi\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
দ্বিতীয় প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{3\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{5\pi}{2}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left\{\frac{(2n+1)\pi}{2}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\tan{\theta}=0\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)\(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{2\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{3\pi}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(n\pi\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=0\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)

\(\Rightarrow \cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{3\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{5\pi}{2}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left\{\frac{(2n+1)\pi}{2}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এবং \(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) and \(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}-\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(\therefore \cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}=0, \ \sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
এখন,
\(\cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta+\alpha}{2}=(2m+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \cos{A}=0\)
\(\Rightarrow A=(2m+1)\frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow \theta+\alpha=(2m+1)\pi\)
\(\Rightarrow \theta=(2m+1)\pi-\alpha\)
\(\therefore \theta=(2m+1)\pi+(-1)^{2m+1}\alpha\)
\(n\) যে কোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(n=2m+1\) হলে, \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
আবার,
\(\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\alpha}{2}=m\pi\) যেখানে, \(m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=m\pi\)

\(\Rightarrow \theta-\alpha=2m\pi\)
\(\Rightarrow \theta=2m\pi+\alpha\)
\(\therefore \theta=2m\pi+(-1)^{2m}\alpha\)
\(n\) যে কোনো জোড় পূর্ণসংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(n=2m\) হলে, \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(n\) জোড় বা বিজোড় যে কোনো পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে,
\(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\therefore \sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}=\frac{1}{\sin{\alpha}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)

\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\therefore \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এবং \(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) and \(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}-\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\) ➜ \(\because \cos{C}-\cos{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{D-C}{2}}\)

\(\therefore \sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}=0, \ \sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
এখন,
\(\sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+\theta}{2}=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)

\(\Rightarrow \alpha+\theta=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi-\alpha .........(1)\)
আবার,
\(\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\alpha}{2}=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)

\(\Rightarrow \theta-\alpha=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi+\alpha .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) কে সমন্বয় করে,
\(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\therefore \cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
দেওয়া আছে,
\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{1}{\cos{\alpha}}\) ➜ \(\because \sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)

\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\therefore \sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এবং \(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) and \(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\alpha}=\cos{\theta}\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\alpha}-\cos{\theta}\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \sin{(\theta-\alpha)}=0\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)

\(\Rightarrow \theta-\alpha=n\pi\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)

\(\therefore \theta=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\theta}}=\frac{1}{\tan{\alpha}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)

\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+{\alpha}\) ➜ \(\because \tan{A}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=n\pi+\alpha\)

\(\therefore \cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+{\alpha}\)
\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+{\alpha}\)
\(\sin{\theta}=1\) এবং \(\cos{\theta}=1\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=1\) and \(\cos{\theta}=1\)
\(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore \theta=m\pi+(-1)^{m}\frac{\pi}{2}, \ m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)

\(m\) জোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=2n\pi+(-1)^{2n}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n+1\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi+(-1)^{2n+1}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n+2-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) উভয় ক্ষেত্রেই \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{0^{o}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=2n\pi\pm{\alpha}\)

\(\Rightarrow \theta=2n\pi\)
\(\therefore \cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
\(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
\(\sin{\theta}=-1\) এবং \(\cos{\theta}=-1\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=-1\) and \(\cos{\theta}=-1\)
\(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=m\pi+(-1)^{m}\left(-\frac{\pi}{2}\right), \ m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)

\(\Rightarrow \theta=m\pi-(-1)^{m}\frac{\pi}{2}\)
\(m\) জোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=2n\pi-(-1)^{2n}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n-1\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=(2n-1)\pi-(-1)^{2n-1}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n-1)\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n-2+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) উভয় ক্ষেত্রেই \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{(\pi)}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\pi}\) ➜ \(\because \cos{A}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=2n\pi\pm{\alpha}\)

\(\Rightarrow \theta=(2n\pm{1})\pi\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi, \ \theta=(2n-1)\pi\)
এখানে, \((2n+1), \ (2n-1)\) উভয়েই বিজোড় সংখ্যা তাই \(\theta\) এর মানের পুনরাাবৃত্তি ঘটে।
সুতরাং ঋণাত্মক চিহ্ন বর্জন করে,
\(\theta=(2n+1)\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের অবান্তর মূল
Extraneous roots of trigonometric equations
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয় এবং বিভিন্ন প্রক্রিয়ায় সমাধান করে প্রাপ্ত মূলগুলি দৃশ্যত ভিন্ন আকারের হলেও সেগুলি সমতুল্য। কিছু কিছু সমীকরণকে বর্গ করে সমাধান নির্ণয় করে হয়। এ প্রক্রিয়া কিছুটা ত্রুটিপূর্ণ বলে প্রাপ্ত মূলগুলির কোনো কোনোটি প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না। এরূপ মূলকে অবান্তর মূল বলে। সুতরাং প্রকৃত মূল নির্ণয় করার জন্য প্রাপ্ত মূলগুলি দিয়ে প্রদত্ত সমীকরণ সিদ্ধ হয় কিনা তা পরীক্ষা করার প্রয়োজন হয়।
যেমনঃ \(\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}=\sqrt{2}-\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow 3\sin^2{\theta}=2-2\sqrt{2}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow 3(1-\cos^2{\theta})-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\) ➜ \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

\(\Rightarrow 3-3\cos^2{\theta}-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -4\cos^2{\theta}+2\sqrt{2}\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow -(4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1)=0\)
\(\Rightarrow 4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{(-2\sqrt{2})^2-4\times4\times{-1}}}}{2\times4}\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\therefore x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{8+16}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{24}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{2\sqrt{6}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2(\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}})}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{2}\sqrt{3}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}(1\pm{\sqrt{3}})}{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1\pm{\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{15^{o}}, \ \cos{\theta}=-\sin{15^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(90^{o}+15^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(105^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \theta=2n\pi\pm{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\theta=2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ \theta=2n\pi-\frac{7\pi}{12}\) বসিয়ে দেখা যায় যে, সমীকরণটি সিদ্ধ করে না। সমীকরটি বর্গ করা হয়েছে বলে এই ভুল সমাধান বের হয়েছে।
নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান
Solution of trigonometric equation in a finite interval
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়বৃত্ত হওয়ায় এর মানগুলো পর্যায়ক্রমে আবর্তিত হয়। নির্দিষ্ট ব্যবধিতেও সমাধানের পুনরাবৃত্তি হয়। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান থেকে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে অবস্থিত মানগুলি নির্ণয় করা যায়। আবার লেখচিত্রের সাহায্যে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে সমীকরণের সমাধানগুলি নির্ণয় করা যায়। নিম্নে লেখের সাহায্যে সমাধান নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করা হলো।
\((1)\) প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
\((2)\) ফাংশনের নির্দেশিত স্থানে \(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখা আঁকতে হবে।
\((3)\) সমান্তরাল রেখাটি ফাংশনকে যতবার ছেদ করবে ঠিক ততটি সমাধান বিদ্যমান থাকবে।
\((4)\) ছেদবিন্দুগুলির স্থানাংক, প্রতিসমতা বা ফাংশনের পর্যায়কাল ব্যবহার করে নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর ছেদবিন্দুগুলির \(x\) স্থানাংকই ফাংশনের সমাধান হবে।
উদাহরণসমুহ
সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর
\(Ex.1.(a)\) \(\sin{\theta}=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \( n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর
\(Ex.1.(b)\) \(\sin{\theta}=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \(n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.1.(c)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.1.(d)\) \(\cos{\theta}=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.1.(e)\) \(\tan{\theta}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.1.(f)\) \(\tan{\theta}=-\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(n\pi-\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.2.\) সমাধান করঃ \(3\tan{x}+\cot{x}=cosec \ {x}\)
উত্তরঃ \(\text{সমাধান অবান্তর বা অপ্রাসঙ্গিক।}\)

\(Ex.3.\) \(\cos{x}=\frac{1}{2}\) যখন, \(0\le{x}\le{360^{o}}\) এর সমাধান লেখের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}; \ 300^{o}\)

সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর
\(Ex.4.(a)\) \(4\sin{\theta}\cos{\theta}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর
\(Ex.4.(b)\) \(2(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})=1\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.4.(c)\) \(\tan^2{\theta}+\cot^2{\theta}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.5.\) সমাধান করঃ \(\tan{2\theta}\tan{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6} \ \text{অথবা } (2n+1)\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০১৫; বঃ ২০১২,২০১০,২০০৫; ঢাঃ ২০১১,২০০৮; কুঃ ২০১০,২০০৭,২০০০; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯; সিঃ,মাঃ ২০০৫; রুয়েটঃ,চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ।

\(Ex.6.\) সমাধান করঃ \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, \ -2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\pm\frac{\pi}{3}, \ \pm\frac{5\pi}{3}\)
দিঃ ২০১২; চঃ ২০১১,২০০১; সিঃ ২০১০,২০০৭; রাঃ,বঃ ২০১০; যঃ ২০০৪; কুঃ,চঃ ২০০১ ।

\(Ex.7.\) সমাধান করঃ \(\sin{5x}-\sin{3x}-\sin{x}=0, \ 0\le{x}\le{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(0, \ 15^{o}, \ 75^{o}, \ 105^{o}, \ 165^{o}, \ 180^{o}, \ 195^{o}, \ 255^{o}, \ 285^{o}, \ 345^{o}, \ 360^{o}\)

\(Ex.8.\) সমাধান করঃ \(a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=c, \ |c|\le{\sqrt{a^2+b^2}}\)
উত্তরঃ \(\theta=2n\pi+\alpha\pm\beta\) যেখানে, \(\cos{\beta}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Ex.9.\) সমাধান করঃ \(\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{7\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
দিঃ ২০১৭; ঢাঃ ২০১৫,২০০৭; চঃ ২০১৪,২০০৭; সিঃ ২০১৪,২০০৬; যঃ ২০১২,২০০৯; বঃ ২০০৮,২০০২; কুঃ ২০০৬,২০০২; রাঃ ২০০৫,২০০১; মাঃ ২০১০,২০০৬ ।

\(Ex.10.\) সমাধান করঃ \(\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}=1, \ -2\pi\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3\pi}{2}, \ -\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{11\pi}{6}\)
দিঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০১১,২০০৩; সিঃ ২০০৮,২০০২; যঃ ২০১৪,২০১০,২০০৭; বঃ ২০১৪,২০০৪; কুঃ ২০০৮; রাঃ ২০১৩,২০০৮,২০০৬; মাঃ ২০০৮,২০০৫ ।

\(Ex.11.\) সমাধান করঃ \(\sec{4\theta}-\sec{2\theta}=2, \ 0\le{\theta}\le{180^{o}}\)
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 54^{o}, \ 90^{o}, \ 126^{o}, \ 162^{o}\)
ঢাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১; চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Ex.12.\) সমাধান করঃ \(\cot{\theta}+\tan{\theta}=2\sec{\theta}, \ -2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{11\pi}{6}, \ -\frac{7\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২; ঢাঃ ২০১৫,২০১০; বঃ ২০১৫,২০০৮; কুঃ ২০১৪,২০০৭; চঃ ২০১৩; যঃ ২০১২; দিঃ ২০১১; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০১২ ।

\(Ex.13.\) \(f(x)=\sin{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{1-x}{1+x}}\)
\((b)\) \(f\{\pi g(\theta)\}=g\{\pi f(\theta)\}\) হলে, দেখাও যে, \(\theta=\pm{\frac{\pi}{4}}+\cos{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(g(x)+f(x)=g(2x)+f(2x)\)
উত্তরঃ \((c) \ 2n\pi, \ \frac{2}{3}\left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০১৫,২০০৫; ঢাঃ ২০১৩,২০০৬,২০০২,২০০০; বঃ ২০০৪; কুঃ ২০১৪,২০০৫,২০০১; চঃ ২০১২,২০০৬; যঃ ২০১৪,২০১১,২০০৭; দিঃ ২০১৪; রাঃ ২০১২,২০০৮,২০০৪; মাঃ ২০১৩,২০০৯ ।

\(Ex.14.\) \(\sin{x}=\frac{1}{2}\) যখন, \(0\le{x}\le{360^{o}}\) এর সমাধান লেখের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30^{o}; \ 150^{o}\)

\(Ex.15.\) লেখের সাহায্যে \(\tan{x}=\sqrt{3};\) \(-180^{o}\le{x}\le{180^{o}}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-150^{o}, \ -60^{o}, \ 30^{o}, \ 120^{o}\)

\(Ex.16.\) সমাধান করঃ \(4(\sin^2{x}+\cos{x})=5\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)

\(Ex.17.\) লেখের সাহায্যে \(2\cos^2{x}+\sin{x}=1;\) \(0\le{x}\le{2\pi}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\)

\(Ex.18.\) লেখের সাহায্যে \(\cos{x}=-\frac{1}{2};\) \(0\le{x}\le{360^{o}}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}, \ 240^{o}\)

\(Ex.19.\) লেখের সাহায্যে \(\tan{x}=-1;\) \(-\pi\le{x}\le{\pi}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\)

\(Ex.20.\) লেখের সাহায্যে \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2};\) \(0\le{x}\le{2\pi}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{12}, \ \frac{11\pi}{12}, \ \frac{13\pi}{12}, \ \frac{23\pi}{12}\)

\(Ex.21.\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin^{-1}{x}\)
\((a)\) \(f(x)\) এর পর্যায় কাল ও \(g(x)\) এর মূখ্যমান কত?
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(g\left\{\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+g\left\{\sqrt{f(2\theta)}\right\}=\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) \(4f(x)f(2x)f(3x)=1\) হলে, \(0\lt{x}\lt{\pi}\) ব্যাবধিতে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \left[-\frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}\right]\)
\((c) \ \frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{\pi}{8}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{8}, \ \frac{7\pi}{8}\)

\(Ex.22.\) দুইটি আতসবাজি বিস্ফোরণের ফলে \(y_{1}=a\cos{x_{1}}\) এবং \(y_{2}=b\cos{x_{2}}\) পরিবর্তনশীল সরণ বিশিষ্ট দুইটি শব্দ তরঙ্গ উৎপন্ন হয়। উপরিপাতনের ফলে তরঙ্গদ্বয়ের মিলিত তরঙ্গের সরণ হলো \(y=y_{1}+y_{2}\) । এখানে \(y\) হলো তরঙ্গের সরণ এবং \(x\) হলো সময়।
\((a)\) \(x_{1}=cosec^{-1}{\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}}\) হলে, \(y_{1}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=b=1\) এবং \(x_{1}+x_{2}=\frac{\pi}{2}\) হলে, কত সময় পরে মিলিত তরঙ্গের সরণ \(\sqrt{2}\) একক হবে?
\((c)\) \(x_{1}+x_{2}=\theta\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{y_{1}^2}{a^2}-\frac{2y_{1}y_{2}\cos{\theta}}{ab}+\frac{y_{2}^2}{b^2}=\sin^2{\theta}.\)
উত্তরঃ \((a) \ 1\)
\((b) \ \frac{\pi}{4}\)

\(Ex.23.\) সমাধান করঃ \(2\cos^2{\theta}+2\sqrt{2}\sin{\theta}=3;\) \(0\le{\theta}\le{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Ex.24.\) \(f(x)=\tan^{-1}{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(2f(x)=\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left\{2f(x)\right\}}=2\tan{\left\{f(x)+f(x^3)\right\}}\)
\((c)\) \(f(x)=\tan{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(f(x)f(2x)=1; \ 0\le{x}\le{\pi}\)
উত্তরঃ \((c) \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)

\(Ex.25.\) \(\sin{(\pi\cos{\theta})}=\cos{(\pi\sin{\theta})} ........(1)\)
এবং \(\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}=\sqrt{2} ........(2)\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}\)
\((b)\) উদ্দীপকের \((1)\) নং হতে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((c)\) \(-2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যাবধিতে উদ্দীপকের \((2)\) নং সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ -\frac{19\pi}{12}, \ -\frac{13\pi}{12}, \ \frac{5\pi}{12}, \ \frac{11\pi}{12}\)

\(Ex.26.\) \(f(x)=\cos{x}, \ g(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(\frac{g(2\theta)g(\theta)}{f(2\theta)f(\theta)}=1\) এর সমাধান কর।
\((b)\) \(f\{\pi g(\theta)\}=g\{\pi f(\theta)\}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(f(x)-f(2x)=g(2x)-g(x)\)
উত্তরঃ \((a) \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
\((c) \ 2n\pi, \ \frac{2}{3}\left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(Ex.27.\) সমাধান করঃ \(\cos{6\theta}+\cos{4\theta}+\cos{2\theta}+1=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{6}\)

\(Ex.28.\) সমাধান করঃ \(\tan{\theta}+\cot{\theta}=2cosec \ {\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)

\(Ex.29.\) \(a\tan{\theta}+b\sec{\theta}=c\) সমীকরণের দুইটি সমাধান \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{2ac}{a^2-c^2}\)

\(Ex.30.\) সমাধান করঃ \(\cot{x}-\cot{2x}=2\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)


Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
সমাধান কর
\(Q.1.(i)\) \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=2\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০০২।

সমাধান কর
\(Q.1.(ii)\) \(\tan{x}+\tan{3x}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ ২০০৫।

\(Q.1.(iii)\) \(4\cos^2{x}+6\sin^2{x}=5\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi\pm\frac{3\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(iv)\) \(\sin^2{2\theta}-3\cos^2{\theta}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০১১; কুঃ ২০১০,২০০৯।

\(Q.1.(v)\) \(cosec \ {\theta}+\cot{\theta}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ডুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫; রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; মাঃ ২০০৬ ।

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=2\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০১৩ ।

\(Q.1.(vii)\) \(cosec \ {\theta}+\cot{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ\(\theta=2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\alpha=\tan^{-1}{(\sqrt{2})}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(viii)\)\(\sec^2{\theta}+3 cosec^2{\theta}=8\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০০৭ ।

\(Q.1.(ix)\) \(3\tan{\theta}+\cot{\theta}=5 cosec \ {\theta}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ ২০১৩ ।

\(Q.1.(x)\) \(2\cos^2{\theta}-3\sin{\theta}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xi)\) \(6\cos^2{x}+\sin{x}=5\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\pi+(-1)^n\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=-\frac{1}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\sqrt{3}\cot^2{x}+4\cot{x}+\sqrt{3}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{5\pi}{6}, \ n\pi+\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\tan^2{\theta}-2\sqrt{3}\sec{\theta}+4=0\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\sec{\alpha}=\sqrt{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০০৫; রাঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.1.(xiv)\) \(\cot{2\theta}-\cot{4\theta}=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{16}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xv)\) \(4\sin^2{x}+\sqrt{3}=2(1+\sqrt{3})\sin{x}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(2\sin{x}\tan{x}+1=\tan{x}+2\sin{x}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.1.(xvii)\) \(2\sin^2{\theta}+\sin^2{2\theta}=2\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\cos^3{\theta}-\cos{\theta}\sin{\theta}-\sin^3{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi-\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xix)\) \(2\sin{2x}+3\cos{x}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi+(-1)^n\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=-\frac{3}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xx)\) \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})=-1\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{7\pi}{6}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(2\cos^2{x}+\cos^2{2x}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\tan^2{x}+\sec^2{x}=3\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\cot^2{\theta}+cosec^2{\theta}=3\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\sqrt{2}\sec{x}+\tan{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi-\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxv)\) \(2\cos{x}+3\sin{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\alpha+\theta\) যেখানে, \(\cos{\theta}=\frac{2}{\sqrt{13}}, \ \cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{13}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(5\tan^2{\theta}-\sec^2{\theta}=11\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\cos{\theta}+\sec{\theta}=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(8\sin^2{\theta}-2\cos{\theta}=5\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ 2n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=-\frac{3}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxix)\) \(\sin{\theta}+cosec \ {\theta}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxx)\) \(cosec \ {\theta}\cot{\theta}=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin{5\theta}+\sin{\theta}=\sin{3\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin{2\theta}+4\cos{\theta}=\sqrt{3}\sin{\theta}+2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}+\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=4\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxiv)\) \(\sin^2{2\theta}-\sin^2{\theta}=\frac{1}{3}\sin{3\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi, \ 2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\pi+(-1)^n\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{1}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^3{\theta}-\sec^2{\theta}=4\tan^2{\theta}-5\tan{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+\alpha, \ n\pi+\beta\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=2+\sqrt{3}, \ \tan{\beta}=2-\sqrt{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxvi)\) \(cosec \ {\theta}+\sec{\theta}=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \((8n+3)\frac{\pi}{12}, \ (8n+1)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\cos{3\theta}=\cos{2\theta}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ \frac{2}{5}n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sin{5\theta}\cos{\theta}=\sin{6\theta}\cos{2\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi, \ (2n+1)\frac{\pi}{14}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(4\sin{x}=\sec{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xL)\) \(\sqrt{2}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=1\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLi)\) \(\cos{2x}=\cos{x}\sin{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(n\pi+\alpha)\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=2, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLii)\) \(\sin{4\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{4}+\sin{\frac{5\theta}{2}}\cos{\frac{5\theta}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLiii)\) \(\tan{2\theta}-\tan{\theta}=\frac{1}{2}\sec{\theta}\sec{2\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLiv)\) \(\sin{2\theta}=\cos{3\theta}\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{10}, \ (4n-1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

Read Short Question
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সমাধান কর
\(Q.2.(i)\) \(2\sin^2{\theta}=3\cos{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)
যঃ ২০০৯।

সমাধান কর
\(Q.2.(ii)\) \(4\sin{\theta}\cos{\theta}=1-2\sin{\theta}+2\cos{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{180^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 120^{o}, \ 150^{o}\)
সিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৮ ।

\(Q.2.(iii)\) \(\sin{x}-\cos{x}=0, \ 0\lt{x}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
রাঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(iv)\) \(\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}, \ -\pi\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
দিঃ ২০১০; বঃ ২০০৬; বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; চুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

\(Q.2.(v)\) \(\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}=2, \ -\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
ঢাঃ ২০১৭,২০১৩,২০০৯,২০০৬; যঃ ২০১৫; চঃ ২০১২; রাঃ ২০১১,২০০৮; মাঃ ২০১৩; বুয়েটঃ,রুয়েটঃ,চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.2.(vi)\) \(\cos{\theta}-\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ -2\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{23\pi}{12}, \ -\frac{7\pi}{12}, \ \frac{\pi}{12}\)
কুঃ ২০১৩,২০০৯; দিঃ ২০১৩; মাঃ ২০১১ ।

\(Q.2.(vii)\) \(\sqrt{2}\cos{x}-\sqrt{2}\sin{x}=1, \ -\pi\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{7\pi}{12}, \ \frac{\pi}{12}\)
কুঃ ২০১৩,২০০৯; দিঃ ২০১৩; মাঃ ২০১১ ।

\(Q.2.(viii)\) \(\cos{\theta}+\cos{3\theta}+\cos{5\theta}+\cos{7\theta}=0, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{5\pi}{8}, \ \frac{7\pi}{8}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\)

\(Q.2.(ix)\) \(2\sin^2{x}+\sin^2{2x}=2, \ -\pi\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\pm\frac{\pi}{2}, \ \pm\frac{\pi}{4}\) এবং \(\pm\frac{3\pi}{4}\)
মাঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(x)\) \(\sin{\theta}-2=\cos{2\theta}, \ -2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}\)
দিঃ ২০১২; চঃ ২০১০; যঃ ২০০৬ ।

\(Q.2.(xi)\) \(\sec^2{\frac{x}{2}}=2\sqrt{2}\tan{\frac{x}{2}}, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\)
কুঃ ২০১৫,২০০৩; বঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৩; বুটেক্সঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.2.(xii)\) \(1+\sqrt{3}\tan^2{\theta}=(1+\sqrt{3})\tan{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 45^{o}, \ 210^{o}\) এবং \(225^{o}\)
বঃ ২০১৪,২০০৭; যঃ ২০০৫ ।

\(Q.2.(xiii)\) \(\sin{\theta}+\sin{2\theta}+\sin{3\theta}=1+\cos{\theta}+\cos{2\theta},\)\(0\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{2\pi}{3}\) এবং \(\frac{5\pi}{6}\)
চঃ ২০০৮; বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.2.(xiv)\) \(4\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}=1, \ 0\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{8}\) এবং \(\frac{7\pi}{8}\)
দিঃ ২০১৬,২০১৪,২০১১; রাঃ ২০১৫,২০১২,২০০৯; কুঃ ২০১২; সিঃ ২০১১,২০০৮; ঢাঃ ২০০৭; মাঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭।

\(Q.2.(xv)\) \(\cos{9x}\cos{7x}=\cos{5x}\cos{3x}, \ -\frac{\pi}{4}\lt{x}\lt{\frac{\pi}{4}}\)
উত্তরঃ \(0, \ \pm\frac{\pi}{12}, \ \pm\frac{\pi}{6}\)
ঢাঃ ২০১২ ।

\(Q.2.(xvi)\) \(2\sin{x}\sin{3x}=1, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ ২০১৯,২০১৪; যঃ ২০১৩,২০০৮; দিঃ ২০১২; রাঃ ২০১০; চঃ,সিঃ ২০০৯ ।

\(Q.2.(xvii)\) \(4(\cos^2{x}+\sin{x})=5, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(2\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0, \ 0\lt{x}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(60^{o}, \ 300^{o}\)

\(Q.2.(xix)\) \(3\tan^2{x}-4\sqrt{3}\sec{x}+7=0, \ 0\lt{x}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 330^{o}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\tan^2{x}+\sec^2{x}=3\tan{x}, \ 0\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) এবং \(\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=2, \ 0\le{\theta}\le{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{5\pi}{8}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\cos{7x}=\cos{3x}+\sin{5x}, \ -\frac{\pi}{2}\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{5\pi}{12}, \ -\frac{2\pi}{5}, \ -\frac{\pi}{5}, \ -\frac{\pi}{12}, \ 0, \ \frac{\pi}{5}\) এবং \(\frac{2\pi}{5}\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\cos{2x}+\cos{x}+1=0, \ 0\le{x}\le{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(90^{o}, \ 120^{o}, \ 240^{o}\) এবং \(270^{o}\)

\(Q.2.(xxiv)\) সমাধান করঃ \(\sec{4\theta}-\sec{2\theta}=2, \ 0\le{\theta}\le{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 54^{o}, \ 90^{o}, \ 126^{o}, \ 198^{o}, \ 234^{o}, \ 270^{o}, \ 306^{o}\) এবং \(342^{o}\)
ঢাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১; চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.2.(xxv)\) \(2(\sin{\theta}\cos{\theta}+\sqrt{3})=\sqrt{3}\cos{\theta}+4\sin{\theta},\)\(0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(60^{o}, \ 120^{o}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(3\tan^2{\theta}+1=\frac{2\sqrt{3}}{\cot{\theta}}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 210^{o}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\tan^2{\theta}+\sec{\theta}=-1, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(180^{o}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\cot^2{\theta}-2\sqrt{2} cosec \ {\theta}+3=0, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 135^{o}\)

\(Q.2.(xxix)\) \(1-2\sin{\theta}-2\cos{\theta}+\cot{\theta}=0, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 135^{o}, \ 150^{o}\) এবং \(315^{o}\)
চঃ ২০১৬ ।

\(Q.2.(xxx)\) \((2+\sqrt{3})\cos{\theta}=1-\sin{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(90^{o}, \ 300^{o}\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(4\cot{2\theta}=\cot^2{\theta}-\tan^2{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 135^{o}, \ 225^{o}\) এবং \(315^{o}\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(1+\cos{x}+\cos{2x}=0, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{2}\) এবং \(\frac{4\pi}{3}\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(4cosec^2{\theta}-7\cot{\theta} cosec \ {\theta}-2=0,\) \(0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{(0.314)}\)

Read Board Question2
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সমাধান কর
\(Q.3.(i)\) \(\tan{x}+\tan{2x}+\tan{x}\tan{2x}=1\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
মাঃ ২০১২; রাঃ ২০০২; বঃ ২০০৬; চঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০০৯ ।

সমাধান কর
\(Q.3.(ii)\) \(\sqrt{3}(\tan{x}+\tan{2x})+\tan{x}\tan{2x}=1\)
উত্তরঃ \((6n+1)\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ ২০১১; রাঃ ২০১৪,২০১১,২০০৪,২০০০; দিঃ,চঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৭ ।

\(Q.3.(iii)\) \(\tan{\theta}+\tan{2\theta}+\sqrt{3}\tan{\theta}\tan{2\theta}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \((3n+1)\frac{\pi}{9}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ, রাঃ ২০০৬; চঃ ২০১১,২০০৯; সিঃ ২০১৪; বঃ ২০০৯ ।

\(Q.3.(iv)\) \(\tan{x}+\tan{2x}+\tan{3x}=\tan{x}\tan{2x}\tan{3x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ ২০১৫; মাঃ ২০০৭ ।

\(Q.3.(v)\) \(\cot{x}+\cot{2x}+\cot{3x}=\cot{x}\cot{2x}\cot{3x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ।

\(Q.3.(vi)\) \(\sin{\theta}+\cos{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ (4n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
দিঃ ২০১৬; চঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৫; মাঃ ২০১৪ ।

\(Q.3.(vii)\) \(\cos{x}-\sin{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ (4n-1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০০১ ।

\(Q.3.(viii)\) \(\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ (6n+1)\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৫; বঃ ২০১২,২০০৫; বিআইটিঃ ২০০১-২০০২ ।

\(Q.3.(ix)\) \(\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{5\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ ২০০৭; রাঃ ২০০৫ ।

\(Q.3.(x)\) \(\cos{\theta}+\sqrt{3}\sin{\theta}=2\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\sin{x}+\cos{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ \(2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{7\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ ২০০২ ।

\(Q.3.(xii)\) \(\cos{\theta}+2\sin{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০০৪; বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xiii)\) \(\cos{\theta}-\cos{9\theta}=\sin{5\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{5}, \ \frac{1}{4}\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\right\}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xiv)\) \(\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০০৫ ।

\(Q.3.(xv)\) \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ।

\(Q.3.(xvi)\) \(\sqrt{2}\cos{3\theta}-\cos{\theta}=\cos{5\theta}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{6}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ ২০১৩; সিঃ ২০১০; কুঃ,চঃ ২০০৮ ।

\(Q.3.(xvii)\) \(\sin{7\theta}-\sqrt{3}\cos{4\theta}=\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{8}, \ \{3n+(-1)^n\}\frac{\pi}{9}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ ২০০৫; দিঃ ২০১০ ।

\(Q.3.(xviii)\) \(\cos{7\theta}=\cos{3\theta}+\sin{5\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{5}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{7\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০০৫; বঃ ২০০৭ ।

\(Q.3.(xix)\) \(\cos{\theta}-\cos{7\theta}=\sin{4\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১০; চঃ ২০১৪; বঃ,মাঃ ২০১১; দিঃ ২০০৯; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৬ ।

\(Q.3.(xx)\) \(\sin{3\theta}+\sin{5\theta}+\sin{7\theta}+\sin{9\theta}=0\)
উত্তরঃ \(\theta=\frac{n\pi}{6}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০০৩ ।

\(Q.3.(xxi)\) \(\sin^2{2x}-3\cos^2{x}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০১১; কুঃ ২০১০ ।

\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^2{\theta}-2\sqrt{3}\sec{\theta}+4=0\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\sec{\alpha}=\sqrt{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০০৫; চুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.3.(xxiii)\) \(\tan^2{x}+\cot^2{x}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০০৭ ।

\(Q.3.(xxiv)\) \(\cos{2x}+\sin{x}=1\)
উত্তরঃ \(n\pi, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(\ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ ২০০৪ ।

\(Q.3.(xxv)\) \(\sec^2{\theta}+\tan^2{\theta}=3\tan{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+\alpha\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=\frac{1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১২; দিঃ ২০০৯ ।

\(Q.3.(xxvi)\) \(2\sin{\theta}\tan{\theta}+1=\tan{\theta}+2\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(\ n\in{\mathbb{Z}}\)
চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xxvii)\) \(\tan{x}+\tan{2x}+\tan{3x}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}, \ n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০১১; রাঃ ২০০৫ ।

\(Q.3.(xxviii)\) \(\tan^2{\theta}-3cosec^2{\theta}+1=0\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪; টেক্সটাইলঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xxix)\) \(\cos{6x}+\cos{4x}=\sin{3x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ (4n+1)\frac{\pi}{14}, \ (4n-1)\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৬; রাঃ ২০১৪; মাঃ ২০১০ ।

\(Q.3.(xxx)\) \(\cos^3{x}\sin{3x}+\sin^3{x}\cos{3x}=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০০২ ।

\(Q.3.(xxxi)\) \(\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2\sin{2\theta}}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ ২০০৪ ।

\(Q.3.(xxxii)\) \(\cot{2x}=\cos{x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((4n-1)\frac{\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{2x}}-\frac{1}{\cos{2x}}=4\)
উত্তরঃ \((6n+1)\frac{\pi}{18}, \ (3n+1)\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\tan{3\theta}\tan{\theta}=1\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
মাঃ ২০১৫ ।

\(Q.3.(xxxv)\) \(\tan{\theta}+\tan{3\theta}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ ২০০৫ ।

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\cos{x}+\sin{x}=\cos{2x}+\sin{2x}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ \frac{2}{3}\left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
দিঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০১৩,২০০৬; চঃ ২০১২,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৫; কুঃ ২০১৪,২০০৫; যঃ ২০১৪,২০১১,২০০৭; রাঃ ২০১২,২০০৮; মাঃ ২০১৩,২০০৯ ।

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\sin{\theta}+\sin{2\theta}+\sin{3\theta}=1+\cos{\theta}+\cos{2\theta}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০৮; বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\cos{\theta}+\cos{3\theta}+\cos{5\theta}+\cos{7\theta}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{8}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xxxix)\) \(\sin{3x}\sin{x}=\cos{2x}+\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{4}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xL)\) \(\sin{x}+2\cos{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi-\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{3}{5}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLi)\) \(\sin{x}+\cos{x}+\sqrt{2}=0\)
উত্তরঃ \((8n-3)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLii)\) \(\cot{\theta}+\cot{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLiii)\) \(2\cot{\frac{\theta}{2}}=(1+\cot{\theta})^2\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLiv)\) \(\frac{\sin{\alpha}}{\sin{2x}}-\frac{\cos{\alpha}}{\cos{2x}}=2\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}(2n\pi+\alpha), \ \frac{1}{2}\{(2n+1)\pi-\alpha\}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLv)\) \(\sin{\left(\frac{\pi}{4}\tan{\theta}\right)}=\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cot{\theta}\right)}\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLvi)\) \(1-2\sin{\theta}=\cos{\theta}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xLvii)\) \(\sqrt{3}\cot^2{\theta}+4\cot{\theta}+\sqrt{3}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{2\pi}{3}, \ n\pi+\frac{5\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLviii)\) \(4\sin^2{\theta}+\sqrt{3}=2(1+\sqrt{3})\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

Read Board Question3
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(1+\sin^2{x}-2\cos^2{x}+3\cos{x}=3-\cos^2{x}\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
সকল বোঃ ২০১৮।

সমাধান কর
\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=\tan{x}. \ \{f(x)\}^2+f^{\prime}(x)=3f(x)\) হলে বিশেষ সমাধান নির্ণয় কর যখন \(0\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}, \ \pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ ২০১৭।

সমাধান কর
\(Q.4.(iii)\) \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.4.(iv)\) \(h(x)=\cos{x}. \ 2\{h(x)\}^2+\{h(2x)\}^2=2\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০১৭।

\(Q.4.(v)\) \(f(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\sqrt{2}\) হলে, \(f(\sin{\theta})=0.\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ ২০১৯।

\(Q.4.(vi)\) \(\sqrt{2}x=\sin^{-1}{A}, \ \frac{-x}{2}=\cos^{-1}{B}\) এবং \(A-B=0.\) হলে, \(x\) এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(4n+1)\pi}{1+2\sqrt{2}}, \ \frac{(4n-1)\pi}{1-2\sqrt{2}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৯।

\(Q.4.(vii)\) \(g(x)=\cot{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)g\left(\frac{3\pi}{2}-2\theta\right)=1, \ 0\le{\theta}\le{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
দিঃ ২০১৯।

\(Q.4.(viii)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}\) হলে, \(\sqrt{3}g(x)+f(x)=\sqrt{3}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৭।

\(Q.4.(ix)\) \(g(x)=\cos{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1, \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ -\frac{11\pi}{6}, \ -\frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}\)
যঃ২০১৯।

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(\sqrt{3}f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=2, \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
রাঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xi)\) \(\sin{2\theta}=\cos{3\theta}\) সমীকরণের যে সকল সমাধান \(0^{o}\) হতে \(360^{o}\) এর মধ্যে অবস্থিত, তাদের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 90^{o}, \ 162^{o}, \ 234^{o}, \ 270^{o}, \ 306^{o}\)
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.4.(xii)\) \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যাবধিতে \(2\sin{\theta}\sin{3\theta}=1\) সমীকরণটির সমাধান কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=\tan{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos{x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((4n-1)\frac{\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xiv)\) \(\cos{\theta}+\sin{\theta}=\cos{2\theta}+\sin{2\theta}\) হলে, সমীকরণটির \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) ব্যাবধিতে সমাধান আছে কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \(0, \ \frac{\pi}{6}\)
দিঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xv)\) \(\sin{\sqrt{2}x}-\cos{\frac{x}{2}}=0\) হলে, \(x\) এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(4n+1)\pi}{1+2\sqrt{2}}, \ \frac{(4n-1)\pi}{1-2\sqrt{2}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xvi)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\sin^2{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}, \ 0\le{x}\lt{2\pi} \)
উত্তরঃ \(0, \ \frac{\pi}{4}, \ \pi, \ \frac{5\pi}{4}\)

\(Q.4.(xvii)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\cos{\theta}+\cos{3\theta}+\cos{5\theta}+\cos{7\theta}=0, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi} \)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{5\pi}{8}, \ \frac{3\pi}{4}\) এবং \(\frac{7\pi}{8}\)

\(Q.4.(xviii)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\cos{\theta}-\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ -\pi\lt{\theta}\lt{\pi} \)
উত্তরঃ \(-\frac{7\pi}{12}, \ \frac{\pi}{12}\)

\(Q.4.(xix)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\sin{4\theta}=\cos{3\theta}+\sin{2\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{5\pi}{6}\)

\(Q.4.(xx)\) \(h(x)=\sin{x}\) হলে, \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যবধিতে \(2h(\theta).h(3\theta)=1\) সমীকরণটির সমাধান কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xxi)\) যদি \(\sin{(\pi\cot{\theta})}=\cos{(\pi\tan{\theta})}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {2\theta}\) বা \(\cot{2\theta}\) এর মান \(\left(n+\frac{1}{4}\right)\) এর সমান, যখন \(n\) এর মান একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়।

\(Q.4.(xxii)\) যদি \(\sin{A}=\sin{B}\) এবং \(\cos{A}=\cos{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B\) অথবা এদের পার্থক্য চার সমকোণের যেকোনো গুণিতকের সমান।

\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=c\) সমীকরণের দুইটি সমাধান \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xxiv)\) \(1+\cos{(y-z)}+\cos{(z-x)}+\cos{(x-y)}=0\) হলে, দেখাও যে, \((y-z)\) অথবা, \((z-x)\) অথবা, \((x-y)\) হবে \(\pi\) এর বিজোড় গুণিতকের সমান।

Read Board Question4
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) \(f(x)=\frac{2x}{1+x^2}, \ g(y)=\frac{1-y^2}{1+y^2}\) এবং \(h(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(\cos^{-1}{m}+\cos^{-1}{n}=\frac{\pi}{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(m^2+n^2=1\)
\((b)\) \(cosec^{-1}{\frac{1}{f(a)}}+\sec^{-1}{\frac{1}{g(b)}}=2\tan^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
\((c)\) \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যবধিতে \(2h(\theta)h(3\theta)=1\) সমীকরণটির সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.5.(ii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sec{A}=\sqrt{5}, \ cosec \ {B}=\frac{5}{3}\) এবং \(\cot{C}=3\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(cosec^{-1}{\sqrt{17}}+\sec^{-1}{\frac{\sqrt{26}}{5}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: থেকে \(A+C-\frac{1}{2}B\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) সমাধান করঃ দৃশ্যকল্প-২: থেকে \(\sqrt{3}f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=2\) যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}{\left(\frac{9}{19}\right)}\)
\((b) \ \tan^{-1}{2}\)
\((c) \ -\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
রাঃ ২০১৯।

\(Q.5.(iii)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\) এর মান কত?
\((b)\) \(f\left\{\sqrt{2}g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\left\{\sqrt{g(2\theta)}\right\}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1\) যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{4}\)
\((b) \ \frac{\pi}{2}\)
\((c) \ -\frac{\pi}{2}, \ -\frac{11\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{3\pi}{2}\)
যঃ ২০১৯।

\(Q.5.(iv)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\sqrt{2}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(A=2\sin^{-1}{\frac{1}{3}}+\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\)
\((a)\) \(\sec^2{(\cot^{-1}{3})}+cosec^2{(\tan^{-1}{2})}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: থেকে সমাধান করঃ \(f(\sin{\theta})=0\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: থেকে প্রমান কর যে, \(A=\tan^{-1}{\frac{5}{\sqrt{2}}}\)
উত্তরঃ \((a) \ 2\frac{13}{36}\)
\((b) \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ -\frac{\pi}{2}, \ -\frac{11\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{3\pi}{2}\)
বঃ ২০১৯।

\(Q.5.(v)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(a)=\sec^{-1}{\frac{1}{a}}+\sec^{-1}{\frac{1}{b}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(\alpha)=\sin{(\pi\cos{\alpha})}-\cos{(\pi\sin{\alpha})}\)
\((a)\) \(\cot{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\right)}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-২: থেকে যদি \(g(\alpha)=0\) হয় তবে দেখাও যে, \(\alpha=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১: থেকে \(f(a)=\alpha\) হলে, প্রমান কর যে, \(\sin{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{\alpha}}\)
উত্তরঃ \((a) \ 2\)
চঃ ২০১৯।

\(Q.5.(vi)\) \(f(x)=\tan{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\tan^{-1}{\frac{5}{3}}=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(\tan^{-1}{\left\{(2+\sqrt{3})f(x)\right\}}+\tan^{-1}{\left\{(2-\sqrt{3})f(x)\right\}}=\tan^{-1}{\{2f(2x)\}}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos{x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((c) \ n\pi-\frac{\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ ২০১৯।

\(Q.5.(vii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sin^{-1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+\cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, \ -2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
\((a)\) প্রমান কর যে, \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((b) 0\)
\((c) \ \pm\frac{\pi}{3}, \ \pm\frac{5\pi}{3}\)
ঢাঃ,যঃ,সিঃ,দিঃ ২০১৮।

\(Q.5.(viii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sec^{-1}{\left(\frac{5}{3}\right)}+\cot^{-1}{\left(\frac{12}{5}\right)}+\sin^{-1}{\left(\frac{16}{65}\right)}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{3}\sin{\theta}=2+\cos{\theta}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}\)
\((b)\) দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এর মান \(\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর সমাধান কর যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((c) \ -\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
ঢাঃ ২০১৭।

\(Q.5.(ix)\) \(f(x)=\tan{x}\)
\((a)\) \(\cot^{-1}{\cos{\left(cosec^{-1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\right)}}\) এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত \(f(x)\) এর জন্য \(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)=\pi\) হলে প্রমাণ কর যে, প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল \(-1\) হবে।
\((c)\) \(\left\{f(x)\right\}^2+f^{\prime}(x)=3f(x)\) হলে, বিশেষ সমাধান নির্ণয় কর যখন \(0\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\)
\((c) \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}, \ \pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
রাঃ ২০১৭।

\(Q.5.(x)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}, \ \sin{\theta}=\frac{4}{5}\)
\((a)\) \(cosec^{-1}{\sqrt{5}}+\sec^{-1}{\frac{\sqrt{10}}{3}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(\sec^{-1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\theta-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{2}\)
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+f(x)=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{4}\)
\((c) \ 2n\pi, \ 2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xi)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}=2x\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\pi+(-1)^n\frac{7\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.5.(xii)\) \(g(x)=p\sin^{-1}{x}, \ h(x)=\cos{x}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}=\cot^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((b)\) \(g(x)\) এর লেখচিত্র অংকন কর, যখন \(p=\frac{1}{2}, \ -1\le{x}\le{1}\)
\((c)\) \(2\left\{h(x)\right\}^2+\left\{h(2x)\right\}^2=2\) সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ \frac{1}{2}(2n\pi\pm\alpha)\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০১৭।

\(Q.5.(xiii)\) \(f(x)=\cot^{-1}{y}-\tan^{-1}{x} ........(1)\)
\(\cos{\theta}-\cos{9\theta}=\sin{5\theta} ........(2)\)
\((a)\) \(\sin{\frac{x}{3}}\) এর পর্যায়কাল কত?
\((b)\) \(f(x)=\frac{\pi}{6}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x+y+\sqrt{3}xy=\sqrt{3}\)
\((c)\) উদ্দীপক-২ এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 6\pi\)
\((c) \ \frac{n\pi}{5}, \ \frac{1}{4}\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\right\}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xiv)\) \(A=\cos{\theta}, \ B=\sin{\theta}, \ C=\cos{2\theta}, \ D=\sin{2\theta}\)
\((a)\) মান নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}{\sin{\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}}}\)
\((b)\) \(A+\sqrt{3}B=\sqrt{2}\) হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।
\((c)\) \(A+B=C+D\) হলে, সমীকরণটি \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) ব্যাবধিতে সমাধান আছে কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{6}\)
\((b) \ 2n\pi+\frac{7\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ 0, \ \frac{\pi}{6}\)
দিঃ ২০১৭।

\(Q.5.(xv)\) \(f(x)=\tan{\theta}\) এবং \(\sin{\theta}=\frac{12}{13}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot^{-1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\frac{1}{2}\sec^{-1}{\frac{1+x}{1-x}}\)
\((b)\) সমাধান করঃ \(\tan^2{x}+\sec^2{x}=3\tan{x}, \ 0\le{x}\le{2\pi}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot^{-1}{\frac{3}{4}}+\frac{\theta}{2}-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\cot^{-1}{\frac{29}{28}}\)
উত্তরঃ \((b) \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) এবং \(\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)

\(Q.5.(xvi)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(f\left(\cot^{-1}{\frac{3}{4}}\right)\) এর মান কত?
\((b)\) \(f^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+f^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\theta\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}f(\theta)+\frac{y^2}{b^2}=1-\left\{f(x)\right\}^2\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(f(\theta)-f(7\theta)=g(4\theta)\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{5}\)
\((c) \ \frac{n\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.5.(xvii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\cos^{-1}{\frac{3}{5}}+\sin^{-1}{\frac{5}{13}}+cosec^{-1}{\frac{65}{16}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\tan{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(2\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\)
\((b)\) দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এর মান \(\frac{\pi}{2}\) হবে।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: থেকে সমাধান করঃ \(f(x)+f(2x)+f(3x)=f(x)f(2x)f(3x)\) যখন, \(0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((c) \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \pi, \ \frac{4\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)

\(Q.5.(xviii)\) \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \(\cos{3x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) সমাধান করঃ \(f(x)+f(2x)+f(3x)=0\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(4f(x)f(2x)f(3x)=1\) যখন, \(0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{2n\pi}{3}\pm\frac{7\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((b) \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ \frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{8}\) এবং \(\frac{7\pi}{8}\)

\(Q.5.(xix)\) \(f(x)=\tan^{-1}{x}, \ h(x)=\sin^{-1}{x}, \ g(x)=\sec{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f\left(\frac{5}{6}\right)-f\left(\frac{49}{71}\right)=f\left(\frac{1}{11}\right)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(h\left(\sqrt{2}\sin{\theta}\right)+h\left(\sqrt{\cos{2\theta}}\right)=\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(g(4\theta)-g(2\theta)=2\) যখন, \(0\lt{x}\lt{180^{o}}\)
উত্তরঃ \((c) \ 18^{o}, \ 54^{o}, \ 90^{o}, \ 126^{o}\) এবং \(162^{o}\)

\(Q.5.(xx)\) \(\cot{\theta}+\tan{\theta}=2\sec{\theta}\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং \(f(x)=\sin^{-1}{\left\{\sqrt{2(1-x^2)}\right\}}+\sin^{-1}{\left\{\sqrt{\cos{(2\theta)}}\right\}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\frac{3}{4}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(f(\cos{\theta})=\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\) সীমার মধ্যে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ -\frac{11\pi}{6}, \ -\frac{7\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}\) এবং \(\frac{5\pi}{6}\)

\(Q.5.(xxi)\) \(A=\sin^{-1}{\frac{x}{y}}, \ B=\cos^{-1}{\frac{a}{x}}\) এবং \(C=\cos^{-1}{\frac{b}{y}}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\{\cos{(\sin^{-1}{x})}\}^2=\{\sin{(\cos^{-1}{x})}\}^2\)
\((b)\) দেখাও যে, \(B+C=\cos^{-1}{\left\{\frac{ab}{xy}-\frac{1}{xy}\sqrt{(x^2-a^2)(y^2-b^2)}\right\}}\)
\((c)\) \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^4-x^2y^2-2abx^2+a^2y^2+b^2x^2=0\)

\(Q.5.(xxii)\) \(P=\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}-\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{4}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\) এবং \(\tan^{-1}{x}=A\)
\((a)\) \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\) কে \(\tan^{-1}{y}\) এ রুপান্তর কর, যেখানে \(y=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(5A=\tan^{-1}{\left\{\frac{x^5-10x^3+5x}{5x^4-10x^2+1}\right\}}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(P=\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\)

\(Q.5.(xxiii)\) \(f(t)=\sqrt{3}\sin{t}+\cos{t}\) এবং \(g(t)=\tan^{-1}{t}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}=\cot{\frac{xy-1}{x+y}}\)
\((b)\) \(g\left(\frac{p}{q}\right)+g\left(\frac{r}{s}\right)=\theta\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((sq-rp)\sin{\theta}=(rq+ps)\cos{\theta}\)
\((c)\) \(f(t)=\sqrt{3}\) সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ 2n\pi+\frac{\pi}{2}, \ 2n\pi+\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.5.(xxiv)\) দেওয়া আছে, \(f(x)=\sin^{-1}{x}, \ g(x)=\cos^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) এবং \(h(x)=\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)=g(x)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)g(x)h(x)=\left\{f(x)\right\}^3\)
\((c)\) \(\left\{f(x)\right\}^2+\left\{g(x)\right\}^2+\left\{h(x)\right\}^2=\frac{3}{16}\pi^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(Q.5.(xxv)\) দেওয়া আছে, \(f(x)=cosec \ {x}, \ g(x)=\tan{x}\)
\((a)\) যদি \(x=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{3}{5}}\) হয় তাহলে, প্রমাণ কর যে, \(\tan{x}=\frac{1}{2}\)
\((b)\) \(2\tan^{-1}{\left\{f(x)\right\}}=\cot^{-1}{\left(\frac{\cos{x}}{2}\right)}\) এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\left\{f\left(\cos^{-1}{x}\right)\right\}}-\tan^{-1}{\left\{g\left(\sin^{-1}{x}\right)\right\}}=\tan^{-1}{\left\{\frac{(1-x)\sqrt{1-x^2}}{1+x-x^2}\right\}}\)
উত্তরঃ \((b) \ (2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi+\frac{3\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.5.(xxvi)\) দেওয়া আছে, \(f(x)=\cos^{-1}{x}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
\((b)\) \(f(x)+f(y)+f(z)=\pi\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
\((c)\) \(f(x)=\theta\) হলে, \(4(1-x^2+x)=5\) এর সমাধান নির্ণয় কর যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((b) \ \pm\frac{\pi}{3}, \ \pm\frac{5\pi}{3}\)

\(Q.5.(xxvii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^2}}-\cos^{-1}{\frac{1-b^2}{1+b^2}}=2\tan^{-1}{x}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(2\sin{\theta}\sin{3\theta}=1, \ 0\le{\theta}\le{\pi}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\cot{\cos^{-1}{\sin{\tan^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\frac{3}{4}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ থেকে সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর এবং প্রদত্ত সীমার মধ্যে \(\theta\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
এবং \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\)

\(Q.5.(xxviii)\) \(f(x)=\sin{x}; \ \triangle{ABC}\) \(\cot^{-1}{\frac{1}{2}}=B, \ \cot^{-1}{\frac{1}{3}}=C\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {\sin^{-1}{\tan{\sec^{-1}{\frac{x}{y}}}}}=\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}\)
\((b)\) \(2+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sqrt{3}f(x); \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\) সমীকরণটি সমাধান কর
\((c)\) \(\angle{A}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ -\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
\((c) \ \frac{\pi}{4}\)

Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
\(Q.6.(i)\) সমাধান করঃ \(1-2\sin{\theta}=\cos{\theta}\)
উত্তরঃ \(\theta=2n\pi, \ 2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(ii)\) সমাধান করঃ \(1+\sin{2\phi}+\sin{2\theta}=\cos{(2\phi+2\theta)}, \ 0\lt{\phi,\theta}\lt{90^{o}}\)
উত্তরঃ \(\theta=90^{o}\)
বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(iii)\) \(\cos{\theta}=0\) হলে, \(\theta\) এর সাধারণ সমাধান কি?
উত্তরঃ \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বুটেক্সঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(iv)\) \(\sin{\theta}=1\) হলে, \(\theta\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বুটেক্সঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(v)\) সমাধান করঃ \(\tan^2{\theta}=3 cosec^2{\theta}-1, \ 0\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\theta=\frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)
কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪।

\(Q.6.(vi)\) সমাধান করঃ \(2\sin{\theta}\tan{\theta}+1=\tan{\theta}+2\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(\theta=n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(vii)\) \(\cot{(\sin^{-1}{x})}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)
বুটেক্সঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(viii)\) মান নির্ণয় করঃ \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}-\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{9}\)
বুটেক্সঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(ix)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\left(\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}\)
বুটেক্সঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Q.6.(x)\) মান নির্ণয় করঃ \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\sin^{-1}{\frac{5}{13}}+\sin^{-1}{\frac{16}{65}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮।

প্রমাণ কর
\(Q.6.(xi)\) \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{1-x}{1+x}}\)
বুটেক্সঃ ২০০৮-২০০৯।

প্রমাণ কর
\(Q.6.(xii)\) \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}-\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}=\frac{2}{9}\)
বুটেক্সঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.6.(xiii)\) \(\cos^{-1}{x}=2\sin^{-1}{\sqrt{\frac{1-x}{2}}}=2\cos^{-1}{\sqrt{\frac{1+x}{2}}}\)
কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫,২০০৩-২০০৪; রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xiv)\) \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\cot^{-1}{\frac{17}{19}}=\tan^{-1}{\frac{127}{11}}\)
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.6.(xv)\) \(\cot^{-1}{\frac{5}{3}}+\sin^{-1}{\frac{3}{5}}=\tan^{-1}{\frac{27}{11}}\)
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.6.(xvi)\) \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{\frac{11}{2}}\)
ডুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫

\(Q.6.(xvii)\) \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\sin^{-1}{\frac{5}{13}}+\sin^{-1}{\frac{16}{65}}=\frac{\pi}{2}\)
রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

সমাধান কর
\(Q.6.(xviii)\) \(\sin^{-1}{2x}+\sin^{-1}{x}=\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯।

সমাধান কর
\(Q.6.(xix)\) \(\tan^{-1}{\frac{1-x}{1+x}}=\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭।

\(Q.6.(xx)\) \(\tan^{-1}{x}+2\cot^{-1}{x}=\frac{2}{3}\pi\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
বুয়েটঃ ২০১০-২০১১।

\(Q.6.(xxi)\) \(\tan{\cos^{-1}{x}}=\sin{\tan^{-1}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩।

প্রমাণ কর
\(Q.6.(xxii)\) \(\sin{\cos^{-1}{\tan{\sec^{-1}{\frac{x}{y}}}}}=\frac{\sqrt{2y^2-x^2}}{y}\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

প্রমাণ কর
\(Q.6.(xxiii)\) \(\cos{\tan^{-1}{\sin{\cot^{-1}{x}}}}=\sqrt{\frac{1+x}{2+x^2}}\)
বিআইটিঃ ১৯৯৯-২০০০ ।

\(Q.6.(xxiv)\) \(\sec^2{(\tan^{-1}{4})}+\tan^2{(\sec^{-1}{3})}=25\)
চুয়েটঃ ২০১১-২০১২,২০১০-২০১১ ।

\(Q.6.(xxv)\) \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}-\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}=\frac{2}{9}\)
বুটেক্সঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.6.(xxvi)\) \(cosec^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-3\sec^2{\left(\cot^{-1}{\sqrt{3}}\right)}=1\)
কুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.6.(xxvii)\) \(\sec^2{\left(\cot^{-1}{3}\right)}+cosec^2{\left(\tan^{-1}{2}\right)}=2\frac{13}{36}\)
ডুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

\(Q.6.(xxviii)\) \(\cos{\tan^{-1}{\cot{\sin^{-1}{x}}}}=x\)
কুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.6.(xxix)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে দেখাও যে,
\((a)\) \(x^2+y^2=1\)
রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.6.(xxx)\) যদি \(cosec^{-1}{\frac{1+a^2}{2a}}-\sec^{-1}{\frac{1+b^2}{1-b^2}}=2\tan^{-1}{x}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
চুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.6.(xxxi)\) যদি \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^2}}-\cos^{-1}{\frac{1-b^2}{1+b^2}}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
চুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

Read Admission Question

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024