এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান (General solution of trigonometric equations)
- \(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
- \(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
- \(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
- \(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
- \(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
- \(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
- \(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
- \(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
- \(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
- \(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
- \(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
- \(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
- \(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
- \(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
- ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের অবান্তর মূল (Extraneous roots of trigonometric equations)
- নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান (Solution of trigonometric equation in a finite interval)
- অধ্যায় \(vii.I\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(vii.I\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(vii.I\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(vii.I\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(vii.I\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(vii.I\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান
General solution of trigonometric equations
এক বা একাধিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্বলিত সমীকরণকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়। সমীকরণটির সংশ্লিষ্ট কোণকেই চলরাশি বলা হয়। চলরাশির যে সকল মানের জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, সেগুলিকে সমীকরণটির সমাধান বলা হয়। সকল সমাধানকে অভিন্ন রাশিমালাতে প্রকাশ করা হলে সেটিকে সাধারণ সমাধান বলে।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে উৎপাদকে প্রকাশ করে যে সকল সরল সমীকরণ পাওয়া যায় সেগুলিকে মূল সমীকরণের প্রতীক সমীকরণ বলা হয়।
যেমনঃ \(2\tan^2{\theta}-3\tan{\theta}+1=0\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়,
\((2\tan{\theta}-1)(\tan{\theta}-1)=0\)
এখানে, প্রতীক সমীকরণ \(2\tan{\theta}-1=0\) এবং \(\tan{\theta}-1=0\)
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের এক বা একাধিক প্রতীক সমীকরণ থাকতে পারে। সে ক্ষেত্রে একটি প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধান মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান নয়। সকল প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধানই একত্রে মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান। এ অধ্যায়ে আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় অধ্যয়ন করব।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে উৎপাদকে প্রকাশ করে যে সকল সরল সমীকরণ পাওয়া যায় সেগুলিকে মূল সমীকরণের প্রতীক সমীকরণ বলা হয়।
যেমনঃ \(2\tan^2{\theta}-3\tan{\theta}+1=0\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়,
\((2\tan{\theta}-1)(\tan{\theta}-1)=0\)
এখানে, প্রতীক সমীকরণ \(2\tan{\theta}-1=0\) এবং \(\tan{\theta}-1=0\)
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের এক বা একাধিক প্রতীক সমীকরণ থাকতে পারে। সে ক্ষেত্রে একটি প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধান মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান নয়। সকল প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধানই একত্রে মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান। এ অধ্যায়ে আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় অধ্যয়ন করব।
\(\sin{\theta}=0\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=0\)
\(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)\(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{2\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{3\pi}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(n\pi\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
\(\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{3\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{5\pi}{2}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left\{\frac{(2n+1)\pi}{2}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{2\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(\pm{3\pi}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(n\pi\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
দ্বিতীয় প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\(\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{3\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{5\pi}{2}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left\{\frac{(2n+1)\pi}{2}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\tan{\theta}=0\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)\(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{2\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{3\pi}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(n\pi\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=0\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{3\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{5\pi}{2}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left\{\frac{(2n+1)\pi}{2}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{2\pi}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pm{3\pi}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(n\pi\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)
দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=0\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{3\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pm\frac{5\pi}{2}\right)}\)
\(....................\)
\(....................\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left\{\frac{(2n+1)\pi}{2}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এবং \(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) and \(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}-\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(\therefore \cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}=0, \ \sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
এখন,
\(\cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta+\alpha}{2}=(2m+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \cos{A}=0\)
\(\Rightarrow A=(2m+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta+\alpha=(2m+1)\pi\)
\(\Rightarrow \theta=(2m+1)\pi-\alpha\)
\(\therefore \theta=(2m+1)\pi+(-1)^{2m+1}\alpha\)
\(n\) যে কোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(n=2m+1\) হলে, \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
আবার,
\(\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\alpha}{2}=m\pi\) যেখানে, \(m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=m\pi\)
\(\Rightarrow \theta-\alpha=2m\pi\)
\(\Rightarrow \theta=2m\pi+\alpha\)
\(\therefore \theta=2m\pi+(-1)^{2m}\alpha\)
\(n\) যে কোনো জোড় পূর্ণসংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(n=2m\) হলে, \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(n\) জোড় বা বিজোড় যে কোনো পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে,
\(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\therefore \sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}=\frac{1}{\sin{\alpha}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\therefore \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}-\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(\therefore \cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}=0, \ \sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
এখন,
\(\cos{\frac{\theta+\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta+\alpha}{2}=(2m+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \cos{A}=0\)
\(\Rightarrow A=(2m+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta+\alpha=(2m+1)\pi\)
\(\Rightarrow \theta=(2m+1)\pi-\alpha\)
\(\therefore \theta=(2m+1)\pi+(-1)^{2m+1}\alpha\)
\(n\) যে কোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(n=2m+1\) হলে, \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
আবার,
\(\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\alpha}{2}=m\pi\) যেখানে, \(m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=m\pi\)
\(\Rightarrow \theta-\alpha=2m\pi\)
\(\Rightarrow \theta=2m\pi+\alpha\)
\(\therefore \theta=2m\pi+(-1)^{2m}\alpha\)
\(n\) যে কোনো জোড় পূর্ণসংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(n=2m\) হলে, \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(n\) জোড় বা বিজোড় যে কোনো পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে,
\(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\therefore \sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}=\frac{1}{\sin{\alpha}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\therefore \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এবং \(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) and \(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}-\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\) ➜ \(\because \cos{C}-\cos{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{D-C}{2}}\)
\(\therefore \sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}=0, \ \sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
এখন,
\(\sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+\theta}{2}=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)
\(\Rightarrow \alpha+\theta=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi-\alpha .........(1)\)
আবার,
\(\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\alpha}{2}=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)
\(\Rightarrow \theta-\alpha=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi+\alpha .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) কে সমন্বয় করে,
\(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\therefore \cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
দেওয়া আছে,
\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{1}{\cos{\alpha}}\) ➜ \(\because \sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\therefore \sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}-\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\) ➜ \(\because \cos{C}-\cos{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{D-C}{2}}\)
\(\therefore \sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}=0, \ \sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
এখন,
\(\sin{\frac{\alpha+\theta}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+\theta}{2}=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)
\(\Rightarrow \alpha+\theta=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi-\alpha .........(1)\)
আবার,
\(\sin{\frac{\theta-\alpha}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\alpha}{2}=n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)
\(\Rightarrow \theta-\alpha=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi+\alpha .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) কে সমন্বয় করে,
\(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\therefore \cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
দেওয়া আছে,
\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{1}{\cos{\alpha}}\) ➜ \(\because \sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\therefore \sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এবং \(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) and \(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\alpha}=\cos{\theta}\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\alpha}-\cos{\theta}\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \sin{(\theta-\alpha)}=0\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)
\(\Rightarrow \theta-\alpha=n\pi\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)
\(\therefore \theta=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\theta}}=\frac{1}{\tan{\alpha}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+{\alpha}\) ➜ \(\because \tan{A}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+{\alpha}\)
\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+{\alpha}\)
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\alpha}=\cos{\theta}\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\alpha}-\cos{\theta}\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \sin{(\theta-\alpha)}=0\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)
\(\Rightarrow \theta-\alpha=n\pi\) ➜ \(\because \sin{A}=0\)
\(\Rightarrow A=n\pi\)
\(\therefore \theta=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\theta}}=\frac{1}{\tan{\alpha}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+{\alpha}\) ➜ \(\because \tan{A}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+{\alpha}\)
\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+{\alpha}\)
\(\sin{\theta}=1\) এবং \(\cos{\theta}=1\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=1\) and \(\cos{\theta}=1\)
\(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore \theta=m\pi+(-1)^{m}\frac{\pi}{2}, \ m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(m\) জোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=2n\pi+(-1)^{2n}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n+1\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi+(-1)^{2n+1}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n+2-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) উভয় ক্ষেত্রেই \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{0^{o}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\)
\(\therefore \cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
\(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore \theta=m\pi+(-1)^{m}\frac{\pi}{2}, \ m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(m\) জোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=2n\pi+(-1)^{2n}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n+1\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi+(-1)^{2n+1}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n+2-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) উভয় ক্ষেত্রেই \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{0^{o}}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{0^{o}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\)
\(\therefore \cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
\(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)
\(\sin{\theta}=-1\) এবং \(\cos{\theta}=-1\) এর সাধারণ সমাধান
General solution of \(\sin{\theta}=-1\) and \(\cos{\theta}=-1\)
\(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=m\pi+(-1)^{m}\left(-\frac{\pi}{2}\right), \ m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=m\pi-(-1)^{m}\frac{\pi}{2}\)
\(m\) জোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=2n\pi-(-1)^{2n}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n-1\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=(2n-1)\pi-(-1)^{2n-1}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n-1)\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n-2+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) উভয় ক্ষেত্রেই \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{(\pi)}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\pi}\) ➜ \(\because \cos{A}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n\pm{1})\pi\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi, \ \theta=(2n-1)\pi\)
এখানে, \((2n+1), \ (2n-1)\) উভয়েই বিজোড় সংখ্যা তাই \(\theta\) এর মানের পুনরাাবৃত্তি ঘটে।
সুতরাং ঋণাত্মক চিহ্ন বর্জন করে,
\(\theta=(2n+1)\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=m\pi+(-1)^{m}\left(-\frac{\pi}{2}\right), \ m\in{\mathbb{Z}}\) ➜ \(\because \sin{\theta}=\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=m\pi-(-1)^{m}\frac{\pi}{2}\)
\(m\) জোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=2n\pi-(-1)^{2n}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অর্থাৎ \(m=2n-1\) হলে,
\(\Rightarrow \theta=(2n-1)\pi-(-1)^{2n-1}\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n-1)\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n-2+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) উভয় ক্ষেত্রেই \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
দেওয়া আছে,
\(\cos{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{(\pi)}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\pi}\) ➜ \(\because \cos{A}=\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow A=2n\pi\pm{\alpha}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n\pm{1})\pi\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\pi, \ \theta=(2n-1)\pi\)
এখানে, \((2n+1), \ (2n-1)\) উভয়েই বিজোড় সংখ্যা তাই \(\theta\) এর মানের পুনরাাবৃত্তি ঘটে।
সুতরাং ঋণাত্মক চিহ্ন বর্জন করে,
\(\theta=(2n+1)\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের অবান্তর মূল
Extraneous roots of trigonometric equations
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয় এবং বিভিন্ন প্রক্রিয়ায় সমাধান করে প্রাপ্ত মূলগুলি দৃশ্যত ভিন্ন আকারের হলেও সেগুলি সমতুল্য। কিছু কিছু সমীকরণকে বর্গ করে সমাধান নির্ণয় করে হয়। এ প্রক্রিয়া কিছুটা ত্রুটিপূর্ণ বলে প্রাপ্ত মূলগুলির কোনো কোনোটি প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না। এরূপ মূলকে অবান্তর মূল বলে। সুতরাং প্রকৃত মূল নির্ণয় করার জন্য প্রাপ্ত মূলগুলি দিয়ে প্রদত্ত সমীকরণ সিদ্ধ হয় কিনা তা পরীক্ষা করার প্রয়োজন হয়।
যেমনঃ \(\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}=\sqrt{2}-\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow 3\sin^2{\theta}=2-2\sqrt{2}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,
\(\Rightarrow 3(1-\cos^2{\theta})-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\) ➜ \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)
\(\Rightarrow 3-3\cos^2{\theta}-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -4\cos^2{\theta}+2\sqrt{2}\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow -(4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1)=0\)
\(\Rightarrow 4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{(-2\sqrt{2})^2-4\times4\times{-1}}}}{2\times4}\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\therefore x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{8+16}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{24}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{2\sqrt{6}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2(\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}})}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{2}\sqrt{3}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}(1\pm{\sqrt{3}})}{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1\pm{\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{15^{o}}, \ \cos{\theta}=-\sin{15^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(90^{o}+15^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(105^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \theta=2n\pi\pm{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\theta=2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ \theta=2n\pi-\frac{7\pi}{12}\) বসিয়ে দেখা যায় যে, সমীকরণটি সিদ্ধ করে না। সমীকরটি বর্গ করা হয়েছে বলে এই ভুল সমাধান বের হয়েছে।
যেমনঃ \(\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}=\sqrt{2}-\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow 3\sin^2{\theta}=2-2\sqrt{2}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,
\(\Rightarrow 3(1-\cos^2{\theta})-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\) ➜ \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)
\(\Rightarrow 3-3\cos^2{\theta}-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -4\cos^2{\theta}+2\sqrt{2}\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow -(4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1)=0\)
\(\Rightarrow 4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{(-2\sqrt{2})^2-4\times4\times{-1}}}}{2\times4}\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\therefore x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{8+16}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{24}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{2\sqrt{6}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2(\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}})}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{2}\sqrt{3}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}(1\pm{\sqrt{3}})}{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1\pm{\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{15^{o}}, \ \cos{\theta}=-\sin{15^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(90^{o}+15^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(105^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \theta=2n\pi\pm{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\theta=2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ \theta=2n\pi-\frac{7\pi}{12}\) বসিয়ে দেখা যায় যে, সমীকরণটি সিদ্ধ করে না। সমীকরটি বর্গ করা হয়েছে বলে এই ভুল সমাধান বের হয়েছে।
নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান
Solution of trigonometric equation in a finite interval
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়বৃত্ত হওয়ায় এর মানগুলো পর্যায়ক্রমে আবর্তিত হয়। নির্দিষ্ট ব্যবধিতেও সমাধানের পুনরাবৃত্তি হয়। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান থেকে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে অবস্থিত মানগুলি নির্ণয় করা যায়। আবার লেখচিত্রের সাহায্যে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে সমীকরণের সমাধানগুলি নির্ণয় করা যায়। নিম্নে লেখের সাহায্যে সমাধান নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করা হলো।
\((1)\) প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
\((2)\) ফাংশনের নির্দেশিত স্থানে \(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখা আঁকতে হবে।
\((3)\) সমান্তরাল রেখাটি ফাংশনকে যতবার ছেদ করবে ঠিক ততটি সমাধান বিদ্যমান থাকবে।
\((4)\) ছেদবিন্দুগুলির স্থানাংক, প্রতিসমতা বা ফাংশনের পর্যায়কাল ব্যবহার করে নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর ছেদবিন্দুগুলির \(x\) স্থানাংকই ফাংশনের সমাধান হবে।
\((1)\) প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
\((2)\) ফাংশনের নির্দেশিত স্থানে \(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখা আঁকতে হবে।
\((3)\) সমান্তরাল রেখাটি ফাংশনকে যতবার ছেদ করবে ঠিক ততটি সমাধান বিদ্যমান থাকবে।
\((4)\) ছেদবিন্দুগুলির স্থানাংক, প্রতিসমতা বা ফাংশনের পর্যায়কাল ব্যবহার করে নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর ছেদবিন্দুগুলির \(x\) স্থানাংকই ফাংশনের সমাধান হবে।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004