এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- সমাবেশ (Combination)
- বিভিন্ন বস্তুর সমাবেশ (Combination of different things)
- \(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
- \(^nC_{n}=1\)
- সম্পূরক সমাবেশ (Complementary combination)
- \(^nC_{0}=1\)
- \(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)
- \(^nC_{r}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
- শর্তাধীন সমাবেশ (Conditional combination )
- সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=(2^{p}-1)(2^{q}-1)(2^{r}-1)\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
- সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
- সূত্রের ব্যাখ্যা
- \(^nC_{r}\) এর বৃহত্তম মান (Greatest value of \(^nC_{r}\))
- অধ্যায় \(5B\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(5B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(5B\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
সমাবেশ
Combination
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একবারে নিয়ে যত প্রকারে নির্বাচন বা দল (ক্রম বর্জন করে) গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ বলে।
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r \ (r\le{n})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে সাধারণত \(^{n}C_{r}\) বা \(C(n,r)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
তিনটি বস্তু \(A, \ B, \ C\) থেকে দুইটি করে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দলগুলি হবে- \(AB, \ AC, \ BC\)
আবার, \(3\) টি বস্তু একবারে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দল হবে- \(ABC\)
উপরের প্রত্যেকটি দলকে এক একটি সমাবেশ বলা হয়।
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r \ (r\le{n})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে সাধারণত \(^{n}C_{r}\) বা \(C(n,r)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
তিনটি বস্তু \(A, \ B, \ C\) থেকে দুইটি করে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দলগুলি হবে- \(AB, \ AC, \ BC\)
আবার, \(3\) টি বস্তু একবারে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দল হবে- \(ABC\)
উপরের প্রত্যেকটি দলকে এক একটি সমাবেশ বলা হয়।
বিভিন্ন বস্তুর সমাবেশ
Combination of different things
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\); যেখানে, (\(n\) এবং \(r\) প্রত্যেকেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(n\ge{r}\) )
\(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) তাহলে প্রত্যেক সমাবেশে \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন প্রত্যেক সমাবেশের অন্তর্গত \(r\) সংখ্যক বস্তুকে তাদের নিজেদের মধ্যে বিভিন্ন উপায়ে বিন্যাস করলে \(^{r}P_{r}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। এরূপ \(^{n}C_{r}\) সংখ্যক সমাবেশ থেকে \(r!\times{^{n}C_{r}}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে এবং এটি \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার সমান।
সুতরাং \(^{r}P_{r}\times{^{n}C_{r}}={^{n}P_{r}}\)
\(\Rightarrow r!\times{^{n}C_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜ \(\because {^{n}P_{n}}=n!\)
এবং \({^{n}P_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(\therefore {^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার এবং বাকী বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে, তাদের \(r \ (r\ge{p})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ সংখ্যাঃ
\[{\sum_{i=0}^{p}}{^{n-p}C_{r-i}}={^{n-p}C_{r}}+{^{n-p}C_{r-1}}+{^{n-p}C_{r-2}}+...+{^{n-p}C_{r-p}}\]
উদাহরণঃ \(DHAKA\) শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায় তা নির্ণয় কর।
বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে বাছাইয়ের উপায় \(={^{5-2}C_{3}}+{^{5-2}C_{3-1}}+{^{5-2}C_{3-2}}\)
\(={^{3}C_{3}}+{^{3}C_{2}}+{^{3}C_{1}}\)
\(=1+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}\) ➜ \(\because {^{n}C_{n}}=1\)
এবং \({^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=1+\frac{3.2!}{2!1!}+\frac{3.2!}{1!2!}\)
\(=1+3+3\) ➜ \(\because 1!=1\)
\(=7\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে কমপক্ষে \(r \ (r\le{p})\) সংখ্যক বস্তু বাছাইয়ের উপায়ঃ
\[{\sum_{i=r}^{p}}{^{p}C_{i}}={^{p}C_{r}}+{^{p}C_{r+1}}+{^{p}C_{r+2}}+...+{^{p}C_{p}}\]
অনুসিদ্ধান্তঃ \[{\sum_{r=0}^{n}}{^{n}C_{r}}=2^n\]
\(^nC_{n}=1\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}\) ➜ যখন, \(r=n\)
\(=\frac{n!}{n!0!}\)
\(=\frac{n!}{n!.1}\) ➜ \(\because 0!=1\)
\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{n}}=1\)
\(n\) সংখ্যক বস্তু সবগুলো একত্রে নিয়ে \(^{n}C_{n}\) সংখ্যক অর্থাৎ একটি মাত্র সমাবেশ পাওয়া যায়।
\(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে, সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) তাহলে প্রত্যেক সমাবেশে \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন প্রত্যেক সমাবেশের অন্তর্গত \(r\) সংখ্যক বস্তুকে তাদের নিজেদের মধ্যে বিভিন্ন উপায়ে বিন্যাস করলে \(^{r}P_{r}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। এরূপ \(^{n}C_{r}\) সংখ্যক সমাবেশ থেকে \(r!\times{^{n}C_{r}}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে এবং এটি \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার সমান।
সুতরাং \(^{r}P_{r}\times{^{n}C_{r}}={^{n}P_{r}}\)
\(\Rightarrow r!\times{^{n}C_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜ \(\because {^{n}P_{n}}=n!\)
এবং \({^{n}P_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(\therefore {^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\[{\sum_{i=0}^{p}}{^{n-p}C_{r-i}}={^{n-p}C_{r}}+{^{n-p}C_{r-1}}+{^{n-p}C_{r-2}}+...+{^{n-p}C_{r-p}}\]
উদাহরণঃ \(DHAKA\) শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায় তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(DHAKA\) শব্দটিতে মোট \(5\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(2\) টি \(A\) এবং \(3\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে।বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে বাছাইয়ের উপায় \(={^{5-2}C_{3}}+{^{5-2}C_{3-1}}+{^{5-2}C_{3-2}}\)
\(={^{3}C_{3}}+{^{3}C_{2}}+{^{3}C_{1}}\)
\(=1+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}\) ➜ \(\because {^{n}C_{n}}=1\)
এবং \({^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=1+\frac{3.2!}{2!1!}+\frac{3.2!}{1!2!}\)
\(=1+3+3\) ➜ \(\because 1!=1\)
\(=7\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে কমপক্ষে \(r \ (r\le{p})\) সংখ্যক বস্তু বাছাইয়ের উপায়ঃ
\[{\sum_{i=r}^{p}}{^{p}C_{i}}={^{p}C_{r}}+{^{p}C_{r+1}}+{^{p}C_{r+2}}+...+{^{p}C_{p}}\]
অনুসিদ্ধান্তঃ \[{\sum_{r=0}^{n}}{^{n}C_{r}}=2^n\]
\(^nC_{n}=1\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}\) ➜ যখন, \(r=n\)
\(=\frac{n!}{n!0!}\)
\(=\frac{n!}{n!.1}\) ➜ \(\because 0!=1\)
\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{n}}=1\)
\(n\) সংখ্যক বস্তু সবগুলো একত্রে নিয়ে \(^{n}C_{n}\) সংখ্যক অর্থাৎ একটি মাত্র সমাবেশ পাওয়া যায়।
সম্পূরক সমাবেশ
Complementary combination
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \((n-r)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যার সমান।
\(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-n+r)!}\) ➜ যখন, \(r=n-r\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(={^{n}C_{r}}\)
\(\therefore {^nC_{r}}={^nC_{n-r}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \({^{n}C_{r}}={^{n^{\prime}}C_{r}}\) \(\Rightarrow n=n^{\prime}\)
এবং \({^{n}C_{r}}={^{n}C_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(^nC_{0}=1\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}\) ➜ যখন, \(r=0\)
\(=\frac{n!}{0!n!}\)
\(=\frac{n!}{1.n!}\) ➜ \(\because 0!=1\)
\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{0}}=1\)
\(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-n+r)!}\) ➜ যখন, \(r=n-r\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(={^{n}C_{r}}\)
\(\therefore {^nC_{r}}={^nC_{n-r}}\)
এবং \({^{n}C_{r}}={^{n}C_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(^nC_{0}=1\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}\) ➜ যখন, \(r=0\)
\(=\frac{n!}{0!n!}\)
\(=\frac{n!}{1.n!}\) ➜ \(\because 0!=1\)
\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{0}}=1\)
প্রমাণ কর যে,
\({^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{n!}{r(r-1)!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}\) ➜ \(\because r!=r(r-1)!\)
এবং \((n-r+1)!=(n-r+1)(n-r)!\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right\}\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\times\frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\times\frac{n+1}{r(n-r+1)}\)
\(=\frac{(n+1)n!}{r(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}\) ➜ \(\because (n+1)n!=(n+1)!,\)
\(r(r-1)!=r!\)
এবং \((n-r+1)(n-r)!=(n-r+1)!\)
\(=\frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\)
\(={^{n+1}C_{r}}\) ➜ \(\because \frac{n!}{r!(n-r)!}={^{n}C_{r}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore {^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
\({^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
ঢাঃ ২০১২,২০১০,২০০৭,২০০৪; সিঃ২০০৯,২০০৭,২০০৫; বঃ ২০১৪,২০১২,২০০৮; যঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৪,২০০৮;
রাঃ ২০১২,২০০৮,২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬,২০০৫; কুঃ২০১৪,২০১২,২০০৭; দিঃ২০১৩,২০১০; মাঃ ২০১২,২০১০ ।
রাঃ ২০১২,২০০৮,২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬,২০০৫; কুঃ২০১৪,২০১২,২০০৭; দিঃ২০১৩,২০১০; মাঃ ২০১২,২০১০ ।
প্রমাণঃ
\(L.S={^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}\)\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{n!}{r(r-1)!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}\) ➜ \(\because r!=r(r-1)!\)
এবং \((n-r+1)!=(n-r+1)(n-r)!\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right\}\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\times\frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\times\frac{n+1}{r(n-r+1)}\)
\(=\frac{(n+1)n!}{r(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}\) ➜ \(\because (n+1)n!=(n+1)!,\)
\(r(r-1)!=r!\)
এবং \((n-r+1)(n-r)!=(n-r+1)!\)
\(=\frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\)
\(={^{n+1}C_{r}}\) ➜ \(\because \frac{n!}{r!(n-r)!}={^{n}C_{r}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore {^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
শর্তাধীন সমাবেশ
Conditional combination
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে,
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
উদাহরণঃ \(8\) জন বালক ও \(2\) জন বালিকার মধ্যে থেকে বালিকাদের,
\((a)\) সর্বদা গ্রহণ করে
\((b)\) সর্বদা বর্জন করে \(6\) জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{4}}\times{^2C_{2}}\)
\(=\frac{8!}{4!(8-4)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{8.7.6.5.4!}{4!\times{4.3.2.1}}\)
\(=\frac{8.7.6.5}{24}\)
\(=2.7.5\)
\(=70\)
এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{6}}\times{^2C_{0}}\)
\(=\frac{8!}{6!(8-6)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{0}}=1\)
\(=\frac{8.7.6!}{6!\times{2.1}}\)
\(=4.7\)
\(=28\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু কোনো সময় না থাকে,
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার অন্তত একটি বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা,
সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
\(=2^n\)
কিন্তুএর ভিতর সকলকে বর্জন করার উপায়ও অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
উদাহরণঃ \(5\) টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত \(1\) টি স্বরবর্ণ বাছাই উপায় \(=2^5-1\)
\(=32-1\)
\(=31\)
\(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় , \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় এবং \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন হলে যেকোনো সংখ্যক নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং ৩য় প্রকারের \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন \(p\) সংখ্যক বস্তু হতে \(1\) টি, \(2\) টি \(... .... ..., \ p\) সংখ্যকটি অথবা একটিও না নেয়া যেতে পারে। অর্থাৎ \((p+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যেতে পারে।
অনুরূপভাবে, \(q\) সংখ্যক বস্তু \((q+1)\) সংখ্যকভাবে এবং \(r\) সংখ্যক বস্তু \((r+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যায়।
আবার, \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর প্রত্যেকটির জন্য দুই রকম উপায়ে গ্রহণ করা যায়। সুতরাং, মোট \(2^{k}\) সংক্যক উপায়ে গ্রহণ করা যায়।
\(p, \ q, \ r\) ও \(k\) সংখ্যক বস্তু থেকে যেকোনো সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সমাবেশ \((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}\) এর মধ্যে একটি সমাবেশে কোনো বস্তু উপস্থিত থাকবে না। তাই সমাবেশ সংখ্যা হবে
\((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় এবং \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় হলে প্রতিটির অন্ততঃ একটি নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=(2^{p}-1)(2^{q}-1)(2^{r}-1)\)
অনুসিদ্ধান্তঃ ১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং \(r\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)2^r-1\)
উদাহরণঃ \(4\) টি দুই টাকা, \(1\) টি দশ টাকা, \(3\) টি বিশ টাকা এবং \(1\) টি একশত টাকার নোট হতে টাকা নেওয়ার উপায় \(=(4+1)(3+1)2^2-1\)
\(=5\times4\times4-1\)
\(=80-1\)
\(=79\)
নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু একাধিক ভাগে বিভক্ত হওয়ার সমাবেশ সংখ্যা,
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
\(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তুকে \(n\) সংখ্যক ভাগে বিভক্ত করতে হবে যেন ভাগগুলিতে \(p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, ..., \ p_{n}\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
প্রথম ধাপে \(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{1}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}\) উপায়ে।
দ্বিতীয় ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{2}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, \(n\) তম ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{n}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{n}}C_{p_{n}}\) উপায়ে।
\(\therefore\) মোট সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}}\times{^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}}\times{... ... }\times{^{p_{n}}C_{p_{n}}}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{1})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{2})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!(p_{n}-p_{n})!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{3}+ ...+p_{n})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... .... p_{n}!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \((m+n+p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(m, \ n\) ও \(p\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে তিনটি ভাগে বিভক্ত করার সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(m=n=p\) হলে, তিনটি ভাগ একই হবে এবং এক্ষেত্রে ভাগগুলিকে নিজেদের মধ্যে \(3!\) উপায়ে বিন্যাস করা যায়।
অর্থাৎ এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\)
আবার, বস্তুগুলিকে তিনজন ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\)
উদাহরণঃ \(52\) খানা তাস \(4\) টি ভাগে সমানভাবে ভাগ করার উপায় \(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
কিন্তু \(52\) খানা তাস \(4\) ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
প্রমাণঃ
নির্দিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তু বাদ রেখে অবশিষ্ট \((n-p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \((r-p)\) সংখ্যক বস্তু সব রকমে বেছে নিয়ে গঠিত \({^{n-p}C_{r-p}}\) সমাবেশগুলির প্রত্যেকের সঙ্গে ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তু মিলিত করলে, সমাবেশগুলির প্রত্যেকটিতে \(p\) সংখ্যক বস্তুগুলি সব সময় থাকবে।\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
উদাহরণঃ \(8\) জন বালক ও \(2\) জন বালিকার মধ্যে থেকে বালিকাদের,
\((a)\) সর্বদা গ্রহণ করে
\((b)\) সর্বদা বর্জন করে \(6\) জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
সমাধানঃ
\((a)\)
বালিকা \(2\) জনকে সর্বদা গ্রহণ করলে \(8\) জন বালক থেকে \(4\) জনকে নিতে হবে।এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{4}}\times{^2C_{2}}\)
\(=\frac{8!}{4!(8-4)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{8.7.6.5.4!}{4!\times{4.3.2.1}}\)
\(=\frac{8.7.6.5}{24}\)
\(=2.7.5\)
\(=70\)
\((b)\)
বালিকা \(2\) জনকে সর্বদা বর্জন করলে \(8\) জন বালক থেকে \(6\) জনকে নিতে হবে।এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{6}}\times{^2C_{0}}\)
\(=\frac{8!}{6!(8-6)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{0}}=1\)
\(=\frac{8.7.6!}{6!\times{2.1}}\)
\(=4.7\)
\(=28\)
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
প্রমাণঃ
নির্দিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তু কোনো সময় থাকবে না। অতএব, ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তু বাদ রেখে অবশিষ্ট \((n-p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত \({^{n-p}C_{r}}\) সমাবেশগুলির কোনো সময়ই ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তুগুলি থাকবে না।\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
প্রমাণঃ
প্রত্যেক বস্তুকে গ্রহণ করা বা বর্জন করা যায়। সুতরাং প্রত্যেকটি বস্তুর জন্য \(2\) টি উপায়ে গ্রহণ বা বর্জন করা যায়। এরূপ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর জন্য মোট উপায়ের সংখ্যা \(=2\times2\times2 ... ... n \ \text{সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত}\) \(=2^n\)
কিন্তুএর ভিতর সকলকে বর্জন করার উপায়ও অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
উদাহরণঃ \(5\) টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত \(1\) টি স্বরবর্ণ বাছাই উপায় \(=2^5-1\)
\(=32-1\)
\(=31\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
প্রমাণঃ
মনে করি, ১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং ৩য় প্রকারের \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন \(p\) সংখ্যক বস্তু হতে \(1\) টি, \(2\) টি \(... .... ..., \ p\) সংখ্যকটি অথবা একটিও না নেয়া যেতে পারে। অর্থাৎ \((p+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যেতে পারে।
অনুরূপভাবে, \(q\) সংখ্যক বস্তু \((q+1)\) সংখ্যকভাবে এবং \(r\) সংখ্যক বস্তু \((r+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যায়।
আবার, \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর প্রত্যেকটির জন্য দুই রকম উপায়ে গ্রহণ করা যায়। সুতরাং, মোট \(2^{k}\) সংক্যক উপায়ে গ্রহণ করা যায়।
\(p, \ q, \ r\) ও \(k\) সংখ্যক বস্তু থেকে যেকোনো সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সমাবেশ \((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}\) এর মধ্যে একটি সমাবেশে কোনো বস্তু উপস্থিত থাকবে না। তাই সমাবেশ সংখ্যা হবে
\((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় এবং \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় হলে প্রতিটির অন্ততঃ একটি নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=(2^{p}-1)(2^{q}-1)(2^{r}-1)\)
অনুসিদ্ধান্তঃ ১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং \(r\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)2^r-1\)
উদাহরণঃ \(4\) টি দুই টাকা, \(1\) টি দশ টাকা, \(3\) টি বিশ টাকা এবং \(1\) টি একশত টাকার নোট হতে টাকা নেওয়ার উপায় \(=(4+1)(3+1)2^2-1\)
\(=5\times4\times4-1\)
\(=80-1\)
\(=79\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
প্রমাণঃ
মনে করি, \(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তুকে \(n\) সংখ্যক ভাগে বিভক্ত করতে হবে যেন ভাগগুলিতে \(p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, ..., \ p_{n}\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
প্রথম ধাপে \(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{1}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}\) উপায়ে।
দ্বিতীয় ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{2}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, \(n\) তম ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{n}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{n}}C_{p_{n}}\) উপায়ে।
\(\therefore\) মোট সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}}\times{^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}}\times{... ... }\times{^{p_{n}}C_{p_{n}}}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{1})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{2})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!(p_{n}-p_{n})!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{3}+ ...+p_{n})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... .... p_{n}!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(m=n=p\) হলে, তিনটি ভাগ একই হবে এবং এক্ষেত্রে ভাগগুলিকে নিজেদের মধ্যে \(3!\) উপায়ে বিন্যাস করা যায়।
অর্থাৎ এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\)
আবার, বস্তুগুলিকে তিনজন ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\)
উদাহরণঃ \(52\) খানা তাস \(4\) টি ভাগে সমানভাবে ভাগ করার উপায় \(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
কিন্তু \(52\) খানা তাস \(4\) ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times2\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\times2\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{2(p+q)!}{p!q!}\)
\(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\) ➜ \(\because 2=2!\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
উদাহরণঃ এক দলে \(2\) জন ও অন্য দলে \(4\) জন অন্তর্ভুক্ত করে \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে ভাগ করার উপায় \(=\frac{2!6!}{2!4!}\)
\(=\frac{6.5.4!}{4!}\)
\(=30\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{p+q}C_{p}}\) উপায়ে। নির্বাচিত \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(A\) অথবা \(B\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যায় \({^{2}C_{1}}=2\) উপায়ে। অতঃপর অবশিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তুকে অপর দলে অন্তর্ভুক্ত করা যায় \({^{q}C_{q}}=1\) উপায়ে। \(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times2\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\times2\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{2(p+q)!}{p!q!}\)
\(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\) ➜ \(\because 2=2!\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
উদাহরণঃ এক দলে \(2\) জন ও অন্য দলে \(4\) জন অন্তর্ভুক্ত করে \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে ভাগ করার উপায় \(=\frac{2!6!}{2!4!}\)
\(=\frac{6.5.4!}{4!}\)
\(=30\)
\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
উদাহরণঃ \(12\) জন সদস্যের একটি কমিটি থেকে \(7\) জন ও \(5\) জনের দুইটি উপকমিটি গঠনের উপায় \(=\frac{12!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8.7!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8}{120}\) ➜ \(\because 5!=120\)
\(=792\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে প্রতিবারে \(p\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{p+q}C_{p}}\) উপায়ে। অতঃপর অবশিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(q\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{q}C_{q}}=1\) উপায়ে। \(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
উদাহরণঃ \(12\) জন সদস্যের একটি কমিটি থেকে \(7\) জন ও \(5\) জনের দুইটি উপকমিটি গঠনের উপায় \(=\frac{12!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8.7!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8}{120}\) ➜ \(\because 5!=120\)
\(=792\)
\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে সমানভাবে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{(2p)!}{p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
উদাহরণঃ \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে \(3\) জন করে অন্তর্ভুক্ত করার উপায় \(=\frac{6!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4}{3!}\)
\(=\frac{6.5.4}{6}\) ➜ \(\because 3!=6\)
\(=20\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(A\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{2p}C_{p}}\) উপায়ে এবং অবশিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(B\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{p}C_{p}}\) উপায়ে। \(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{(2p)!}{p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
উদাহরণঃ \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে \(3\) জন করে অন্তর্ভুক্ত করার উপায় \(=\frac{6!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4}{3!}\)
\(=\frac{6.5.4}{6}\) ➜ \(\because 3!=6\)
\(=20\)
\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\times\frac{1}{2!}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\times\frac{1}{2!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{(2p)!}{2!p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি গ্রুপে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B, \ C\) ও \(D\) \(4\) টি গ্রুপে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তুকে একটি দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{2p}C_{p}}\) উপায়ে এবং অবশিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তুকে অন্য দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{p}C_{p}}\) উপায়ে। কিন্তু উভয় দলেই \(p\) সংখ্যক বস্তু থাকায় তাদের মধ্যে পরস্পর বিনিময় করলেও সমাবেশের কোনো পরবর্তন হয় না। \(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\times\frac{1}{2!}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\times\frac{1}{2!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{(2p)!}{2!p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B, \ C\) ও \(D\) \(4\) টি গ্রুপে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
সূত্রের ব্যাখ্যাঃ
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((ab, \text{ ও} \ cd)\) অথবা \((ac, \text{ ও} \ bd)\) অথবা \((ad, \text{ ও} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{2!(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{(2)^2}\) ➜ \(\because 2!=2\)
\(=\frac{4.3}{4}\)
\(=3\)
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে \(A\) ও \(B\) দুইটি গ্রুপে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((A \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bd)\)
অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bc)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3.2!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{2!}\)
\(=\frac{4.3}{2}\) ➜ \(\because 2!=2\)
\(=6\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
\(52\) খানা তাস সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
\(52\) খানা তাস চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((ab, \text{ ও} \ cd)\) অথবা \((ac, \text{ ও} \ bd)\) অথবা \((ad, \text{ ও} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{2!(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{(2)^2}\) ➜ \(\because 2!=2\)
\(=\frac{4.3}{4}\)
\(=3\)
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে \(A\) ও \(B\) দুইটি গ্রুপে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((A \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bd)\)
অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bc)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3.2!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{2!}\)
\(=\frac{4.3}{2}\) ➜ \(\because 2!=2\)
\(=6\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
\(52\) খানা তাস সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
\(52\) খানা তাস চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
\(^nC_{r}\) এর বৃহত্তম মান
Greatest value of \(^nC_{r}\)
আমরা জানি, \(^nC_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\)
এবং \(^nC_{r-1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}\)
এখন, \(\frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}\)
\(\therefore \frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
এখন, \(^nC_{r}\gt{^nC_{r-1}}\) বা, \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\) বা, \(^nC_{r}\lt{^nC_{r-1}}\) হয়।
তাহলে, \(n-r+1\gt{r}\) বা, \(n-r+1=r\) বা, \(n-r+1\lt{r}\) হয়।
\(\Rightarrow n+1\gt{2r}\) বা, \(n+1=2r\) বা, \(n+1\lt{2r}\) হয়।
\(\Rightarrow 2r\lt{n+1}\) বা, \(2r=n+1\) বা, \(2r\gt{n+1}\) হয়।
\(\therefore r\lt{\frac{1}{2}(n+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(n+1)}\) হয়।
\(n\) জোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m \Rightarrow m=\frac{n}{2}\)
তাহলে, \(r\lt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(2m+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) হয়।
\(\Rightarrow r\lt{m+\frac{1}{2}}\) বা, \(r=m+\frac{1}{2}\) বা, \(r\gt{m+\frac{1}{2}}\) হয়।
কিন্তু \(r\) এবং \(m\) পূর্ণ সংখ্যা বলে, \(r\) এর মান \(m+\frac{1}{2}\) হতে পারে না।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+\frac{1}{2}}\) অর্থাৎ \(r\) এর \(1\) হতে \(m\) পর্যন্ত সকল মানের জন্য \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং \(r\) এর \(m+1\) হতে পরবর্তী সকল মানের জন্য পদ প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ হতে ক্ষুদ্রত্তর হবে।
অতএব, \(r=m \Rightarrow r=\frac{n}{2}\) হলে, \(^nC_{r}\) এর মান বৃহত্তম হবে।
\(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m+1 \Rightarrow m=\frac{1}{2}(n-1)\)
\(\Rightarrow m+1=\frac{1}{2}(n-1)+1=\frac{1}{2}(n+1)\)
তাহলে, \(r\lt{m+1}\) বা, \(r=m+1\) বা, \(r\gt{m+1}\) হয়।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+1},\) \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং যখন \(r=m+1,\) তখন \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\)
\(\Rightarrow ^nC_{m+1}=\ ^nC_{m}\)
আবার, \(r\gt{m+1}\) হলে, ঐ ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে।
সুতরাং এই ক্ষেত্রে \(^nC_{m}\) এবং \(^nC_{m+1}\) সমান এবং বাকিগুলির যে কোনোটি অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
অতএব, \(^nC_{r}\) বৃহত্তম হবে যখন \(r=m\) বা \(r=m+1\) হবে।
অর্থাৎ যখন \(r=\frac{1}{2}(n-1)\) বা \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) হবে।
এবং \(^nC_{r-1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}\)
এখন, \(\frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}\)
\(\therefore \frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
এখন, \(^nC_{r}\gt{^nC_{r-1}}\) বা, \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\) বা, \(^nC_{r}\lt{^nC_{r-1}}\) হয়।
তাহলে, \(n-r+1\gt{r}\) বা, \(n-r+1=r\) বা, \(n-r+1\lt{r}\) হয়।
\(\Rightarrow n+1\gt{2r}\) বা, \(n+1=2r\) বা, \(n+1\lt{2r}\) হয়।
\(\Rightarrow 2r\lt{n+1}\) বা, \(2r=n+1\) বা, \(2r\gt{n+1}\) হয়।
\(\therefore r\lt{\frac{1}{2}(n+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(n+1)}\) হয়।
\(n\) জোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m \Rightarrow m=\frac{n}{2}\)
তাহলে, \(r\lt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(2m+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) হয়।
\(\Rightarrow r\lt{m+\frac{1}{2}}\) বা, \(r=m+\frac{1}{2}\) বা, \(r\gt{m+\frac{1}{2}}\) হয়।
কিন্তু \(r\) এবং \(m\) পূর্ণ সংখ্যা বলে, \(r\) এর মান \(m+\frac{1}{2}\) হতে পারে না।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+\frac{1}{2}}\) অর্থাৎ \(r\) এর \(1\) হতে \(m\) পর্যন্ত সকল মানের জন্য \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং \(r\) এর \(m+1\) হতে পরবর্তী সকল মানের জন্য পদ প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ হতে ক্ষুদ্রত্তর হবে।
অতএব, \(r=m \Rightarrow r=\frac{n}{2}\) হলে, \(^nC_{r}\) এর মান বৃহত্তম হবে।
\(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m+1 \Rightarrow m=\frac{1}{2}(n-1)\)
\(\Rightarrow m+1=\frac{1}{2}(n-1)+1=\frac{1}{2}(n+1)\)
তাহলে, \(r\lt{m+1}\) বা, \(r=m+1\) বা, \(r\gt{m+1}\) হয়।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+1},\) \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং যখন \(r=m+1,\) তখন \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\)
\(\Rightarrow ^nC_{m+1}=\ ^nC_{m}\)
আবার, \(r\gt{m+1}\) হলে, ঐ ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে।
সুতরাং এই ক্ষেত্রে \(^nC_{m}\) এবং \(^nC_{m+1}\) সমান এবং বাকিগুলির যে কোনোটি অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
অতএব, \(^nC_{r}\) বৃহত্তম হবে যখন \(r=m\) বা \(r=m+1\) হবে।
অর্থাৎ যখন \(r=\frac{1}{2}(n-1)\) বা \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) হবে।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003