বলের সামান্তরিক সুত্রঃ যদি কোন সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা কোন বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি বলের মান ও দিক সূচিত করা যায়, তাহলে সামান্তরিকের উক্ত বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী কর্ণ দ্বারা উক্ত বলদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক সূচিত হয়।
লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়ঃ মনে করি \(O\) বিন্দতে \(α\) কোণে ক্রিয়াশীল দুইটি বল \(P\) ও \(Q\) এর মান ও দিক যথাক্রমে \(OA\) এবং \(OB\) বাহু দ্বারা সূচিত হয়েছে। \(OACB\) সামান্তরিকটি অংকন করি। তাহলে বলের সামান্তরিক সুত্রানুসারে \(OC\) কর্ণটি ঐ বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) বলের মান ও দিক সূচিত করবে।
\((i)\) নং চিত্রে, \(OA\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(CD\) লম্ব অংকন করি।
এক্ষণে, \(OCD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে
\(OC^{2}=OD^{2}+CD^{2}\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA+AD\right\}^{2}+CD^{2}\)
\(\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA+AC.\frac{AD}{AC}\right\}^{2}+\left\{AC\frac{CD}{AC}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA+AC.\cos{\angle CAD}\right\}^{2}+\left\{AC.\sin{\angle CAD}\right\}^{2}\) ➜ Note\(OB\) ও \(AC\) রেখা সমান ও সমান্তরাল
\(\Rightarrow R^{2}=\left\{P+Q\cos{\alpha}\right\}^{2}+\left\{Q\sin{\alpha}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\cos^{2}{\alpha}+Q^{2}\sin^{2}{\alpha}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\left(\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}\right)\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(R\) যদি \(P\) এর দিকের সহিত \(θ\) কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ \(\angle COD=\theta\) হলে,
\(\tan\theta=\frac{CD}{OD}=\frac{CD}{OA+AD}\)
\(=\frac{AC.\frac{CD}{AC}}{OA+AC.\frac{AD}{AC}}\)
\(=\frac{Q\sin{\angle CAD}}{P+Q\cos{\angle CAD}}\)
\(=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\right)\) \((ii)\) নং চিত্রে, \(OA\) এর উপর \(CD\) লম্ব অংকন করি।
এক্ষণে, \(OCD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে
\(OC^{2}=OD^{2}+CD^{2}\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA-AD\right\}^{2}+CD^{2}\)
\(\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA-AC.\frac{AD}{AC}\right\}^{2}+\left\{AC\frac{CD}{AC}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA-AC.\cos{\angle CAD}\right\}^{2}+\left\{AC.\sin{\angle CAD}\right\}^{2}\) ➜ Note\(OB\) ও \(AC\) রেখা সমান ও সমান্তরাল
\(\Rightarrow R^{2}=\left\{P-Q\cos{(180^{o}-\alpha)}\right\}^{2}+\left\{Q\sin{(180^{o}-\alpha)}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=\left\{P+Q\cos{\alpha}\right\}^{2}+\left\{Q\sin{\alpha}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\cos^{2}{\alpha}+Q^{2}\sin^{2}{\alpha}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\left(\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}\right)\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}}\)
আবার,
\(\tan\theta=\frac{CD}{OD}=\frac{CD}{OA-AD}\)
\(=\frac{AC.\frac{CD}{AC}}{OA-AC.\frac{AD}{AC}}\)
\(=\frac{Q\sin{\angle CAD}}{P+Q\cos{\angle CAD}}\)
\(=\frac{Q\sin{(180^{o}-\alpha)}}{P+Q\cos{(180^{o}-\alpha)}}\)
\(=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\right)\)
অতএব লব্ধির মান ও দিক যথাক্রমে \(R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}}\) ও \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\right)\)
আবার,
যদি বল \(Q\) এর সাথে লব্ধি \(\beta\) কোন উৎপন্ন করে সেই ক্ষেত্রে লদ্ধির দিক হবে নিম্নুরুপ
\(\beta=\tan^{-1}\left(\frac{P\sin{\alpha}}{Q+P\cos{\alpha}}\right)\)
\((i)\) নং চিত্রে, \(OA\) এর বর্ধিতাংশের উপর অথবা \((ii)\) নং চিত্রে, \(OA\) এর উপর লম্ব অংকন করি।
এখন \((i)\) নং চিত্রে,\(AD=AC\frac{AD}{AC}=AC.\cos{\angle CAD}=Q\cos{\alpha}\) এবং \(CD=AC\frac{CD}{AC}=AC.\cos{\angle CAD}=Q\sin{\alpha}\)
\(\therefore OD=OA+AD=P+Q\cos{\alpha}\)
\((ii)\) নং চিত্রে,\(AD=AC\frac{AD}{AC}=AC.\cos{\angle CAD}=Q\cos{(180^{o}-\alpha)}=-Q\cos{\alpha}\)
\(\therefore OD=OA-AD=P+Q\cos{\alpha}\)
এবং \(CD=AC\frac{CD}{AC}=AC.\sin{\angle CAD}=Q\sin{(180^{o}-\alpha)}=Q\sin{\alpha}\) এক্ষণে, \(OCD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে
\(OC^{2}=OD^{2}+CD^{2} \Rightarrow OC^{2}=\left\{OA+AD\right\}^{2}+CD^{2}\) \(\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA+AC.\frac{AD}{AC}\right\}^{2}+\left\{AC\frac{CD}{AC}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow OC^{2}=\left\{OA+AC.\cos{\angle CAD}\right\}^{2}+\left\{AC.\sin{\angle CAD}\right\}^{2}\) ➜ Note\(OB\) ও \(AC\) রেখা সমান ও সমান্তরাল
\(\Rightarrow R^{2}=\left\{P+Q\cos{\alpha}\right\}^{2}+\left\{Q\sin{\alpha}\right\}^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\cos^{2}{\alpha}+Q^{2}\sin^{2}{\alpha}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\left(\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}\right)\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQ\cos{\alpha}+Q^{2}\)
\(\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(R\) যদি \(P\) এর দিকের সহিত \(θ\) কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ \(\angle COD=\theta\) হলে,
\(\tan\theta=\frac{CD}{OD}=\frac{CD}{OA+AD}\)
\(=\frac{AC.\frac{CD}{AC}}{OA+AC.\frac{AD}{AC}}\)
\(=\frac{Q\sin{\angle CAD}}{P+Q\cos{\angle CAD}}\)
\(=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\right)\)
অতএব লব্ধির মান ও দিক যথাক্রমে \(R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}}\) ও \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\right)\)
এখানে \(P, Q\) ও \(R\) বলতিনটির প্রত্যেকেই ভেক্টর এবং যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\) ও \(\overrightarrow{OC}\) দ্বারা সূচিত।
সুতরাং \(\triangle{OAC}\) হতে পাই , \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{Oc}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) ➜ Note\(OB\) ও \(AC\) রেখা সমান ও সমান্তরাল
\(\therefore \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{R}.\overrightarrow{R}=(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}).(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{R}.\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{P}+2\overrightarrow{P}.\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{Q}.\overrightarrow{Q}\)
\(\Rightarrow R^2=P^2+2PQ\cos{\alpha}+Q^2\) ➜ Note\(\because \overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}=v^2, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=uv\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow R^2=P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}\)
\(\therefore R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
যা বলদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করে।
আবার,
\(\overrightarrow{P}.\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}.(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q})\) ➜ Note\(\because \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)
\(\Rightarrow PR\cos{\theta}=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{P}+\overrightarrow{P}.\overrightarrow{Q}\)
\(\Rightarrow PR\cos{\theta}=P^2+PQ\cos{\alpha}\) ➜ Note\(\because \overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}=v^2, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=uv\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow PR\cos{\theta}=P(P+Q\cos{\alpha})\)
\(\therefore R\cos{\theta}=P+Q\cos{\alpha} ......(1)\) ➜ Note উভয় পার্শে \(P\) ভাগ করে।
এবং \(\overrightarrow{P}\times{\overrightarrow{R}}=\overrightarrow{P}\times{(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q})}\) ➜ Note\(\because \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{P}\times{\overrightarrow{R}}=\overrightarrow{P}\times{\overrightarrow{P}}+\overrightarrow{P}\times{\overrightarrow{Q}}\)
\(\Rightarrow \hat{n}PR\sin{\theta}=0+\hat{n}PQ\sin{\alpha}\) ➜ Note\(\because \overrightarrow{u}\times{\overrightarrow{v}}=\hat{n}uv\sin{\alpha}, \overrightarrow{v}\times{\overrightarrow{v}}=0\)
\(\Rightarrow \hat{n}PR\sin{\theta}=\hat{n}PQ\sin{\alpha}\)
\(\therefore R\sin{\theta}=Q\sin{\alpha} ......(2)\) ➜ Note উভয় পার্শে \(\hat{n}P\) ভাগ করে।
\((2)\div{(1)}\) এর সাহায্যে
\(\frac{R\sin{\theta}}{R\cos{\theta}}=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\right)\)
যা লব্ধির দিক নির্দেশ করে।

আমরা জানি \(R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{\alpha}}\)
লব্ধি বৃহত্তম হবে, যখন \(\alpha=0^{০} \)
বৃহত্তম লব্ধি \(R_{max}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{0^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ}\) ➜ Note\(\because \cos{0^{o}}=1\)
\(=\sqrt{(P+Q)^{2}}\)
\(=(P+Q)\)
লব্ধি ক্ষুদ্রতম হবে, যখন \(\alpha=180^{০} \)
ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(R_{min}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^{2}+Q^{2}-2PQ}\) ➜ Note\(\because \cos{180^{o}}=-1\)
\(=\sqrt{(P-Q)^{2}}\)
\(=(P-Q)\) ➜ Note\(p>Q\)
অতএব বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি যথাক্রমে,
\(R_{max}=P+Q\) ও \(R_{min}=P-Q\)

মনে করি, একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের মান ও দিক যথাক্রমে \(OAB\) ত্রিভুজের \(OA\) এবং \(AB\) বাহু দ্বারা সূচিত হল। তাহলে তাদের লব্ধির মান ও দিক বিপরীতক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু \(OB\) দ্বারা সূচিত হবে।
\(OABC\) সামান্তরিক অংকন করি। বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে \(OA\) এবং \(OC\) বাহু দ্বারা সূচিত বলদ্বয়ের লব্ধি \(OB\) দ্বারা সূচিত হবে। কিন্তু \(AB\) ও \(OC\) সমান ও সমান্তরাল বলে তারা একই বল সুচীত করে।
অতএব \(OA\) এবং \(AB\) বাহু দ্বারা সূচিত বলদ্বয়ের লব্ধি \(OB\) দ্বারা সূচিত হবে।
ভেক্টরের সাহায্যে \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)

মনে করি, একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল পাঁচটি বলের মান ও দিক যথাক্রমে ABCDEF বহুভুজের একইক্রমে গৃহীত \(AB,BC,CD,DE\) এবং \(EF\) বাহু দ্বারা সূচিত হল। তাহলে তাদের লব্ধির মান ও দিক বিপরীতক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু \(AF\) দ্বারা সূচিত হবে।
\(AC,AD,AE\) সংযুক্ত কুরি। বল সংযোজনের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে \(AB\) এবং \(BC\) দ্বারা সূচিত বলদ্বয়ের লব্ধি \(AC\) দ্বারা সূচিত হবে।
অনুরূপে \(AC\) এবং \(CD\) দ্বারা সূচিত বলদ্বয়ের লব্ধি \(AD\) দ্বারা সূচিত হবে। \(AD\) ও \(DE\) এর লব্ধি \(AE\) এবং \(AE\) ও \(EF\) এর লব্ধি \(AF\) দ্বারা সূচিত হবে। সুতরাং বলগুলোর সকলের লব্ধি \(AF\) দ্বারা সুচিত হবে।
ভেক্টরের সাহায্যে সুচিত করলে, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}\)

\(AB\) যোগ করি এবং এর উপর এমন একটি
\(C\) বিন্দু নেই যেন \(m.AC=n.BC\) হয়। \(OC\) যোগ করি; তাহলে বলগুলো একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল মনে করে ( বল সংযোজনের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে ) ভেক্টরের সাহায্যে \(OAC\) ত্রিভুজ থেকে, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\).
\(\Rightarrow m\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{OC}\) ........(i)
অনুরূপভাবে,
\(OBC\) ত্রিভুজ থেকে,\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\).
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{BC}=n\overrightarrow{OC}\) ........(ii)
\((i)\) এবং \((ii)\) যোগ করে,
\(\Rightarrow m\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{BC}=m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OC}\)
কিন্তু \(\overrightarrow{AC}\) ও \(n\overrightarrow{BC}\) বলদ্বয়ের মান সমান ও তারা বিপরীতমূখী বলে একে অপরের ক্রিয়া বিনাশ করে।
\(\therefore m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=(m+n)\overrightarrow{OC}\)
সুতরাং \(m\overrightarrow{OA}\) ও \(n\overrightarrow{OB}\) দ্বারা সূচিত বলদ্বয়ের লব্ধি \((m+n)\overrightarrow{OC}\) দ্বারা সূচিত হবে।

মনে করি, \(OA\) এবং \(OB\) রেখাদ্বয় যথাক্রমে \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়কে সূচিত করেছে। তাহলে \(OACB\) সামান্তরিকের \(OC\) কর্ণ দ্বারা তাদের লব্ধি \(R\) সূচিত হবে।
মনে করি, \(OX\) রেখাটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করে। \(OX\) এর উপর \(AL, BM, CN\) লম্ব টানি। তাহলে \(OX\) বরাবর \(P, Q, R\) বলের লম্বাংশ যথাক্রমে \(OL, OM, ON\) হবে।
প্রথম চিত্রে তারা সকলেই যোগবোধক এবং দ্বিতীয় চিত্রে, \(OM\) বিয়োগবোধক।
\(CN\) এর উপর \(AE\) লম্ব আঁকি। এক্ষণে \(OBM\) এবং \(CAE\) ত্রিভুজদ্বয়ের বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল এবং \(OB\) ও \(AC\) এর দৈর্ঘ্য সমান। অতএব \(OM=AE=LN.\) সুতরাং \(OX\) বরাবর \(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লম্বাংশের বীজগাণিতিক যোগফল,
পথম চিত্রে,
\(OL+OM\)
\(=OL+LN\)
\(=ON\)
\(=OX\) বরাবর লব্ধি R এর লম্বাংশ।
দ্বিতীয় চিত্রে,
\(OL-OM\)
\(=OL-LN\)
\(=ON\)
\(=OX\) বরাবর লব্ধি R এর লম্বাংশ।