\(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^n\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^n)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=n\frac{d}{dx}(x^{n-1})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=n(n-1)x^{n-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=n(n-1)\frac{d}{dx}(x^{n-2})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=n(n-1)(n-2)\frac{d}{dx}(x^{n-3})\)
...............
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{n-n}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{0}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.1\) ➜Note \(\because x^{0}=1\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1\)
\(\therefore y_{n}=n!\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜Note \(\because n(n-1)(n-2)........3.2.1=n!\)

\(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)

দেওয়া আছে,
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=e^x\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=e^x\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=e^x\)

\(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)

দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=ae^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3e^{ax}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^{n}e^{ax}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^{n}e^{ax}\)

\(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)

দেওয়া আছে,
\(y=a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\ln{a}.a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\ln{a}\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\ln{a}.a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(\ln{a})^2a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(\ln{a})^2\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^2a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^3a^{x}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\)

\(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^3.1.2.3.x^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)x^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x)^{n}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x)^{n}}\)

\(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^3.1.2.3.x^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........nx^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x)^{n+1}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x)^{n+1}}\)

\(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\ln{(x+a)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(x+a)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}.1\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(x+a)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x+a)^{n}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)

\(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x+a}\)
\(\Rightarrow y=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜Note\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x+a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x+a)^{n+1}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)

\(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x-a}\)
\(\Rightarrow y=(x-a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-1}\}\) ➜Note\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-2}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x-a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-3}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x-a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x-a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x-a)^{n+1}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)

\(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\ln{xa}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(xa)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa)^{-1}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa)^{-2}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa)^{n}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa)^{n}}\)

\(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\ln{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(ax+b)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa+b)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-1}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa+b)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa+b)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa+b)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-2}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa+b)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa+b)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa+b)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa+b)^{n}}\) ➜Note\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa+b)^{n}}\)

\(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax+b)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜Note \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜Note \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax+b)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜Note \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx)}\}+\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.b+e^{ax}\sin{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.a+e^{ax}\cos{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜Note \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜Note \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx)}\cos{\theta}+\cos{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+\theta)}\}+r\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜Note \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)

\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx)}\}+\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}.b+e^{ax}\cos{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.a-e^{ax}\sin{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜Note \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜Note \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx)}\cos{\theta}-\sin{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+\theta)}\}+r\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜Note \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)

\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{(bx+c)})+\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.b+e^{ax}\sin{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.a+e^{ax}\cos{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜Note \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜Note \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx+c)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+c+\theta)}\}+r\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜Note \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)

\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c)}\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\cos{(bx+c)})+\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b+e^{ax}\cos{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.a-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜Note \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜Note \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx+c)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\}\) ➜Note আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+c+\theta)}\}+r\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜Note \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜Note \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)

\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)

মনে করি,
\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4+ ..... (1)\)
\((1)\) নং কে পর্যায়ক্রম অন্তরীকরণ করে।
\(f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+4a_{4}x^3+ ..... \)
\(f^{''}(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^2+ ..... \)
\(f^{'''}(x)=6a_{3}+24a_{4}x+ ..... \)
\(...............\)
\(...............\)
\(x=0\) বসালে,
\(f(0)=a_{0}, \ f^{'}(0)=1!a_{1}, \ f^{''}(0)=2!a_{2}\), \( \ f^{'''}(0)=3!a_{3} ..... \ f^{n}(0)=n!a_{n}\)
\(\Rightarrow a_{0}=f(0), \ a_{1}=\frac{1}{1!}f^{'}(0), \ a_{2}=\frac{1}{2!}f^{''}(0)\), \( \ a_{3}=\frac{1}{3!}f^{'''}(0) ..... \ a_{n}=\frac{1}{n!}f^{n}(0)\)
এখন,
\(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3} ..... \ a_{n}\) এর মাণ \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)