এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background)
- গণনার যোজন ও গুণন বিধি (Addition and multiplicatiion law of counting)
- বিন্যাস (Permutations)
- \(n!\) এর ব্যাখ্যা বা ফ্যাকটোরিয়াল \(n\) (Factorial n)
- \(0!\) এর ব্যাখ্যা (Explanation of \(0!\))
- বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
- বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
- \(^nP_{0}=1\) এর ব্যাখ্যা (Explanation of \(^nP_{0}=1\))
- বিন্যাস সংখ্যা \(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)(Permutations of such objects is not all different)
- বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)(Permutations in which objects can be repeated)
- চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\) অথবা, \(=\frac{(n-1)!}{2}\)(Cycle Permutations)
- বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r}}\)
- বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\) (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\))
- অধ্যায় \(5A\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(5A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
ভাস্করা- II (১১১৪ খ্রিস্টাব্দ-১১৮৫ খ্রিস্টাব্দ)
ভারতীয় গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ
ভারতীয় গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ
বৈচিত্রময় পৃথিবীতে মানুষ বিচিত্রভাবে সাজতে চায়। ক্রম বিবেচনা করে সাজানোর প্রক্রিয়া হলো বিন্যাস এবং উপেক্ষা করে সাজানোর প্রক্রিয়া হলো সমাবেশ। উদাহরণস্বরূপ, ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত বিভাগের পাঁচটি ফোন নম্বরের একটি হলো \(8626182\) । এক্ষেত্রে কোনো একটি অংকের ক্রম পরিবর্তন করলে কাঙ্ক্ষিত সংযোগ পাওয়া সম্ভব নয়। তাই আমরা বলতে পারি ফোন নম্বরের ক্ষেত্রে ক্রম একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, ক্রম বিবেচনা করে সাজানোর এই প্রক্রিয়া হলো বিন্যাস। আবার, ধরা যাক, বাংলাদেশ (B), পাকিস্তান (P) ও ভারত (I) তিনটি দল একটি ত্রিদেশীয় সিরিজে প্রত্যেকেই প্রত্যেকের সাথে একটি করে ম্যাচ খেলে, তাহলে খেলার ফিক্সচার হবে (\(B \ vs \ P\)), (\(B \ vs \ I\)) ও (\(P \ vs \ I\)) কিন্তু ফিক্সচারটি অন্যভাবে লিখা যায় (\(P \ vs \ B\)), (\(I \ vs \ B\)) ও (\(I \ vs \ P\))। এখানে দুইটি ফিক্সচার একই অর্থ বহন করে। এক্ষেত্রে ক্রমের বিষয়টি উপেক্ষিত। ক্রম বিবেচনা না করে সাজানোর এই প্রক্রিয়া হলো সমাবেশ।
সর্বপ্রথম ১১৫০ সালের দিকে সংখ্যাতত্ত্বের বিন্যাস ও এর নিয়ম সম্পর্কে নিদর্শন পাওয়া যায়। ভারতীয় গণিতবিদ মহাবীর ৮৫০ খ্রিস্টাব্দে বিন্যাস ও সমাবেশের সাধারণ ধর্মাবলি আবিষ্কার করেন। পরবর্তীতে ভাস্ককরা- II 'লীলাবতী' (Lilavati) গ্রন্থে বিন্যাস ও সমাবেশের গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ও কৌশল লিপিবদ্ধ করেন। 'Solution of numerical Equation' এ জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেজ জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেজ
(১৭৩৬খ্রিস্টাব্দ-১৮১৫খ্রিস্টাব্দ)
জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ, জিউসেপ লুইগি ল্যাংরেঞ্জ বা লেগ্রাঙ্গিয়া নামেও রিপোর্ট করা হয়েছিল, তিনি ছিলেন একজন ইতালীয় গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী, পরবর্তীতে ফরাসি ভাষায় প্রাকৃতিকীকরণ করেছিলেন। তিনি বিশ্লেষণ, সংখ্যা তত্ত্ব এবং শাস্ত্রীয় এবং স্বর্গীয় যান্ত্রিক উভয় ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন। (Joseph louis Lagrage) (১৭৩৬খ্রিস্টাব্দ-১৮১৫খ্রিস্টাব্দ) বিন্যাস ও সমাবেশের আধুনিকায়ন করেন। টেলিযোগাযোগ ব্যবস্থায় ব্যবহৃত ভুল চিহ্নিতকরণ এবং সংশোধন অ্যালগরিদমে বিন্যাস ব্যবহৃত হয়। ব্যবহারিক জীবনে, গণিত ও বিজ্ঞানে এটির প্রয়োজন অনস্বীকার্য।
সর্বপ্রথম ১১৫০ সালের দিকে সংখ্যাতত্ত্বের বিন্যাস ও এর নিয়ম সম্পর্কে নিদর্শন পাওয়া যায়। ভারতীয় গণিতবিদ মহাবীর ৮৫০ খ্রিস্টাব্দে বিন্যাস ও সমাবেশের সাধারণ ধর্মাবলি আবিষ্কার করেন। পরবর্তীতে ভাস্ককরা- II 'লীলাবতী' (Lilavati) গ্রন্থে বিন্যাস ও সমাবেশের গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ও কৌশল লিপিবদ্ধ করেন। 'Solution of numerical Equation' এ জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেজ জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেজ
(১৭৩৬খ্রিস্টাব্দ-১৮১৫খ্রিস্টাব্দ)
জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ, জিউসেপ লুইগি ল্যাংরেঞ্জ বা লেগ্রাঙ্গিয়া নামেও রিপোর্ট করা হয়েছিল, তিনি ছিলেন একজন ইতালীয় গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী, পরবর্তীতে ফরাসি ভাষায় প্রাকৃতিকীকরণ করেছিলেন। তিনি বিশ্লেষণ, সংখ্যা তত্ত্ব এবং শাস্ত্রীয় এবং স্বর্গীয় যান্ত্রিক উভয় ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন। (Joseph louis Lagrage) (১৭৩৬খ্রিস্টাব্দ-১৮১৫খ্রিস্টাব্দ) বিন্যাস ও সমাবেশের আধুনিকায়ন করেন। টেলিযোগাযোগ ব্যবস্থায় ব্যবহৃত ভুল চিহ্নিতকরণ এবং সংশোধন অ্যালগরিদমে বিন্যাস ব্যবহৃত হয়। ব্যবহারিক জীবনে, গণিত ও বিজ্ঞানে এটির প্রয়োজন অনস্বীকার্য।
গণনার যোজন ও গুণন বিধি
Addition and multiplicatiion law of counting
গণনার যোজন বিধিঃ একটি কাজ সম্ভাব্য \(m\) সংখ্যক উপায়ে অথবা কাজটি সম্ভাব্য \(n\) সংখ্যক উপায়ে অথবা কাজটি সম্ভাব্য \(r\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করতে পারলে, কাজটি একত্রে সম্ভাব্য \((m+n+r)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে।
ধরি,
কোনো শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে \(a, \ b, \ c, \ d\) নামের চার জন শিক্ষক আছেন। তাঁদের মধ্যে থেকে প্রতিবারে একজন, দুইজন ও তিনজন করে নিয়ে কতগুলি কমিটি গঠন করা যাবে? সমস্যাটি নিম্নরূপে সমাধান করা যায়ঃ
অতএব মোট কমিটির সংখ্যা \(=4+6+4=14\) ইহাই গণনার যোজন বিধি।
গণনার গুণন বিধিঃ যদি \(m\) সংখ্যক উপায়ে কোনো একটি কাজ সম্পন্ন করা যায় এবং ঐ কাজের উপর নির্ভরশীল দ্বিতীয় একটি কাজ \(n\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তবে কাজ দুইটি একত্রে \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে। কোনো শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে \(a, \ b, \ c, \ d\) নামের চার জন শিক্ষক আছেন। তাঁদের মধ্যে থেকে প্রতিবারে একজন, দুইজন ও তিনজন করে নিয়ে কতগুলি কমিটি গঠন করা যাবে? সমস্যাটি নিম্নরূপে সমাধান করা যায়ঃ
অতএব মোট কমিটির সংখ্যা \(=4+6+4=14\) ইহাই গণনার যোজন বিধি।
গণনার উপাদানগুলি তালিকাবদ্ধ আকারে সাজানো থাকলে গণনা খুবই সহজ হয়। গণনা খুবই কঠিন যদি গণনার উপাদানগুলি সুবিন্যস্ত না থাকে কিংবা গণনার আকার অনেক বড় হয়। এখানে আমরা গণনার সুবিধাজনক পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব।
মনে করি,
তন্ময়ের ভিন্ন ভিন্ন 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট আছে। এগুলোর মধ্য থেকে সে একটি টিশার্ট ও একটি হাফ প্যান্ট কত উপায়ে পছন্দ করতে পারবে তা নিচের চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো।
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে সে 12 উপায়ে একটি টিশার্ট ও একটি হাফ প্যান্ট পরতে পারবে। মজার ব্যাপার হচ্ছে সে মাত্র 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট দ্বারা 12 বার ভিন্ন ভিন্ন পোশাক পরতে পারবে।
এখানে তন্ময় তার 4টি টিশার্ট থেকে 1টি টিশার্ট বেছে নিতে পারে 4 উপায়ে।
আবার প্রতিটি টিশার্ট এর জন্য 3টি হাফ প্যান্ট থেকে 1টি হাফ প্যান্ট বেছে নিতে পারে 3 উপায়ে।
সুতরাং 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট থেকে 1টি টিশার্ট ও 1টি হাফ প্যান্ট বেছে নিতে পারে \(4\times3=12\) উপায়ে। অতএব গণনার মূল তত্ত্বটি দাঁড়ায় যদি \(m\) সংখ্যক উপায়ে কোনো একটি কাজ সম্পন্ন করা যায় এবং ঐ কাজের উপর নির্ভরশীল দ্বিতীয় একটি কাজ \(n\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তবে কাজ দুইটি একত্রে \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে। এটাই গণনার গুণন বিধি। একে সাধারণ বিধিতে পরিণত করা যায়।
উপরের দুইটি কাজ \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ের একটি উপায়ে সম্পদিত হওয়ার পর তৃতীয় একটি কাজ p সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা গেলে তিনটি কাজ একত্রে \((m\times{n}\times{p})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
মনে করি,
তন্ময়ের ভিন্ন ভিন্ন 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট আছে। এগুলোর মধ্য থেকে সে একটি টিশার্ট ও একটি হাফ প্যান্ট কত উপায়ে পছন্দ করতে পারবে তা নিচের চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো।
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে সে 12 উপায়ে একটি টিশার্ট ও একটি হাফ প্যান্ট পরতে পারবে। মজার ব্যাপার হচ্ছে সে মাত্র 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট দ্বারা 12 বার ভিন্ন ভিন্ন পোশাক পরতে পারবে।
এখানে তন্ময় তার 4টি টিশার্ট থেকে 1টি টিশার্ট বেছে নিতে পারে 4 উপায়ে।
আবার প্রতিটি টিশার্ট এর জন্য 3টি হাফ প্যান্ট থেকে 1টি হাফ প্যান্ট বেছে নিতে পারে 3 উপায়ে।
সুতরাং 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট থেকে 1টি টিশার্ট ও 1টি হাফ প্যান্ট বেছে নিতে পারে \(4\times3=12\) উপায়ে। অতএব গণনার মূল তত্ত্বটি দাঁড়ায় যদি \(m\) সংখ্যক উপায়ে কোনো একটি কাজ সম্পন্ন করা যায় এবং ঐ কাজের উপর নির্ভরশীল দ্বিতীয় একটি কাজ \(n\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তবে কাজ দুইটি একত্রে \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে। এটাই গণনার গুণন বিধি। একে সাধারণ বিধিতে পরিণত করা যায়।
উপরের দুইটি কাজ \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ের একটি উপায়ে সম্পদিত হওয়ার পর তৃতীয় একটি কাজ p সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা গেলে তিনটি কাজ একত্রে \((m\times{n}\times{p})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
বিন্যাস
Permutations
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একেবারে নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে। \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সাজানোর সংখ্যাই হলো বিন্যাস সংখ্যা। এখানে \(n\) ও \(r\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(n\ge{r}\) হবে। যেখানে, \(n=Total \ Number\) এবং \(r=Taken \ Number\)।
বিন্যাস সংখ্যাকে \(^nP_{r}\) বা \(nPr\) বা \(P(n,r)\) দ্বারা সূচিত করা হয়।
যেমনঃ \(a, \ b, \ c\) তিনটি বর্ণ থেকে দুটি করে নিয়ে সাজানোর উপায়ঃ
\(ab, \ ba, \ bc, \ cb, \ ac, \ ca\)
অর্থাৎ \(^3P_{2}=6\)
আবার, সব কয়টি নিয়ে সাজানোর উপায়ঃ
\(abc, \ acb, \ bac, \ bca, \ cab, \ cba\)
অর্থাৎ \(^3P_{3}=6\)
বিন্যাস সংখ্যাকে \(^nP_{r}\) বা \(nPr\) বা \(P(n,r)\) দ্বারা সূচিত করা হয়।
যেমনঃ \(a, \ b, \ c\) তিনটি বর্ণ থেকে দুটি করে নিয়ে সাজানোর উপায়ঃ
\(ab, \ ba, \ bc, \ cb, \ ac, \ ca\)
অর্থাৎ \(^3P_{2}=6\)
আবার, সব কয়টি নিয়ে সাজানোর উপায়ঃ
\(abc, \ acb, \ bac, \ bca, \ cab, \ cba\)
অর্থাৎ \(^3P_{3}=6\)
\(n!\) এর ব্যাখ্যা বা ফ্যাকটোরিয়াল
Explanation or factorial of n (n!)
সাংকেতিক চিহ্ন \(!\) বা দ্বারা ফ্যাক্টোরিয়ালকে প্রকাশ করা হয় এবং প্রথম \(n\) সংখ্যক ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার ক্রমিক গুণফলকে \(n!\) বা দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বর্তমানে \(n!\) চিহ্নটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
সুতরাং,
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(6!=6.5.4.3.2.1=720\)
\(5!=5.4.3.2.1=120\)
\(4!=4.3.2.1=24\)
\(3!=3.2.1=6\)
\(2!=2.1=2\)
\(1!=1\) ইত্যাদি।
আবার, \(n!=n(n-1)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\)
\(... \ ... \ ... \ ..\)
\(\therefore n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
সুতরাং,
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(6!=6.5.4.3.2.1=720\)
\(5!=5.4.3.2.1=120\)
\(4!=4.3.2.1=24\)
\(3!=3.2.1=6\)
\(2!=2.1=2\)
\(1!=1\) ইত্যাদি।
আবার, \(n!=n(n-1)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\)
\(... \ ... \ ... \ ..\)
\(\therefore n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(0!\) এর ব্যাখ্যা
Explanation of \(0!\)
আমরা জানি,
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)!\) ➜ \(\because (n-1)!=(n-1)(n-2) ...... 3.2.1\)
\(\Rightarrow n(n-1)!=n!\)
\(\therefore (n-1)!=\frac{n!}{n} .......(1)\)
\((1)\) সমীকরণে \(n=1\) বসিয়ে,
\((0)!=\frac{1!}{1}\)
\(\Rightarrow 0!=\frac{1}{1}\) ➜ \(\because 1!=1\)
\(\therefore 0!=1\)
\(0!=1\)
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)!\) ➜ \(\because (n-1)!=(n-1)(n-2) ...... 3.2.1\)
\(\Rightarrow n(n-1)!=n!\)
\(\therefore (n-1)!=\frac{n!}{n} .......(1)\)
\((1)\) সমীকরণে \(n=1\) বসিয়ে,
\((0)!=\frac{1!}{1}\)
\(\Rightarrow 0!=\frac{1}{1}\) ➜ \(\because 1!=1\)
\(\therefore 0!=1\)
\(0!=1\)
সবগুলি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার কয়েকটি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
Permutations with a few objects at a time from all the different objects \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{when,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে যত প্রকার বিন্যাস গঠন করা যায় তা
\(^nP_{r}\) এর সমান।
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে ১ম স্থানটি সাজানো যায় \(n\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{1}=n\) উপায়ে।
১ম স্থানটি যেকোনো একটি দ্বারা পূর্ণ করার পর অবশিষ্ট বস্তু থাকে \((n-1)\) টি।
\((n-1)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে ২য় স্থানটি সাজানো যায় \((n-1)\) উপায়ে।
\(\therefore\) গুণনবিধি অনুযায়ী ১ম দুইটি স্থান একত্রে সাজানো যায় \(n(n-1)\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{2}=n(n-1)\) উপায়ে।
১ম দুটি স্থান যেকোনো দুইটি দ্বারা পূর্ণ করার পর অবশিষ্ট বস্তু থাকে \((n-2)\) টি।
\((n-2)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে তৃতীয় স্থানটি সাজানো যায় \((n-2)\) উপায়ে।
\(\therefore\) গুণনবিধি অনুযায়ী ১ম তিনটি স্থান একত্রে সাজানো যায় \(n(n-1)(n-2)\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{3}=n(n-1)(n-2)\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, অগ্রসর হলে বলা যায় যে, \(r\) সংখ্যক শূন্য স্থানের জন্য \(r\) সংখ্যক উৎপাদক সৃষ্টি হবে।
অর্থাৎ , \(^nP_{r}=n(n-1)(n-2) ......... r\text{ সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত}\)
\(=n(n-1)(n-2) ......... {n-(r-1)}\)
\(=n(n-1)(n-2) ......... (n-r+1)\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ......... (n-r+1)(n-r) ...... 3.2.1}{(n-r) ...... 3.2.1}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((n-r) ...... 3.2.1\) গুণ করে।
\(\therefore ^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜ \(\because n(n-1)(n-2) ... (n-r+1)(n-r) ... 3.2.1=n!\)
\((n-r) ... 3.2.1=(n-r)!\)
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে যত প্রকার বিন্যাস গঠন করা যায় তা
\(^nP_{r}\) এর সমান।
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে ১ম স্থানটি সাজানো যায় \(n\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{1}=n\) উপায়ে।
১ম স্থানটি যেকোনো একটি দ্বারা পূর্ণ করার পর অবশিষ্ট বস্তু থাকে \((n-1)\) টি।
\((n-1)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে ২য় স্থানটি সাজানো যায় \((n-1)\) উপায়ে।
\(\therefore\) গুণনবিধি অনুযায়ী ১ম দুইটি স্থান একত্রে সাজানো যায় \(n(n-1)\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{2}=n(n-1)\) উপায়ে।
১ম দুটি স্থান যেকোনো দুইটি দ্বারা পূর্ণ করার পর অবশিষ্ট বস্তু থাকে \((n-2)\) টি।
\((n-2)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে তৃতীয় স্থানটি সাজানো যায় \((n-2)\) উপায়ে।
\(\therefore\) গুণনবিধি অনুযায়ী ১ম তিনটি স্থান একত্রে সাজানো যায় \(n(n-1)(n-2)\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{3}=n(n-1)(n-2)\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, অগ্রসর হলে বলা যায় যে, \(r\) সংখ্যক শূন্য স্থানের জন্য \(r\) সংখ্যক উৎপাদক সৃষ্টি হবে।
অর্থাৎ , \(^nP_{r}=n(n-1)(n-2) ......... r\text{ সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত}\)
\(=n(n-1)(n-2) ......... {n-(r-1)}\)
\(=n(n-1)(n-2) ......... (n-r+1)\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ......... (n-r+1)(n-r) ...... 3.2.1}{(n-r) ...... 3.2.1}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((n-r) ...... 3.2.1\) গুণ করে।
\(\therefore ^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜ \(\because n(n-1)(n-2) ... (n-r+1)(n-r) ... 3.2.1=n!\)
\((n-r) ... 3.2.1=(n-r)!\)
সবকয়টি বস্তু একেবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
Permutations with all the objects at a time \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে সবকয়টি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
\(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(\Rightarrow ^nP_{n}=\frac{n!}{(n-n)!}\) ➜ \(r=n\) বসিয়ে।
\(=\frac{n!}{0!}\)
\(=\frac{n!}{1}\) ➜ \(\because 0!=1\)
\(=n!\)
\(\therefore ^nP_{n}=n!\)
\(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
\(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(\Rightarrow ^nP_{n}=\frac{n!}{(n-n)!}\) ➜ \(r=n\) বসিয়ে।
\(=\frac{n!}{0!}\)
\(=\frac{n!}{1}\) ➜ \(\because 0!=1\)
\(=n!\)
\(\therefore ^nP_{n}=n!\)
\(^nP_{0}=1\) এর ব্যাখ্যা
Explanation of \(^nP_{0}=1\)
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(\therefore ^nP_{0}=\frac{n!}{(n-0)!}\) ➜ \(r=0\) বসিয়ে।
\(=\frac{n!}{n!}\)
\(=1\)
\(\therefore {^nP_{0}}=1\)
\(^nP_{0}=1\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \({^{n}P_{r}}={^{n^{\prime}}P_{r}}\) \(\Rightarrow n=n^{\prime}\)
এবং \({^{n}P_{r}}={^{n}P_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(\therefore ^nP_{0}=\frac{n!}{(n-0)!}\) ➜ \(r=0\) বসিয়ে।
\(=\frac{n!}{n!}\)
\(=1\)
\(\therefore {^nP_{0}}=1\)
\(^nP_{0}=1\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \({^{n}P_{r}}={^{n^{\prime}}P_{r}}\) \(\Rightarrow n=n^{\prime}\)
এবং \({^{n}P_{r}}={^{n}P_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\)
সবগুলি ভিন্ন নহে এরূপ বস্তুর বিন্যাস
Permutations of such objects is not all different
\(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(x\); এদের যেকোনো একটি থেকে যদি \(p\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হতো, তবে সাজানোর পদ্ধতি পরিবর্তন করে \(p!\) সংখ্যক নতুন বিন্যাস তৈরি করা যেত। অতএব, যদি \(p\) একজাতীয় বস্তুর সবগুলি স্বতন্ত্র হয়, তবে (\(x\times{p!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যায়।
অনুরয়পভাবে, যদি \(q\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হয় তবে দ্বিতীয় সেট বিন্যাসের প্রত্যেকটি থেকে \(q!\) সংখ্যক নতুন বিন্যাস পাওয়া যায়। অতএব, যদি \(p\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু ও \(q\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তুর সবগুলি স্বতন্ত্র হয়, তবে আমরা (\(x\times{p!}\)\(\times{q!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাই। অধিকন্ত যদি \(r\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হয়, তবে আমরা মোট (\(x\times{p!}\) \(\times{q!}\)\(\times{r!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাই।
এখন সবগুলি বস্তুই স্বতন্ত্র, ফলে, \(n\) সংখ্যক বস্তুর সবকয়টিকে একেবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(n!\)
তাহলে, \(x\times{p!}\times{q!}\times{r!}=n!\)
\(\therefore x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
প্রমাণঃ
ধরি, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(x\); এদের যেকোনো একটি থেকে যদি \(p\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হতো, তবে সাজানোর পদ্ধতি পরিবর্তন করে \(p!\) সংখ্যক নতুন বিন্যাস তৈরি করা যেত। অতএব, যদি \(p\) একজাতীয় বস্তুর সবগুলি স্বতন্ত্র হয়, তবে (\(x\times{p!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যায়।
অনুরয়পভাবে, যদি \(q\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হয় তবে দ্বিতীয় সেট বিন্যাসের প্রত্যেকটি থেকে \(q!\) সংখ্যক নতুন বিন্যাস পাওয়া যায়। অতএব, যদি \(p\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু ও \(q\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তুর সবগুলি স্বতন্ত্র হয়, তবে আমরা (\(x\times{p!}\)\(\times{q!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাই। অধিকন্ত যদি \(r\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হয়, তবে আমরা মোট (\(x\times{p!}\) \(\times{q!}\)\(\times{r!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাই।
এখন সবগুলি বস্তুই স্বতন্ত্র, ফলে, \(n\) সংখ্যক বস্তুর সবকয়টিকে একেবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(n!\)
তাহলে, \(x\times{p!}\times{q!}\times{r!}=n!\)
\(\therefore x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
বস্তুসমূহের পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে এরূপ ক্ষেত্রে বিন্যাস
Permutations in which objects can be repeated
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা , যেখানে যেকোনো বস্তুর \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে।
\(r \text{ সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা } =n^{r}\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যেখানে যেকোনো বস্তুর \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে।
এখানে \(n\) সংখ্যক বস্তু দ্বারা \(r\) সংখ্যক শূন্য স্থান যত প্রকারে পূরণ করা যায় তা হলো নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা।
এক্ষেত্রে প্রথম স্থান, দ্বিতীয় স্থান, প্রথম তৃতীয় স্থান ইত্যাদির প্রত্যেকটি স্থান \(n\) সংখ্যক উপায়ে পূরণ করা যায়, কারণ সবগুলি বস্তু বার বার ব্যবহার করা যায়। সুতরাং তিনটি স্থান একত্রে \(n\times{n}\) \(\times{n}\) বা \(n^{3}\) উপায়ে পূরণ করা যায়।
অর্থাৎ বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{3}\)
এভাবে অগ্রসর হলে, \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে \(r\) সংখ্যক স্থান পূরণের উপায় তথা নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)
\(r \text{ সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা } =n^{r}\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যেখানে যেকোনো বস্তুর \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে।
এখানে \(n\) সংখ্যক বস্তু দ্বারা \(r\) সংখ্যক শূন্য স্থান যত প্রকারে পূরণ করা যায় তা হলো নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা।
এক্ষেত্রে প্রথম স্থান, দ্বিতীয় স্থান, প্রথম তৃতীয় স্থান ইত্যাদির প্রত্যেকটি স্থান \(n\) সংখ্যক উপায়ে পূরণ করা যায়, কারণ সবগুলি বস্তু বার বার ব্যবহার করা যায়। সুতরাং তিনটি স্থান একত্রে \(n\times{n}\) \(\times{n}\) বা \(n^{3}\) উপায়ে পূরণ করা যায়।
অর্থাৎ বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{3}\)
এভাবে অগ্রসর হলে, \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে \(r\) সংখ্যক স্থান পূরণের উপায় তথা নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)
চক্র বিন্যাস
Cycle Permutations
নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু থেকে সব কয়টি একেবারে নিয়ে যত প্রকারে বৃত্তাকারে বা চক্রাকারে সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে একটি চক্র বিন্যাস বলে। চক্র বিন্যাস নির্ণয় করতে হলে একটি বস্তুকে স্থির রাখতে হয়। সুতরাং \(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে একটি বস্তুকে স্থির রেখে অবশিষ্ট \((n-1)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\)।
যদি চক্রাকারে বিন্যাস সংখ্যা ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত একই হয়, তবে \(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে একেবারে সবগুলি নিয়ে চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{(n-1)!}{2}\)
যদি চক্রাকারে বিন্যাস সংখ্যা ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত একই হয়, তবে \(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে একেবারে সবগুলি নিয়ে চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{(n-1)!}{2}\)
যখন ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত ভিন্ন হয়, অর্থাৎ উভয় দিক থেকে দেখার সুযোগ নেইঃ
চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\) যখন ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত একই হয়, অর্থাৎ উভয় দিক থেকে দেখা যায়ঃ
চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{(n-1)!}{2}\) q সংখ্যক বস্তুকে সর্বদা বর্জন করে n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে প্রত্যেকবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস
যখন কোনো \(q\) সংখ্যক বস্তু কোনো বিন্যাসেরই অন্তর্গত হয় না তখন একে একেবারে বর্জন করলে অবশিষ্ট \((n-q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস গঠন করতে হয়।
অতএব এই ক্ষেত্রেঃ
বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r}}\) q সংখ্যক বস্তুকে সর্বদা গ্রহণ করে n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে প্রত্যেকবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\))
q সংখ্যক বস্তুকে সর্বদা গ্রহণ করে n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে প্রত্যেকবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\) (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\))
বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\)
\(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে নির্দিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তুকে পৃথক করে রাখা হলো। অতঃপর \((n-q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \((r-q)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস গঠন করা হলে মোট \(^{n-q}P_{r-q}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। আবার \(q\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তুর একপাশ থেকে একটির পর একটি বিবেচনা করলে, ১ম বস্তুটি সাজানো যাবে \((r-q+1)\) প্রকারে, ২য় বস্তুটিকে সাজানো যাবে \((r-q+2)\) প্রকারে এবং এভাবে \(q\) তম বস্তুটিকে সাজানো যাবে \((r-q+q)\) বা \(r\) প্রকারে।
\(q\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তুকে সাজানো যাবে মোট \(=(r-q+1)(r-q+2) ........ r\) প্রকারে।
\(=r ........ (r-q+1)(r-q+2)\)
\(=r(r-1) ........ (r-q+2)(r-q+1)\)
\(=r(r-1) ........ (r-q+1)\)
\(=\frac{r(r-1) ........ (r-q+1)(r-q)!}{(r-q)!}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((r-q)!\) গুণ করে,
\(=\frac{r!}{(r-q)!}\)
\(={^{r}P_{q}}\) প্রকারে।
সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\)
বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\)
প্রমাণঃ
ধরি,\(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে নির্দিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তুকে পৃথক করে রাখা হলো। অতঃপর \((n-q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \((r-q)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস গঠন করা হলে মোট \(^{n-q}P_{r-q}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। আবার \(q\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তুর একপাশ থেকে একটির পর একটি বিবেচনা করলে, ১ম বস্তুটি সাজানো যাবে \((r-q+1)\) প্রকারে, ২য় বস্তুটিকে সাজানো যাবে \((r-q+2)\) প্রকারে এবং এভাবে \(q\) তম বস্তুটিকে সাজানো যাবে \((r-q+q)\) বা \(r\) প্রকারে।
\(q\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তুকে সাজানো যাবে মোট \(=(r-q+1)(r-q+2) ........ r\) প্রকারে।
\(=r ........ (r-q+1)(r-q+2)\)
\(=r(r-1) ........ (r-q+2)(r-q+1)\)
\(=r(r-1) ........ (r-q+1)\)
\(=\frac{r(r-1) ........ (r-q+1)(r-q)!}{(r-q)!}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((r-q)!\) গুণ করে,
\(=\frac{r!}{(r-q)!}\)
\(={^{r}P_{q}}\) প্রকারে।
সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\)
n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের বিন্যাসে r সংখ্যক বর্ণ একই ক্রমে থাকলে তার বিন্যাস সংখ্যাঃ
ধরি,
\(A, \ B, \ D, \ E, \ U\) \(5\) টি ভিন্ন বর্ণ এমনভাবে বিন্যস্ত করা হলো যেখানে স্বরবর্ণ \(3\) টি \(A, \ E, \ U\) একই ক্রমে অবস্থান করে। নিচে ছকের মাধ্যমে \(A, \ E, \ U\) এর কিছু সম্ভাব্য অবস্থান দেখানো হলোঃ
দেখা যাচ্ছে \(5\) টি ঘরের \(3\) টি তে \(A, \ E, \ U\) ক্রমানুসারে অবস্থান করার পর অবশিষ্ট \(2\) টি ঘরে \(B\) ও \(D\) অবস্থান করতে পারে। সুতরাং \(B\) ও \(D\) কে বিন্যাস করা যায় \(^{5}P_{2}\) উপায়ে। যেহেতু প্রতি বিন্যাসে \(A, \ E, \ U\) এর অভ্যন্তরীণ কোনো বিন্যাস নেই তাই \(^{5}P_{2}\) বা \(^{5}P_{5-2}\) -ই হলো নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা।
অতএব, \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের বিন্যাসে \(r\) সংখ্যক বর্ণ একটি ক্রমে থাকলে তার বিন্যাস সংখ্যা \(^{n}P_{n-r}\) বা \(\frac{n!}{r!}\) ।
অর্থাৎ উক্ত \(r\) সংখ্যক বর্ণকে একজাতীয় বর্ণ হিসেবে বিবেচনা করা যায়।
\(A, \ B, \ D, \ E, \ U\) \(5\) টি ভিন্ন বর্ণ এমনভাবে বিন্যস্ত করা হলো যেখানে স্বরবর্ণ \(3\) টি \(A, \ E, \ U\) একই ক্রমে অবস্থান করে। নিচে ছকের মাধ্যমে \(A, \ E, \ U\) এর কিছু সম্ভাব্য অবস্থান দেখানো হলোঃ
A | E | U | ||
A | E | U | ||
A | E | U | ||
A | E | U |
অতএব, \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের বিন্যাসে \(r\) সংখ্যক বর্ণ একটি ক্রমে থাকলে তার বিন্যাস সংখ্যা \(^{n}P_{n-r}\) বা \(\frac{n!}{r!}\) ।
অর্থাৎ উক্ত \(r\) সংখ্যক বর্ণকে একজাতীয় বর্ণ হিসেবে বিবেচনা করা যায়।
অতএব এই ক্ষেত্রেঃ
বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{n!}{r!}\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে \(n\) (\(2\lt{n}\le{9}\)) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়ঃ
প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে \(n\) \((2\lt{n}\le{9})\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক (সবগুলি) দ্বারা যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টিঃ
বিন্যাসকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টি \(=\text{অঙ্কগুলোর সমষ্টি}\times(n-1)!\times{n}\text{ সংখ্যক} \ 1 \ \text{দ্বারা গঠিত সংখ্যা} \)
উদাহরণঃ \(2, \ 4, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলি থেকে প্রতিবারে \(4\) টি / সবগুলি নিয়ে যে সংখ্যাগুলি গঠন করা যায় তাদের যোগফল কত?
\(n=4\)
\(\therefore\) বিন্যাসকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টি \(=\text{অঙ্কগুলোর সমষ্টি}\times(n-1)!\times{n}\text{ সংখ্যক} \ 1 \ \text{দ্বারা গঠিত সংখ্যা} \)
\(=(2+4+7+8)\times(4-1)!\times1111\)
\(=21\times3!\times1111\)
\(=21\times6\times1111\) ➜ \(\because 3!=6\)
\(=139986\)
সমাধানঃ
এখানে,\(n=4\)
\(\therefore\) বিন্যাসকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টি \(=\text{অঙ্কগুলোর সমষ্টি}\times(n-1)!\times{n}\text{ সংখ্যক} \ 1 \ \text{দ্বারা গঠিত সংখ্যা} \)
\(=(2+4+7+8)\times(4-1)!\times1111\)
\(=21\times3!\times1111\)
\(=21\times6\times1111\) ➜ \(\because 3!=6\)
\(=139986\)
Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000015