সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ
Differentiation of combined and inverse circular functions
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ
Differentiation of composite functions
যখন, \(y=f(z)\) এবং \(z=g(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
অনুসিদ্ধান্ত
Illustration
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\) এবং \(t=h(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{dx}\)
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\), \(t=h(u)\) এবং \(u=\psi(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{du}.\frac{du}{dx}\)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ
The differentiation of inverse circular function
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)

\(\frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের সূত্রসমুহ
Formulas for inverse circular functions
\(\sin(\sin^{-1} x)=x\)
\(\sin^{-1}(\sin x)=x\)
\(\cos(\cos^{-1} x)=x\)
\(\cos^{-1}(\cos x)=x\)
\(\tan(\tan^{-1} x)=x\)
\(\tan^{-1}(\tan x)=x\)
\(\sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\(\tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\(\sec^{-1} x+ cosec^{-1} \ x=\frac{\pi}{2}\)
\(\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\(\tan^{-1} x-\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)\)
\(2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
\(2\tan^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
\(2\tan^{-1} x=\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের কৌশল
Techniques for Differentiating of Additive and Inverse Circular Functions
\(f(x)\) বীজগানিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনে রূপান্তর করে সরল করণের পদ্ধতিঃ
\(f(x)\)-এর আকার
\(\sqrt{a^2-x^2}\)
\(\sqrt{1-x^2}\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\)
\(\sqrt{1+x^2}\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\)
\(\sqrt{x^2-1}\)
\(\sqrt{a+x}\) এবং \(\sqrt{a-x}\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\) এবং \(\sqrt{a^2-x^2}\)
\(\frac{2x}{1-x^2}\) অথবা \(\frac{2x}{1+x^2}\) অথবা \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
\(\frac{1+x}{1-x}\) অথবা \(\frac{1-x}{1+x}\)
\(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) অথবা \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)
প্রতিস্থাপন
\(x=a\sin \theta\) অথবা \(x=a\cos \theta\)
\(x=\sin \theta\) অথবা \(x=\cos \theta\)
\(x=a\tan \theta\) অথবা \(x=a\cot \theta\)
\(x=\tan \theta\) অথবা \(x=\cot \theta\)
\(x=a\sec \theta\) অথবা \(x=a \ cosec \ \theta\)
\(x=\sec \theta\) অথবা \(x= cosec \ \theta\)
\(x=a\cos 2\theta\)
\(x^2=a^2\cos 2\theta\)
\(x=\tan \theta\)
\(x=\tan \theta\)
\(x=\cos \theta\)
কোণ পরিমাপের তিনটি পদ্ধতি
Three methods of angle measurement
ষাটমূলক পদ্ধতি
শতমূলক পদ্ধতি
বৃত্তীয় পদ্ধতি
এদের মধ্যে সম্পর্কঃ
\(180^{o}=200^{g}=\pi^{c}=2\) সমকোণ।
উদাহরণসমুহ
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর
\(Ex.(1)\) \(\sin x^3\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)

নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর
\(Ex.(2)\) \(\sqrt[3]{5x^2-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)

\(Ex.(3)\) \(\sqrt{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)

\(Ex.(4)\) \((ax+b)^n\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)

\(Ex.(5)\) \(\sin^{-1} ax\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)

\(Ex.(6)\) \(\tan^{-1} \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)

\(Ex.(7)\) \(x\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)

\(Ex.(8)\) \(\sin(\ln \tan x)\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)

\(Ex.(9)\) \(\log_x2x\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)

\(Ex.(10)\) \((2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)

\(Ex.(11)\) \(\ln (e^x+e^{-x})\)
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
কুঃ ২০০৮

\(Ex.(12)\) \(\sin \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩

\(Ex.(13)\) \(\sqrt{\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)

\(Ex.(14)\) \(\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭

\(Ex.(15)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ ২০১১, ২০০৮, ২০০৬; দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭

\(Ex.(16)\) \(\tan^{-1} (e^x)\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭

\(Ex.(17)\) \(\tan (\sin^{-1} x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩

\(Ex.(18)\) \(x^2\sin^{-1} (1-x)\)
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮

\(Ex.(19)\) \(\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪

\(Ex.(20)\) \(\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১

\(Ex.(21)\) \(\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬

\(Ex.(22)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)
ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪

\(Ex.(23)\) \(\cos \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
সিঃ ২০০৩

\(Ex.(24)\) \(\sin^2 (\ln x)^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
যঃ,বঃ ২০০১

\(Ex.(25)\) \((\sin x)^2\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)

\(Ex.(26)\) \(\ln (\tan 5x)\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)

\(Ex.(27)\) \(\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)

\(Ex.(28)\) \(\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)

\(Ex.(29)\) \(\tan (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)

\(Ex.(30)\) \(e^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)

\(Ex.(31)\) \(\ln (ax+b)\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry