যে কোনো সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ মূলবিন্দুগামী \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) নির্দেশ করে।
মনে করি, \(n\)-ঘাত সমীকরণটি
\(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^2+ ...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow x^n\left(a_{o}+a_{1}\frac{x^{n-1}}{x^n}y+a_{2}\frac{x^{n-2}}{x^n}y^2+ ...+a_{n-1}\frac{x}{x^n}y^{n-1}+a_{n}\frac{y^{n}}{x^n}\right)=0\)
\(\Rightarrow a_{o}+a_{1}\frac{1}{x}y+a_{2}\frac{1}{x^2}y^2+ ...+a_{n-1}\frac{1}{x^{n-1}}y^{n-1}+a_{n}\frac{y^{n}}{x^n}=0; \ \because x^n\ne{0}\)
\(\Rightarrow a_{o}+a_{1}\frac{y}{x}+a_{2}\frac{y^2}{x^2}+ ...+a_{n-1}\frac{y^{n-1}}{x^{n-1}}+a_{n}\frac{y^{n}}{x^n}=0\)
\(\Rightarrow a_{o}+a_{1}\frac{y}{x}+a_{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2+ ...+a_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)^{n-1}+a_{n}\left(\frac{y}{x}\right)^n=0\)
\(\therefore a_{n}\left(\frac{y}{x}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)^{n-1}+a_{n-2}\left(\frac{y}{x}\right)^{n-2}+ ...+a_{1}\left(\frac{y}{x}\right)+a_{o}=0 .....(ii)\)
\((ii)\) নং সমীকরণটি \(\frac{y}{x}\) এর \(n\) -ঘাত
\(\therefore \) এর \(n\) সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব বা কাল্পনিক ) ।
ধরি, মূলগুলি \(m_{1}, \ m_{2}, \ m_{2} .......m_{n}\)
\(\therefore (ii)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়,
\(a_{n}\left(\frac{y}{x}-m_{1}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{2}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{3}\right)....\left(\frac{y}{x}-m_{n}\right)=0\)
\(\Rightarrow \frac{a_{n}}{x^n}(y-m_{1}x)(y-m_{2}x)(y-m_{3}x)....(y-m_{n}x)=0\)
\(\Rightarrow (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)(y-m_{3}x)....(y-m_{n}x)=0; \ \frac{a_{n}}{x^n}\ne{0}\)
\(\therefore (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)(y-m_{3}x)....(y-m_{n}x)=0 ......(iii)\)
\(\therefore (iii)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\(...................\)
\(...................\)
\(y-m_{n}x=0 .....(n)\)
\(\therefore (i)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) প্রকাশ করে।

সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ মূলবিন্দুগামী এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ মূলবিন্দুগামী এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow bx^2\left(\frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2=0; \ \because b\ne{0}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{a}{b}=0 .....(ii)\)
\((ii)\) নং সমীকরণটি \(\frac{y}{x}\) এর দ্বিঘাত
\(\therefore (ii)\) এর \(2\) টি মূল আছে (বাস্তব বা কাল্পনিক ) ।
ধরি, মূলগুলি \(m_{1}, \ m_{2}\)
\(\therefore (ii)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়,
\(\left(\frac{y}{x}-m_{1}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{2}\right)=0\)
\(\therefore (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)=0 ......(iii)\) ➜ Note উভয় পার্শে \(x^2\) গুণ করে।
\(\therefore (iii)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\(\therefore (i)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী এক জোড়া সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) প্রকাশ করে।
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow ax^2+(2hy)x+by^2=0\)
ইহা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ,
\(\therefore x=\frac{-2hy\pm{\sqrt{(2hy)^2-4\times{a}\times{by^2}}}}{2a}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow x=\frac{-2hy\pm{\sqrt{4h^2y^2-4aby^2}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2hy\pm{\sqrt{4y^2(h^2-ab)}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2hy\pm{2y\sqrt{h^2-ab}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2(-hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}})}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}}}{a}\)
\(\Rightarrow ax=-hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}}\)
\(\Rightarrow ax+hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}}=0\)
\(\Rightarrow ax+hy+y\sqrt{h^2-ab}=0, \ ax+hy-y\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\therefore ax+y(h+\sqrt{h^2-ab})=0, \ ax+y(h-\sqrt{h^2-ab})=0\)
\(ax+y(h+\sqrt{h^2-ab})=0 .......(1)\)
\(ax+y(h-\sqrt{h^2-ab})=0 .......(2)\)
দুইটি সরলরেখার সমীকরণ যারা উভয় মূলবিন্দুগামী।

সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\) \(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow bx^2\left(\frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2=0; \ \because b\ne{0}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{a}{b}=0 .....(ii)\)
\((ii)\) নং সমীকরণটি \(\frac{y}{x}\) এর দ্বিঘাত
\(\therefore \) এর \(2\) টি মূল আছে (বাস্তব বা কাল্পনিক ) ।
ধরি, মূলগুলি \(m_{1}, \ m_{2}\)
\(\therefore (ii)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়,
\(\left(\frac{y}{x}-m_{1}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{2}\right)=0\)
\(\therefore (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)=0 ......(iii)\) ➜ Note উভয় পার্শে \(x^2\) গুণ করে।
\(\therefore (iii)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\((ii)\) নং সমীকরণ হতে,
মূলদ্বয়ের যোগফল \(m_{1}+m_{2}=-\frac{\frac{2h}{b}}{1}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয়,
\(\alpha, \ \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের যোগফল , \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(=-\frac{2h}{b}\)
\(\therefore m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(m_{1}m_{2}=\frac{\frac{a}{b}}{1}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয়,
\(\alpha, \ \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের গুণফল, \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

\(=\frac{a}{b}\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণ।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
যদি অক্ষ দ্বয় আয়তাকার হয় তবে রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\) ➜ Note \(y=m_{1}x+c_{1} .....(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} .....(2)\)
\((1)\) নং ও \((2)\) নং রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\)

\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}}{1+m_{1}m_{2}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{(-\frac{2h}{b})^2-4\frac{a}{b}}}{1+\frac{a}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}}{\frac{b+a}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}}{\frac{a+b}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{a+b}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}\times{\frac{b}{a+b}}}\right)}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের পরস্পর লম্ব ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত ।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের পরস্পর লম্ব ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত।
\(a+b=0\)
\(h^2=ab\)
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে, \(\theta=90^{o}\)
\(90^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{90^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\therefore a+b=0\)
ইহাই লম্ব হওয়ার শর্ত।
আবার,
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমাপতিত হয় তবে, \(\theta=0^{o}\)
\(0^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{0^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 0=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow h^2-ab=0\)
\(\therefore h^2=ab\)
ইহাই সমাপতিত হওয়ার শর্ত।

সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((1)\) ও \((2)\) অন্তর্ভুক্ত কোণের সম দ্বি খন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-m_{1}x}{\sqrt{1^2+m_{1}^2}}=\pm{\frac{y-m_{2}x}{\sqrt{1^2+m_{2}^2}}}\) ➜ Note \(\because a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\)
\(\because a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2}}=\pm{\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{(y-m_{1}x)^2}{1+m_{1}^2}=\frac{(y-m_{2}x)^2}{1+m_{2}^2}\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (y-m_{1}x)^2(1+m_{2}^2)=(y-m_{2}x)^2(1+m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow (y^2+m_{1}^2x^2-2m_{1}xy)(1+m_{2}^2)=(y^2+m_{2}^2x^2-2m_{2}xy)(1+m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow x^2(m_{1}^2+m_{1}^2m_{2}^2-m_{2}^2-m_{1}^2m_{2}^2)+y^2(1+m_{2}^2-1-m_{1}^2)\)\(=2xy(m_{1}+m_{1}m_{2}^2-m_{2}-m_{2}m_{1}^2)\)➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2\) এর সহগ একপার্শে এবং \(2xy\) এর সহগ অন্য পার্শে নেয়া হয়েছে।

\(\Rightarrow x^2(m_{1}^2-m_{2}^2)+y^2(m_{2}^2-m_{1}^2)=2xy(m_{1}+m_{1}m_{2}^2-m_{2}-m_{2}m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow x^2(m_{1}^2-m_{2}^2)-y^2(m_{1}^2-m_{2}^2)=2xy\{(m_{1}-m_{2})-m_{1}m_{2}(m_{1}-m_{2})\}\)
\(\Rightarrow (m_{1}^2-m_{2}^2)(x^2-y^2)=2xy(m_{1}-m_{2})(1-m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow (m_{1}+m_{2})(m_{1}-m_{2})(x^2-y^2)=2xy(m_{1}-m_{2})(1-m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow (m_{1}+m_{2})(x^2-y^2)=2xy(1-m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow -\frac{2h}{b}(x^2-y^2)=2xy(1-\frac{a}{b})\)
\(\Rightarrow -\frac{2h}{b}(x^2-y^2)=2xy\times{\frac{b-a}{b}}\)
\(\Rightarrow -h(x^2-y^2)=xy(b-a)\)
\(\Rightarrow \frac{-(x^2-y^2)}{b-a}=\frac{xy}{h}\)
\(\Rightarrow \frac{-(x^2-y^2)}{-(a-b)}=\frac{xy}{h}\)
\(\therefore \frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত।
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত।
\(\Delta\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0}\)
\(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0}\).
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
এগুলো থেকে \(l_{1}, \ l_{2}, \ m_{1}, \ m_{2}, \ n_{1}, \ n_{2}\) অপনয়ন করে আমরা নির্ণেয় শর্তটি পাব,
লিখা যায়,
\(\left|\begin{array}{c}l_{1} & l_{2} & 0\\ m_{1} & m_{2} & 0\\ n_{1} & n_{2} & 0\end{array}\right|\times{\left|\begin{array}{c}l_{2} & l_{1} & 0\\ m_{2} & m_{1} & 0\\ n_{2} & n_{1} & 0\end{array}\right|}=0\) ➜ Note উভয় নির্ণায়কের মান শূন্য।
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}l_{1}l_{2}+l_{2}l_{1}+0 & l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}+0 & l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}+0\\ l_{2}m_{1}+l_{1}m_{2}+0 & m_{1}m_{2}+m_{2}m_{1}+0 & m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}+0\\ l_{2}n_{1}+l_{1}n_{2}+0 & m_{2}n_{1}+m_{1}n_{2}+0 & n_{1}n_{2}+n_{2}n_{1}+0\end{array}\right|=0\) ➜ Note নির্ণায়কের গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}2l_{1}l_{2} & l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1} & l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}\\ l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1} & 2m_{1}m_{2} & m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}\\ l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1} & m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1} & 2n_{1}n_{2}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}2a & 2h & 2g\\ 2h & 2b & 2f\\ 2g & 2f & 2c\end{array}\right|=0\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)

\(\Rightarrow 2\times{2}\times{2}\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 8\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\therefore \triangle\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}=0\)
ইহাই সাধারণ দ্বি ঘাত সমীকরণটি দ্বারা একজোড়া সরলরেখা প্রকশ করার নির্ণেয় শর্ত
আবার, উপরোক্ত শর্তকে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করে লিখা যায়,
\(abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
যদি \(a\ne{0},\) তবে \((1)\) নং সমীকরণটি \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে সাজিয়ে লিখা যায়,
\(ax^2+2(hy+g)x+(by^2+2fy+c)=0\)
\(\therefore x=\frac{-2(hy+g)\pm{\sqrt{4(hy+g)^2-4a(by^2+2fy+c)}}}{2a}\)➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow x=\frac{-2(hy+g)\pm{2\sqrt{(hy+g)^2-a(by^2+2fy+c)}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2\{-(hy+g)\pm{\sqrt{h^2y^2+2hgy+g^2-aby^2-2afy-ac}}\}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(hy+g)\pm{\sqrt{(h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac}}}{a}\)
\(\Rightarrow ax=-(hy+g)\pm{\sqrt{(h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac}}\)
\(\therefore ax+hy+g=\pm{\sqrt{(h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac}} .......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি এর ডান পক্ষের
\((h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac\) রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হয়।
অর্থাৎ \(\{2(hg-af)\}^2-4(h^2-ab)(g^2-ac)=0\) হয়। ➜ Note \(\because ax^2+bx+c\) রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে,
যদি \( b^2-4ac=0\) হয়।

\(\Rightarrow 4(hg-af)^2-4(h^2-ab)(g^2-ac)=0\)
\(\Rightarrow 4\{(hg-af)^2-(h^2-ab)(g^2-ac)\}=0\)
\(\Rightarrow h^2g^2-2afgh+a^2f^2-(h^2g^2-ach^2-abg^2+a^2bc)=0\)
\(\Rightarrow h^2g^2-2afgh+a^2f^2-h^2g^2+ach^2+abg^2-a^2bc=0\)
\(\Rightarrow -2afgh+a^2f^2+ach^2+abg^2-a^2bc=0\)
\(\Rightarrow -a(abc+2fgh-af^2-ch^2-bg^2)=0\)
\(\Rightarrow abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0; \ \because a\ne{0}\)
\(\therefore abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
ইহাকে নির্ণায়কের সাহায্যে নিম্নরূপে লিখা যায়,
\(\triangle\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}=0\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশকারী এবং রেখা দুইটি \(x_{1}, y_{1}\) বিন্দুতে ছেদ করে। অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে \(x_{1}, y_{1}\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হলে নুতন অক্ষদ্বয়ের সাপেক্ষে \((1)\) নং সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ হবে,
\(a(x^{\prime}+x_{1})^2+2h(x^{\prime}+x_{1})(y^{\prime}+y_{1})+b(y^{\prime}+y_{1})^2\)\(+2g(x^{\prime}+x_{1})+2f(y^{\prime}+y_{1})+c=0\)
\(\therefore a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2+2(ax_{1}+hy_{1}+g)x^{\prime}\)\(+2(hx_{1}+by_{1}+f)y^{\prime}+ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0 ....(2)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শর্টকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে, \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) কে চলক ধরে \({x^{\prime}}^2, \ {y^{\prime}}^2, \ x^{\prime}y^{\prime}, \ x^{\prime}, \ y^{\prime}\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((2)\) নং সমীকরণটি নতুন মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে,
কাজেই এটা অবশ্যই \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ হবে।
সুতরাং, \((2)\) নং সমীকরণের
\(ax_{1}+hy_{1}+g=0 .....(3)\)
\(hx_{1}+by_{1}+f=0 .....(4)\)
\(ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0 .....(5)\)
\((5)\) হতে,
\(ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0\)
\(\Rightarrow x_{1}(ax_{1}+hy_{1}+g)+y_{1}(hx_{1}+by_{1}+f)+gx_{1}+fy_{1}+c=0\)
\(\Rightarrow x_{1}(0)+y_{1}(0)+gx_{1}+fy_{1}+c=0\) ➜ Note \(\because ax_{1}+hy_{1}+g=0 .....(3)\)
\(hx_{1}+by_{1}+f=0 .....(4)\)

\(\Rightarrow 0+0+gx_{1}+fy_{1}+c=0\)
\(\therefore gx_{1}+fy_{1}+c=0 .......(6)\)
এখন, \((3), \ (4)\) ও \((6)\) হতে \(x_{1}, \ y_{1}\) অপনয়ণ করে,
\(\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\therefore \triangle\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু।
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু।
\(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ করে,
\(\frac{\partial}{\partial{x}}(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c)=0\)
\(\Rightarrow a.2x+2hy.1+0+2g.1+0+0=0\)
\(\Rightarrow 2ax+2hy+2g=0\)
\(\Rightarrow 2(ax+hy+g)=0\)
\(\therefore ax+hy+g=0 .....(2)\)
আবার,
\(\frac{\partial}{\partial{y}}(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c)=0\)
\(\Rightarrow 0+2hx.1+b.2y+0+2f.1+0=0\)
\(\Rightarrow 2hx+2by+2f=0\)
\(\Rightarrow 2(hx+by+f)=0\)
\(\therefore hx+by+f=0 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে,
\(ax+hy+g=0\)
\(hx+by+f=0\)
\(\frac{x}{hf-bg}=\frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{hf-bg}=\frac{1}{ab-h^2}, \ \frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\therefore x=\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \ y=\frac{hg-af}{ab-h^2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ছেদবিন্দু \(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত।
\(\triangle\equiv\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
উপরোক্ত নির্ণায়কের প্রথম দুইটি সারির উপাদান গুলোকে সহগ হিসেবে নিয়ে গঠত সমীকরণদ্বয় নিম্নরূপঃ
\(ax+hy+g=0 .....(2)\)
\(hx+by+f=0 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{x}{hf-bg}=\frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{hf-bg}=\frac{1}{ab-h^2}, \ \frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\therefore x=\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \ y=\frac{hg-af}{ab-h^2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ছেদবিন্দু \(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
\((2)\) নং সমীকরণের ঢাল \(m_{1}=-\frac{l_{1}}{m_{1}}\) ➜ Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢল,
\(m=-\frac{a}{b}\)

\((3)\) নং সমীকরণের ঢাল \(m_{2}=-\frac{l_{2}}{m_{2}}\) ➜ Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢল,
\(m=-\frac{a}{b}\)

\((2)\) ও \((3)\) সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\) ➜ Note \(y=m_{1}x+c_{1} .....(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} .....(2)\)
\((1)\) নং ও \((2)\) নং রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\)

\(=\pm{\frac{-\frac{l_{1}}{m_{1}}+\frac{l_{2}}{m_{2}}}{1+\left(-\frac{l_{1}}{m_{1}}\right)\times{\left(-\frac{l_{2}}{m_{2}}\right)}}}\)
\(=\pm{\frac{\frac{l_{2}}{m_{2}}-\frac{l_{1}}{m_{1}}}{1+\frac{l_{1}l_{2}}{m_{1}m_{2}}}}\)
\(=\pm{\frac{\frac{l_{2}m_{1}-l_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}}}{\frac{m_{1}m_{2}+l_{1}l_{2}}{m_{1}m_{2}}}}\)
\(=\pm{\frac{l_{2}m_{1}-l_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}}\times{\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}+l_{1}l_{2}}}}\)
\(=\pm{\frac{l_{2}m_{1}-l_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}+l_{1}l_{2}}}\)
\(=\pm{\frac{\sqrt{(l_{2}m_{1}+l_{1}m_{2})^2-4l_{1}l_{2}m_{1}m_{2}}}{l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}}}\) ➜ Note \(\because a-b=\sqrt{(a+b)^2-4ab}\)
\(=\pm{\frac{\sqrt{(2h)^2-4\times{a}\times{b}}}{a+b}}\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)

\(=\pm{\frac{\sqrt{4h^2-4ab}}{a+b}}\)
\(=\pm{\frac{\sqrt{4(h^2-ab)}}{a+b}}\)
\(\therefore \tan{\theta}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\therefore \theta=\tan{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব, সমান্তরাল ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত।
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব, সমান্তরাল ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত।
\(a+b=0\)
\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}=\frac{ch}{f^2}\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি \(\theta=90^{o}\) হয়।
\(\therefore 90^{o}=\tan{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{90^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\therefore a+b=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি \(\theta=0^{o}\) হয়।
\(\therefore 0^{o}=\tan{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{0^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 0=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow h^2-ab=0\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore h^2=ab \Rightarrow h=\sqrt{ab}\)
যেহেতু সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে,
\(\triangle\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\)
\(\Rightarrow abc-ch^2+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(ab-h^2)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(ab-ab)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(0)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow 2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow -(af^2-2fgh+bg^2)=0\)
\(\Rightarrow af^2-2fg\sqrt{ab}+bg^2=0\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow (\sqrt{a}f)^2-2\sqrt{a}f.\sqrt{b}g+(\sqrt{b}g)^2=0\)
\(\Rightarrow (\sqrt{a}f-\sqrt{b}g)^2=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a}f-\sqrt{b}g=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a}f=\sqrt{b}g\)
\(\therefore \frac{g}{f}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a}{h}\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

আবার,
\(\frac{g}{f}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
\(=\frac{h}{b}\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

\(\therefore \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমাপতিত হবে যদি \(\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}, \ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}, \ \frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)
\(\Rightarrow l_{1}m_{2}=l_{2}m_{1}, \ m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}, \ l_{1}n_{2}=l_{2}n_{1}\)
\(\Rightarrow l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}=0, \ m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1}=0, \ l_{1}n_{2}-l_{2}n_{1}=0\)
\(\Rightarrow (l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1})^2=0, \ (m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1})^2=0, \ (l_{1}n_{2}-l_{2}n_{1})^2=0\)
\(\Rightarrow (l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})^2-4l_{1}l_{2}m_{1}m_{2}=0, \ (m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})^2-4m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}=0, \ (l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})^2-4l_{1}l_{2}n_{1}n_{2}=0\)
\(\Rightarrow (2h)^2-4ab=0, \ (2f)^2-4bc=0, \ (2g)^2-4ac=0\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)

\(\Rightarrow 4h^2-4ab=0, \ 4f^2-4bc=0, \ 4g^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 4h^2=4ab, \ 4f^2=4bc, \ 4g^2=4ac\)
\(\therefore h^2=ab, \ f^2=bc, \ g^2=ac ......(5)\)
আবার,
\(\triangle\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\)
\(\Rightarrow abc+2fgh-a.bc-b.ac-c.ab=0\) ➜ Note \(\because h^2=ab\)
\(f^2=bc\)
\(g^2=ac\)

\(\Rightarrow abc+2fgh-abc-abc-abc=0\)
\(\Rightarrow 2fgh-2abc=0\)
\(\Rightarrow 2fgh=2abc\)
\(\therefore fgh=abc\)
আবার,
\((5)\) নং কে লিখা যায়,
\(ch^2=abc, \ af^2=abc, \ bg^2=abc\)
\(\Rightarrow ch^2=fgh, \ af^2=fgh, \ bg^2=fgh\) ➜ Note\(\because fgh=abc\)
\(\Rightarrow ch=fg, \ af=gh, \ bg=fh\)
\(\Rightarrow \frac{ch}{f^2}=\frac{fg}{f^2}, \ \frac{a}{h}=\frac{g}{f}, \ \frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
\(\Rightarrow \frac{ch}{f^2}=\frac{g}{f}, \ \frac{a}{h}=\frac{g}{f}, \ \frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
\(\therefore \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}=\frac{ch}{f^2}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে তবে ঐ রেখা দুইটির সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুইটির সমীকরণ হবে।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\)
মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
এখন, \((1)\) ও \((4)\) এর সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(l_{1}x+m_{1}y=0 .....(5)\)
\(l_{2}x+m_{2}y=0 .....(6)\)
\((5)\times{(6)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y)(l_{2}x+m_{2}y)=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2=0\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy\) সম্বলিত রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\(\therefore ax^2+2hxy+by^2=0\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)

( প্রমাণিত )

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)
মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((i)\) নং সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে। রেখাদ্বয় \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করলে \((1)\) নং এর পরিবর্তিত রূপ হবে,
\(a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2=0 .......(2)\)
যা নতুন মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
যেখানে, \(x_{1}+x^{\prime}=x\)
\(\therefore x^{\prime}=x-x_{1}\)
এবং \(y_{1}+y^{\prime}=y\)
\(\therefore y^{\prime}=y-y_{1}\)
\((2)\) এর রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{{x^{\prime}}^2-{y^{\prime}}^2}{a-b}=\frac{x^{\prime}y^{\prime}}{h}\)➜ Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) এর রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\therefore \frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\) ➜ Note \(\because x^{\prime}=x-x_{1}\)
\(y^{\prime}=y-y_{1}\)

ইটাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সঞ্চারপথ এবং \(lx+my+n=0\) সরলরেখার ছেদবিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(ax^2+2hxy+by^2-\frac{2(gx+fy)(lx+my)}{n}+\frac{c(lx+my)^2}{n^2}=0\)
মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\(lx+my+n=0 ......(2)\)
আমরা জানি, \((1)\) নং সমীকরণটি শর্ত সাপেক্ষে (\(\triangle=0\)) একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে। এই বিশেষ ক্ষেত্র ছাড়া এটা সাধারণভাবে একটি বক্ররেখা ( বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত ) প্রকাশ করে। \((2)\) নং থেকে \(y\) এর মান নিয়ে তা \((1)\) নং এ বসালে আমরা \(x\) এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাব, যা থেকে \(x\) এর দুইটি মান পাওয়া যাবে। এর থেকে এটাই প্রমাণিত হয় যে, \((2)\) নং রেখাটি \((1)\) নং এর সঞ্চারপথকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\((2)\) থেকে \(lx+my=-n\)
\(\Rightarrow \frac{lx+my}{-n}=1\) এর সাহায্যে
\((1)\) নং কে \(x, \ y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+(2gx+2fy).1+c.1^2=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hxy+by^2+(2gx+2fy)\left(\frac{lx+my}{-n}\right)+c\left(\frac{lx+my}{-n}\right)^2=0\)
\(\therefore ax^2+2hxy+by^2-2(gx+fy)\left(\frac{lx+my}{n}\right)+\frac{c(lx+my)^2}{n^2}=0\)
এটা মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে। আবার \((1)\) ও \((2)\) এর উভয়কে সিদ্ধ করে এমন যে কোনো বিন্দুই এটাকে সিদ্ধ করবে। এর দ্বারা নির্দেশিত রেখাদ্বয় \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী।
\(\therefore \) ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

দুই জোড়া সরলরেখার ছেদবিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ।
\(\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}=\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}\) মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2+2g^{\prime}x+2f^{\prime}y+c^{\prime}=0 .......(2)\)
সমীকরণ দুইটি প্রত্যেক্যে একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে।
\((1)\) নং সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(ax+hy+g=0 .......(3)\)
এবং \(hx+by+f=0 .......(4)\)
কে সমাধান করে পাওয়া যায়।
\((2)\) নং সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(a^{\prime}x+h^{\prime}y+g^{\prime}=0 .......(5)\)
এবং \(h^{\prime}x+b^{\prime}y+f^{\prime}=0 .......(6)\)
কে সমাধান করে পাওয়া যায়।
সুতরাং নির্ণেয় সরলরেখাটি \((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু এবং \((5)\) ও \((6)\) এর ছেদবিন্দুগামী হবে।
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+hy+g+\lambda(hx+by+f)=0\)
\(\therefore (a+\lambda{h})x+(h+\lambda{b})y+(g+\lambda{f})=0 .....(7)\)
যদি এটা \((5)\) ও \((6)\) এর ছেদবিন্দুগামী হয়, তবে
\(\left|\begin{array}{c}a+\lambda{h} & h+\lambda{b} & g+\lambda{f}\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\lambda{h} & \lambda{b} & \lambda{f}\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|+\lambda\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|=0 .......(8)\)
\((8)\) থেকে \(\) এর মান \((7)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}=\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ দেওয়া আছে । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়
মনে করি, কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটি যথাক্রমে
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .........(3)\)
\((1)\), \((2)\), \((3)\) হতে \(x, y\) অপনয়ন করে পাই
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)
ধরি,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(x_{1},y_{1})\Rightarrow a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ........(4),\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 .........(5)\)
\((3)\) ও \((1)\) এর ছেদবিন্দু \(B(x_{2},y_{2})\Rightarrow a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}=0 ........(6),\)
\(a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}=0 ........(7) \)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(C(x_{3},y_{3})\Rightarrow a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}=0 ........(8),\)
\(a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}=0 ........(9) \)
এখন, \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right| \)
\(=\frac{1}{2}\frac{\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3} \\ a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}\\ a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \) ➜Note (4),(5),(6),(7),(8),(9) এর সাহায্যে
\(=\frac{(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2})(a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3})}{2\Delta} ..........(10)\)
ধরি,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=k_{1}\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}-k_{1}=0 ............. (11)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ............(12)\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 ............. (13)\)
\((11), (12), (13)\) হতে \(x_{1}, y_{1}\) অপনয়ন করে পাই ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}-k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{2} \ \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{3} \ \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ -k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}\left|\begin{array}{c}a_{2} \ \ \ \ b_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}C_{1}=0\) ➜Note \(C_{1}= \Delta \) নির্ণায়কে \( c_{1}\) এর সহগুণক।
\(\Rightarrow \Delta=k_{1}C_{1}\)
\(\Rightarrow k_{1}C_{1}=\Delta\)
\(\therefore k_{1}=\frac{\Delta}{C_{1}}\)
অনুরূপভাবে,
\(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}=k_{2}, \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}=k_{3} \) কল্পনা করে পাই
\(k_{2}=-\frac{\Delta}{C_{2}}, \ k_{3}=\frac{\Delta}{C_{3}}\) ➜Note \(C_{2}, C_{3}\) যথাক্রমে \(\Delta \) নির্ণায়কে \( c_{2},c_{3} \) এর সহগুণক।
এখন \((10)\) হতে পাই,
\(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\frac{\Delta}{C_{1}}\times -\frac{\Delta}{C_{2}}\times \frac{\Delta}{C_{3}}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=-\frac{\Delta^{3}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=\frac{\Delta^{2}}{2C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜Note \(\because \triangle \neq -ve\)

\(y-mx=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(y-y_{1}-m(x-x_{1})=0\)
ধরি,
\(y-mx=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-mx+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং রেখা \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী
\(\therefore y_{1}-mx_{1}+k=0\)
\(\Rightarrow k=mx_{1}-y_{1}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-mx+mx_{1}-y_{1}=0\)
\(\Rightarrow y-y_{1}-mx+mx_{1}=0\)
\(\therefore y-y_{1}-m(x-x_{1})=0\)
( প্রমাণিত )

\(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a(x-x_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(y-y_{1})^2=0\)
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(y-y_{1}-m_{1}(x-x_{1})=0 .......(4)\)
\(y-y_{1}-m_{2}(x-x_{1})=0 .......(5)\)
\((4)\times{(5)}\) এর সাহায্যে,
\(\{y-y_{1}-m_{1}(x-x_{1})\}\{y-y_{1}-m_{2}(x-x_{1})\}=0\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})^2-(m_{1}+m_{2})(x-x_{1})(y-y_{1})+m_{1}m_{2}(x-x_{1})^2=0\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})^2-\left(-\frac{2h}{b}\right)(x-x_{1})(y-y_{1})+\frac{a}{b}(x-x_{1})^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow b(y-y_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+a(x-x_{1})^2=0\)
\(\therefore a(x-x_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(y-y_{1})^2=0\)
( প্রমাণিত )

\(y-mx=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ym+x=0\)
ধরি,
\(y-mx=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের ঢাল \(=m\)
\((1)\) নং সমীকরণের উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\(-\frac{1}{m}\) ঢাল বিশিষ্ট মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(y=-\frac{1}{m}x\)
\(\Rightarrow my=-x\)
\(\therefore my+x=0\)
( প্রমাণিত )
বিঃদ্রঃ \((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসানো হলে, নির্ণেয় সমীকরণ \(my+x=0\) পাওয়া যায়।

\(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ay^2-2hxy+bx^2=0\)
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ym_{1}+x=0 .......(4)\)
\(ym_{2}+x=0 .......(5)\)
\((4)\times{(5)}\) এর সাহায্যে,
\((ym_{1}+x)(ym_{2}+x)=0\)
\(\Rightarrow m_{1}m_{2}y^2+(m_{1}+m_{2})xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}y^2+\left(-\frac{2h}{b}\right)xy+x^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{b}y^2-\frac{2h}{b}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow ay^2-2hxy+bx^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(b\) গুণ করে।
\(\therefore ay^2-2hxy+bx^2=0\)
( প্রমাণিত )
বিঃদ্রঃ \((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসানো হলে, নির্ণেয় সমীকরণ \(ay^2-2hxy+bx^2=0\) পাওয়া যায়।

\(y-mx=0\) রেখার উপর লম্ব এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\((y-y_{1})m+(x-x_{1})=0\)
ধরি,
\(y-mx=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে,
\(x+my=0.......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণের সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(x-x_{1}+m(y-y_{1})=0\)
\(\therefore (y-y_{1})m+(x-x_{1})=0\)
( প্রমাণিত )

\(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a(y-y_{1})^2-2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(x-x_{1})^2=0\)
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে,
\(ay^2-2hxy+bx^2=0.......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণের সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a(y-y_{1})^2-2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(x-x_{1})^2=0\)
\(x\) এর স্থানে \((x-x_{1})\) এবং \(y\) এর স্থানে \((y-y_{1})\) বসানো হয়েছে।
( প্রমাণিত )