যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম
Linear Programming
Posted on September 22, 2022, 8:50 am By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
straight3
লিওনিড ভিতালিচিভ ক্যান্টোরোভিচ
Leonid Vitaliyevich Kantorovich
(১৯১২ খ্রিস্টাব্দ-১৯৮৬ খ্রিস্টাব্দ)
রাশিয়ান গণিতবিদ
লিনিয়ার প্রোগ্রামিং হল ইনপুট এবং আউটপুট সহ আন্তঃনির্ভর ক্রিয়াকলাপগুলি বেছে নেওয়ার একটি উপায়, যাতে কিছু মাত্রায় একটি সর্বোত্তম অর্জন করা যায় (যেমন, লাভ বা কল্যাণের কিছু সূচক)। মানবজীবনের সফলতার ক্ষেত্রে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) এর প্রয়োজনীয়তা অপরিসীম। একজন মানুষ যখন বুঝতে শেখে তখন থেকেই যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম ব্যবহার করে। যেমনঃ একটি শিশুর সামনে কিছু খেলনা রেখে এগুলি থেকে কিছু নিতে বলা হলে সে সর্বোচ্চ পরিমাণে খেলনা নিতে চাইবে। আবার তাকে যদি বলা হয়, এগুলি হতে কিছু খেলনা তোমার বোনকে দাও, তবে সে কমসংখ্যক খেলনা দিতে চাইবে। এভাবে, একজন কৃষক জমিতে চাষাবাদ করার সময় সে চায় বিভিন্ন শর্ত সাপেক্ষে সর্বোচ্চ পরিমাণ ফসল ফলাতে, আবার প্রাকৃতিক কারণে ফসল নষ্ট হলে সে চাইবে সর্বনিম্ন ক্ষতিতে তার ফসল ঘরে উঠাতে। এভাবে প্রতিটি মানুষেই সাধারণত সর্বনিম্ন পরিশম বা বিনিয়োগের বিনিময়ে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ পরিমাণ মুনাফা অর্জন করতে চায়। মানুষ মাত্রই এটি একটি সহজাত আকাঙ্ক্ষা। আবার, শিল্প কারখানার উৎপাদন ব্যবস্থায় কাঁচামাল, শ্রমিক এবং অন্যান্য দ্রব্যাদির সর্বনিম্ন কি পরিমাণ ব্যবহারের মাধ্যমে সর্বোচ্চ উৎপাদন সম্ভব হতে পারে এবং কম সময়ে স্বল্প পরিমাণ খরচে কিভাবে অধিক মুনাফা অর্জন করা যায়, তা একটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) সামাজিক ব্যবহারিক বিজ্ঞানে এবং ব্যবসায়িক পরিকল্পনার পরিমাণগত সিদ্ধান্তে কৌশলগতভাবে ব্যবহৃত হয়। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming)কে চরম সমাধানও (Linear Optimization) বলা হয়ে থাকে। কারণ যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) এমন একটি পদ্ধতি, যা কোনো ক্ষেত্র হতে সর্বোচ্চ পরিমাণ মুনাফার সম্ভাবনা নির্দেশ করে। এ প্রোগ্রামটি সর্বোনিম্ন পরিশ্রম বা বিনিয়োগের বিনিময়ে সর্বোচ্চ পরিমাণ মুনাফা অর্জন করতে শেখায়।
সর্বোপ্রথম জোসেফ ফরিয়ার (Joseph Fourier)straight3 জোসেফ ফরিয়ার (Joseph Fourier)
(১৭৬৮খ্রিস্টাব্দ-১৮৩০খ্রিস্টাব্দ)
জোসেফ ফুরিয়ার একজন ফরাসি গণিতবিদ এবং পদার্থবিদ যিনি ফুরিয়ার সিরিজ এবং তাপ স্থানান্তর এবং কম্পনের সমস্যাগুলির জন্য তাদের অ্যাপ্লিকেশনগুলির তদন্ত শুরু করার জন্য সর্বাধিক পরিচিত। ১৮২৭ খ্রিস্টাব্দে যোগাশ্রয়ী অসমতা (Linear Inequalities) সমাধান করার অভিপ্রায়ে একটি সমাধান পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন। পরবর্তীতে ১৯৩৯ খ্রিস্টাব্দে সোভিয়েত গণিতবিদ লিওনিড ভিতালিচিভ ক্যান্টোরোভিচ (Leonid Vitaliyevich Kantorovich) এবং আমেরিকান অর্থনীতিবিদ ওয়াসিলি লেওন্টিফ (Wassily Leontief) straight3ওয়াসিলি লেওন্টিফ (Wassily Leontief)
(১৯০৬ খ্রিস্টাব্দ-১৯৯৯ খ্রিস্টাব্দ)
লিওন্টিফ লেনিনগ্রাদ বিশ্ববিদ্যালয়ের (1921-25) এবং বার্লিন বিশ্ববিদ্যালয়ের (1925-28) ছাত্র ছিলেন। তিনি 1931 সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে অভিবাসিত হন, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়, কেমব্রিজ, ম্যাসাচুসেটসে 1931 থেকে 1975 সাল পর্যন্ত অধ্যাপনা করেন। 1948 থেকে 1975 সাল পর্যন্ত তিনি আমেরিকান অর্থনীতির কাঠামোর উপর হার্ভার্ড অর্থনৈতিক গবেষণা প্রকল্পের পরিচালক ছিলেন। 1975 থেকে মৃত্যুর আগ পর্যন্ত তিনি নিউইয়র্ক বিশ্ববিদ্যালয়ের অর্থনীতির অধ্যাপক ছিলেন। প্রথম গাণিতিক আকারে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) প্রকাশ করেন। আমেরিকান গণিতবিদ জর্জ বার্নার্ড ড্যান্টজিগ (George Bernard Dantzig) straight3জর্জ বার্নার্ড ড্যান্টজিগ (George Bernard Dantzig)
(১৯১৪ খ্রিস্টাব্দ-২০০৫ খ্রিস্টাব্দ)
1963 সালে প্রকাশিত একটি ক্লাসিক কাজে, লিনিয়ার প্রোগ্রামিং এবং এক্সটেনশন-এ ড্যান্টজিগ তার পদ্ধতিগুলি ব্যাখ্যা করেছিলেন। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধে যুদ্ধের কৌশলে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) ব্যবহার করেন। বিংশ শতাব্দীর নিত্যনতুন আবিষ্কার এবং পণ্য উৎপাদনের প্রতিযোগিতায় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) এর নতুন মাত্রা সূচীত হয়। শিল্প কারখানা, শিক্ষা প্রতিষ্ঠান, সামরিক-বেসামরিক প্রশাসনে, বৈজ্ঞানিক গবেষণায়, সাংখিক বিশ্লেষণে গণিতবিদ এবং অর্থনীতিবিদদের কাছে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) একটি অপরিহার্য মাধ্যম। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) বিজ্ঞানভিত্তিক পদ্ধতিতে কর্মদক্ষতা, উদ্দেশ্য ও কর্মপদ্ধতি নির্ধারণ করে নির্দিষ্ট লক্ষ এবং উদ্দেশ্য পূরণে সর্বোতভাবে সহায়তা প্রদান করে।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম
Linear Programming
মানব সমাজের একটি বিশেষ প্রচলিত প্রবাদ "পরিকল্পনা হলো কাজের অর্ধেক"। সৃষ্টির লগ্ন থেকেই মানুষ পরিকল্পনা করে এগিয়েছে। যে কোনো বিষয়ে পরিকল্পনা করার জন্য তিনটি মূখ্য বিষয় প্রথমেই চিন্তায় এসে যায়-
আমি কি করতে চাই (অর্থাৎ উদ্দেশ্য কি) ?
উদ্দেশ্য সফল করার জন্য মূলত কোন কোন বিষয়ের উপর নির্ভরশীল হতে হবে? এবং
আমার সীমাবদ্ধতা কি কি ?
যেমনঃ আমি আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়ার্ড-এ দেশকে চ্যাম্পিয়ন করার লক্ষে একটি গণিত প্রশিক্ষণ একাডেমি করতে চাই। এই পরিকল্পনা সঠিকভাবে বাস্তবায়নের জন্য আমাকে প্রশিক্ষক এবং শিক্ষার্থীদের উপর নির্ভর করতে হবে এবং এখানে যে সকল সীমাবদ্ধতা চিন্নতা করতে হবে তা হলো অর্থের পরিমাণ, প্রশিক্ষক এবং শিক্ষার্থীর সরবরাহ।
একাডেমি পরিচালনা করার ক্ষেত্রে যে ধারণা সর্বদা পোষণ করতে হবে তা হলো-সর্বনিম্ন পরিশ্রম বা বিনিয়োগের বিনিময়ে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ পরিমাণ মুনাফা প্রাপ্তি বা সর্বোৎকৃষ্ট শিক্ষার্থী তৈরী অর্থাৎ Maximum profit for minimum cost এটা মানুষ মাত্রেই সহজাত আকাঙ্ক্ষা।
যোগাশ্রয়ী শব্দের অর্থ রৈখিক বা একঘাত এবং প্রোগ্রাম শব্দের অর্থ পরিকল্পনা। সুতরাং যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর অর্থ হল একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ বা অসমতার বিশেষ গাণিতিক সমাধান।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামঃ দুই বা ততোধিক স্বাধীন চলক সংবলিত সমীকরণ এবং অসমতার সেট থেকে নির্ভরশীল চলকের সবচেয়ে সুবিধাজনক মানের জন্য স্বাধীন চলকের নির্দিষ্ট মান নির্ণয়ের একটি বিশেষ বীজগাণিতিক পদ্ধতি হচ্ছে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম।
সর্বনিম্ন বিনিয়োগে সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন করার লক্ষে \((1)\) সিদ্ধান্ত চলক (Decision Variable) \((2)\) উদ্দেশ্য ফাংশন (Ojective Function) এবং \((3)\) শর্ত বা সীমাবদ্ধতা (Constraints) এই তিনটি পরিকল্পনা গ্রহণ করতে হবে।
সিদ্ধান্ত চলকঃ কোনো সমস্যা সমাধানের জন্য তার সাথে সংশ্লিষ্ট পরিবর্তনযোগ্য অজানা রাশিগুলিকে সিদ্ধান্ত চলক (Decision Variable) বলে। এই রাশিগুলিকে বিভিন্ন অবস্থায় বাড়ানো বা কমানো যেতে পারে এবং এই চলকগুলির মান ঋণাত্মক হয় না। কোনো ব্যবসায় প্রতিষ্ঠান \(A\) এবং \(B\) দুইটি পণ্য তৈরী করে। এদেরকে চলকের মাধ্যমে \(A\) পণ্যটি \(x\) পরিমাণ এবং \(B\) পণ্যটি \(y\) পরিমাণ তৈরী করলে অবশ্যই \(x\ge{0}\) এবং \(y\ge{0}\) হবে। কখনো ঋণাত্মক পরিমাণ তৈরী করা যায় না।
উদ্দেশ্য ফাংশনঃ যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মূল উদ্দেশ্য হলো কোনো কিছুকে সর্বোচ্চ সুবিধাজনক অবস্থায় নিয়ে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের জন্য উপযুক্ত চলক দ্বারা গাণিতিক ফাংশনে প্রকাশ করতে হবে, এই প্রক্রিয়াকে উদ্দেশ্য ফাংশন বা অভীষ্ট ফাংশন (Ojective Function) বলে।
শর্ত বা সীমাবদ্ধতাঃ সব ধরনের কাজের জন্য কিছু সীমাবদ্ধতা বা প্রতিবন্ধকতা থাকে, যেমন- যোগ্য লোকের সীমাবদ্ধতা, কাঁচা মালের সীমাবদ্ধতা এবং সম্পদের সীমাবদ্ধতা ইত্যাদি। এই সীমাবদ্ধতাকে অসমতার মাধ্যমে বা রৈখিক সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এগুলিকে একত্রে যোগাশ্রয়ী সীমাবদ্ধতা বা শর্ত (Constraints) বলে।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর গুরুত্ব
Importance of Linear Programming
বাস্তব এবং পরীক্ষণ ক্ষেত্রে বিভিন্ন শর্তের অধীনে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মান গাণিতিকভাবে অনুমান করা যায়।
একইভাবে পরীক্ষণ ক্ষেত্রে সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের সাহায্য করে।
বাস্তব ক্ষেত্রে যেখানে একাধিক উপায়ে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া সম্ভব সেখানে কম খরচের উপায় নির্দেশ করে।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর ব্যবহার
Use of Linear Programming
অর্থনৈতিক পরিকল্পনা করতে।
উৎপাদন পরিকল্পনা এবং সময়সূচি নির্ধারণে।
কাঁচা মালের প্রাপ্যতা এবং মূল্য অনুযায়ী কি দ্রব্য উৎপাদন লাভজনক তা নির্ধারণে।
বিমান বন্দরে পাইলট, কর্মচারি, এয়ার হোস্টেজ এবং কেবিন ক্রু'দের শিডিউল নির্ধারণে।
কম খরচ সাপেক্ষ অধিক পুষ্টিকর খাদ্যতালিকা প্রস্তুতিতে।
গৃহপালিত প্রাণীদের জন্য সেরা খাদ্যমিশ্রণ প্রস্তুতিতে।
সমুদ্র বন্দরে জাহাজ ভেড়ানো এবং মাল নামানোর সময়সূচি প্রস্তুতিতে।
কোনো অফিস প্রোজেক্ট এর জন্য সেরা কর্মী বাছাই করতে।
পরিবহন ক্ষেত্রে খরচ অনুযায়ী কোন পথে সবচেয়ে কম খরচে পরিবহণ সম্ভব তা নির্ধারণ করতে।
যুদ্ধক্ষেত্রে সরঞ্জাম এবং লোকবল পাঠানোর সঠিক স্থান বাছাই করতে।
কর্মকর্তা এবং কর্মচারীদের বেতন-ভাতাদি তৈরী করতে।
শিক্ষার্থীদের প্রয়োজনীয় উপকরণ সরবরাহের সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে গাণিতিক মডেল তৈরীতে।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর শর্ত
Conditions of Linear Programming
কতগুলি শর্ত পূরণ সাপেক্ষে যে কোনো সমস্যার ( সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়করণ ) সমাধান করার জন্য যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম প্রয়োগ করা হয়। নিম্নে শর্তগুলি উল্লেখ করা হলোঃ
সমস্যার একটি অভিষ্ট ফাংশন (Ojective Function) অবশ্যই থাকতে হবে যার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে হবে এবং তাকে সিদ্ধান্ত চলকের রৈখিক অপেক্ষক বা ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা যাবে।
সমস্যার অবশ্যই বিকল্প পদ্ধতির কার্যক্রম এর ব্যবস্থা থাকতে হবে। যেমনঃ একটি দ্রব্য দুইটি মেশিনে প্রস্তুত হতে পারে। এরূপ ক্ষেত্রে সমস্যা হবে কোন মেশিনে কত একক দ্রব্য প্রস্তুত হবে তা নির্ণয় করা।
যে কোনো সমস্যায় অবশ্যই সীমিত সম্পদ থাকতে হবে অর্থাৎ উৎসের বা সম্পদের সীমাবদ্ধতা থাকবে এবং সিদ্ধান্ত চলকের সাহায্যে প্রকাশ করলে অসমতা বা সমীকরণে পরিণত হবে। যেমনঃ একটি উৎপাদন কারখানায় কাঁচামালের যোগান সীমিত হতে হবে।
সিদ্ধান্ত চলকগুলি অবশ্যই পরস্পর সম্পর্কযুক্ত এবং অঋণাত্মক হতে হবে। যেমনঃ দুই প্রকার দ্রব্যের একটি \(x\) একক এবং অন্যটি \(y\) একক প্রস্তুত করা হলে \(x\) এবং \(y\) অঋণাত্মক হবে অর্থাৎ \(x\ge{0}, \ y\ge{0}\)
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর সুবিধাসমূহ
Advantages of Linear Programming
যোগাশ্রয়ী প্রগ্রামের উদ্দেশ্য হলো সর্বনিম্ন বিনিয়োগ করে সর্বোচ্চ লাভের উপায় নির্ণয় করে। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর সুবিধাসমূহ নিম্নরূপঃ
সর্বনিম্ন বিনিয়োগ করে সর্বোচ্চ মুনাফা লাভের উপায় নির্ণয় করা যায়।
উৎপাদনযোগ্য চলকের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ধারণে সহায়তা করা।
সামরিক কার্যক্রমে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম অপরিসীম ভূমিকা রাখে।
সকল অদৃশ্য এবং অনাকাঙ্ক্ষিত প্রতিবন্ধকতা চিহ্নিত করে সেগুলি দূরীকরণের ব্যবস্থা গ্রহণ করা যায়।
ভবিষ্যতে উৎপাদনকে অধিকতর সুবিধাজনক করার পরিকল্পনা গ্রহণে দূরদৃষ্টি এবং দক্ষতা বৃদ্ধি করা যায়।
আধুনিক উৎপাদন এবং বন্টন ব্যবস্থায় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম
Linear Programming in modern production and distribution system
"আধুনিক উৎপাদন এবং বন্ঠন ব্যবস্থায় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম একটি অপরিহার্য হাতিয়ার" উক্তিটির তাৎপর্যঃ

বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিকেচারিদিকে যখন সমাজতন্ত্রের জয় জয়কার, "শ্রমিক এবং মালিক সবাই সমান সুবিধা প্রাপ্তির যোগ্য" যে তন্ত্রের মূল কথা, ঠিক তখনই উৎপাদন এবং বন্টন ব্যবস্থায় বিপুল এবং ব্যপক পরিবর্তেন সূচনা করে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম।
মানুষের চাহিদা এবং যোগানের তুলুনায় প্রাপ্তি কম। তাই চাহিদা এবং যোগানের মধ্যে সমন্বয় সাধন করা তথা সর্বনিম্ন পরিশ্রমে সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন নিশ্চিতকরণ প্রয়োজন। গণিতে এ কারণেই উৎপাদন এবং বন্টনের মাঝে সমন্বয় করে প্রত্যেকটি বিষয়ে সুপরিকল্পিত-প্রোগ্রাম এর ধারণা উদ্ভত হয়।
বর্তমান কালের শিল্পভিত্তিক ব্যবস্থায় যেমনঃ কাঁচামাল, শ্রমিক এবং অন্যান্য সামগ্রির ব্যবহারে এই ধারণার প্রভাব ব্যপক। এ ধারণার সুপ্রতিষ্ঠিত এবং সুপরিকল্পিত বাস্তব রূপই হলো যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম। এক কথায়, যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এক প্রকার আধুনিক বৈজ্ঞানিক পদ্ধতি যার সাহায্যে গাণিতিক পরক্রিয়ায় সর্বনিম্ন বিনিয়োগে সর্বাধিক মুনাফা অর্জনের উপায় পাওয়া যায়।
আবার সঙ্গা থেকে বোঝা যায়, যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম দুইটি বিষয়ের উপর কাজ করে।
স্বল্প বিনিয়োগ
সর্বাধিক মুনাফা
এ লক্ষকে সামনে রেখে সীমাবদ্ধতাগুলি থেকে কতগুলি গাণিতিক অসমতার অবতারণা করা হয় এবং এগুলি সমাধান করে-
উৎপাদনযোগ্য চলকের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ণয় করা হয়।
উৎপাদনের প্রতিবন্ধকতাসমূহ নির্ণয় করা হয়।
সর্বোচ্চ লাভ অর্জনের উপায় নির্ণয় করা হয়।
তাই, সার্বিকভাবে বলা যেতে পারে আধুনিক উৎপাদন এবং বন্টন ব্যবস্থায় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম একটি অপরিহার্য হাতিয়ার।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মডেল তৈরীতে এ্যালগরিদম
Algorithm for modeling of Linear Programming
একটি সমস্যা থেকে কিভাবে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর মডেল তৈরী করতে হয় তার এ্যালগরিদম নিম্নরূপঃ
প্রথম ধাপঃ প্রদত্ত সমস্যাটি পর্যালোচনা করে কি নির্ণয় করতে হবে তা নির্ণয় করা।
দ্বিতীয় ধাপঃ যা নির্ণয় করতে হবে তার জন্য চলক নির্ধারণ করা।
তৃতীয় ধাপঃ চলকগুলির মান ধনাত্মক বা শূন্য অর্থাৎ চলক \(\ge{0}\) শর্ত আরোপ করা যাতে মানে এবং অবস্থানে বাস্তব সমাধান পাওয়া যায়।
চতুর্থ ধাপঃ চলকের মাধ্যমে মোট লাভ বা মোট খরচ নির্ণয় করা এবং ইহাকে উদ্দেশ্য ফাংশন বা অভিষ্ট ফাংশন (Objective function) আকারে প্রকাশ করা, যার সর্বোচ্চকরণ করতে হবে।
পঞ্চম ধাপঃ শর্তগুলিকে অসমতা বা সমীকরণ আকারে প্রকাশ করা।
ষষ্ঠ ধাপঃ উদ্দেশ্য ফাংশন (চতুর্থ ধাপ থেকে প্রাপ্ত) এবং শর্তের অসমতা বা সমীকরণ (পঞ্চম এবং তৃতীয় ধাপ থেকে প্রাপ্ত) কে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মডেল আকারে প্রকাশ করা।
উদাহরণঃ একজন ফল বিক্রেতা আম এবং পেয়ারা মিলে মোট \(600\) টাকার ফল কিনবেন। কিন্তু দোকান ঘরে \(14\) টির বেশি বাক্স রাখতে পারবেন না। এক বাক্স আমের দাম \(50\) টাকা এবং এক বাক্স পেয়ারার দাম \(25\) টাকা। তিনি প্রতি বাক্স আম এবং পেয়ারা যথাক্রমে \(10\) টাকা এবং \(6\) টাকা লাভে বিক্রয় করেন। লোকটি যে পরিমাণ ফল কেনেন, তার সবই বিক্রয় হয়ে যায়। আম এবং পেয়ারা কতগুলি কিনলে তিনি সর্বোচ্চ লাভ করতে পারবেন।

মডেল তৈরীঃ
প্রথম ধাপঃ প্রদত্ত সমস্যাটি পর্যালোচনা করে দেখা যায় যে, আম এবং পেয়ারা ক্রয় করে সর্বোচ্চ লাভ নির্ণয় করতে হবে।
দ্বিতীয় ধাপঃ যতগুলি আম এবং পেয়ারা কিনতে হবে তা যথাক্রমে \(x\) এবং \(y\) চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে।
তৃতীয় ধাপঃ চলকগুলির মান ধনাত্মক বা শূন্য অর্থাৎ \(x\ge{0}\) এবং \(y\ge{0}\) শর্ত আরোপ করা যাতে মানে এবং অবস্থানে বাস্তব সমাধান পাওয়া যায়।
চতুর্থ ধাপঃ \(x\) এবং \(y\) চলকের মাধ্যমে মোট লাভ নির্ণয় করতে হবে এবং ইহাকে উদ্দেশ্য ফাংশন বা অভিষ্ট ফাংশন (Objective function) আকারে প্রকাশ করতে হবে, অভিষ্ট ফাংশনকে \(Z\) দ্বারা প্রকাশ করে \(Z_{max}=10x+6y\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
পঞ্চম ধাপঃ দোকা ঘরের ক্ষেত্রে \(x+y\le{14}\) এবং খরচের ক্ষেত্রে \(50x+25y\le{600}\) শর্তগুলিকে অসমতা আকারে প্রকাশ হলো।
ষষ্ঠ ধাপঃ উদ্দেশ্য ফাংশন \(Z\) (চতুর্থ ধাপ থেকে প্রাপ্ত) এবং শর্তের অসমতা (পঞ্চম এবং তৃতীয় ধাপ থেকে প্রাপ্ত) কে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মডেল আকারে প্রকাশ হলোঃ
\(Z_{max}=10x+6y\)
শর্তসমূহঃ
\(x+y\le{14}\)
\(50x+25y\le{600}\)
\(x\ge{0}\) এবং \(y\ge{0}\)
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমস্যার সমাধান
Solution system of Linear Programming problem
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামকে বিভিন্ন পদ্ধতিতে সমাধান করা যায়। সাধারণত লেখচিত্রের সাহায্যে দুই চলক বিশিষ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমস্যার সমাধান করা হয়। এই পদ্ধতিটি অধিকতর সহজ হওয়ায় শিক্ষার্থীরা সহজেই এ পদ্ধতির সাহায্যে দুই চলকবিশিষ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সমাধান করতে পারে। এ পদ্ধতিতে সমাধানের জন্য তিনটি বিষয়ে জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। যথঃ
সম্ভাব্য সমাধান (Feasible solution)
সম্ভাব্য অঞ্চল (Feasible region) এবং
চরম সমাধান (Optimum solution)।
উক্ত বিষয় তিনটি, একটি উদাহরণে সহজে বুঝা যাবে।

সম্ভাব্য সমাধানঃ চলকের যে সকল মান প্রদত্ত শর্তসমূহকে সিদ্ধ করে তাকে সম্ভাব্য সমাধান (Feasible solution) বলে।
যেমনঃ বাংলাদেশ সেনাবাহিনীতে লোক নিয়োগের জন্য পত্রিকায় বিজ্ঞাপন দেয়া হলো এই শর্তে যে, যাদের বয়স ১৮ থেকে ২২ বছরের মধ্যে, এইচ. এস. সি. পাস, বাংলাদেশের নাগরিক, তারা দরখাস্ত করতে পারবে। বর্তমানে বাংলাদেশ সেনাবাহিনীর চাকুরি মর্যদাপূর্ণ হয়ায় সকলে দরখাস্ত করতে চাইলেও উক্ত শর্তের কারণে অনেক লোক প্রাথমিকভাবেই দরখাস্ত করতে পারবে না। যে সকল ব্যক্তি উক্ত শর্তের আলোকে দরখাস্ত করতে পারবে তারা সকলেই সম্ভাব্য সমাধান।
সম্ভাব্য অঞ্চলঃ সম্ভাব্য মাধ্যম দ্বারা যে অঞ্চল সৃষ্টি হয় তাকে সম্ভাব্য অঞ্চল (Feasible region) বলে।
যেমনঃ এখন দেখা গেল সেনাবাহিনীতে লোক নিয়োগ করা হবে দুই হাজার। কিন্তু দরখাস্ত করেছে পাঁচ লক্ষ প্রার্থী। সেনাবাহিনী চাইবে তাদের মধ্য থেকে সবচেয়ে মেধা এবং শারীরিক দক্ষতাসম্পন্ন ব্যক্তিবর্গকে নিয়গ দিতে। এর জন্য প্রাথমিক মেডিকেল টেস্টের উদ্দেশ্যে সবাইকে একটি নির্দিষ্ট স্থানে একত্রিত হতে বলল। প্রত্যেক ব্যক্তি সম্ভাব্য সমাধান। এই সম্ভাব্য সমাধান দ্বারা যে অঞ্চল সৃষ্টি হবে সেটিই সম্ভাব্য অঞ্চল।
চরম সমাধানঃ সম্ভাব্য সমাধানের যে সকল মানের জন্য উদ্দেশ্য ফাংশনের (Objective function) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান পাওয়া যায় তাকে চরম সমাধান (Optimum solution) বলে।
যেমনঃ প্রাথমিক মেডিকেল টেস্ট, লিখিত পরীক্ষা, ভাইভা ইত্যাদি পরীক্ষার পর যে ব্যক্তিবর্গ চুড়ান্তভাবে নির্ধারিত হবে সেটিই চরম সমাধান।
চরম সমাধান কয়েক প্রকার হতে পারে। যথাঃ
নির্দিষ্ট সংখ্যক এবং অনন্য চরম সমাধান (A definite number and unique optimum solution)
অনির্দিষ্ট সংখ্যক চরম সমাধান (An infinite number of optimum solution)
উন্মুক্ত সমাধান (An unbounded solution)
সমাধান নেই (No solution)
চরম সমাধান নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্রের সাহায্য নিতে হয়। সূত্রটি হলো-সম্ভাব্য অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুগুলিতে চরম সমাধান অবস্থান করে। যার প্রমাণ উচ্চ শ্রেণিতে শেখানো হয়।
অসমতা থেকে সম্ভাব্য অঞ্চল নির্ণয়ের পদ্ধতি
Determinate system of feasible region from the inequality
প্রথমে প্রদত্ত অসমতাকে সমীকরণরূপে প্রকাশ করা হয়।
প্রত্যেকটি সমীকরণকে ছেদক আকৃতিতে প্রকাশ করতে হয় অথবা প্রত্যেকটি সমীকরণ থেকে কিছু বিন্দু নির্ণয় করতে হয়।
ছেদক আকৃতিতে প্রকাশ করা সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হয়।
ছক কাগজ থেকে এমন একটি বিন্দু বাছাই করতে হয় যা রেখাটির উপর অবস্থিত নয়। কিন্তু তার অবস্থান এবং স্থানাঙ্ক জানা থাকা প্রয়োজন। এ ক্ষেত্রে মূলবিন্দু রেখাটির উপর অবস্থিত না হলে, মূলবিন্দু বাছাই করা উত্তম। রেখাটি মূলবিন্দুগামী হলে \((1, 0)\) অথবা \((0, 1)\) বিন্দু নেওয়া ভাল।
বিন্দুটি নিয়ে প্রত্যেকটি অসমতাকে বাছাই করতে হয়।
বিন্দুটির জন্য অসমতাটি সত্য হলে, উক্ত বিন্দুর দিকের অঞ্চলই হবে অসমতাটির অম্ভাব্য অঞ্চল। অন্যথায় বিন্দুটির বিপরীত দিকের অঞ্চলই হবে অসমতাটির অম্ভাব্য অঞ্চল।
যে অঞ্চল প্রত্যেকটি অসমতাকে সিদ্ধ করে সে অঞ্চলই হবে সমাধানের সম্ভাব্য অঞ্চল।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমাধানের পদ্ধতি
Method of solution of linear programming
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি নিচে দেওয়া হলোঃ
লেখচিত্র পদ্ধতি (Graphical method)
সিমপ্লেক্স পদ্ধতি (Simplex method)
বন্টন বা পরিবহণ পদ্ধতি (Distribution or transportation method)
দ্বৈত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি (Dual simplex method)
সংশোধিত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি (Revised simplex method)
ডাইনামিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি (Dynamic programming method)
উদাহরণসমুহ
লেখচিত্রের সাহায্যে সর্বোচ্চ (বৃহত্তম) মান নির্ণয় করঃ
\(Ex.1.(a)\) \(Z=5x+2y\)
শর্তসমূহঃ
\(x+y\le{12}\)
\(3x-4y\le{15}\)
\(x\ge{0}\)
\(y\ge{0}\)
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বোচ্চ (বৃহত্তম) মান, \(Z_{max}=51\) যখন, \(x=9, \ y=3\)

লেখচিত্রের সাহায্যে সর্বনিম্ন (ক্ষুদ্রতম) মান নির্ণয় করঃ
\(Ex.2.(a)\) \(Z=2x+3y\)
শর্তসমূহঃ
\(x+y=5\)
\(x\ge{1}\)
\(y\ge{2}\)
\(x,y\ge{0}\)
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বনিম্ন (ক্ষুদ্রতম) মান, \(Z_{min}=12\) যখন, \(x=3, \ y=2\)

লেখচিত্রের সাহায্যে মান নির্ণয় করঃ
\(Ex.3.(a)\) \(Z=2x+3y\)
শর্তসমূহঃ
\(x+y\le{30}\)
\(x-y\ge{0}\)
\(y\ge{3}\)
\(0\le{x}\le{20}\)
\(0\le{y}\le{12}\)
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বোচ্চ (বৃহত্তম) মান, \(Z_{max}=72\) যখন, \(x=18, \ y=12\)
নির্ণেয় সর্বনিম্ন (ক্ষুদ্রতম) মান, \(Z_{min}=15\) যখন, \(x=3, \ y=3\)

\(Ex.4.\) খোকন সাহেব তার এ্যামব্রয়ডারি ফ্যাক্টরিতে গেঞ্জি এবং প্যান্ট এই দুই ধরনের কাপড় এ্যামব্রয়ডারি করেন। তার একটি গেঞ্জি এ্যামব্রয়ডারি করতে \(30\) মিনিট এবং সুতা কাটতে \(20\) মিনিট সময় লাগে। আবার একটি প্যান্ট এ্যামব্রয়ডারি করতে \(15\) মিনিট এবং সুতা কাটতে \(30\) মিনিট সময় লাগে। ফ্যাক্টরিতে এ্যামব্রয়ডারি এবং সুতা কাটার লোক আলাদা। গেঞ্জি এবং প্যান্ট এ্যামব্রয়ডারিতে লাভের পরিমাণ যথাক্রমে \(40\) এবং \(50\) টাকা। ফ্যাক্টরি দিনে \(8\) ঘন্টা খোলা রাখা হয়। সর্বাধিক লাভের জন্য দিনে কয়টি গেঞ্জি এবং প্যান্ট তৈরি করতে হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বোচ্চ (বৃহত্তম) মান, \(Z_{max}=880\)
যখন, গেঞ্জির সংখ্যা \(=12\) টি
এবং প্যান্টের সংখ্যা \(=8\) টি।

\(Ex.5.\) জনাব আবদুল আজিজ সাহেবের পরিবারের খাদ্য তালিকা নিম্নরূপঃ
প্রতি কেজিতে পরিমাণ ন্যূনতম প্রয়োজন
(গ্রাম)
উপাদান-১ উপাদান-২
ভিটামিন
(গ্রাম)		 \(A\) \(5\) \(10\) \(90\)
\(B\) \(4\) \(3\) \(48\)
\(C\) \(0.5\) \(0\) \(1.5\)
প্রতি কেজির মূল্য \(20\) টাকা \(30\) টাকা
সর্বনিম্ন খরচে কীভাবে এই চাহিদা পূরণ করা যাবে?
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বনিম্ন (ক্ষুদ্রতম) মান, \(Z_{min}=312\) যখন, \(x=\frac{42}{5}, \ y=\frac{24}{5}\)

\(Ex.6.\) একটি যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মডেল, \(Z=x+5y\)
শর্তসমূহঃ
\(x+y\le{8}\)
\(x+3y\ge{9}\)
\(x, y\ge{0}\)
\((a)\) \(x-y\ge{0}\) এর সমাধানের সম্ভাব্য অঞ্চল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(2x+2y\le{5}\) উদ্দীপকের শর্তে অন্তর্ভুক্ত করে যদি সম্ভব হয় \(Z_{max}\) নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের \(Z_{min}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((1, 0)\) বিন্দুর দিকে ছায়াকৃত উন্মুক্ত অঞ্চল প্রদত্ত অসমতাটির সম্ভাব্য অনুকূল অঞ্চল।
\((b)\) \(Z_{max}\) নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
\((c)\) নির্ণেয় সর্বনিম্ন (ক্ষুদ্রতম) মান, \(Z_{min}=10\) যখন, \(x=\frac{15}{2}, \ y=\frac{1}{2}\)

\(Ex.7.\) \(A\) এবং \(B\) দুই প্রকারের খাদ্যের প্রতি কেজিতে প্রোটিন এবং স্টার্চ এবং পরিমাণ এবং তার মূল্য নিম্নের চার্টে দেওয়া হলো। সবচেয়ে কম খরচে কিরূপে দৈনিক ন্যূনতম খাদ্যের প্রয়োজন মেটানো সম্ভব?
খাদ্যের নাম প্রোটিন স্টার্চ প্রতি কেজির মূল্য
\(A\) \(8\) গ্রাম \(10\) গ্রাম \(40\) টাকা
\(B\) \(12\) গ্রাম \(6\) গ্রাম \(50\) টাকা
দৈনিক ন্যূনতম প্রয়োজন \(32\) গ্রাম \(22\) গ্রাম
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বনিম্ন খরচ, \(Z_{min}=140\) টাকা
যখন, \(A\) খাদ্যের পরিমাণ \(1\) কেজি
এবং \(B\) খাদ্যের পরিমাণ \(2\) কেজি।
যঃ ২০১৪; চঃ ২০০০ ।

\(Ex.8.\) কোনো তেল শোধনাগারের ম্যানেজার সম্ভাব্য দুই ধরনের মিশ্রণ প্রক্রিয়ায় সর্বোচ্চ সুবিধার মিশ্রণ করার জন্য প্রতি উৎপাদন ক্রিয়ায় নিম্নের ছক অনুযায়ী যোগান এবং উৎপাদনের সিদ্ধান্ত নিলঃ
প্রক্রিয়া যোগান (একক) উৎপাদন (একক)
অশোধিত\(-1\) অশোধিত\(-2\) পেট্রোল (উন্নত) পেট্রোল (সাধারণ)
\(A\) \(10\) \(6\) \(10\) \(16\)
\(B\) \(12\) \(15\) \(12\) \(12\)
প্রতিদিন দুই ধরনের অশোধিত তেলের পর্যাপ্ততা যথাক্রমে \(400\) এবং \(450\) একক। বাজার চাহিদা অনুযায়ী দৈনিক \(200\) একক উন্নত এবং \(240\) একক সাধারণ মানের পেট্রোল প্রয়োজন। লাভ পর্যালোচনা করে দেখা যায় প্রতিবারে \(A\) প্রক্রিয়ায় \(480\) টাকা এবং \(B\) প্রক্রিয়ায় \(400\) টাকা লাভ হয়। ম্যানেজার কোম্পানির দৈনিক সর্বোচ্চ লাভের জন্য সর্বোৎকৃষ্ট মিশ্রণ করতে আগ্রহী। এ জন্য যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম তৈরি করে লেখচিত্রে সম্ভাব্য সমাধান এলাকা দেখাও, সমাধান কর এবং চূড়ান্ত বিন্দু বা শীর্ষবিন্দুটি শনাক্ত কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় সর্বোচ্চ লাভ, \(Z_{max}=19200\) টাকা
যখন, \(A\) প্রক্রিয়ায় \(40\) বার
\(B\) প্রক্রিয়া বন্ধ রাখে।
এবং শীর্ষবিন্দু \(P(40, 0)\)
যঃ ২০১৪; চঃ ২০০০ ।

\(Ex.9.\) \(1944\) সালে দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় কমপক্ষে \(1000\) সৈন্যের সুসজ্জিত একটি বৃটিশ বাহিনী আক্রমণের জন্য এগিয়ে গেল এবং জার্মান বর্ডারের নিকটে প্রত্যন্ত একটি অঞ্চলে তাঁবু টানিয়ে অবস্থান নেওয়ার সিদ্ধান্ত নিল। তাঁরা দুই ধরনের তাঁবু বানিয়েছিল যার বড় গুলোতে সর্বোচ্চ \(25\) জন এবং ছোট গুলোতে সর্বোচ্চ \(15\) জন অবস্থান নিতে পারে। প্রতিটি বড় তাঁবু বানাতে \(60\) পাউন্ড এবং প্রতিটি ছোট তাঁবু বানাতে \(20\) পাউন্ড খরচ হয়েছিল। সৈন্যদের খাবারের জন্য চাল এবং গম মিলিয়ে সর্বোচ্চ \(7\) টন সরবরাহ করা সম্ভব যার সর্বোচ্চ মূল্য \(410\) পাউন্ড।
\((a)\) যুদ্ধ ক্ষেত্রে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের ব্যবহার আলোচনা কর।
\((b)\) ছোট-বড় সব মিলিয়ে সর্বোচ্চ \(52\) টি তাঁবু বানানো সম্ভব হলে, কোন প্রকারের কতটি তাঁবু বানানো যাবে?
\((c)\) প্রতি টন গমের দাম \(50\) পাউন্ড এবং প্রতি টন চালের দাম \(80\) পাউন্ড হলে, সৈন্যদের জন্য বরাদ্দকৃত সর্বোচ্চ গম ও চালের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b)\) বড় তাঁবুর সখ্যা \(22\) টি এবং ছোট তাঁবুর সখ্যা \(30\) টি
\((c)\) গম \(5\) টন এবং চাল \(2\) টন।

\(Ex.10.\) \(f(x, y)=x+y, \ g(x, y)=x-y, \ u(x, y)=-x+y\)
এবং \(v(x, y)=-x-y\)
\((a)\) \(||-1+2|-|-3|+|4-|-5+6|||\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) সমাধান করঃ \(\frac{f(x, 1)}{g(x, 1)}-\frac{u(x, 1)}{v(x, 1)}\gt{0}\)
\((c)\) \(f(x, y)\le{4}, \ g(x, y)\le{4}, \ u(x, y)\le{4}\) এবং \(v(x, y)\le{4}\) অসমতাগুলি দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(1\)
\((b)\) নির্ণেয় সমাধানঃ \(-1\lt{x}\lt{0}\) অথবা \(x\gt{1}\)
\((c)\) \(32\) বর্গ একক।

\(Ex.11.\) দুইটি দ্রব্য \(A\) এবং \(B\) দুইটি প্রক্রিয়ার মাধ্যমে উৎপাদন করা হয়। \(A\) দ্রব্য উৎপাদন করতে \(1\) নং প্রক্রিয়ায় \(7\) ঘন্টা ও \(2\) নং প্রক্রিয়ায় \(4\) ঘন্টা সময় লাগে। \(B\) দ্রব্য উৎপাদন করতে \(1\) নং প্রক্রিয়ায় \(6\) ঘন্টা ও \(2\) নং প্রক্রিয়ায় \(2\) ঘন্টা সময় লাগে। \(1\) নং প্রক্রিয়ায় মোট সময় পাওয়া যায় \(84\) ঘন্টা এবং \(2\) নং প্রক্রিয়ায় মোট সময় পাওয়া যায় \(32\) ঘন্টা। \(A\) দ্রব্যের প্রতিটিতে \(11\) টাকা এবং \(B\) দ্রব্যের প্রতিটিতে \(4\) টাকা মুনাফা হয়। দ্রব্য দুইটি কী পরিমাণ উৎপাদন করলে সর্বাধিক মুনাফা অর্জন করা যাবে; সর্বাধিক মুনাফা কত হবে?
উত্তরঃ সর্বাধিক মুনাফা, \(Z_{max}=88\) টাকা
যখন, \(A\) দ্রব্য \(=8\) সংখ্যক
এবং \(B\) দ্রব্য \(=0\) সংখ্যক

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024