ধরি, কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক আয়তাকার স্থাংক ব্যবস্থায় \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0, 0), x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}\) ও \(\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
এখন, \({OCQP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{QP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=z\overline{k}+x\overline{i}+y\overline{j}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\)

\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

ধরি,
\(P(x,y,z), \ L(x,0,0), \ M(0,y,0), \ N(0,0,z), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OL}=\overrightarrow{MN}=x\hat{i}, \overrightarrow{OM}=y\hat{j}, \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NP}=z\hat{k}\)
\(\triangle{OMN}\) সমকোণী
\(\therefore ON^2=OM^2+MN^2\)
আবার, \(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow OP^2=OM^2+MN^2+NP^2\) ➜Note \(\because ON^2=OM^2+MN^2\)

\(\Rightarrow OP^2=MN^2+OM^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}+z\hat{k}.z\hat{k}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}, \overrightarrow{MN}=x\hat{i}, \overrightarrow{OM}=y\hat{j}, \overrightarrow{NP}=z\hat{k}\)

\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}+z^2\hat{k}.\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1+z^2.1\) ➜Note \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

ধরি, \(P\) যে কোনো একটি বিন্দু। \(P\) বিন্দুর মধ্য দিয়ে \(YOZ, ZOX\) এবং \(XOY\) সমতলগুলির সমান্তরাল তিনটি তল অঙ্কন করি; যারা \(OX, OY\) এবং \(OZ\) কে যথাক্রমে \(L, M\) এবং \(N^{\prime}\) বিন্দুতে ছেদ করে। এভাবে একটি আয়াতাকার ঘনক \(OLNML^{\prime}N^{\prime}M^{\prime}P\) পাওয়া যায়। যার একটি কর্ণ \(OP,\) যাকে \(\overline{r}\) দ্বারা সূচীত করা যায়।
\(\overline{r}=\overrightarrow{OP}\)
\(=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\) ➜Note \(\triangle{OPN}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)

\(=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\) ➜Note \(\triangle{OMN}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}\)
এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{ON^{\prime}}\)

\(=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OL}\)

\(=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(x, y, z\) এরূপ তিনটি স্কেলার রাশি যেখানে,
\(P\) বিন্দুর আয়াতাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\)
এবং
\(\overrightarrow{OL}=x\overrightarrow{OA}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{OM}=y\overrightarrow{OB}=y\hat{j}\)
\(\overrightarrow{ON^{\prime}}=z\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
ইহা স্পষ্ট যে,
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A(\overline{a})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(1)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overline{b},\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\((1)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AP}=t\overline{b}\)

যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((1)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overline{b}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overline{b}=0\)
\(\therefore (\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)

( প্রমাণিত )

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A(\overline{a}), B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{c}\)
\(\triangle{OCB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c} ........(1)\)
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(CB\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু নেই যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(2)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{CB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)
\((2)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)

যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((2)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(3)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{CB}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{CB}=0\)
\((3)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{c})=0\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু , \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং রেখাটির উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A, B\) এবং \(P\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a} ........(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এবং
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টরদ্বয় একই ধারক রেখার উপর অবস্থিত।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a}) .......(2)\)
আবার, \(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} .......(3)\)
\((3)\) হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a})\)

\(\Rightarrow \overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(\therefore \overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
যা দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(4)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) একই সরলরেখায় অবস্থিত বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=0\)
\((4)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু এবং \(A(\overline{a}), B(\overline{b}), P(\overline{r})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণগুলি যথাক্রমে
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
যখন
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}+tb_{1}\hat{i}+tb_{2}\hat{j}+tb_{3}\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
এবং
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)

\(\therefore x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(a_{1}+tb_{1})\hat{i}+(a_{2}+tb_{2})\hat{j}+(a_{3}+tb_{3})\hat{k} ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(x=a_{1}+tb_{1}, y=a_{2}+tb_{2}, z=a_{3}+tb_{3}\)
\(\Rightarrow x-a_{1}=tb_{1}, y-a_{2}=tb_{2}, z-a_{3}=tb_{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=t, \frac{y-a_{2}}{b_{2}}=t, \frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\therefore \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং ভেক্টর দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)
\(B\) বিন্দু থেকে \(OA\) এর উপর \(BC\) এবং \(A\) বিন্দু থেকে \(OB\) এর উপর \(AD\) লম্ব অঙ্কন করি,
এখানে, \(OC=OB\times{\frac{OC}{OB}}\)
\(=b\cos{\theta}\) ➜Note \(\because OB=b\)
এবং \(\frac{OC}{OB}=\cos{\theta}\)

\(\therefore OC=b\cos{\theta}\)
যা \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
আবার, \( OC=b\cos{\theta}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) ➜Note \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)

\(=\frac{\overline{a}}{a}.\overline{b}\)
\(=\hat{a}.\overline{b}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
আবার, \(OD=OA\times{\frac{OD}{OA}}\)
\(=a\cos{\theta}\) ➜Note \(\because OA=a\)
এবং \(\frac{OD}{OA}=\cos{\theta}\)

\(\therefore OD=a\cos{\theta}\)
যা \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ।
আবার, \( OD=a\cos{\theta}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) ➜Note \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)

\(=\frac{\overline{b}}{b}.\overline{a}\)
\(=\hat{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
( প্রমাণিত )

আমরা জানি, \(\overline{a}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
আবার,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ \(OC=b\cos{\theta}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ \(OD=a\cos{\theta}\)
এখন,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OC}=OC\hat{a}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\hat{a}}\) ➜Note \(\because OC=b\cos{\theta}\)

\(=b\cos{\theta}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜Note \(\because \hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)

\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜Note \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)

\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
আবার,
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OD}=OD\hat{b}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\hat{b}}\) ➜Note \(\because OD=a\cos{\theta}\)

\(=a\cos{\theta}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜Note \(\because \hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)

\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜Note \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)

\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\)
এখন, \(a=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}, b=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}\) ➜Note \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

আবার, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜Note \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)

\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
আমরা জানি,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
\(=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
এবং
\(a=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}, b=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}\)

\(\therefore \) \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
ধরি, \(V\) আয়তন বিশিষ্ট একটি সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তু \(OABCDEFG\) এর মূলবিন্দু \(O\) তে ছেদিত ধারগুলি \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OG}=\overline{c}\) এবং \(OABC\) ভূমির উপর উচ্চতা \(h.\)
এখন, \(OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{n}\) হলে, \(\hat{n}=\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
আবার, \(h=\hat{n}\) এর উপর \(\overline{c}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ \(=\frac{\overline{c}.\hat{n}}{|\hat{n}|}\)
\(=\overline{c}.\hat{n}\)
\(=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\) ➜Note \(\because \hat{n}=\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)

\(\therefore h=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(\therefore OABCDEFG\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন \(=OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(\times \) উচ্চতা
\(=\overline{a}\times{\overline{b}}h\) ➜Note \(\because OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
এবং উচ্চতা \(h.\)

\(=\overline{a}\times{\overline{b}} \ \overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\) ➜Note \(\because h=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)

\(=\overline{a}\times{\overline{b}} \ \overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\therefore \overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
অনুরূপভাবে, \(\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
এবং \(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
\(\therefore \overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜Note \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \ \hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \ \)
\(\hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \ \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}\)
এবং \(\hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}, \ \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)

\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=a_{2}b_{3}\hat{i}-a_{3}b_{2}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{1}b_{3}\hat{j}+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{2}b_{1}\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}\)
আবার, \(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}).\{(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}\}\)
\(=c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}.\hat{i}+c_{1}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{i}.\hat{j}+c_{1}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{i}.\hat{k}+c_{2}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{j}.\hat{i}+c_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}.\hat{j}\)\(+c_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{j}.\hat{k}+c_{3}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{k}.\hat{i}+c_{3}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{k}.\hat{j}+c_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}.\hat{k}\)
\(=c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})1+c_{1}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})0+c_{1}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})0+c_{2}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})0+c_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})1\)\(+c_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})0+c_{3}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})0+c_{3}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})0+c_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})1\) ➜Note \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)

\(=a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{2}c_{1}+0+0+0+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}+0+0+0+a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{1}c_{3}\)
\(=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}\)
\(=a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore \overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right| ....(1)\)
এখন, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c} \) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন \(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
আবার, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c} \) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে, ঘনবস্তুর আয়তন \(=0\) হবে।
অর্থাৎ \(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=0 ....... (2)\) হবে।
\((1)\) \((2)\) হতে,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত
( প্রমাণিত )