রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • কোন রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয়।
  • শর্ত সাপেক্ষে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • বিভক্তকারী বিন্দু বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ
বিভক্তিকরণ সূত্র (Section Formulae)
অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(1.\) কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)\)
বহির্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(2.\) কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}\right)\)
মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(3.\) কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রঃ
\(4.\) কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থনাংক হবে,
\(G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
অনুশীলনী \(3.B\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে \(5:3\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(2.\) \((7, 7)\) ও \((-5, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\)-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা বের কর; বিভাজন বিন্দুর ভুজ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]

উদাহরণ \(3.\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]

উদাহরণ \(4.\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষ \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]
উদাহরণ \(5.\) \(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((3:4)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((2:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 0)\)। এর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) ও \((3, -1)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(8.\) যদি \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) বিন্দুত্রয় \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষ বিন্দু হয়, তাহলে \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(9.\) \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((4:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(10.\) \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের \((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু এবং \((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((-3, 4)\) এবং \((7, 6)\)
উত্তরঃ \(R(2, 5)\).

\(Q.1.(i).(b)\) \((-2, -8)\) এবং \((2, 8)\)
উত্তরঃ \(R(0, 0)\).

\(Q.1.(i).(c)\) \((t+2, -t+4)\) এবং \((t, 3t)\)
উত্তরঃ \(R(t+1, t+2)\).

\(Q.1.(i).(d)\) \((a+b, -a-b)\) এবং \((a-b, a+b)\)
উত্তরঃ \(R(a, 0)\).

\(Q.1.(ii)\) \((3, 1)\) বিন্দুটি \((1, -3)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3\)

\(Q.1.(iii)\) \((7, -8)\) বিন্দুটি \((3, -2)\) ও \((-3, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:5\)

\(Q.1.(iv)\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((6, -6)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 5:3 \)

\(Q.1.(v)\) \((-1, 2)\) ও \((4, -5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((-11, 16)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3 \)

\(Q.1.(vi)\) \((1, 2)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখাংশকে \((3, 4)\) বিন্দুটি যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3 \)

\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) ও \((5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((2:3)\) অনুপাতে যে বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\); বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।

\(Q.1.(viii)\) \((2, 0)\) ও \((7, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে যে বিন্দু \((2:3)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 2) \)

\(Q.1.(ix)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-2, 3)\) ও \((6, -8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((1:2)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \( (-10, 14) \)

\(Q.1.(x)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-3, 4)\) ও \((7, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((3:2)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \( (3, 7), (27, 19) \)

\(Q.1.(xi)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((-1, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \(AC=2AB\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( C(-9, -13)\)

\(Q.1.(xii)\) \((7, 5)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা।
উত্তরঃ \( (4, 3); (1, 1) \)
[রাঃ ২০১১,২০০৯, বঃ ২০০৫]

\(Q.1.(xiii)\) \(AB\) সরলরেখাটি \(P(3, 3)\) ও \(Q(8, 5)\) বিন্দু দুটি দ্বারা সমত্রিখন্ডিত করা হয়; \(A\) ও \(B\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
উত্তরঃ \( A(-2, 1); B(13, 7)\)
[বঃ২০১১,২০০৯]
\(Q.1.(xiv)\) \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \((2, 3)\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 6)\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( p(5, 0)\)

\(Q.1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \(Q.1.(b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)
[কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]

\(Q.1.(xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(1, 0); D(0, 2)\)
[কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]

\(Q.1.(xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 2)\)
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]

\(Q.1.(xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 2:3; 2:3 \)
[ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]

\(Q.1.(xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:3; (2, 0)\)

\(Q.1.(xx)\) \((7, 7)\) এবং \((-5, 10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7:10; \ \frac{35}{17}\)

\(Q.1.(xxi)\) \((2, -4)\) এবং \((-4, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3; \ 1:2\)

\(Q.1.(xxii)\) \((-1, 2)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1:2; \ 1:3\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)
উত্তরঃ \(Q(12, 14)\); \(R(-12, -10)\)
[ কুঃ ২০১৪ ]

\(Q.1.(xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, -3)\) ; ব্যসার্ধ \(=3\sqrt{5}\)

\(Q.1.(xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।

\(Q.1.(xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষে মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরে অবস্থিত। ত্রিভুজটির দুইটি কৌনিক বিন্দু \((-3, 5)\) এবং \((12, 4)\) হলে তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-3, -9)\)

\(Q.2.(ii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \((at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \((at_{3}^{2}, 2at_{3})\)। এর ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে দেখাও যে, \(t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)
[কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]

\(Q.2.(iii)\) \(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\); \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়। দেখাও যে \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।

\(Q.2.(iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\), \(C(-8, -5)\) এবং \(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু; \(G\) বিন্দু \(AD\) রেখাকে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন \(AG:GD=2:1\) হয়। \(G\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(G(-2, 1)\)

\(Q.2.(v)\) দেখাও যে, \(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)।

\(Q.2.(vi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2, 7)\), \((6, 1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((6, 4)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(10, 4)\)
\(Q.2.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((11, 2)\)

\(Q.2.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((3, -5)\), \((5, -2)\) এবং \((-2, -1)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\); \((b) G(2, -\frac{8}{3})\)

\(Q.2.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((2, 4)\), \((5, 0)\) এবং \((4, -2)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(7, -6), B(1, 2), C(3, 6)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(\frac{11}{3}, \frac{2}{3})\)

\(Q.2.(x)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\) একক।

\(Q.2.(xi)\) স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 2)\)

\(Q.3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D(2, 2)\)

\(Q.3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-5, 7)\); \(170\) বর্গ একক।
\(Q.3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((9, 0)\); \(20\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]

\(Q.3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(9, 12)\).
[ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]

\(Q.3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর।
উত্তরঃ চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\).
উত্তরঃ \((b)\) \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
\(Q.4.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) ।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\)
উত্তরঃ \((b)\) \((5, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard