সমতলে দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র প্রতিষ্ঠা এবং বাস্তব প্রয়োগ।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে বিভিন্ন প্রকার ত্রীভুজ ও চতুর্ভুজের বাস্তব প্রমাণ।
  • দুইয়ের অধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থানের শর্ত।
  • বিভিন্ন শর্তাধীনে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • দূরত্ব বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ
\(1.\) কোন সমতলের উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।
\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ
\(2.\) কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।
\(PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1})\) এবং মূলবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(x_{1}-0)^{2}+(y_{1}-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)।
\(P(x_{1}, \beta)\) ও \(P(x_{2}, \beta)\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(\beta-\beta)^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\mid (x_{1}-x_{2} \mid\)।
\(P(\alpha, y_{1})\) ও \((\alpha, y_{2})\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(\alpha-\alpha)^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\) \(=\mid (y_{1}-y_{2} \mid\)।
অনুশীলনী \(3.A(ii)\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, -4)\) ও \((0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(2.\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\), \((-3, 1)\), \((-2, -3)\) এবং \((2, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

উদাহরণ \(3.\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, -5)\), \(B(9, 10)\), \(C(3, 25)\) এবং \(D(-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

উদাহরণ \(4.\) X-অক্ষ ও \((-5, -7)\) থেকে \((4, K)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(5.\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((6, 7)\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।
অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) কোন বিন্দুর কটি \(6\) এবং \((5, 6)\) থেকে বিন্দুটির দূরত্ব \(4\) হলে, বিন্দুটির ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9, 1\).
[ বঃ ২০০৩, কুঃ ২০১১ ]

\(Q.1.(ii)\) \(Y\) অক্ষ এবং \(P(7, 2)\) বিন্দু থেকে \((a, 5)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\frac{29}{7}\)
[সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৪,২০১০, যঃ ২০০৬,২০১০, কুঃ ২০০৭, চঃ২০১০, ঢাঃ ২০১৩]

\(Q.1.(iii)\) \(X\) অক্ষ এবং \(P(-5, -7)\) বিন্দু থেকে \((4, k)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=-\frac{65}{7}\).
[মাঃবঃ ২০১৩]

\(Q.1.(iv)\) দেখাও যে, \((4, 2)\),\((7, 5)\) এবং \((9, 7)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

\(Q.1.(v)\) দেখাও যে, \((4, -1)\),\((2, 1)\) এবং \((1, 2)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

\(Q.1.(vi)\) দেখাও যে, \((-5, 3)\) এবং \((15, -9)\) বিন্দু দুইটির সংযোগরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায়।

\(Q.1.(vii)\) দেখাও যে, \((-6, -3)\) এবং \((8, -4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায়।

\(Q.1.(viii)\) \(P\) বিন্দ, \(A(1, -1)\),\(B(9, 7)\), \(C(1, 7)\) বিন্দু তিনটি হতে সমদূরবর্তী হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(P(5, 3)\).

\(Q.1.(ix)\) \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত \(P\) বিন্দ থেকে \(A(1, -1)\) ও \(B(9, 7)\) বিন্দু দুইটি সমদূরবর্তী হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(P(8, 0)\).

\(Q.1.(x)\) \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত \(P\) বিন্দ থেকে \(A(0, 3)\) ও \(B(5, -2)\) বিন্দু দুইটি সমদূরবর্তী হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q.1.(xi)\) \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত \(P\) বিন্দ থেকে \((0, 2)\) ও \((6, 4)\) বিন্দু দুইটি সমদূরবর্তী হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q.1.(xii)\) যদি \((x, y)\) বিন্দু থেকে \((3, 5)\) এবং \((-6, -9)\) বিন্দু দুইটির দূরত্ব সমান হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(18x+28y+83=0\).

\(Q.1.(xiii)\) কোন বিন্দুর কটি \(3\) এবং \((5, 3)\) থেকে বিন্দুটির দূরত্ব \(4\) হলে, বিন্দুটির ভুজ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \((a+b, b-a)\) এবং \((a-b, a+b)\) বিন্দু দুইটি হতে সমান দূরে হলে, প্রমাণ কর যে, \(bx=ay\).

\(Q.1.(xv)\) একটি বিন্দুর কটি এর ভুজের দ্বিগুণ; যদি এর দূরত্ব \((4, 3)\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক হয়, তবে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(P(3, 6)\) অথবা, \(P(1, 2)\).
[ দিঃ ২০১৩, মাঃবোঃ২০১০,২০১১ ঢাঃ ২০১১, রাঃ ২০০৭ ]

\(Q.1.(xvi)\) \((5, 3)\) বিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত বিন্দুর কটি \(3\) হলে তার ভুজ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১, বঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xvii)\) \(P, Q, R\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-7, -1)\), \((-3, 2)\), \((x, 5)\) এবং \(PQ=QR\) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 1\) অথবা, \(-7\)

ত্রিভুজ বিষয়ক সমস্যা সমাধানের বিশেষ কৌশল। যা সহজেই মনে রাখা যায়।
এই পাঠ্যসুচীতে ত্রিভুজের উপর যে সমস্যাগুলি আলোচনা করা হয়েছে তার মধ্যে পাঁচ প্রকারের ত্রিভুজ রয়েছে। এই পাঁচ প্রকার ত্রিভুজ সম্পর্কে শিক্ষার্থীর সম্যক জ্ঞান থাকা অতীব প্রয়োজন। সকল প্রকার ত্রিভুজ এখানে সংশ্লিষ্ট নেই।
(i) সমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তা সমবাহু ত্রিভুজ।
সমবাহু
(ii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান তা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমদবিবাহু
(iii) বিষমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের কোন বাহুই কোন বাহুর সমান নয় তা বিষমবাহু ত্রিভুজ।
বিষমবাহু
(iv) সমকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণের সমান তা সমকোণী ত্রিভুজ।
(v) সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজঃ যে সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।
অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) দেখাও যে, \((2\sqrt{3}, 90^{o})\),\((2, 120^{o})\) এবং \((2, 60^{o})\) বিন্দুগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.2.(ii)\) \(P(4, 0)\) এবং \(Q(0, 4)\) বিন্দুদ্বয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2+2\sqrt{3}, 2+2\sqrt{3})\), \((2-2\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3})\)

\(Q.2.(iii)\) \(A\) ও \(B\) দুইটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) ও \((3, 6)\)। \(AB\) বাহুর উপর অংকিত সমবাহু ত্রিভুজ \(ABC\) এর \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(3+\sqrt{3}, 5)\).

\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(a\) এর যেকোন মানের জন্য \(B(\sqrt{3}+1, 3\sqrt{3})\) এবং \(C(3\sqrt{3}+1, \sqrt{3})\) বিন্দু থেকে \(A(a+1, a)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান। \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=2\sqrt{3}\pm 3\).

\(Q.2.(v)\) দেখাও যে, \((3, 8)\),\((8, 3)\) এবং \((-2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \((a, a)\),\((-a, -a)\) এবং \((-a\sqrt{3}, a\sqrt{3})\) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.2.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \((12, 8)\),\((-2, 6)\) এবং \((6, 0)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.2.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((4, 4)\),\((5, 2)\) এবং \((1, 0)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 5\) বর্গ একক।

\(Q.2.(ix)\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\),\((-4, 2)\) এবং \((-4, 7)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\triangle =\frac{25}{2}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) এবং \(C(4, -3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(25\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(P(7, 7)\),\(Q(6, -2)\) এবং \(R(2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

\(Q.2.(xii)\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(0, -4)\) এবং \(Q(0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4\sqrt{3}, 0)\) অথবা, \((-4\sqrt{3}, 0)\)
[ সিঃ ২০০৯,২০১৩ ]

চতুর্ভুজ বিষয়ক সমস্যা সমাধানের বিশেষ কৌশল। যা সহজেই মনে রাখা যায়।
এই পাঠ্যসুচীতে চতুর্ভুজের উপর যে সমস্যাগুলি আলোচনা করা হয়েছে তার মধ্যে চার প্রকারের চতুর্ভুজ রয়েছে। এই চার প্রকার চতুর্ভুজ সম্পর্কে শিক্ষার্থীর সম্যক জ্ঞান থাকা অতীব প্রয়োজন। সকল প্রকার চতুর্ভুজ এখানে সংশ্লিষ্ট নেই।
\((i)\) বর্গক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান তাকেই বর্গক্ষেত্র বলে।
বর্গ
\((ii)\) রম্বসঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান নয় তাকেই রম্বস বলে।
রম্বস
\((iii)\) আয়তক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান তাকেই আয়তক্ষেত্র বলে।
আয়তক্ষেত্র
\((iv)\) সামান্তরিকঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান নয় তাকেই সামান্তরিক বলে।
সামান্তরিক
অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3(i)\) দেখাও যে, \((1, 1)\), \((-4, 13)\),\((8, 8)\) এবং \((13, -4)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(ii)\) দেখাও যে, \(A(a, b)\), \(B(a+\alpha, b+\beta)\),\(C(a+\alpha+p, b+\beta+q)\) এবং \(D(a+p, b+q)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে। কি শর্তে \(ABCD\) \((a)\) একটি আয়তক্ষেত্র \((b)\) একটি রম্বস হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(p\alpha+q\beta=0 \) হলে, চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে।
উত্তরঃ \((b)\) \alpha^{2}+\beta^{2}=p^{2}+q^{2}\) হলে, চতুর্ভুজটি একটি রম্বস হবে।

\(Q.3(iii)\) দেখাও যে, \((3, -5)\), \((9, 10)\),\((3, 25)\) এবং \((-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(iv)\) প্রমাণ কর যে, \((1, 3)\), \((5, 0)\), \((2, -4)\) এবং \((-2, -1)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(v) (a)\) প্রমাণ কর যে, \(P(3, 3)\), \(Q(-3, 1)\), \(R(-1, -5)\) এবং \(S(5, -3)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(v) (b)\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) \(C(-3, -4)\) এবং \(C(4, -3)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(v) (c)\) প্রমাণ কর যে, \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(C(6, -5)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(v) (d)\) প্রমাণ কর যে, \(A(2, 3)\),\(B(-3, 2)\) \(C(-2, -3)\) এবং \(C(3, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(vi)\) যে বর্গের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((6, 3)\) ও \((-2, -3)\) ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল এবং অপর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(50\) বর্গ একক; \((5, -4)\), \((-1, 4)\)

\(Q.3(vii)\) প্রমাণ কর যে, \((-5, 1)\), \((3, -3)\), \((1, -7)\) এবং \((-7, -3)\) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্র শীর্ষবিন্দু। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(40\) বর্গ একক।

\(Q.3(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((2, -2)\), \((8, 4)\), \((5, 7)\) এবং \((-1, 1)\) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্র শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(ix)\) প্রমাণ কর যে, \((-2, -1)\), \((1, 0)\), \((4, 3)\) এবং \((1, 2)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু।

\(Q.3(x)\) প্রমাণ কর যে, \(A(6, 1)\), \(B(-3, 4)\), \(C(-7, 0)\) এবং \(D(2, -3)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।
অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.4\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \((5, 7)\), \((-1, -1)\) এবং \((-2, 6)\) বিন্দুত্রয় একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত। এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 3)\)

\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{5}\) একক।
[কুঃ ২০১০, চঃ ২০১৩]

\(Q.4.(iii)\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 4)\)
\(Q.4.(iv)\) \((1, 2)\), \((3, -4)\) এবং \((5, -6)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

\(Q.4.(v)\) প্রমাণ কর যে, \((-1, 5)\), \((6, -2)\), \((7, -1)\) এবং \((0,-2)\) বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 2)\)।

\(Q.4.(vi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((11, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(10\); ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দু \((2, 1)\) দেখাও যে, তার দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\) একক।

\(Q.4.(vii)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 2)\) এবং \((-3, -4)\) হলে, এর ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ব্যাসার্ধ \(=5\) একক।
অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.5\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q 5.(i)\) \(A(4, 3)\), \(B(11, 2)\) এবং \(C(2, -1)\) বিন্দুত্রয় \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) মূলবিন্দ এবং অক্ষদ্বয় হতে \(C\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\) বিন্দু হতে \(\sqrt{10}\) একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
[ রাঃ ২০০২, ২০০৭, মাঃ বোঃ ২০০৫,২০০৮,২০১২,২০১৪, ঢাঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
\((c)\) \(B\) কেন্দ্র ও \(10\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ঠ বৃত্তের যে জ্যা \(C\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১ ]

\(Q.5.(ii)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D(13, -4)\)বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দুইটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত বিন্দুচারটি একটি রম্বস গঠন করে। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

\(Q.5.(iii)\) \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(D(6, -5)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলতে কি বুঝ?
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর প্রকৃতি আলচনা কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

\(Q.5.(iv)\) \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\), \(C(1, -7)\) এবং \(D(-7, -3)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) কার্তেসিয় এবং পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্কগুলি লিখ।
\((b)\) \(\triangle ABC\) সমকোণী হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) বিন্দুগুলি কি কোন বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থান করবে? যদি সত্য হয় তবে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

Please leave your comments below

2 Comment(s)
Alamin
September 3, 2019, 4:12 am
Hello Tanmoy
Reply
golzar
September 2, 2019, 1:24 am
Hello Taushy
Reply
1 Reply(s)
Tanmoy
September 3, 2019, 3:52 am
Hello Golzar

Pages