এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- সমান্তরাল বল (Parallel Forces)
- চিত্রের সাহায্যে সমান্তরাল বল (Parallel force with the help of figure)
- দুইটি অসমান সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি (Resultant of Two Unequal Like Parallel Forces)
- দুইটি অসমান অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি (Resultant of Two Unequal Unlike Parallel Forces)
- প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী (Required formulas)
- অধ্যায় \(8C\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(8C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8C\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8C\) / \(Q.6\)- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
সমান্তরাল বল
Parallel Forces
দুই বা ততোধিক বলের ক্রিয়ারেখাগুলি পরস্পর সমান্তরাল হলে ঐ বলগুলিকে সমান্তরাল বল (Parallel Force) বলে। আবার দুইটি সমান্তরাল বল একই দিকে ক্রিয়া করলে তাদেরকে সদৃশ বা সমমুখী সমান্তরাল বল বলে এবং পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদেরকে বিসদৃশ বা বিপরীতমুখী বা অসদৃশ সমান্তরাল বল বলে।
চিত্রের সাহায্যে সমান্তরাল বল
Parallel force with the help of figure
সমান্তরাল বল
এখানে \(P, \ Q, \ R, \ S, \ R\) বলগুলি সমান্তরাল।
এখানে \(P, \ Q, \ R, \ S, \ R\) বলগুলি সমান্তরাল।
সদৃশ সমান্তরাল বল
এখানে \(P, \ Q\) বলদ্বয় সদৃশ সমান্তরাল।
এখানে \(P, \ Q\) বলদ্বয় সদৃশ সমান্তরাল।
বিসদৃশ সমান্তরাল বল
এখানে \(P, \ Q\) বলদ্বয় বিসদৃশ সমান্তরাল।
এখানে \(P, \ Q\) বলদ্বয় বিসদৃশ সমান্তরাল।
অসমান্তরাল বল
এখানে \(P, \ Q, \ R\) বলত্রয় অসমান্তরাল।
এখানে \(P, \ Q, \ R\) বলত্রয় অসমান্তরাল।
দুইটি অসমান সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি
Magnitude, Direction and Point of Action of the Resultant of Two Like Parallel Forces
দুইটি অসমান সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধির মান, দিক ও ক্রিয়াবিন্দু নির্ণয়ঃ 
ঢাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৬; রাঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৬; দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০; কুঃ ২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৫; চঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৩,২০১০,২০০৮,২০০৬; যঃ ২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; বঃ ২০১১,২০০৮,২০০৬; মাঃ ২০১২,২০১০
ধরি,
কোনো জড়বস্তুর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) ক্রিয়ারত। \(AL\) ও \(BM\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) ও \(Q\) বল দুইটিকে সূচিত করা হলো।
\(A, \ B\) যোগ করি এবং \(AB\) রেখাংশের \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(AB\) ও \(BA\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করি। এই বলদ্বয়কে মানে ও দিকে \(AD\) ও \(BE\) দ্বারা সূচিত করি। বলদুইটি পরস্পর সমান ও বিপরীতমুখী হওয়ায় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। \(ADHL\) এবং \(BEKM\) সামান্তরিকদ্বয় অঙ্কন করি।
\(A\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{1}\) এবং \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{2}\)।
তাহলে,
বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
কর্ণ \(AH\) ও কর্ণ \(BK\) দ্বারা যথাক্রমে \(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধিদ্বয় সূচিত হবে।
এখন, \(AH\) ও \(BK\) বর্ধিত করি, তারা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু দিয়ে \(AB\) এর সমান্তরাল \(XOX^{\prime}\) এবং \(AL\) বা \(BM\) এর সমান্তরাল করে \(OC\) রেখা অঙ্কন করি যেন তা \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধি বলদ্বয়ের ক্রিয়াবিন্দু \(A\) ও \(B\) হতে \(O\) বিন্দুতে স্থানান্তর করি। তাহলে \(O\) বিন্দুতে \(AO\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{1}\) বলকে \(AL\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(P\) বল এবং \(AD\) এর সমান্তরাল \(OX\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
অনুরূপভাবে, \(O\) বিন্দুতে \(BO\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{2}\) বলকে \(BM\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(Q\) বল এবং \(BE\) এর সমান্তরাল \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
\(O\) বিন্দুতে একই \(XOX^{\prime}\) রেখার \(OX\) ও \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়ারত হওয়ায় তারা পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে।
সুতরাং, কেবলমাত্র \(P\) ও \(Q\) বল দুইটির লব্ধি \((P+Q), \ CO\) বরাবর অর্থাৎ \(P\) ও \(Q\) এর সমান্তরাল দিকে \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
যেহেতু, \(AL\parallel{DH}\parallel{CO}\)
সুতরাং \(\triangle{ADH}\) ও \(\triangle{ACO}\) সদৃশ।
\(\frac{AC}{CO}=\frac{AD}{DH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{CO}=\frac{AD}{AL}=\frac{F}{P}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{CO}=\frac{F}{P}\)
\(\Rightarrow P.AC=F.CO .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ADH}\) ও \(\triangle{ACO}\) সদৃশ হতে,
\(\Rightarrow Q.BC=F.CO .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(P.AC=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{CB}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে অন্তস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
\(P.AC=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{P+Q}{BC+AC}\)
\(\therefore \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
অর্থাৎ প্রত্যেকটি বল অপর দুইটি বলের ক্রিয়া বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের সমানুপাতিক।
ঢাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৬; রাঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৬; দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০; কুঃ ২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৫; চঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৩,২০১০,২০০৮,২০০৬; যঃ ২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; বঃ ২০১১,২০০৮,২০০৬; মাঃ ২০১২,২০১০
ধরি,
কোনো জড়বস্তুর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) ক্রিয়ারত। \(AL\) ও \(BM\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) ও \(Q\) বল দুইটিকে সূচিত করা হলো।
\(A, \ B\) যোগ করি এবং \(AB\) রেখাংশের \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(AB\) ও \(BA\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করি। এই বলদ্বয়কে মানে ও দিকে \(AD\) ও \(BE\) দ্বারা সূচিত করি। বলদুইটি পরস্পর সমান ও বিপরীতমুখী হওয়ায় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। \(ADHL\) এবং \(BEKM\) সামান্তরিকদ্বয় অঙ্কন করি।
\(A\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{1}\) এবং \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{2}\)।
তাহলে,
বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
কর্ণ \(AH\) ও কর্ণ \(BK\) দ্বারা যথাক্রমে \(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধিদ্বয় সূচিত হবে।
এখন, \(AH\) ও \(BK\) বর্ধিত করি, তারা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু দিয়ে \(AB\) এর সমান্তরাল \(XOX^{\prime}\) এবং \(AL\) বা \(BM\) এর সমান্তরাল করে \(OC\) রেখা অঙ্কন করি যেন তা \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধি বলদ্বয়ের ক্রিয়াবিন্দু \(A\) ও \(B\) হতে \(O\) বিন্দুতে স্থানান্তর করি। তাহলে \(O\) বিন্দুতে \(AO\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{1}\) বলকে \(AL\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(P\) বল এবং \(AD\) এর সমান্তরাল \(OX\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
অনুরূপভাবে, \(O\) বিন্দুতে \(BO\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{2}\) বলকে \(BM\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(Q\) বল এবং \(BE\) এর সমান্তরাল \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
\(O\) বিন্দুতে একই \(XOX^{\prime}\) রেখার \(OX\) ও \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়ারত হওয়ায় তারা পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে।
সুতরাং, কেবলমাত্র \(P\) ও \(Q\) বল দুইটির লব্ধি \((P+Q), \ CO\) বরাবর অর্থাৎ \(P\) ও \(Q\) এর সমান্তরাল দিকে \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
যেহেতু, \(AL\parallel{DH}\parallel{CO}\)
সুতরাং \(\triangle{ADH}\) ও \(\triangle{ACO}\) সদৃশ।
\(\frac{AC}{CO}=\frac{AD}{DH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{CO}=\frac{AD}{AL}=\frac{F}{P}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{CO}=\frac{F}{P}\)
\(\Rightarrow P.AC=F.CO .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ADH}\) ও \(\triangle{ACO}\) সদৃশ হতে,
\(\Rightarrow Q.BC=F.CO .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(P.AC=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{CB}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে অন্তস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি, কোনো জড়বস্তুর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) ক্রিয়ারত। \(AL\) ও \(BM\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) ও \(Q\) বল দুইটিকে সূচিত করা হলো।
এখন, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) বলদ্বয় প্রয়োগ করি। এদের ক্রিয়ারেখা একই এবং মান পরস্পর সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী।
কাজেই \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=0\) এবং ে বলদ্বয় নির্ণেয় লব্ধিকে প্রভাবিত করবে না।
\(ABHL\) এবং \(BAKM\) সামান্তরিকদ্বয় এবং তাদের কর্ণ \(AH\) ও \(BK\) অঙ্কন করি। কর্ণদ্বয় \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(O\) বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত \(P\) ও \(Q\) বল দুইটির ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল রেখা \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\=0\)
\(=(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA})\)
\(=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BK}\) ➜ বল সামান্তরিক সূত্রানুসারে।
\(=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OK}\)
\(=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH})\)
এখন, বল ত্রিভুজের সূত্রানুসারে,
\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BM}=Q\) যা \(O\) বিন্দুতে \(BM\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
আবার, \(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AL}=P\) যা \(O\) বিন্দুতে \(AL\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
এখন, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(O\) হতে \(C\) তে স্থানান্তর করে,
\(R=P+Q\) যা \(C\) বিন্দুতে \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
\(\triangle{ABH}\) ও \(\triangle{AOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{CO} .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ABK}\) ও \(\triangle{BOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{CO} .......(2)\)
\((2)\div(1)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AB}{AC}}=\frac{\frac{AK}{CO}}{\frac{BH}{CO}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}\times\frac{AC}{AB}=\frac{AK}{CO}\times\frac{CO}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}\) ➜ \(\because AK=Q, \ BH=P\)
\(\therefore P.AC=Q.BC\)
\(\because \frac{AC}{CB}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে অন্তস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
অনুসিদ্ধান্তঃ \(P\) ও \(Q\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \(R=P+Q\) হলে,এখন, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) বলদ্বয় প্রয়োগ করি। এদের ক্রিয়ারেখা একই এবং মান পরস্পর সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী।
কাজেই \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=0\) এবং ে বলদ্বয় নির্ণেয় লব্ধিকে প্রভাবিত করবে না।
\(ABHL\) এবং \(BAKM\) সামান্তরিকদ্বয় এবং তাদের কর্ণ \(AH\) ও \(BK\) অঙ্কন করি। কর্ণদ্বয় \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(O\) বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত \(P\) ও \(Q\) বল দুইটির ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল রেখা \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\=0\)
\(=(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA})\)
\(=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BK}\) ➜ বল সামান্তরিক সূত্রানুসারে।
\(=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OK}\)
\(=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH})\)
এখন, বল ত্রিভুজের সূত্রানুসারে,
\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BM}=Q\) যা \(O\) বিন্দুতে \(BM\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
আবার, \(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AL}=P\) যা \(O\) বিন্দুতে \(AL\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
এখন, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(O\) হতে \(C\) তে স্থানান্তর করে,
\(R=P+Q\) যা \(C\) বিন্দুতে \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
\(\triangle{ABH}\) ও \(\triangle{AOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{CO} .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ABK}\) ও \(\triangle{BOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{CO} .......(2)\)
\((2)\div(1)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AB}{AC}}=\frac{\frac{AK}{CO}}{\frac{BH}{CO}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}\times\frac{AC}{AB}=\frac{AK}{CO}\times\frac{CO}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}\) ➜ \(\because AK=Q, \ BH=P\)
\(\therefore P.AC=Q.BC\)
\(\because \frac{AC}{CB}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে অন্তস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
\(P.AC=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{P+Q}{BC+AC}\)
\(\therefore \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
অর্থাৎ প্রত্যেকটি বল অপর দুইটি বলের ক্রিয়া বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের সমানুপাতিক।
দুইটি অসমান অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি
Magnitude, Direction and Point of Action of the Resultant of Two Unequal Unlike Parallel Forces
দুইটি অসমান অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধির মান, দিক ও ক্রিয়াবিন্দু নির্ণয়ঃ 
ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০১০,২০০৯,২০০৭,২০০৫; রাঃ ২০১৬,২০১৩,২০১০,২০০৯,২০০৭,২০০৫; দিঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৯; কুঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১,২০০৮,২০০৬; চঃ ২০১২,২০১০,২০০৫; সিঃ ২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; যঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; বঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; মাঃ ২০১৩,২০১১
ধরি,
কোনো জড়বস্তুর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) ক্রিয়ারত। \(AL\) ও \(BM\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) ও \(Q \ (P\gt{Q})\) বল দুইটিকে সূচিত করা হলো।
\(A, \ B\) যোগ করি এবং \(AB\) রেখাংশের \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(AB\) ও \(BA\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করি। এই বলদ্বয়কে মানে ও দিকে \(AD\) ও \(BE\) দ্বারা সূচিত করি। বলদুইটি পরস্পর সমান ও বিপরীতমুখী হওয়ায় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। \(ADHL\) এবং \(BEKM\) সামান্তরিকদ্বয় অঙ্কন করি।
\(A\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{1}\) এবং \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{2}\)।
তাহলে,
বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
কর্ণ \(AH\) ও কর্ণ \(BK\) দ্বারা যথাক্রমে \(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধিদ্বয় সূচিত হবে।
এখন, \(AH\) ও \(BK\) বর্ধিত করি, তারা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু দিয়ে \(AB\) এর সমান্তরাল \(XOX^{\prime}\) এবং \(AL\) বা \(BM\) এর সমান্তরাল করে \(OC\) রেখা অঙ্কন করি যেন তা বর্ধিত \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধি বলদ্বয়ের ক্রিয়াবিন্দু \(A\) ও \(B\) হতে \(O\) বিন্দুতে স্থানান্তর করি। তাহলে \(O\) বিন্দুতে \(AO\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{1}\) বলকে \(AL\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(P\) বল এবং \(AD\) এর সমান্তরাল \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
অনুরূপভাবে, \(O\) বিন্দুতে \(OB\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{2}\) বলকে \(BM\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(Q\) বল এবং \(BE\) এর সমান্তরাল \(OX\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
\(O\) বিন্দুতে একই \(XOX^{\prime}\) রেখার \(OX\) ও \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়ারত হওয়ায় তারা পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে।
সুতরাং, কেবলমাত্র \(P\) ও \(Q\) বল দুইটির লব্ধি \((P-Q)\) বলটি বৃহত্তর \(P\) বলের সাথে সমমুখী সমান্তরাল দিকে \(CO\) বরাবর \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হবে।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
যেহেতু, \(AL\parallel{DH}\parallel{CO}\)
সুতরাং \(\triangle{HLA}\) ও \(\triangle{ACO}\) সদৃশ।
\(\frac{CA}{OC}=\frac{LH}{AL}\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{OC}=\frac{AD}{AL}\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{OC}=\frac{F}{P}\)
\(\Rightarrow P.CA=F.OC .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{BCO}\) ও \(\triangle{BEK}\) সদৃশ হতে,
\(\Rightarrow Q.BC=F.CO .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(P.CA=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{BC}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে বহিস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
\(P.AC=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{P-Q}{BC-AC}\)
\(\therefore \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
অর্থাৎ প্রত্যেকটি বল অপর দুইটি বলের ক্রিয়া বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের সমানুপাতিক।
ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০১০,২০০৯,২০০৭,২০০৫; রাঃ ২০১৬,২০১৩,২০১০,২০০৯,২০০৭,২০০৫; দিঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৯; কুঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১,২০০৮,২০০৬; চঃ ২০১২,২০১০,২০০৫; সিঃ ২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; যঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; বঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; মাঃ ২০১৩,২০১১
ধরি,
কোনো জড়বস্তুর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) ক্রিয়ারত। \(AL\) ও \(BM\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) ও \(Q \ (P\gt{Q})\) বল দুইটিকে সূচিত করা হলো।
\(A, \ B\) যোগ করি এবং \(AB\) রেখাংশের \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(AB\) ও \(BA\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করি। এই বলদ্বয়কে মানে ও দিকে \(AD\) ও \(BE\) দ্বারা সূচিত করি। বলদুইটি পরস্পর সমান ও বিপরীতমুখী হওয়ায় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। \(ADHL\) এবং \(BEKM\) সামান্তরিকদ্বয় অঙ্কন করি।
\(A\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{1}\) এবং \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(F\) বলের লব্ধি \(R_{2}\)।
তাহলে,
বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
কর্ণ \(AH\) ও কর্ণ \(BK\) দ্বারা যথাক্রমে \(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধিদ্বয় সূচিত হবে।
এখন, \(AH\) ও \(BK\) বর্ধিত করি, তারা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু দিয়ে \(AB\) এর সমান্তরাল \(XOX^{\prime}\) এবং \(AL\) বা \(BM\) এর সমান্তরাল করে \(OC\) রেখা অঙ্কন করি যেন তা বর্ধিত \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(R_{1}\) ও \(R_{2}\) লব্ধি বলদ্বয়ের ক্রিয়াবিন্দু \(A\) ও \(B\) হতে \(O\) বিন্দুতে স্থানান্তর করি। তাহলে \(O\) বিন্দুতে \(AO\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{1}\) বলকে \(AL\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(P\) বল এবং \(AD\) এর সমান্তরাল \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
অনুরূপভাবে, \(O\) বিন্দুতে \(OB\) বরাবর ক্রিয়ারত \(R_{2}\) বলকে \(BM\) এর সমান্তরাল \(CO\) বরাবর \(Q\) বল এবং \(BE\) এর সমান্তরাল \(OX\) বরাবর \(F\) বলে বিভাজিত করা যায়।
\(O\) বিন্দুতে একই \(XOX^{\prime}\) রেখার \(OX\) ও \(OX^{\prime}\) বরাবর \(F\) মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়ারত হওয়ায় তারা পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে।
সুতরাং, কেবলমাত্র \(P\) ও \(Q\) বল দুইটির লব্ধি \((P-Q)\) বলটি বৃহত্তর \(P\) বলের সাথে সমমুখী সমান্তরাল দিকে \(CO\) বরাবর \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হবে।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
যেহেতু, \(AL\parallel{DH}\parallel{CO}\)
সুতরাং \(\triangle{HLA}\) ও \(\triangle{ACO}\) সদৃশ।
\(\frac{CA}{OC}=\frac{LH}{AL}\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{OC}=\frac{AD}{AL}\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{OC}=\frac{F}{P}\)
\(\Rightarrow P.CA=F.OC .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{BCO}\) ও \(\triangle{BEK}\) সদৃশ হতে,
\(\Rightarrow Q.BC=F.CO .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(P.CA=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{BC}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে বহিস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি, কোনো জড়বস্তুর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q, \ (P\gt{Q})\) ক্রিয়ারত। \(AL\) ও \(BM\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) ও \(Q\) বল দুইটিকে সূচিত করা হলো।
এখন, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) বলদ্বয় প্রয়োগ করি। এদের ক্রিয়ারেখা একই এবং মান পরস্পর সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী।
কাজেই \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=0\) এবং এ বলদ্বয় নির্ণেয় লব্ধিকে প্রভাবিত করবে না।
\(ABHL\) এবং \(BAKM\) সামান্তরিকদ্বয় এবং তাদের কর্ণ \(AH\) ও \(BK\) অঙ্কন করি। \(HA\) ও \(BK\) বর্ধিত করি, যেন তারা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার \(O\) বিন্দুতে প্রদত্ত বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল করে \(OC\) রেখা অঙ্কন করি যেন, তা বর্ধিত \(BA\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\=0\)
\(=(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA})\)
\(=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BK}\) ➜ বল সামান্তরিক সূত্রানুসারে।
\(=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{KO}\)
\(=(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH})+(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK})\)
এখন, বল ত্রিভুজের সূত্রানুসারে,
\(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AL}=P\) যা \(O\) বিন্দুতে \(BM\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
আবার, \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{BM}=Q\) যা \(O\) বিন্দুতে \(AL\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
এখন, \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলদুইটি একই রেখা বরাবর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় লব্ধির মান উহাদের বিয়োগফলের সমান।
\(R=P-Q\) যা \(C\) বিন্দুতে \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল। লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার \(C\) বিন্দুতে স্থানান্তর করে,
\(R=P-Q\) যা \(C\) বিন্দুতে \(CM\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
\(\triangle{ABH}\) ও \(\triangle{AOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{CO} .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ABK}\) ও \(\triangle{BOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{CO} .......(2)\)
\((2)\div(1)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AB}{AC}}=\frac{\frac{AK}{CO}}{\frac{BH}{CO}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}\times\frac{AC}{AB}=\frac{AK}{CO}\times\frac{CO}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{BM}{AL}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}\) ➜ \(\because BM=Q, \ AL=P\)
\(\therefore P.AC=Q.BC\)
\(\because \frac{AC}{CB}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে বহিস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
অনুসিদ্ধান্তঃ \(P\) ও \(Q \ (P\gt{Q})\) দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \(R=P-Q\) হলে,এখন, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) বলদ্বয় প্রয়োগ করি। এদের ক্রিয়ারেখা একই এবং মান পরস্পর সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী।
কাজেই \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=0\) এবং এ বলদ্বয় নির্ণেয় লব্ধিকে প্রভাবিত করবে না।
\(ABHL\) এবং \(BAKM\) সামান্তরিকদ্বয় এবং তাদের কর্ণ \(AH\) ও \(BK\) অঙ্কন করি। \(HA\) ও \(BK\) বর্ধিত করি, যেন তারা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার \(O\) বিন্দুতে প্রদত্ত বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল করে \(OC\) রেখা অঙ্কন করি যেন, তা বর্ধিত \(BA\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\=0\)
\(=(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA})\)
\(=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BK}\) ➜ বল সামান্তরিক সূত্রানুসারে।
\(=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{KO}\)
\(=(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH})+(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK})\)
এখন, বল ত্রিভুজের সূত্রানুসারে,
\(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AL}=P\) যা \(O\) বিন্দুতে \(BM\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
আবার, \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{BM}=Q\) যা \(O\) বিন্দুতে \(AL\) এর সমান্তরাল রেখা \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
এখন, \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলদুইটি একই রেখা বরাবর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় লব্ধির মান উহাদের বিয়োগফলের সমান।
\(R=P-Q\) যা \(C\) বিন্দুতে \(CO\) বরাবর ক্রিয়াশীল। লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার \(C\) বিন্দুতে স্থানান্তর করে,
\(R=P-Q\) যা \(C\) বিন্দুতে \(CM\) বরাবর ক্রিয়াশীল।
\(C\) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ঃ
\(\triangle{ABH}\) ও \(\triangle{AOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{CO} .......(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ABK}\) ও \(\triangle{BOC}\) সদৃশ।
\(\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{CO} .......(2)\)
\((2)\div(1)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AB}{AC}}=\frac{\frac{AK}{CO}}{\frac{BH}{CO}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}\times\frac{AC}{AB}=\frac{AK}{CO}\times\frac{CO}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BH}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{BM}{AL}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}\) ➜ \(\because BM=Q, \ AL=P\)
\(\therefore P.AC=Q.BC\)
\(\because \frac{AC}{CB}=\frac{Q}{P}\)
অতএব, \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাকে বহিস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।
\(P.AC=Q.BC\)
\(\Rightarrow \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{P-Q}{BC-AC}\)
\(\therefore \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
অর্থাৎ প্রত্যেকটি বল অপর দুইটি বলের ক্রিয়া বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের সমানুপাতিক।
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী
Required formulas
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) এর লব্ধি \(R\) এর ক্রিয়াবিন্দু \(C\) হলে,
\(P+Q=R\)
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q, \ (P\gt{Q})\) এর লব্ধি \(R\) এর ক্রিয়াবিন্দু \(C\) হলে,
\(P-Q=R\)
উভয় ক্ষেত্রে, \(P.AC=Q.BC\)
অনুসিদ্ধান্তঃ প্রত্যেকটি বল অপর দুইটি বলের ক্রিয়া বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের সমানুপাতিক।
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
সাইন সূত্রঃ
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
কোসাইন সূত্রঃ
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(P+Q=R\)
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q, \ (P\gt{Q})\) এর লব্ধি \(R\) এর ক্রিয়াবিন্দু \(C\) হলে,
\(P-Q=R\)
উভয় ক্ষেত্রে, \(P.AC=Q.BC\)
অনুসিদ্ধান্তঃ প্রত্যেকটি বল অপর দুইটি বলের ক্রিয়া বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের সমানুপাতিক।
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
সাইন সূত্রঃ
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
কোসাইন সূত্রঃ
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003