এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
- ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background)
- বাস্তব সংখ্যার বিষদ বিবরণ (Details of Real Numbers)
- পূর্ণসংখ্যার সেট (Set of integer)
- অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Non negative integer)
- ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative integer)
- ঋনাত্মক সংখ্যা (Negative number)
- স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
- কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number)
- সহমৌলিক (Coprime)
- মূলদ সংখ্যা (Rational number)
- অমূলদ সংখ্যা (Irrational number)
- বাস্তব সংখ্যা (Real Number)
- চিত্রের সাহায্যে বাস্তব সংখ্যা
- বাস্তব সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
- বাস্তব সংখ্যার উপসেট (Subsets of real numbers)
- বাস্তব সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাস (Classification of real numbers)
- বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্য ভিত্তিক বর্ণনা (Axioms of real numbers)
- বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্যসমূহ (Axioms of the real numbers)
- আবদ্ধতা (Closure law)
- বিনিময় যোগ্যতা (Commutative law)
- সংযোজন যোগ্যতা (Associative law)
- বন্টন যোগ্যতা (Distributive law)
- অনন্যতা (Uniqueness law)
- অভেদকের অস্তিত্ব (law of existance of identity)
- বিপরীতকের অস্তিত্ব (law of existance of inverse)
- অসমতা (Inequalities)
- বাস্তব সংখ্যার অসমতা সম্পর্কিত স্বীকার্যসমূহ
- ব্যবধি (Interval)
- সসীম ব্যবধি (Finite Interval)
- খোলা ব্যবধি (Open Interval)
- বদ্ধ ব্যবধি (Closed Interval)
- বদ্ধ-খোলা ব্যবধি (Closed-Open Interval)
- খোলা-বদ্ধ ব্যবধি (Open-closed Interval)
- অসীম ব্যবধি (Infinite Interval)
- বামে খোলা ডানে অসীম ব্যবধি
- বামে বদ্ধ ডানে অসীম ব্যবধি
- বামে অসীম ডানে খোলা ব্যবধি
- বামে অসীম ডানে বদ্ধ ব্যবধি
- ঊর্ধেব সীমিত সেট (Bounded above set)
- ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা (Supremum or Least Supper Bound)
- নিম্নে সীমিত সেট (Bounded below set)
- বৃহত্তম নিম্নসীমা (Infimum or Greatest Lower Bound)
- সীমিত সেট (Bounded set)
- অসীমিত সেট (Unbounded set)
- বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতা স্বীকার্য
- পরম মান (Absolute value)
- পরম মানের বৈশিষ্ট্যসমূহ এবং এদের প্রমাণ
- \(|a|\ge{a}\)
- \(|a|\ge{-a}\)
- \(-|a|\le{a}\le{|a|}\)
- \(|a|^2=a^2\) বা \(|a|=\sqrt{a^2}\)
- \(|ab|=|a||b|\)
- \(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\)
- \(|a+b|\le{|a|+|b|}\)
- \(|a-b|\le{|a|+|b|}\)
- \(|a-b|\ge{|a|-|b|}\)
- \(|a-b|\ge{\left||a|-|b|\right|}\)
- \(|a+b|\ge{|a|-|b|}\)
- \(a\ge{0}\) এবং \(|x|\le{a}\) হলে, \(-a\le{x}\le{a}\)
- \(a\gt{0}\) এবং \(|x|\lt{a}\) হলে, \(-a\lt{x}\lt{a}\)
- \(|x|\ge{a}\) হলে, \(x\le{-a}\) অথবা \(x\ge{a}\) যেখানে, \(a\ge{0}\)
- \(|x|\gt{a}\) হলে, \(x\lt{-a}\) অথবা \(x\gt{a}\) যেখানে, \(a\gt{0}\)
- এক চলক সম্বলিত অসমতা
- যৌগিক অসমতা (Compound inequalities)
- এক চলক সম্বলিত অসমতার সমাধান
- শর্তাধীন অসমতা (Conditional inequalities)
- শর্তহীন অসমতা (Unconditional inequalities)
- এক চলক সম্বলিত দ্বিঘাত অসমতার সমাধান
- \(a\gt{b}\) এবং \((x-a)(x-b)\lt{0}\Rightarrow b\lt{x}\lt{a}\)
- \(a\gt{b}\) এবং \((x-a)(x-b)\gt{0}\Rightarrow x\lt{b}\) অথবা \(x\gt{a}\)
- লেখচিত্রের সাহায্যে এক চলক সম্বলিত দ্বিঘাত অসমতার সমাধান
- অধ্যায় \(1A\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(1A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(1A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(1A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(1A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(1A\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
জর্জ কান্টর (Georg Cantor)
(১৮৪৫ খ্রিস্টাব্দ-১৯১৮ খ্রিস্টাব্দ)
জার্মান গণিতবিদ
(১৮৪৫ খ্রিস্টাব্দ-১৯১৮ খ্রিস্টাব্দ)
জার্মান গণিতবিদ
সৃষ্টির শুরু থেকেই মানুষের চারপাশে যা কিছু বর্তমান তার হিসাব রাখা এবং গণনার জন্যই মূলত সংখ্যার সৃষ্টি। মানব সমাজের ক্রমবর্ধমান উন্নতির সঙ্গে সঙ্গে সংখ্যার ব্যবহারেরও ক্রমবিকাশ ঘটেছে। আধুনিক বিশ্বের সর্বাধুনিক আবিষ্কার কম্পিউটার এর কর্মপদ্ধতিও তৈরি করা হয় সংখ্যাকে কাজে লাগিয়ে।
সংখ্যার ধারণা অতি প্রাচীন। সংখ্যার উৎপত্তি কখন হয়েছিল তা সঠিকভাবে জানা সম্ভব হয়নি। স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গণনা শুরু হলেও সময়ের ব্যবধানে নতুন নতুন সংখ্যার লিখন পদ্ধতি পরিপূর্ণরূপে প্রকাশ পেয়েছে। পূর্ণ সংখ্যা ও ভগ্নাংশ নিয়ে মূলদ সংখ্যা গঠিত হয়। মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা নিয়েই বাস্তব সংখ্যা।
যীশুখৃষ্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি হয়েছিল। ইতিহাসবিদদের ধারণা, ভারতীয় ও চীনা দার্শনিকরা পূর্ণসংখ্যার, মিশরীয়রা ভগ্নাংশের ও গ্রীক দার্শনিকরা জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কনের সূচনা করেছিল।
খ্রিষ্টপূর্ব ১০০০ এর মধ্যে মিশরের গণিতবিদগণ সামান্য ভগ্নাংশ (Vulgar fraction) ব্যবহার করেন। খ্রিষ্টপূর্ব (৭৫০-৬৯০) এর মধ্যে ভারতীয় এবং খ্রিষ্টপূর্ব ৫০০ এর মধ্যে গ্রিসের গণিতবিদগণ অমূলদ সংখ্যার ধারণা দেন। ইংরেজ গণিতবিদ জন ওয়ালিস (John Wallies)
জন ওয়ালিস (John Wallies)
(১৬১৬খ্রিস্টাব্দ-১৭০৩খ্রিস্টাব্দ)
জন ওয়ালিস ছিলেন একজন ইংরেজ পাদ্রি এবং গণিতবিদ যিনি অসীম ক্যালকুলাসের বিকাশের জন্য আংশিক কৃতিত্ব প্রদান করেন। ১৬৪৩ থেকে ১৬৮৯ এর মধ্যে তিনি পার্লামেন্ট এবং পরে, রাজদরবারের প্রধান ক্রিপ্টোগ্রাফার হিসাবে কাজ করেছিলেন। অনন্তের ধারণার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য the প্রতীকটি প্রবর্তনের কৃতিত্ব তার। (১৬১৬খ্রিস্টাব্দ-১৭০৩খ্রিস্টাব্দ) এবং ফ্রেন্স গণিতবিদ পিয়ারে বগার (Pierre Bouguer)
পিয়ারে বগার (Pierre Bouguer)
(১৬৯৮খ্রিস্টাব্দ-১৭৫৮খ্রিস্টাব্দ)
পিয়ের বাউগার (Pierre Bouguer) ছিলেন একজন ফরাসি গণিতবিদ, ভূ -পদার্থবিদ, ভূতাত্ত্বিক এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী। তিনি "নৌ স্থাপত্যের জনক" নামেও পরিচিত। (১৬৯৮খ্রিস্টাব্দ-১৭৫৮খ্রিস্টাব্দ) যথাক্রমে ১৬৭০ এবং ১৭৩৪ খ্রিষ্টাব্দে সর্বপ্রথম অসমতার চিহ্ন (\(\le\) এবং \(\ge\) ) ব্যবহার করেন। এছাড়া "The Analytical Arts Applied to Solving Algebraic Equations" বইটিতে বৃটিশ গণিতবিদ ও দার্শনিক টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot)
টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot)
(১৫৬০খ্রিস্টাব্দ-১৬২১খ্রিস্টাব্দ)
টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot) তিনি ছিলেন একজন ইংরেজ জ্যোতির্বিজ্ঞানী, গণিতবিদ, নৃতাত্ত্বিক এবং অনুবাদক, যার প্রতিফলন তত্ত্বকে দায়ী করা হয়। (১৫৬০খ্রিস্টাব্দ-১৬২১খ্রিস্টাব্দ) বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম চিহ্ন (\(\gt\) এবং \(\lt\) ) ব্যবহার করেন যা ১৬৩১ খ্রিষ্টাব্দে প্রকাশিত হয়।
কসি-সোয়াজ অসমতা (Cauchy-Schwarz inequality) লিনিয়ার অ্যালজ্যাবরায় ও পরিসংখ্যানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ অসমতা হিসেবে বিবেচিত হয়।
সংখ্যার ধারণা অতি প্রাচীন। সংখ্যার উৎপত্তি কখন হয়েছিল তা সঠিকভাবে জানা সম্ভব হয়নি। স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গণনা শুরু হলেও সময়ের ব্যবধানে নতুন নতুন সংখ্যার লিখন পদ্ধতি পরিপূর্ণরূপে প্রকাশ পেয়েছে। পূর্ণ সংখ্যা ও ভগ্নাংশ নিয়ে মূলদ সংখ্যা গঠিত হয়। মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা নিয়েই বাস্তব সংখ্যা।
যীশুখৃষ্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি হয়েছিল। ইতিহাসবিদদের ধারণা, ভারতীয় ও চীনা দার্শনিকরা পূর্ণসংখ্যার, মিশরীয়রা ভগ্নাংশের ও গ্রীক দার্শনিকরা জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কনের সূচনা করেছিল।
খ্রিষ্টপূর্ব ১০০০ এর মধ্যে মিশরের গণিতবিদগণ সামান্য ভগ্নাংশ (Vulgar fraction) ব্যবহার করেন। খ্রিষ্টপূর্ব (৭৫০-৬৯০) এর মধ্যে ভারতীয় এবং খ্রিষ্টপূর্ব ৫০০ এর মধ্যে গ্রিসের গণিতবিদগণ অমূলদ সংখ্যার ধারণা দেন। ইংরেজ গণিতবিদ জন ওয়ালিস (John Wallies)
জন ওয়ালিস (John Wallies)(১৬১৬খ্রিস্টাব্দ-১৭০৩খ্রিস্টাব্দ)
জন ওয়ালিস ছিলেন একজন ইংরেজ পাদ্রি এবং গণিতবিদ যিনি অসীম ক্যালকুলাসের বিকাশের জন্য আংশিক কৃতিত্ব প্রদান করেন। ১৬৪৩ থেকে ১৬৮৯ এর মধ্যে তিনি পার্লামেন্ট এবং পরে, রাজদরবারের প্রধান ক্রিপ্টোগ্রাফার হিসাবে কাজ করেছিলেন। অনন্তের ধারণার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য the প্রতীকটি প্রবর্তনের কৃতিত্ব তার। (১৬১৬খ্রিস্টাব্দ-১৭০৩খ্রিস্টাব্দ) এবং ফ্রেন্স গণিতবিদ পিয়ারে বগার (Pierre Bouguer)
পিয়ারে বগার (Pierre Bouguer)(১৬৯৮খ্রিস্টাব্দ-১৭৫৮খ্রিস্টাব্দ)
পিয়ের বাউগার (Pierre Bouguer) ছিলেন একজন ফরাসি গণিতবিদ, ভূ -পদার্থবিদ, ভূতাত্ত্বিক এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী। তিনি "নৌ স্থাপত্যের জনক" নামেও পরিচিত। (১৬৯৮খ্রিস্টাব্দ-১৭৫৮খ্রিস্টাব্দ) যথাক্রমে ১৬৭০ এবং ১৭৩৪ খ্রিষ্টাব্দে সর্বপ্রথম অসমতার চিহ্ন (\(\le\) এবং \(\ge\) ) ব্যবহার করেন। এছাড়া "The Analytical Arts Applied to Solving Algebraic Equations" বইটিতে বৃটিশ গণিতবিদ ও দার্শনিক টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot)
টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot)(১৫৬০খ্রিস্টাব্দ-১৬২১খ্রিস্টাব্দ)
টমাস হ্যারিয়ট (Thomas Harriot) তিনি ছিলেন একজন ইংরেজ জ্যোতির্বিজ্ঞানী, গণিতবিদ, নৃতাত্ত্বিক এবং অনুবাদক, যার প্রতিফলন তত্ত্বকে দায়ী করা হয়। (১৫৬০খ্রিস্টাব্দ-১৬২১খ্রিস্টাব্দ) বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম চিহ্ন (\(\gt\) এবং \(\lt\) ) ব্যবহার করেন যা ১৬৩১ খ্রিষ্টাব্দে প্রকাশিত হয়।
কসি-সোয়াজ অসমতা (Cauchy-Schwarz inequality) লিনিয়ার অ্যালজ্যাবরায় ও পরিসংখ্যানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ অসমতা হিসেবে বিবেচিত হয়।
বাস্তব সংখ্যার বিষদ বিবরণ
Details of Real Numbers
বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণার জন্য পর্যায়ক্রমে স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋনাত্মক সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা, কৃত্রিম সংখ্যা এবং মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সম্পর্কে ধারণা থাকা প্রয়োজন।
স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
গণনার প্রয়োজনেই স্বাভাবিক সংখ্যা আবিষ্কৃত হয়, এ কারণে স্বাভাবিক সংখ্যাকে গণনাকারী সংখ্যাও বলা হয়। সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\gt{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\gt{0}}}=\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
গণনার প্রয়োজনেই স্বাভাবিক সংখ্যা আবিষ্কৃত হয়, এ কারণে স্বাভাবিক সংখ্যাকে গণনাকারী সংখ্যাও বলা হয়। সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\gt{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\gt{0}}}=\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
পূর্ণসংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও শূন্য নিয়ে পূর্ণসংখ্যার সেট (Set of integer) গঠিত। পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z}=\left\{...., \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z}=\left\{...., \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যাঃ শূন্য \((0)\) সহ সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Non negative integer) বলা হয়। সকল অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}=\left\{0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
\(=\left\{0\right\}\cup\mathbb{Z_{\gt{0}}}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Non negative integer) বলা হয়। সকল অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}=\left\{0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
\(=\left\{0\right\}\cup\mathbb{Z_{\gt{0}}}\)।
ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যাঃ শূন্য \((0)\) অপেক্ষা ছোট পূর্ণসংখ্যাকে ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative integer) বলা হয়। সকল ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}=\left\{......, \ -3, \ -2, \ -1\right\}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}=\left\{......, \ -3, \ -2, \ -1\right\}\)।
ঋনাত্মক সংখ্যাঃ শূন্য \((0)\) অপেক্ষা ছোট সংখ্যাকে ঋনাত্মক সংখ্যা (Negative number) বলা হয়। সকল ঋনাত্মক সংখ্যার সেট নিম্নরূপঃ
\(\left\{-1, \ -2, \ -\frac{1}{2}, \ -\frac{1}{3}, \ -\sqrt{2}, -0.322, \ -0.63, \ -4.12034506 \ ........\text{ইত্যাদি।} \right\}\)।
\(\left\{-1, \ -2, \ -\frac{1}{2}, \ -\frac{1}{3}, \ -\sqrt{2}, -0.322, \ -0.63, \ -4.12034506 \ ........\text{ইত্যাদি।} \right\}\)।
মৌলিক সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
কেবলমাত্র ঐ সংখ্যা ও \(1\) দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime number) বলা হয়। সকল মৌলিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{P}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
দুইয়ের অধিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime number) বলা হয়।
যেমনঃ \(2=2\times1\)।
\(3=3\times1\)।
\(5=5\times1\)।
\(7=7\times1\)।
\(11=11\times1\)।
\(13=13\times1\)।
\(17=17\times1\)।
\(17=17\times1\)।
\(23=23\times1\)।
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
অর্থাৎ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
কেবলমাত্র ঐ সংখ্যা ও \(1\) দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime number) বলা হয়। সকল মৌলিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{P}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
বিকল্প সঙ্গাঃ
মৌলিক সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
দুইয়ের অধিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime number) বলা হয়।
যেমনঃ \(2=2\times1\)।
\(3=3\times1\)।
\(5=5\times1\)।
\(7=7\times1\)।
\(11=11\times1\)।
\(13=13\times1\)।
\(17=17\times1\)।
\(17=17\times1\)।
\(23=23\times1\)।
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
অর্থাৎ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
কৃত্রিম সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
ঐ সংখ্যা ও \(1\) ব্যতীত এক বা একাধিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number) বলা হয়। কৃত্রিম সংখ্যার সেট নিম্নরূপঃ
কৃত্রিম সংখ্যার সেট \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
দুইয়ের অধিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, ঐ সকল সংখ্যাকে কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number) বলা হয়।
যেমনঃ \(4=2\times2\times1\)।
\(6=3\times2\times1\)।
\(8=2\times2\times2\times1\)।
\(9=3\times3\times1\)।
\(10=5\times2\times1\)।
\(12=3\times2\times2\times1\)।
\(14=7\times2\times1\)।
\(16=2\times2\times2\times2\times1\)।
\(18=3\times3\times2\times1\)।
\(20=5\times2\times2\times1\)।
\(21=7\times3\times1\)।
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
কৃত্রিম সংখ্যার সেট \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
ঐ সংখ্যা ও \(1\) ব্যতীত এক বা একাধিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number) বলা হয়। কৃত্রিম সংখ্যার সেট নিম্নরূপঃ
কৃত্রিম সংখ্যার সেট \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
বিকল্প সঙ্গাঃ
কৃত্রিম সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
দুইয়ের অধিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, ঐ সকল সংখ্যাকে কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number) বলা হয়।
যেমনঃ \(4=2\times2\times1\)।
\(6=3\times2\times1\)।
\(8=2\times2\times2\times1\)।
\(9=3\times3\times1\)।
\(10=5\times2\times1\)।
\(12=3\times2\times2\times1\)।
\(14=7\times2\times1\)।
\(16=2\times2\times2\times2\times1\)।
\(18=3\times3\times2\times1\)।
\(20=5\times2\times2\times1\)।
\(21=7\times3\times1\)।
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
কৃত্রিম সংখ্যার সেট \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
সহমৌলিকঃ যদি দুইটি পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে \(1\) ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকে তবে তাদেরকে একে অপরের সহমৌলিক (Coprime) বলে। অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকায় এদের একটি দ্বারা অন্যটি কখনই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
যেমনঃ \(3\) ও \(5\); \(4\) ও \(9\); \(5\) ও \(12\) ইত্যাদি।
যেমনঃ \(3\) ও \(5\); \(4\) ও \(9\); \(5\) ও \(12\) ইত্যাদি।
মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
যেমনঃ \(\frac{9}{3}=3\)
কিন্তু \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। সুতরাং এ ধারণা থেকেই সংখ্যার একটি নতুন শ্রেণির আবির্ভাব ঘটে, যা ভগ্নাংশ (Fraction) হিসেবে পরিচিত।
যদি \(q=1\) হয় তবে, \(\frac{p}{q}\) আকারের সকল মূলদ সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
পূর্ণসংখ্যা হয়।
সুতরাং মূলদ সংখ্যা মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
হয় ভগ্নাংশ অথবা পূর্ণসংখ্যা।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ
দুইটি সংখ্যার যোগ, বিয়োগ ও গুণের ফলে অপর একটি পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায় কিন্তু দুইটি পূর্ণসংখ্যা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ সংখ্যা নাও হতে পারে। যেমনঃ \(\frac{9}{3}=3\)
কিন্তু \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। সুতরাং এ ধারণা থেকেই সংখ্যার একটি নতুন শ্রেণির আবির্ভাব ঘটে, যা ভগ্নাংশ (Fraction) হিসেবে পরিচিত।
যদি \(q=1\) হয় তবে, \(\frac{p}{q}\) আকারের সকল মূলদ সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
পূর্ণসংখ্যা হয়।
সুতরাং মূলদ সংখ্যা মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
হয় ভগ্নাংশ অথবা পূর্ণসংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক সহমৌলিকঃ যদি দুইটি পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে \(1\) ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকে তবে তাদেরকে একে অপরের সহমৌলিক (Coprime) বলে। অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকায় এদের একটি দ্বারা অন্যটি কখনই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
যেমনঃ \(3\) ও \(5\); \(4\) ও \(9\); \(5\) ও \(12\) ইত্যাদি। এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
যেমনঃ \(3\) ও \(5\); \(4\) ও \(9\); \(5\) ও \(12\) ইত্যাদি। এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
বাস্তব সংখ্যাঃ সকল মূলদ মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
এবং অমূলদ অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
সংখ্যাগুলিকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা (Real Number) বলা হয়। অর্থাৎ প্রত্যেক মূলদ মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
বা অমূলদ অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
সংখ্যাই এক একটি বাস্তব সংখ্যা (Real Number)। বাস্তব সংখ্যার (Real Number) সেটকে \(\mathbb{R}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup{\mathbb{Q^{\prime}}}\)
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
এবং অমূলদ অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
সংখ্যাগুলিকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা (Real Number) বলা হয়। অর্থাৎ প্রত্যেক মূলদ মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
বা অমূলদ অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
সংখ্যাই এক একটি বাস্তব সংখ্যা (Real Number)। বাস্তব সংখ্যার (Real Number) সেটকে \(\mathbb{R}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup{\mathbb{Q^{\prime}}}\)
চিত্রের সাহায্যে বাস্তব সংখ্যাঃ
বাস্তব সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ যেকোনো বাস্তব সংখ্যাকে তার মান অনুসারে যে সরলরেখার উপর বিন্দুর সাহায্যে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে সংখ্যারেখা (The number line) বলা হয়। এই রেখাকে বাস্তব রেখাও (Real line) বলা হয়ে থাকে। সুতরাং সকল বাস্তব সংখ্যা এবং বাস্তব রেখাস্থ সকল বিন্দুর মধ্যে একটি এক-এক মিল (One-One correspondences) দেখানো যায়।
নিম্নে \(X^{\prime}X\) একটি অসীম দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সরলরেখা। \(O\) সরলরেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু। \(O\) বিন্দুকে \(0\) (শূন্য) ধরে, \(O\) এর ডানে প্রতি একক দূরত্বের বিন্দুসমূহকে \(1, \ 2, \ 3, \ ...... \) ইত্যাদি এবং বামের বিন্দুসমূহকে \(-1, \ -2, \ -3, \ ...... \) ইত্যাদি দ্বারা সূচিত করা হয়।
এভাবে \(\frac{1}{2}, \ -\frac{3}{5}, \ 2\frac{1}{4}, \ 3.5 \) ইত্যাদি যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ও মূলদ সংখ্যা \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত বিভিন্ন বিন্দু দ্বারা সূচিত করা হয়।
মনে করি \(AB\perp{X^{\prime}X}\) এবং \(OA=AB=1;\) তাহলে \(OAB\) একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ \(OB=\sqrt{OA^2+AB^2}\)।
\(=\sqrt{1^2+1^2}\)।
\(=\sqrt{1+1}\)।
\(=\sqrt{2}\)।
এখন, \(O\) কে কেন্দ্র করে \(OB\) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তচাপ \(X^{\prime}X\) কে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, \(OP=\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{2}\) অমূলদ সংখ্যাটি \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত \(P\) বিন্দু দ্বারা সূচিত করা যায়। সুতরাং যেকোনো মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু দ্বারা সূচিত করা যায়।
নিম্নে \(X^{\prime}X\) একটি অসীম দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সরলরেখা। \(O\) সরলরেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু। \(O\) বিন্দুকে \(0\) (শূন্য) ধরে, \(O\) এর ডানে প্রতি একক দূরত্বের বিন্দুসমূহকে \(1, \ 2, \ 3, \ ...... \) ইত্যাদি এবং বামের বিন্দুসমূহকে \(-1, \ -2, \ -3, \ ...... \) ইত্যাদি দ্বারা সূচিত করা হয়।
এভাবে \(\frac{1}{2}, \ -\frac{3}{5}, \ 2\frac{1}{4}, \ 3.5 \) ইত্যাদি যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ও মূলদ সংখ্যা \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত বিভিন্ন বিন্দু দ্বারা সূচিত করা হয়।
মনে করি \(AB\perp{X^{\prime}X}\) এবং \(OA=AB=1;\) তাহলে \(OAB\) একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ \(OB=\sqrt{OA^2+AB^2}\)।
\(=\sqrt{1^2+1^2}\)।
\(=\sqrt{1+1}\)।
\(=\sqrt{2}\)।
এখন, \(O\) কে কেন্দ্র করে \(OB\) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তচাপ \(X^{\prime}X\) কে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, \(OP=\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{2}\) অমূলদ সংখ্যাটি \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত \(P\) বিন্দু দ্বারা সূচিত করা যায়। সুতরাং যেকোনো মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু দ্বারা সূচিত করা যায়।
বাস্তব সংখ্যার উপসেট
Subsets of real numbers
স্বাভাবিক সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z}=\left\{...., \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}=\left\{0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}=\left\{......, \ -3, \ -2, \ -1\right\}\)।
ঋনাত্মক সংখ্যার সেটঃ \(\left\{-1, \ -2, \ -\frac{1}{2}, \ -\frac{1}{3}, \ -\sqrt{2}, -0.322, \ -0.63, \ -4.12034506 \ ........\text{ইত্যাদি।} \right\}\)।
মৌলিক সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
কৃত্রিম সংখ্যার সেটঃ \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
মূলদ সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
অমূলদ সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
বাস্তব সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup{\mathbb{Q^{\prime}}}\)
পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z}=\left\{...., \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}=\left\{0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}=\left\{......, \ -3, \ -2, \ -1\right\}\)।
ঋনাত্মক সংখ্যার সেটঃ \(\left\{-1, \ -2, \ -\frac{1}{2}, \ -\frac{1}{3}, \ -\sqrt{2}, -0.322, \ -0.63, \ -4.12034506 \ ........\text{ইত্যাদি।} \right\}\)।
মৌলিক সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
কৃত্রিম সংখ্যার সেটঃ \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
মূলদ সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
অমূলদ সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
বাস্তব সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup{\mathbb{Q^{\prime}}}\)
বাস্তব সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাস
Classification of real numbers
বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্য ভিত্তিক বর্ণনা
Axioms of real numbers
বাস্তব সংখ্যার কয়েক প্রকার স্বীকার্য রয়েছে, এর মধ্যে বীজগণিতীয় গুণাবলি ভিত্তিক বা ফিল্ড স্বীকার্য এবং ক্রম ভিত্তিক স্বীকার্য অন্যতম।
বীজগণিতীয় গুণাবলি ভিত্তিক বা ফিল্ড স্বীকার্যঃ বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\) এর বীজগণিতীয় গুণাবলী ভিত্তিক স্বীকার্য মূলত যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) এর উপর নির্ভরশীল।
বীজগণিতীয় গুণাবলি ভিত্তিক বা ফিল্ড স্বীকার্যঃ বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\) এর বীজগণিতীয় গুণাবলী ভিত্তিক স্বীকার্য মূলত যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) এর উপর নির্ভরশীল।
বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্যসমূহ
Axioms of the real numbers
আবদ্ধতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ায় আবদ্ধ (Closure law)।
যদি \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগে আবদ্ধঃ \(a+b\in{\mathbb{R}}\)
গুণনে আবদ্ধঃ \(ab\in{\mathbb{R}}\)
যেমনঃ \(2, \ 3\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(2+3=5\in{\mathbb{R}}\) এবং \(2.3=6\in{\mathbb{R}}\)
যদি \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগে আবদ্ধঃ \(a+b\in{\mathbb{R}}\)
গুণনে আবদ্ধঃ \(ab\in{\mathbb{R}}\)
যেমনঃ \(2, \ 3\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(2+3=5\in{\mathbb{R}}\) এবং \(2.3=6\in{\mathbb{R}}\)
বিনিময় যোগ্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য বিনিময় যোগ্য (Commutative law)।
যদি \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের বিনিময় বিধিঃ \(a+b=b+a\)
গুণনের বিনিময় বিধিঃ \(ab=ba\)
যেমনঃ \(3, \ 4\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(3+4=4+3\) এবং \(3.4=4.3\)
যদি \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের বিনিময় বিধিঃ \(a+b=b+a\)
গুণনের বিনিময় বিধিঃ \(ab=ba\)
যেমনঃ \(3, \ 4\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(3+4=4+3\) এবং \(3.4=4.3\)
সংযোজন যোগ্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য সংযোজন যোগ্য (Associative law)।
যদি \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের সংযোজন বিধিঃ \((a+b)+c=a+(b+c)\)
গুণনের সংযোজন বিধিঃ \((a.b).c=a.(b.c)\)
যেমনঃ \(3, \ 4, \ 5\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\((3+4)+5=3+(4+5)\) এবং \((3.4).5=3.(4.5)\)
যদি \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের সংযোজন বিধিঃ \((a+b)+c=a+(b+c)\)
গুণনের সংযোজন বিধিঃ \((a.b).c=a.(b.c)\)
যেমনঃ \(3, \ 4, \ 5\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\((3+4)+5=3+(4+5)\) এবং \((3.4).5=3.(4.5)\)
বন্টন যোগ্যতা (Distributive law)
বন্টন যোগ্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য বন্টন যোগ্য (Distributive law)।
যদি \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
বাম বন্টন বিধিঃ \(a(b+c)=ab+ac\)
ডান বন্টন বিধিঃ \((b+c)a=ba+ca\)
যেমনঃ \(3, \ 4, \ 5\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(3.(4+5)=3.4+3.5\) এবং \((4+5).3=4.3+5.3\)
যদি \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
বাম বন্টন বিধিঃ \(a(b+c)=ab+ac\)
ডান বন্টন বিধিঃ \((b+c)a=ba+ca\)
যেমনঃ \(3, \ 4, \ 5\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(3.(4+5)=3.4+3.5\) এবং \((4+5).3=4.3+5.3\)
অনন্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য অনন্য (Uniqueness law)।
যদি \(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a=c, \ b=d\) হয় তবে,
যোগের অনন্যতাঃ \(a+b=c+d\)
গুণনের অনন্যতাঃ \(a.b=c.d\)
যেমনঃ \(x, \ y, \ p, \ q\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(x+y=p+y\) হলে, \(x=p\) এবং \(xy=xq\) হলে, \(y=q\)
যদি \(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a=c, \ b=d\) হয় তবে,
যোগের অনন্যতাঃ \(a+b=c+d\)
গুণনের অনন্যতাঃ \(a.b=c.d\)
যেমনঃ \(x, \ y, \ p, \ q\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(x+y=p+y\) হলে, \(x=p\) এবং \(xy=xq\) হলে, \(y=q\)
অভেদকের অস্তিত্বঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য অভেদকের অস্তিত্ব (law of existance of identity)।
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের অভেদকঃ \(a+0=0+a\)
গুণনের অভেদকঃ \(a.1=1.a\)
যেমনঃ \(0\) এবং \(1\) কে যথাক্রমে যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) এর অভেদক বলে।
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের অভেদকঃ \(a+0=0+a\)
গুণনের অভেদকঃ \(a.1=1.a\)
যেমনঃ \(0\) এবং \(1\) কে যথাক্রমে যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) এর অভেদক বলে।
বিপরীতকের অস্তিত্বঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব (law of existance of inverse)।
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য \(-a\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের বিপরীতকঃ \(a+(-a)=(-a)+a=0\)
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) এর জন্য \(a^{-1}\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
গুণনের বিপরীতকঃ \(a.a^{-1}=a^{-1}a=1\)
যেমনঃ \(5, \ -5\in{\mathbb{R}}\) এবং \(5, \ 5^{-1}=\frac{1}{5}\in{\mathbb{R}}\)
\(5+(-5)=(-5)+5=0\) এবং \(5.5^{-1}=5^{-1}.5=1\)
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য \(-a\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের বিপরীতকঃ \(a+(-a)=(-a)+a=0\)
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) এর জন্য \(a^{-1}\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
গুণনের বিপরীতকঃ \(a.a^{-1}=a^{-1}a=1\)
যেমনঃ \(5, \ -5\in{\mathbb{R}}\) এবং \(5, \ 5^{-1}=\frac{1}{5}\in{\mathbb{R}}\)
\(5+(-5)=(-5)+5=0\) এবং \(5.5^{-1}=5^{-1}.5=1\)
অসমতা
Inequalities
অসমতাঃ অসমতা (Inequalities) এমন এক প্রকার গাণিতিক বাক্যের প্রকাশ (Mathematical Expression) যা সংখ্যা, পরিমাণ বা গাণিতিক বাক্যের ক্রমের সম্পর্ক (Order Relation) নির্দেশ করে।
গাণিতিকভাবে অসমতাকে \(\lt{}(less \ than), \ \gt{}(greater \ than), \ \le{}(less \ than \ or \ equal), \ \ge{}(greater \ than \ or \ equal)\) ইত্যাদি সম্পর্ক প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(2\gt{1}\) অথবা \(1\lt{2}\) এর অর্থ হচ্ছে \(2, \ 1\) থেকে বড় অথবা \(1, \ 2\) থেকে ছোট। আবার, \(x\gt{0}\) অসমতাটি \(x\) এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য সত্য হলেও \(x^2\gt{0}\) অসমতাটি \(x=0\) ব্যতীত সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য। অসমতা ও সমীকরণের মধ্যে অনেক বৈশিষ্ট্যের মিল বিদ্যমান থাকলেও অসমতার সমাধান নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যা বা মানের জন্য স্থির না থেকে সমাধানের ব্যপ্তি নির্দেশ করে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সেটে বা অঞ্চলে বিদ্যমান সকল মানের জন্য অসমতা সিদ্ধ হয়। অসমতা গণিতে বিশেষ স্থান দখল করে আছে। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম গঠন, কোণের সম্পর্ক নির্ণয়, ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য তথা গণিতের অনেক মৌলিক তথ্যাবলি অসমতার সাহায্যে ব্যাখ্যা করা হয়।
গাণিতিকভাবে অসমতাকে \(\lt{}(less \ than), \ \gt{}(greater \ than), \ \le{}(less \ than \ or \ equal), \ \ge{}(greater \ than \ or \ equal)\) ইত্যাদি সম্পর্ক প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(2\gt{1}\) অথবা \(1\lt{2}\) এর অর্থ হচ্ছে \(2, \ 1\) থেকে বড় অথবা \(1, \ 2\) থেকে ছোট। আবার, \(x\gt{0}\) অসমতাটি \(x\) এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য সত্য হলেও \(x^2\gt{0}\) অসমতাটি \(x=0\) ব্যতীত সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য। অসমতা ও সমীকরণের মধ্যে অনেক বৈশিষ্ট্যের মিল বিদ্যমান থাকলেও অসমতার সমাধান নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যা বা মানের জন্য স্থির না থেকে সমাধানের ব্যপ্তি নির্দেশ করে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সেটে বা অঞ্চলে বিদ্যমান সকল মানের জন্য অসমতা সিদ্ধ হয়। অসমতা গণিতে বিশেষ স্থান দখল করে আছে। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম গঠন, কোণের সম্পর্ক নির্ণয়, ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য তথা গণিতের অনেক মৌলিক তথ্যাবলি অসমতার সাহায্যে ব্যাখ্যা করা হয়।
বাস্তব সংখ্যার অসমতা সম্পর্কিত স্বীকার্যসমূহ
Axioms of the real numbers related to inequality
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a\gt{b}\) বা \(a=b\) বা \(a\lt{b}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a\gt{b}\) বা \(a=b\) বা \(a\lt{b}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) ও \(b\gt{c}\) এর জন্য
\(a\gt{c}\)
\(a\lt{b}\) বা \(a\gt{b}\)
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\)
\(\therefore a-b\gt{0} ....(1)\)
\(b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং পরস্পর অসমান হলে,
\(b\lt{c}\) বা \(b\gt{c}\)
\(\Rightarrow b-c\gt{0}\)
\(\therefore b-c\gt{0} ....(2)\)
এখন, \(a-b+b-c\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a-c\gt{0}\)
\(\Rightarrow a-c+c\gt{0+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a+(c-c)\gt{c}\)
\(\Rightarrow a+0\gt{c}\)
\(\therefore a\gt{c}\)
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) ও \(b\lt{c}\) এর জন্য
\(a\lt{c}\)
\(a\gt{b}\) বা \(a\lt{b}\)
\(\Rightarrow a-b\lt{0}\)
\(\therefore a-b\lt{0} ....(1)\)
\(b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং পরস্পর অসমান হলে,
\(b\gt{c}\) বা \(b\lt{c}\)
\(\Rightarrow b-c\lt{0}\)
\(\therefore b-c\lt{0} ....(2)\)
এখন, \(a-b+b-c\lt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a-c\lt{0}\)
\(\Rightarrow a-c+c\lt{0+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a+(c-c)\lt{c}\)
\(\Rightarrow a+0\lt{c}\)
\(\therefore a\lt{c}\)
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) ও \(b\gt{c}\) এর জন্য
\(a\gt{c}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এবং পরস্পর অসমান হলে,\(a\lt{b}\) বা \(a\gt{b}\)
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\)
\(\therefore a-b\gt{0} ....(1)\)
\(b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং পরস্পর অসমান হলে,
\(b\lt{c}\) বা \(b\gt{c}\)
\(\Rightarrow b-c\gt{0}\)
\(\therefore b-c\gt{0} ....(2)\)
এখন, \(a-b+b-c\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a-c\gt{0}\)
\(\Rightarrow a-c+c\gt{0+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a+(c-c)\gt{c}\)
\(\Rightarrow a+0\gt{c}\)
\(\therefore a\gt{c}\)
\(a\lt{c}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এবং পরস্পর অসমান হলে,\(a\gt{b}\) বা \(a\lt{b}\)
\(\Rightarrow a-b\lt{0}\)
\(\therefore a-b\lt{0} ....(1)\)
\(b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং পরস্পর অসমান হলে,
\(b\gt{c}\) বা \(b\lt{c}\)
\(\Rightarrow b-c\lt{0}\)
\(\therefore b-c\lt{0} ....(2)\)
এখন, \(a-b+b-c\lt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a-c\lt{0}\)
\(\Rightarrow a-c+c\lt{0+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a+(c-c)\lt{c}\)
\(\Rightarrow a+0\lt{c}\)
\(\therefore a\lt{c}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) এর জন্য
\(a+c\gt{b+c}\) এবং \(a-c\gt{b-c}\)
\(\Rightarrow a\gt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a+c\gt{b+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\therefore a+c\gt{b+c}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a\gt{b}\)
\(\Rightarrow a+(-c)\gt{b+(-c)}\) ➜ উভয় পার্শে \((-c)\) যোগ করে,
\(\therefore a-c\gt{b-c}\)
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) এর জন্য
\(a+c\gt{b+c}\) এবং \(a-c\gt{b-c}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) হলে, \(\Rightarrow a\gt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a+c\gt{b+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\therefore a+c\gt{b+c}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a\gt{b}\)
\(\Rightarrow a+(-c)\gt{b+(-c)}\) ➜ উভয় পার্শে \((-c)\) যোগ করে,
\(\therefore a-c\gt{b-c}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) এর জন্য
\(a+c\lt{b+c}\) এবং \(a-c\lt{b-c}\)
\(\Rightarrow a\lt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a+c\lt{b+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\therefore a+c\lt{b+c}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a\lt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a+(-c)\lt{b+(-c)}\) ➜ উভয় পার্শে \((-c)\) যোগ করে,
\(\therefore a-c\lt{b-c}\)
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) এর জন্য
\(a+c\lt{b+c}\) এবং \(a-c\lt{b-c}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) হলে, \(\Rightarrow a\lt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a+c\lt{b+c}\) ➜ উভয় পার্শে \(c\) যোগ করে,
\(\therefore a+c\lt{b+c}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a\lt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow a+(-c)\lt{b+(-c)}\) ➜ উভয় পার্শে \((-c)\) যোগ করে,
\(\therefore a-c\lt{b-c}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{d}\) এর জন্য
\(a+c\gt{b+d}\)
ধরি, \(a\gt{b} ......(1)\)
এবং \(c\gt{d} ......(2)\)
\(\Rightarrow a+c\gt{b+d}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\therefore a+c\gt{b+d}\)
সকল \(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{d}\) এর জন্য
\(a+c\gt{b+d}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{d}\) হলে, ধরি, \(a\gt{b} ......(1)\)
এবং \(c\gt{d} ......(2)\)
\(\Rightarrow a+c\gt{b+d}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\therefore a+c\gt{b+d}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{0}\) এর জন্য
\(ac\gt{bc}\) এবং \(\frac{a}{c}\gt{\frac{b}{c}}\)
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(c\gt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(c\gt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).c\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.c-b.c\gt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc\gt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc+bc\gt{0+bc}\) ➜ উভয় পার্শে \(bc\) যোগ করে,
\(\Rightarrow ac+(bc-bc)\gt{bc}\)
\(\Rightarrow ac+0\gt{bc}\)
\(\therefore ac\gt{bc}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{c}\gt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(\frac{1}{c}\gt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).\frac{1}{c}\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.\frac{1}{c}-b.\frac{1}{c}\gt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}\gt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\gt{0+\frac{b}{c}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{b}{c}\) যোগ করে,
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}-\frac{b}{c}\right)\gt{\frac{b}{c}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+0\gt{\frac{b}{c}}\)
\(\therefore \frac{a}{c}\gt{\frac{b}{c}}\)
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{0}\) এর জন্য
\(ac\gt{bc}\) এবং \(\frac{a}{c}\gt{\frac{b}{c}}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{0}\) হলে, \(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(c\gt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(c\gt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).c\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.c-b.c\gt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc\gt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc+bc\gt{0+bc}\) ➜ উভয় পার্শে \(bc\) যোগ করে,
\(\Rightarrow ac+(bc-bc)\gt{bc}\)
\(\Rightarrow ac+0\gt{bc}\)
\(\therefore ac\gt{bc}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{c}\gt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(\frac{1}{c}\gt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).\frac{1}{c}\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.\frac{1}{c}-b.\frac{1}{c}\gt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}\gt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\gt{0+\frac{b}{c}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{b}{c}\) যোগ করে,
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}-\frac{b}{c}\right)\gt{\frac{b}{c}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+0\gt{\frac{b}{c}}\)
\(\therefore \frac{a}{c}\gt{\frac{b}{c}}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\lt{0}\) এর জন্য
\(ac\lt{bc}\) এবং \(\frac{a}{c}\lt{\frac{b}{c}}\)
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(c\lt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(c\lt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).c\lt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.c-b.c\lt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc\lt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc+bc\lt{0+bc}\) ➜ উভয় পার্শে \(bc\) যোগ করে,
\(\Rightarrow ac+(bc-bc)\lt{bc}\)
\(\Rightarrow ac+0\lt{bc}\)
\(\therefore ac\lt{bc}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{c}\lt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(\frac{1}{c}\lt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).\frac{1}{c}\lt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.\frac{1}{c}-b.\frac{1}{c}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\lt{0+\frac{b}{c}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{b}{c}\) যোগ করে,
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}-\frac{b}{c}\right)\lt{\frac{b}{c}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+0\lt{\frac{b}{c}}\)
\(\therefore \frac{a}{c}\lt{\frac{b}{c}}\)
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\lt{0}\) এর জন্য
\(ac\lt{bc}\) এবং \(\frac{a}{c}\lt{\frac{b}{c}}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\lt{0}\) হলে, \(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(c\lt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(c\lt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).c\lt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.c-b.c\lt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc\lt{0}\)
\(\Rightarrow ac-bc+bc\lt{0+bc}\) ➜ উভয় পার্শে \(bc\) যোগ করে,
\(\Rightarrow ac+(bc-bc)\lt{bc}\)
\(\Rightarrow ac+0\lt{bc}\)
\(\therefore ac\lt{bc}\)
আবার, \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow a-b\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{c}\lt{0}\)
ধরি, \(a-b\gt{0} ......(1)\)
এবং \(\frac{1}{c}\lt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow (a-b).\frac{1}{c}\lt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\Rightarrow a.\frac{1}{c}-b.\frac{1}{c}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\lt{0+\frac{b}{c}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{b}{c}\) যোগ করে,
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}-\frac{b}{c}\right)\lt{\frac{b}{c}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{c}+0\lt{\frac{b}{c}}\)
\(\therefore \frac{a}{c}\lt{\frac{b}{c}}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\) এর জন্য
\(ab\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{a}\lt{\frac{1}{b}}\)
ধরি, \(a\gt{0} ......(1)\)
এবং \(b\gt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow a.b\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\therefore ab\gt{0}\)
আবার, \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow ab\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\)
\(\therefore \frac{1}{ab}\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\)
এখন, \(a\gt{b}\)
\(\Rightarrow a.\frac{1}{ab}\gt{b.\frac{1}{ab}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{1}{ab}\) গুণ করে,
\(\Rightarrow \frac{1}{b}\gt{\frac{1}{a}}\)
\(\therefore \frac{1}{a}\lt{\frac{1}{b}}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\) এর জন্য
\(ab\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{a}\lt{\frac{1}{b}}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\) হলে, ধরি, \(a\gt{0} ......(1)\)
এবং \(b\gt{0} ........(2)\)
\(\Rightarrow a.b\gt{0}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(\therefore ab\gt{0}\)
আবার, \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\) হলে,
\(\Rightarrow ab\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\)
\(\therefore \frac{1}{ab}\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\)
এখন, \(a\gt{b}\)
\(\Rightarrow a.\frac{1}{ab}\gt{b.\frac{1}{ab}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{1}{ab}\) গুণ করে,
\(\Rightarrow \frac{1}{b}\gt{\frac{1}{a}}\)
\(\therefore \frac{1}{a}\lt{\frac{1}{b}}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\) এর জন্য
\(\frac{1}{a}\gt{\frac{1}{b}}\)
\(\Rightarrow ab\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\)
\(\therefore \frac{1}{ab}\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\)
এখন, \(a\lt{b}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{ab}\lt{\frac{b}{ab}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{1}{ab}\) গুণ করে,
\(\Rightarrow \frac{1}{b}\lt{\frac{1}{a}}\)
\(\therefore \frac{1}{a}\gt{\frac{1}{b}}\)
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a\ge{b}\) এবং \(a\le{b}\) কে দুর্বল অসমতা বলে। দুর্বল অসমতাও মৌলিক স্বীকার্য মেনে চলে।
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\) এর জন্য
\(\frac{1}{a}\gt{\frac{1}{b}}\)
প্রমাণঃ
\(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\) হলে, \(\Rightarrow ab\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\)
\(\therefore \frac{1}{ab}\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\)
এখন, \(a\lt{b}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{ab}\lt{\frac{b}{ab}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\frac{1}{ab}\) গুণ করে,
\(\Rightarrow \frac{1}{b}\lt{\frac{1}{a}}\)
\(\therefore \frac{1}{a}\gt{\frac{1}{b}}\)
\(a\ge{b}\) এবং \(a\le{b}\) কে দুর্বল অসমতা বলে। দুর্বল অসমতাও মৌলিক স্বীকার্য মেনে চলে।
স্বীকার্যঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a^2\ge{0}\)
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a^2\ge{0}\)
ব্যবধি
Interval
ব্যবধিঃ বাস্তব সংখ্যার বিশেষ ধরনের সেটকে ব্যবধি (Interval) বলা হয়। ব্যবধি দুই প্রকার।
যেমনঃ
সসীম ব্যবধি (Finite Interval)
অসীম ব্যবধি (Infinite Interval)
যেমনঃ
সসীম ব্যবধি (Finite Interval)
অসীম ব্যবধি (Infinite Interval)
সসীম ব্যবধি
Finite Interval
সসীম ব্যবধিঃ \(a\) ও \(b\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a\lt{b}\) হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে সসীম ব্যবধি (Finite Interval) বলে।
খোলা ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ও \(b\) ব্যতীত এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে খোলা ব্যবধি (Open Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \((a, b)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\lt{x}\lt{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
খোলা ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ও \(b\) ব্যতীত এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে খোলা ব্যবধি (Open Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \((a, b)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\lt{x}\lt{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
বদ্ধ ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ও \(b\) সহ এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে বদ্ধ ব্যবধি (Closed Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \([a, b]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\le{x}\le{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
গাণিতিকভাবেঃ \([a, b]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\le{x}\le{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
বদ্ধ-খোলা ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) সহ এবং \(b\) ব্যতীত এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে বদ্ধ-খোলা ব্যবধি (Closed-Open Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \([a, b)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\le{x}\lt{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
গাণিতিকভাবেঃ \([a, b)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\le{x}\lt{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
খোলা-বদ্ধ ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ব্যতীত এবং \(b\) সহ এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে খোলা-বদ্ধ ব্যবধি (Open-closed Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \((a, b]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\lt{x}\le{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
গাণিতিকভাবেঃ \((a, b]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\lt{x}\le{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
অসীম ব্যবধি
Infinite Interval
অসীম ব্যবধিঃ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা \(a\) হলে, \(a\) এর চেয়ে বড় ; কিংবা \(a\) এর চেয়ে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে অসীম ব্যবধি (Infinite Interval) বলা হয়। সুতরাং বিন্দু \(a\) বিশিষ্ট চারটি অসীম ব্যবধি রয়েছে। যেমনঃ
বামে খোলা ডানে অসীম ব্যবধিঃ \((a, \infty)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\gt{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
বামে খোলা ডানে অসীম ব্যবধিঃ \((a, \infty)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\gt{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
বামে বদ্ধ ডানে অসীম ব্যবধিঃ \([a, \infty)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\ge{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
সংখ্যারেখাঃ
বামে অসীম ডানে খোলা ব্যবধিঃ \((-\infty, a)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\lt{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
সংখ্যারেখাঃ
বামে অসীম ডানে বদ্ধ ব্যবধিঃ \((-\infty, a]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\le{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ
সংখ্যারেখাঃ
বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতা ধর্ম
Property of completeness of \(\mathbb{R}\)
ঊর্ধেব সীমিত সেটঃ বাস্তব সংখ্যার কোনো সেট \(S\) কে ঊর্ধেব সীমিত (Bounded above) বলা হয়; যদি একটি বাস্তব সংখ্যা \(M\) থাকে যেন তা একটি বাস্তব সংখ্যার অশূন্য (Non empty) উপসেট \(S\) এর যেকোনো উপাদানের সমান অথবা \(S\) এর যেকোনো উপাদান অপেক্ষা বৃহত্তর হয় (অর্থাৎ সকল \(s\in{S}\) এর জন্য \(M\ge{s}\)) তাহলে \(M\) হলো \(S\) উপসেটের একটি ঊর্ধবসীমা। \(M\) এর চেয়ে বড় যেকোনো সংখ্যা \(S\) এর একটি ঊর্ধবসীমা।
যেমনঃ \(S=\left\{... ...., -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3\right\}\) একটি ঊর্ধেব সীমিত সেট। \(3, \ 4, \ 5, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির ঊর্ধবসীমা।
যেমনঃ \(S=\left\{... ...., -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3\right\}\) একটি ঊর্ধেব সীমিত সেট। \(3, \ 4, \ 5, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির ঊর্ধবসীমা।
ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমাঃ ঊর্ধেব সীমিত সেটের ঊর্ধবসীমাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতমটিকে ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা (Supremum or Least Supper Bound) বা লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা বলে। \(S\) এর ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমাকে \(\left(Sup(S)\right)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{... ...., -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3\right\}\) একটি ঊর্ধেব সীমিত সেট। \(3, \ 4, \ 5, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির ঊর্ধবসীমা।
এখানে ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা \(3\) ।
সুতরাং \(Sup(S)=3\)।
যেমনঃ \(S=\left\{... ...., -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3\right\}\) একটি ঊর্ধেব সীমিত সেট। \(3, \ 4, \ 5, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির ঊর্ধবসীমা।
এখানে ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা \(3\) ।
সুতরাং \(Sup(S)=3\)।
নিম্নে সীমিত সেটঃ বাস্তব সংখ্যার কোনো সেট \(S\) কে নিম্নে সীমিত (Bounded below) বলা হয়; যদি একটি বাস্তব সংখ্যা \(m\) থাকে যেন তা একটি বাস্তব সংখ্যার উপসেট \(S\) এর যেকোনো উপাদানের সমান অথবা \(S\) এর যেকোনো উপাদান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয় (অর্থাৎ সকল \(p\in{S}\) এর জন্য \(m\ge{p}\)) তাহলে \(m\) হলো \(S\) উপসেটের একটি নিম্নসীমা। \(m\) এর চেয়ে ছোট যেকোনো সংখ্যা \(S\) এর একটি নিম্নসীমা।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ .......\right\}\) একটি নিম্নে সীমিত সেট। \(2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2, \ -3, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির নিম্নসীমা।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ .......\right\}\) একটি নিম্নে সীমিত সেট। \(2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2, \ -3, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির নিম্নসীমা।
বৃহত্তম নিম্নসীমাঃ নিম্নে সীমিত সেটের নিম্নসীমাগুলোর মধ্যে বৃহত্তমটিকে বৃহত্তম নিম্নসীমা (Infimum or Greatest Lower Bound) বা গরিষ্ঠ নিম্নসীমা বলে। \(S\) এর বৃহত্তম নিম্নসীমাকে \(Inf(S)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ .......\right\}\) একটি নিম্নে সীমিত সেট। \(2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2, \ -3, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির নিম্নসীমা।
এখানে বৃহত্তম নিম্নসীমা \(2\) ।
সুতরাং \(Inf(S)=2\)।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ .......\right\}\) একটি নিম্নে সীমিত সেট। \(2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2, \ -3, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির নিম্নসীমা।
এখানে বৃহত্তম নিম্নসীমা \(2\) ।
সুতরাং \(Inf(S)=2\)।
সীমিত সেটঃ যদি বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেট \(S\) ঊর্ধেবসীমিত এবং নিম্নেসীমিত উভয় ধরনের হয়, তবে \(S\) কে সীমিত সেট (Bounded set) বলা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\right\}\) একটি সীমিত সেট।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\right\}\) একটি সীমিত সেট।
অসীমিত সেটঃ যে সেট সীমিত নয় তাকে অসীমিত সেট (Unbounded set) বলা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ .......\right\}\) একটি অসীমিত সেট।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ .......\right\}\) একটি অসীমিত সেট।
বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতা স্বীকার্য
Axioms of completeness of \(\mathbb{R}\)
বাস্তব সংখ্যার প্রত্যেক অশূন্য ঊর্ধেব সীমিত (Bounded above) উপসেট একটি (অনন্য) লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা বিদ্যমান যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
বাস্তব সংখ্যার প্রত্যেক অশূন্য নিম্নে সীমিত (Bounded below) উপসেট একটি (অনন্য) গরিষ্ঠ নিম্নসীমা বিদ্যমান যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
দ্রষ্টব্যঃ মূলদ সংখ্যার সেটে সম্পূর্ণতার ধর্ম খাটে না।
যেমনঃ ধরি, মূলদ সংখ্যার একটি উপসেট \(S=\left\{x\in{\mathbb{Q}}: x\lt{0} \text{ এবং} \ x^2\lt{2}\right\}\)।
যেহেতু \(1\in{S}\), সুতরাং \(S\) ফাঁকা সেট নয়।
যেহেতু \(2^2\gt{2}\)।
\(\therefore S\) একটি ঊর্ধেবসীমিত সেট।
অর্থাৎ \(S\) একটি অশূন্য ঊর্ধেবসীমিত সেট।
\(\therefore S\) এর লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা \(\sqrt{2},\) যা মূলদ সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ মূলদ সংখ্যার সেটে সম্পূর্ণতার ধর্ম খাটে না।
বাস্তব সংখ্যার প্রত্যেক অশূন্য নিম্নে সীমিত (Bounded below) উপসেট একটি (অনন্য) গরিষ্ঠ নিম্নসীমা বিদ্যমান যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
দ্রষ্টব্যঃ মূলদ সংখ্যার সেটে সম্পূর্ণতার ধর্ম খাটে না।
যেমনঃ ধরি, মূলদ সংখ্যার একটি উপসেট \(S=\left\{x\in{\mathbb{Q}}: x\lt{0} \text{ এবং} \ x^2\lt{2}\right\}\)।
যেহেতু \(1\in{S}\), সুতরাং \(S\) ফাঁকা সেট নয়।
যেহেতু \(2^2\gt{2}\)।
\(\therefore S\) একটি ঊর্ধেবসীমিত সেট।
অর্থাৎ \(S\) একটি অশূন্য ঊর্ধেবসীমিত সেট।
\(\therefore S\) এর লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা \(\sqrt{2},\) যা মূলদ সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ মূলদ সংখ্যার সেটে সম্পূর্ণতার ধর্ম খাটে না।
পরম মান
Absolute value
পরম মানঃ সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু (\(0\) নির্দেশক বিন্দু) এবং সংখ্যা নির্দেশক বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে সংখ্যাটির পরমমান (Absolute value) বলা হয়।
যেমনঃ সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে \(-4\) এর দূরত্ব \(4\) এবং \(4\) এর দূরত্ব \(4\) একক। অর্থাৎ \(-4\) এর পরমমান \(4\) এবং \(4\) এর পরমমান \(4\) ।
সংখ্যারেখাঃ
সুতরাং সকল ধনাত্মক সংখ্যার পরমমান সংখ্যাগুলির সমান, সকল ঋনাত্মক সংখ্যার পরমমান সংখ্যাগুলির বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট এবং \(0\) এর পরমমান \(0\)।
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা \(x\) এর পরমমান \(|x|\) দ্বারা সূচিত হয় এবং
\(|x|=\begin{cases} \ \ \ x, & \text{যখন} \ x\gt{0} \\ \ \ \ 0, & \text{যখন} \ x =0 \\-x, & \text{যখন} \ x \lt{0}\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(|x|=\begin{cases} \ \ \ x, & \text{যখন} \ x\ge{0} \\-x, & \text{যখন} \ x \lt{0}\end{cases}\)
অর্থাৎ শূন্য \((0)\) ব্যতীত সকল বাস্তব সংখ্যার পরমমান ধনাত্মক এবং শূন্য \((0)\) এর পরমমান শূন্য \((0)\) হবে।
সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|=\sqrt{x}\)
\(|x|^2=x^2\) যা \(x\) এর সকল ধ্নাত্মক, ঋনাত্মক ও শূন্যের জন্য সত্য।
\(\Rightarrow |x|=\pm\sqrt{x^2}\)
যেহেতু \(|x|\ge{0}\) কাজেই ঋনাত্মক মান বর্জন করে,
\(\therefore |x|=\sqrt{x^2}\)
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ যেকোনো বাস্তব সংখ্যার পরমমান শূন্য অপেক্ষা বৃহত্তর বা শূন্যের সমান।
যেমনঃ সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে \(-4\) এর দূরত্ব \(4\) এবং \(4\) এর দূরত্ব \(4\) একক। অর্থাৎ \(-4\) এর পরমমান \(4\) এবং \(4\) এর পরমমান \(4\) ।
সংখ্যারেখাঃ
সুতরাং সকল ধনাত্মক সংখ্যার পরমমান সংখ্যাগুলির সমান, সকল ঋনাত্মক সংখ্যার পরমমান সংখ্যাগুলির বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট এবং \(0\) এর পরমমান \(0\)।
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা \(x\) এর পরমমান \(|x|\) দ্বারা সূচিত হয় এবং
\(|x|=\begin{cases} \ \ \ x, & \text{যখন} \ x\gt{0} \\ \ \ \ 0, & \text{যখন} \ x =0 \\-x, & \text{যখন} \ x \lt{0}\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(|x|=\begin{cases} \ \ \ x, & \text{যখন} \ x\ge{0} \\-x, & \text{যখন} \ x \lt{0}\end{cases}\)
অর্থাৎ শূন্য \((0)\) ব্যতীত সকল বাস্তব সংখ্যার পরমমান ধনাত্মক এবং শূন্য \((0)\) এর পরমমান শূন্য \((0)\) হবে।
সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|=\sqrt{x}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,\(|x|^2=x^2\) যা \(x\) এর সকল ধ্নাত্মক, ঋনাত্মক ও শূন্যের জন্য সত্য।
\(\Rightarrow |x|=\pm\sqrt{x^2}\)
যেহেতু \(|x|\ge{0}\) কাজেই ঋনাত্মক মান বর্জন করে,
\(\therefore |x|=\sqrt{x^2}\)
পরম মানের বৈশিষ্ট্যসমূহ এবং এদের প্রমাণ
Properties of absolute value and its proof
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{0}\)
\(a=0\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=|0|\)
\(\therefore |a|=0 ......(1)\) ➜ \(\because |0|=0\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\gt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=a\)
\(\therefore |a|\gt{0} ......(2)\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=-a\)
আবার, \(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow -a\gt{0}\)
\(\therefore |a|\gt{0}\) যা \((2)\) এর অনুরূপ ➜ \(\because |a|=-a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(|a|\ge{0}\)
\(|a|\ge{0}\)
প্রমাণঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,\(a=0\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=|0|\)
\(\therefore |a|=0 ......(1)\) ➜ \(\because |0|=0\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\gt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=a\)
\(\therefore |a|\gt{0} ......(2)\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=-a\)
আবার, \(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow -a\gt{0}\)
\(\therefore |a|\gt{0}\) যা \((2)\) এর অনুরূপ ➜ \(\because |a|=-a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(|a|\ge{0}\)
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{a}\)
\(a\ge{0}\) হলে,
\(|a|=a ......(1)\) ➜ পরমমানের সংজ্ঞানুসারে,
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=-a\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow -a\gt{0}\)
\(\Rightarrow -a\gt{0}\gt{a}\)
\(\Rightarrow -a\gt{a}\)
\(\therefore |a|\gt{a} ......(2)\) ➜ \(\because |a|=-a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(|a|\ge{a}\)
\(|a|\ge{a}\)
প্রমাণঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,\(a\ge{0}\) হলে,
\(|a|=a ......(1)\) ➜ পরমমানের সংজ্ঞানুসারে,
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=-a\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow -a\gt{0}\)
\(\Rightarrow -a\gt{0}\gt{a}\)
\(\Rightarrow -a\gt{a}\)
\(\therefore |a|\gt{a} ......(2)\) ➜ \(\because |a|=-a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(|a|\ge{a}\)
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{-a}\)
\(a\ge{0}\) হলে,
\(|a|=a ......(1)\) ➜ পরমমানের সংজ্ঞানুসারে,
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\ge{0}\) হলে,
\(\Rightarrow -a\le{0}\)
\(\Rightarrow 0\ge{-a}\)
\(\Rightarrow a\ge{0}\ge{-a}\)
\(\therefore a\ge{-a} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(|a|\ge{-a} ......(3)\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\therefore |a|=-a .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(|a|\ge{-a}\)
\(|a|\ge{-a}\)
প্রমাণঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,\(a\ge{0}\) হলে,
\(|a|=a ......(1)\) ➜ পরমমানের সংজ্ঞানুসারে,
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\ge{0}\) হলে,
\(\Rightarrow -a\le{0}\)
\(\Rightarrow 0\ge{-a}\)
\(\Rightarrow a\ge{0}\ge{-a}\)
\(\therefore a\ge{-a} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(|a|\ge{-a} ......(3)\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\therefore |a|=-a .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(|a|\ge{-a}\)
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(-|a|\le{a}\le{|a|}\)
\(|a|\ge{a}\) হলে,
\(\therefore a\le{|a|} ......(1)\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{-a}\)
\(\therefore -|a|\le{a} ......(2)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(-|a|\le{a}\le{|a|}\)
\(-|a|\le{a}\le{|a|}\)
কুঃ ২০১১ ।
প্রমাণঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,\(|a|\ge{a}\) হলে,
\(\therefore a\le{|a|} ......(1)\)
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{-a}\)
\(\therefore -|a|\le{a} ......(2)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(-|a|\le{a}\le{|a|}\)
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|^2=a^2\) বা \(|a|=\sqrt{a^2}\)
\(a\gt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=a\)
\(\therefore |a|^2=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=-a\)
\(\therefore |a|^2=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,
\(\therefore |a|^2=a^2\)
\(\Rightarrow |a|=\pm\sqrt{a^2}\)
\(\therefore |a|=\sqrt{a^2}\) ➜ পরমমানের বর্গমূল ঋনাত্মক হতে পারে না,
\(|a|^2=a^2\) বা \(|a|=\sqrt{a^2}\)
প্রমাণঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,\(a\gt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=a\)
\(\therefore |a|^2=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,
আবার, সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(a\lt{0}\) হলে,
\(\Rightarrow |a|=-a\)
\(\therefore |a|^2=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,
\(\therefore |a|^2=a^2\)
\(\Rightarrow |a|=\pm\sqrt{a^2}\)
\(\therefore |a|=\sqrt{a^2}\) ➜ পরমমানের বর্গমূল ঋনাত্মক হতে পারে না,
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|ab|=|a||b|\)
সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |ab|^2=(ab)^2\) ➜ \(x\) এর পরিবর্তে \(ab\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow |ab|^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow |ab|^2=|a|^2|b|^2\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |ab|^2=\left(|a||b|\right)^2\)
\(\therefore |ab|=|a||b|\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
\(|ab|=|a||b|\)
সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯ ।
প্রমাণঃ
আমরা জানি,সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |ab|^2=(ab)^2\) ➜ \(x\) এর পরিবর্তে \(ab\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow |ab|^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow |ab|^2=|a|^2|b|^2\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |ab|^2=\left(|a||b|\right)^2\)
\(\therefore |ab|=|a||b|\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\)
সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\) ➜ \(x\) এর পরিবর্তে \(\frac{a}{b}\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\frac{|a|^2}{|b|^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\left(\frac{|a|}{|b|}\right)^2\)
\(\therefore \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
\(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\) ➜ \(x\) এর পরিবর্তে \(\frac{a}{b}\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\frac{|a|^2}{|b|^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow \left|\frac{a}{b}\right|^2=\left(\frac{|a|}{|b|}\right)^2\)
\(\therefore \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a+b|\le{|a|+|b|}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(ab\le{|ab|}\)
\(\Rightarrow ab\le{|a||b|}\) ➜ \(\because |ab|=|a||b|\)
\(\Rightarrow 2ab\le{2|a||b|}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow |a|^2+2ab+|b|^2\le{|a|^2+2|a||b|+|b|^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(|a|^2+|b|^2\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\le{|a|^2+2|a||b|+|b|^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow (a+b)^2\le{(|a|+|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\)
\(\Rightarrow |a+b|^2\le{(|a|+|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2=|x|^2\)
\(\therefore |a+b|\le{|a|+|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
\(|a+b|\le{|a|+|b|}\)
বঃ ২০১২,২০১০,২০০৬,২০০৩; কুঃ ২০১৪,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৫; ঢাঃ ২০১৩,২০০৮,২০০৬,২০০৪; রাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭,২০০৫,২০০৩; দিঃ ২০১২,২০১০; সিঃ ২০০৮,২০০২; যঃ ২০১৩,২০০৭,২০০৪,২০০১; মাঃ ২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৭,২০০৩ ।
প্রমাণঃ
আমরা জানি,সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(ab\le{|ab|}\)
\(\Rightarrow ab\le{|a||b|}\) ➜ \(\because |ab|=|a||b|\)
\(\Rightarrow 2ab\le{2|a||b|}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow |a|^2+2ab+|b|^2\le{|a|^2+2|a||b|+|b|^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(|a|^2+|b|^2\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\le{|a|^2+2|a||b|+|b|^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow (a+b)^2\le{(|a|+|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\)
\(\Rightarrow |a+b|^2\le{(|a|+|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2=|x|^2\)
\(\therefore |a+b|\le{|a|+|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a-b|\le{|a|+|b|}\)
\(|a-b|=|a+(-b)|\)
\(\Rightarrow |a-b|\le{|a|+|(-b)|}\) ➜ \(\because |a+b|\le{|a|+|b|}\)
\(\therefore |a-b|\le{|a|+|b|}\) ➜ \(\because |(-x)|=|x|\)
\(|a-b|\le{|a|+|b|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,\(|a-b|=|a+(-b)|\)
\(\Rightarrow |a-b|\le{|a|+|(-b)|}\) ➜ \(\because |a+b|\le{|a|+|b|}\)
\(\therefore |a-b|\le{|a|+|b|}\) ➜ \(\because |(-x)|=|x|\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a-b|\ge{|a|-|b|}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(ab\le{|ab|}\)
\(\Rightarrow ab\le{|a||b|}\) ➜ \(\because |ab|=|a||b|\)
\(\Rightarrow -2ab\ge{-2|a||b|}\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow |a|^2-2ab+|b|^2\ge{|a|^2-2|a||b|+|b|^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(|a|^2+|b|^2\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge{|a|^2-2|a||b|+|b|^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow (a-b)^2\ge{(|a|-|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow |a-b|^2\ge{\left||a|-|b|\right|^2}\) ➜ \(\because x^2=|x|^2\)
\(\therefore |a-b|\ge{|a|-|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
\(|a-b|\ge{||a|-|b||}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a+b|\le{|a|+|b|} .........(1)\)
আবার, \(|a|\le{|a-b+b|}\)
\(\Rightarrow |a|\le{|a-b|+|b|}\) ➜ \((1)\) হতে,
\(\because |a+b|\le{|a|+|b|}\)
\(\therefore |a|-|b|\le{|a-b|} ........(2)\)
আবার, \(|b|-|a|\le{|b-a|}\)
\(\Rightarrow |b|-|a|\le{|a-b|}\) ➜ \(\because |b-a|=|a-b|\)
\(\Rightarrow -(|b|-|a|)\ge{-|a-b|}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\(\Rightarrow -|b|+|a|\ge{-|a-b|}\)
\(\Rightarrow |a|-|b|\ge{-|a-b|}\)
\(\therefore -|a-b|\le{|a|-|b|} .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\Rightarrow -|a-b|\le{|a|-|b|}\le{|a-b|}\)
\(\Rightarrow \left||a|-|b|\right|\le{|a-b|}\) ➜ \(\because -p\le{x}\le{p}\)
\(\Rightarrow |x|\le{p}\)
\(\therefore |a-b|\ge{\left||a|-|b|\right|}\)
\(|a-b|\ge{|a|-|b|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(ab\le{|ab|}\)
\(\Rightarrow ab\le{|a||b|}\) ➜ \(\because |ab|=|a||b|\)
\(\Rightarrow -2ab\ge{-2|a||b|}\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow |a|^2-2ab+|b|^2\ge{|a|^2-2|a||b|+|b|^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(|a|^2+|b|^2\) যোগ করে,
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge{|a|^2-2|a||b|+|b|^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow (a-b)^2\ge{(|a|-|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow |a-b|^2\ge{\left||a|-|b|\right|^2}\) ➜ \(\because x^2=|x|^2\)
\(\therefore |a-b|\ge{|a|-|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a+b|\le{|a|+|b|} .........(1)\)
আবার, \(|a|\le{|a-b+b|}\)
\(\Rightarrow |a|\le{|a-b|+|b|}\) ➜ \((1)\) হতে,
\(\because |a+b|\le{|a|+|b|}\)
\(\therefore |a|-|b|\le{|a-b|} ........(2)\)
আবার, \(|b|-|a|\le{|b-a|}\)
\(\Rightarrow |b|-|a|\le{|a-b|}\) ➜ \(\because |b-a|=|a-b|\)
\(\Rightarrow -(|b|-|a|)\ge{-|a-b|}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\(\Rightarrow -|b|+|a|\ge{-|a-b|}\)
\(\Rightarrow |a|-|b|\ge{-|a-b|}\)
\(\therefore -|a-b|\le{|a|-|b|} .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\Rightarrow -|a-b|\le{|a|-|b|}\le{|a-b|}\)
\(\Rightarrow \left||a|-|b|\right|\le{|a-b|}\) ➜ \(\because -p\le{x}\le{p}\)
\(\Rightarrow |x|\le{p}\)
\(\therefore |a-b|\ge{\left||a|-|b|\right|}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a+b|\ge{|a|-|b|}\)
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|ab|\ge{-ab}\)
\(\Rightarrow -2|ab|\le{2ab}\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow |a|^2-2|ab|+|b|^2\le{|a|^2+2ab+|b|^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(|a|^2+|b|^2\) যোগ করে,
\(\Rightarrow |a|^2-2|a|.|b|+|b|^2\le{a^2+2ab+b^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge{|a|^2-2|a|.|b|+|b|^2}\)
\(\Rightarrow (a+b)^2\ge{(|a|-|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2+2xy+y^2=(x-y)^2\)
এবং \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow |a+b|^2\ge{\left||a|-|b|\right|^2}\) ➜ \(\because x^2=|x|^2\)
\(\therefore |a+b|\ge{|a|-|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
\(|a+b|\ge{|a|-|b|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|ab|\ge{-ab}\)
\(\Rightarrow -2|ab|\le{2ab}\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow |a|^2-2|ab|+|b|^2\le{|a|^2+2ab+|b|^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(|a|^2+|b|^2\) যোগ করে,
\(\Rightarrow |a|^2-2|a|.|b|+|b|^2\le{a^2+2ab+b^2}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge{|a|^2-2|a|.|b|+|b|^2}\)
\(\Rightarrow (a+b)^2\ge{(|a|-|b|)^2}\) ➜ \(\because x^2+2xy+y^2=(x-y)^2\)
এবং \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow |a+b|^2\ge{\left||a|-|b|\right|^2}\) ➜ \(\because x^2=|x|^2\)
\(\therefore |a+b|\ge{|a|-|b|}\) ➜ \(\because |x|^2=x^2\)
\(\Rightarrow |x|=x\)
সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(a\ge{0}\) এবং \(|x|\le{a}\) হলে,
\(-a\le{x}\le{a}\)
\(x\le{a} .......(1)\)
আবার, \(x\lt{0}\) এবং \(|x|\le{a}\)
\(\Rightarrow -x\le{a}\)
\(\Rightarrow x\ge{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\(\therefore -a\le{x} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(-a\le{x}\le{a}\)
সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(a\gt{0}\) এবং \(|x|\lt{a}\) হলে,
\(-a\lt{x}\lt{a}\)
\(x\lt{a} .......(1)\)
আবার, \(x\lt{0}\) এবং \(|x|\lt{a}\)
\(\Rightarrow -x\lt{a}\)
\(\Rightarrow x\gt{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\(\therefore -a\lt{x} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(-a\lt{x}\lt{a}\)
\(-a\le{x}\le{a}\)
প্রমাণঃ
\(x\ge{0}\) এবং \(|x|\le{a}\) হলে,\(x\le{a} .......(1)\)
আবার, \(x\lt{0}\) এবং \(|x|\le{a}\)
\(\Rightarrow -x\le{a}\)
\(\Rightarrow x\ge{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\(\therefore -a\le{x} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(-a\le{x}\le{a}\)
\(-a\lt{x}\lt{a}\)
প্রমাণঃ
\(x\gt{0}\) এবং \(|x|\lt{a}\) হলে,\(x\lt{a} .......(1)\)
আবার, \(x\lt{0}\) এবং \(|x|\lt{a}\)
\(\Rightarrow -x\lt{a}\)
\(\Rightarrow x\gt{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
\(\therefore -a\lt{x} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(-a\lt{x}\lt{a}\)
সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(|x|\ge{a}\) হলে,
\(x\le{-a}\) অথবা \(x\ge{a}\)
যেখানে, \(a\ge{0}\)
এখন, \(x\ge{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(x\ge{a}\)
আবার, \(x\lt{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(-x\ge{a}\)
\(\Rightarrow x\le{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
সুতরাং \(|x|\ge{a}\) হলে, \(x\le{-a}\) অথবা \(x\ge{a}\)
সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(|x|\gt{a}\) হলে,
\(x\lt{-a}\) অথবা \(x\gt{a}\)
যেখানে, \(a\gt{0}\)
এখন, \(x\gt{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(x\gt{a}\)
আবার, \(x\lt{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(-x\gt{a}\)
\(\Rightarrow x\lt{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
সুতরাং \(|x|\gt{a}\) হলে, \(x\lt{-a}\) অথবা \(x\gt{a}\)
\(x\le{-a}\) অথবা \(x\ge{a}\)
যেখানে, \(a\ge{0}\)
প্রমাণঃ
\(|x|\ge{a} .......(1)\)এখন, \(x\ge{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(x\ge{a}\)
আবার, \(x\lt{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(-x\ge{a}\)
\(\Rightarrow x\le{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
সুতরাং \(|x|\ge{a}\) হলে, \(x\le{-a}\) অথবা \(x\ge{a}\)
\(x\lt{-a}\) অথবা \(x\gt{a}\)
যেখানে, \(a\gt{0}\)
প্রমাণঃ
\(|x|\gt{a} .......(1)\)এখন, \(x\gt{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(x\gt{a}\)
আবার, \(x\lt{0}\) হলে,
\((1)\) নং হতে পাই,
\(-x\gt{a}\)
\(\Rightarrow x\lt{-a}\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে,
সুতরাং \(|x|\gt{a}\) হলে, \(x\lt{-a}\) অথবা \(x\gt{a}\)
এক চলক সম্বলিত অসমতা
Inequalities of one variable
এক চলক সম্বলিত অসমতারঃ এক চলক সম্বলিত বাক্য যার একটি রাশি অপর একটি রাশির চেয়ে ছোট অথবা বড়, ছোট বা সমান, বড় বা সমান অথবা কোনোটিই নয় এরূপ বাক্যকে এক চলক সম্বলিত অসমতা (Inequalities of one variable) বলে।
যেমনঃ \(x\gt{5}, \ x\lt{5}, \ x\ngtr{5}, \ x\nless{5}, \ x\ge{5}, \ x\le{5}, \ x\ngeq{5}, \ x\nleq{5}\) ইত্যাদি।
যৌগিক অসমতাঃ একাধিক বাক্য সমন্বিত অসমতাকে যৌগিক অসমতা (Compound inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(a\gt{x}\gt{b}\) একটি যৌগিক অসমতা।
কারণ এখানে একটি অসমতা \(a\gt{x}\) এবং অপরটি \(x\gt{b}\)।
যেমনঃ \(x\gt{5}, \ x\lt{5}, \ x\ngtr{5}, \ x\nless{5}, \ x\ge{5}, \ x\le{5}, \ x\ngeq{5}, \ x\nleq{5}\) ইত্যাদি।
যৌগিক অসমতাঃ একাধিক বাক্য সমন্বিত অসমতাকে যৌগিক অসমতা (Compound inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(a\gt{x}\gt{b}\) একটি যৌগিক অসমতা।
কারণ এখানে একটি অসমতা \(a\gt{x}\) এবং অপরটি \(x\gt{b}\)।
এক চলক সম্বলিত অসমতার সমাধান
Solution of inequalities with one variable
যে অসমতার মধ্যে কেবল একটি চলক বিধ্যমান তাকে এক চলক সম্বলিত অসমতা বলে। এক চলক সম্বলিত অসমতাকে দুই ভাগে বিভক্ত করা যায়।
শর্তাধীন অসমতাঃ যে সমস্ত অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য তাকে শর্তাধীন অসমতা (Conditional inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(x+5\gt{7}\) একটি শর্তাধীন অসমতা।
কারণ এটি কেবল \(x\gt{2}\) এর জন্য সত্য।
শর্তহীন অসমতাঃ যে সমস্ত অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য তাকে শর্তহীন অসমতা (Unconditional inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(x+5\gt{x}\) একটি শর্তহীন অসমতা।
কারণ এটি \(x\) এর প্রত্যেক মানের জন্য সত্য।
শর্তাধীন অসমতাঃ যে সমস্ত অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য তাকে শর্তাধীন অসমতা (Conditional inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(x+5\gt{7}\) একটি শর্তাধীন অসমতা।
কারণ এটি কেবল \(x\gt{2}\) এর জন্য সত্য।
শর্তহীন অসমতাঃ যে সমস্ত অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য তাকে শর্তহীন অসমতা (Unconditional inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(x+5\gt{x}\) একটি শর্তহীন অসমতা।
কারণ এটি \(x\) এর প্রত্যেক মানের জন্য সত্য।
এক চলক সম্বলিত দ্বিঘাত অসমতার সমাধান
Solution of quadratic inequality with one variable
\(a\gt{b}\) হলে, \((x-a)(x-b)\lt{0}, \ \frac{x-a}{x-b}\lt{0}, \ \frac{x-b}{x-a}\lt{0}\) এবং \(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\lt{0}\) এর সমাধানঃ
\(b\lt{x}\lt{a}\)
\(a\gt{b}\) এবং \((x-a)(x-b)\lt{0}\)
এখন, \((x-a)(x-b)\lt{0}\)
\(\Rightarrow x-a\gt{0}, \ x-b\lt{0}\) অথবা, \(x-a\lt{0}, \ x-b\gt{0}\)
\(\Rightarrow x\gt{a}, \ x\lt{b}\) অথবা, \(x\lt{a}, \ x\gt{b}\)
\(\Rightarrow x\lt{a}, \ x\gt{b}\) \(\because a\gt{b}\)
\(\Rightarrow x\lt{a}, \ b\lt{x}\)
\(\therefore b\lt{x}\lt{a}\)
\(a\gt{b}\) হলে, \((x-a)(x-b)\gt{0}, \ \frac{x-a}{x-b}\gt{0}, \ \frac{x-b}{x-a}\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\gt{0}\) এর সমাধানঃ
\(x\lt{b}\) অথবা \(x\gt{a}\)
\(a\gt{b}\) এবং \((x-a)(x-b)\gt{0}\)
এখন, \((x-a)(x-b)\gt{0}\)
\(\Rightarrow x-a\gt{0}, \ x-b\gt{0}\) অথবা, \(x-a\lt{0}, \ x-b\lt{0}\)
\(\Rightarrow x\gt{a}, \ x\gt{b}\) অথবা, \(x\lt{a}, \ x\lt{b}\)
\(\Rightarrow x\gt{a}\) অথবা, \(x\lt{b}\) \(\because a\gt{b}\)
\(\therefore x\lt{b}\) অথবা, \(x\gt{a}\)
\(b\lt{x}\lt{a}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\(a\gt{b}\) এবং \((x-a)(x-b)\lt{0}\)
এখন, \((x-a)(x-b)\lt{0}\)
\(\Rightarrow x-a\gt{0}, \ x-b\lt{0}\) অথবা, \(x-a\lt{0}, \ x-b\gt{0}\)
\(\Rightarrow x\gt{a}, \ x\lt{b}\) অথবা, \(x\lt{a}, \ x\gt{b}\)
\(\Rightarrow x\lt{a}, \ x\gt{b}\) \(\because a\gt{b}\)
\(\Rightarrow x\lt{a}, \ b\lt{x}\)
\(\therefore b\lt{x}\lt{a}\)
\(x\lt{b}\) অথবা \(x\gt{a}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\(a\gt{b}\) এবং \((x-a)(x-b)\gt{0}\)
এখন, \((x-a)(x-b)\gt{0}\)
\(\Rightarrow x-a\gt{0}, \ x-b\gt{0}\) অথবা, \(x-a\lt{0}, \ x-b\lt{0}\)
\(\Rightarrow x\gt{a}, \ x\gt{b}\) অথবা, \(x\lt{a}, \ x\lt{b}\)
\(\Rightarrow x\gt{a}\) অথবা, \(x\lt{b}\) \(\because a\gt{b}\)
\(\therefore x\lt{b}\) অথবা, \(x\gt{a}\)
লেখচিত্রের সাহায্যে এক চলক সম্বলিত দ্বিঘাত অসমতার সমাধান
Solution of quadratic inequality with one variable with the help of graph
লেখচিত্রের সাহায্যে এক চলক সম্বলিত দ্বিঘাত অসমতার সমাধানের জন্য নিচের ধাপগুলি অনুসরণীয়।
প্রথমে সংশ্লিষ্ট সমীকরণের সমাধান করতে হবে।
পরবর্তীতে দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
দ্রষ্টব্যঃ \(ax^2+bx+c=0\) এ \(a\gt{0}\) হলে, পরাবৃত্তের আকার হবে \(\cup\) এবং \(a\lt{0}\) হলে পরাবৃত্তের আকার হবে \(\cap\)
অসমতাটি ঋনাত্মক হলে, সমাধান হবে \(x\) অক্ষের সাথে পরাবৃত্তের ছেদকের মধ্যস্থ সরলরেখা এবং অসমতাটি ধনাত্মক হলে, সমাধান হবে \(x\) অক্ষের সাথে পরাবৃত্তের ছেদকের বাইরের সরলরেখাদ্বয়।
প্রথমে সংশ্লিষ্ট সমীকরণের সমাধান করতে হবে।
পরবর্তীতে দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
দ্রষ্টব্যঃ \(ax^2+bx+c=0\) এ \(a\gt{0}\) হলে, পরাবৃত্তের আকার হবে \(\cup\) এবং \(a\lt{0}\) হলে পরাবৃত্তের আকার হবে \(\cap\)
অসমতাটি ঋনাত্মক হলে, সমাধান হবে \(x\) অক্ষের সাথে পরাবৃত্তের ছেদকের মধ্যস্থ সরলরেখা এবং অসমতাটি ধনাত্মক হলে, সমাধান হবে \(x\) অক্ষের সাথে পরাবৃত্তের ছেদকের বাইরের সরলরেখাদ্বয়।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000009