ত্রিভুজ তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ত্রিভুজ তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
  • দুইয়ের অধীক বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্ত।
  • একটি রেখাংশের সাপেক্ষে দুইটি বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান নির্ণয়।
  • ক্ষেত্রফল বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ
ত্রিভুজের বা, বহুভুজের ক্ষেত্রফল
Area of the Triangle or polygon.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ
\(1.\) কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
area1
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})\}\)
চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ
\(2.\) কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দুচারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
area1
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+y_{4}x_{1})\}\)
অনুরূপভাবে যে কোন সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা সম্ভব।
বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ
কোন সমতলে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\)...... \((x_{n}, y_{n})\) বিন্দুগুলি কোন বহুভুজের শীর্ষবিন্দু হলে,
area1
বহুভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+...+x_{n}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+...+y_{n}x_{1})\}\)
\(3.\) \(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার একই পার্শে অবস্থান করার শর্ত,
\(\delta_{ABC}\times \delta_{ABD}>0\).
আলোচনার সুবিধার্থে, \(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\) এবং \(\triangle ABC= \frac{1}{2}\mid \delta_{ABC} \mid\) বর্গ একক বিবেচনা করা হলো।
\(4.\) \(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করার শর্ত,
\(0>\delta_{ABC}\times \delta_{ABD}\).
\(5.\) \(AB\) রেখাটি \(CD\) রেখাংশকে \(E\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করার শর্ত,
\(\delta_{ABC}:\delta_{ABD}=m:n\).
\(\delta_{ABC}:\delta_{ABD}=m:n\) অনুপাত যথাক্রমে ঋনাত্মক \((-ve)\) ও ধনাত্মক \((+ve)\) হলে, \(AB\) রেখাটি \(CD\) রেখাংশকে \(E\) বিন্দুতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত এবং বহির্বিভক্ত করবে।
সমরেখ হওয়ার শর্তঃ
\(6.\) কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করা বা সমরেখ হওয়ার শর্ত,
\(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|=0.\)
অনুশীলনী 3.C উদাহরণসমূহ
উদাহরণ \(1.\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \((6, 5)\), \((-9, -4)\) এবং \((-5, 0)\).

উদাহরণ \(2.\) \((a)\) এর মান কত হলে, \((a, 2-2a)\), \((1-a, 2a)\) এবং \((-4-a, 6-2a)\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে।
[চঃ ২০০৯,২০১৪, যঃ ২০০৮, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০১১,২০১৩, কুঃ ২০১২,২০১৪, মাঃ ২০১৩,২০১৫ বঃ ২০১৫]

উদাহরণ \(3.\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় \(A(x, y)\), \(B(1, 2)\) এবং \(C(2, 1)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হলে, দেখাও যে, \(x+y=15\) অথবা \(x+y+9=0\).
[যঃ ২০১১, ঢাঃ ২০০৪, রাঃ ২০৬,২০১১,২০১৩, বঃ ২০০৪,২০০৯, কুঃ ২০১৩, সিঃ ২০১৪]

উদাহরণ \(4.\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \(C(5, -8)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(B\) বিন্দু হতে \(CA\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(5.\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) বিন্দু হতে \(BC\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) যদি \(A(3, 4)\), \(B(2t, 5)\) এবং \(C(6, t)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(+19\frac{1}{2}\) বর্গ একক হয় তবে \(t\) এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) কোন চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(3, 2)\), \(B(-2, 3)\), \(C(-1, -1)\) এবং \(D(2, -1)\); চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(8.\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 1)\), \(B(1, 0)\), \(C(5, 1)\) এবং \(D(-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
নীচের বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\(Q 1.(i).(a)\) \((1, 0)\), \((2, 1)\) এবং \((4, 5)\).
Ans: \(1\) বর্গ একক।

\(Q 1.(i).(b)\) \((0, 0)\), \((3, 3)\) এবং \((3, -5)\).
Ans: \(12\) বর্গ একক।
\(Q 1.(i).(c)\) \((-4, 3)\), \((-1, -2)\) এবং \((3, -2)\).
Ans: \(10\) বর্গ একক।

\(Q 1.(i).(d)\) \((a, a^{2})\), \((b, b^{2})\) এবং \((c, c^{2})\).
Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।
অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q 2.(i)\) দুইটি সলরেখা পরস্পর লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) ও \(B\) এর ধনাত্মক স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) মূল নিয়মে প্রমান কর যে, \(\triangle OAB\) এর ক্ষেত্রফলের সংখ্যা মান \(\frac{1}{2}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\) বর্গ একক হবে।
[ঢাঃ২০০৯, দিঃ ২০১২।]

\(Q 2.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \((5, -8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(44\) বর্গ একক।

\(Q 2.(iii)\) \(A, B, C\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(a, bc)\), \(B(b, ca)\) এবং \((c, ab)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।

\(Q 2.(iv)\) \(A, B, C\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(a, b+c)\), \(B(b, c+a)\) এবং \((c, a+b)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(0\) বর্গ একক।

\(Q 2.(v)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) যথাক্রমে \(\triangle ABC\) এর বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(32\) বর্গ একক।
\(Q 2.(vi)\) \((3, 5)\), \((3, 8)\) এবং মূলবিন্দু একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।

\(Q 2.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির মধ্যবিন্দু \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(128\) বর্গ একক।

\(Q 2.(viii)\) দুইটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\) এবং \((x_{1}+h, y_{1}+k)\), \((x_{2}+h, y_{2}+k)\), \((x_{3}+h, y_{3}+k)\) দেখাও যে, ত্রিভুজ দুইটির ক্ষেত্রফল সমান।

\(Q 2.(ix)\) দুইটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((3, 0)\), \((0, 7)\), \((1, 1)\) এবং \((13, 3)\), \((2, 3)\), \((-11, 2)\) দেখাও যে, ত্রিভুজ দুইটির ক্ষেত্রফল সমান।
অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q 3.(i)\) দেখাও যে, \((-1, 3)\), \((2, 9)\) এবং \((-3, -1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

\(Q 3.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((k,-1)\), \((2, 3)\) এবং \((0, 1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে।
Ans: \(k=-2\)

\(Q 3.(iii)\) \((2, \frac{3}{2})\), \((-3, -\frac{7}{2})\) এবং \((x, \frac{9}{2})\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(x=5\)

\(Q 3.(iv)\) যদি \((x, y)\), \((1, 2)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x+y=15\).

\(Q 3.(v)\) যদি \((x, y)\), \((2, 4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-5y=0\).

\(Q 3.(vi)\) \(A, B, C \) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) , \((-5, 1)\), \((x, y)\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(18\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-6y=25\).
\(Q 3.(vii)\) যদি \((x, y)\), \((2, -4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(7x+5y+24=0\).

\(Q 3.(viii)\) যদি \((x, y)\), \((2, 3)\) এবং \((3, 4)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-y+17=0\).

\(Q 3.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-1, 2)\), \((2, 3)\) এবং \((3, -4)\); \(p\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\).

\(Q 3.(x)\) \((a, b)\), \((b, a)\) এবং \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(a+b=0\).

\(Q 3.(xi)\) \((a, 0)\), \((0, b)\) এবং \((1, 1)\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\).

\(Q 3.(xii)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \((5, 3)\) এবং \((-2, -4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে, দেখাও যে, \(x-y-2=0\).
অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.4\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \((a^{2}, bc)\), \((b^{2}, ca)\) এবং \((c^{2}, ab)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যদি \(a+b+c=0\) হয় তবে দেখাও যে, তারা সমরেখ।
Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\) বর্গ একক।

\(Q.4.(ii)\) প্রমাণ কর যে, \((p, p-2)\), \((p+3, p)\) এবং \((p+2, p+2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(p\) বর্জিত হবে।

\(Q.4.(iii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
Ans: \(29\) বর্গ একক; \(\frac{29}{10}\sqrt{10}\) একক।
[ ঢাঃ ২০১২, কুঃ ২০০৮, চঃ ২০১০,২০০৫, যঃ ২০০৭, দিঃ ২০১০,২০০৯। ]

\(Q.4.(iv)\) কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -1)\), \(B(a+1, a-3)\) এবং \(C(a+2, a)\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং \(a\) এর মান কত হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে?
Ans: \(\frac{1}{2}(2a-1)\) বর্গ একক; \(a=\frac{1}{2}\)
। [রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, দিঃ ২০১৪।]

\(Q.4.(v)\) কোন ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((6, 3)\), \((-3, 5)\) এবং \((4, 2)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\triangle ABC\) ও \(\triangle DEF\) এর অনুপাত নির্ণয় কর।
Ans: \(16:7\)

\(Q.4.(vi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((3, 5)\), \((-3, 3)\) এবং \((-1, -1)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু। \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(\triangle ABC=4\triangle DEF\)।
Ans: \(14\) বর্গ একক; \(3.5\) বর্গ একক ।

\(Q.4.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \((4, -3)\), \((13, 0)\), \((-2, 9)\) এবং \(D, E, F\) ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর এমনভাবে অবস্থিত যেন \(\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=2\), \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে,\(\triangle ABC:\triangle DEF=3:1\)।
Ans: \(63\) বর্গ একক; \(21\) বর্গ একক ।
\(Q.4.(viii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(-3, -1)\) এবং \(C(11, 9)\); \(AD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। আরও দেখাও যে, \(\triangle ABD=\frac{1}{2}\triangle ABC\)
Ans: \(\sqrt{5}\) একক।

\(Q.4.(ix)\) \(\triangle OPQ\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(O(0, 0)\), \(P(A\cos\beta, -A\sin\beta)\) এবং \(Q(A\sin\alpha, A\cos\alpha)\) দেখাও যে, \(\alpha=\beta\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের মান বৃহত্তম হবে এবং উক্ত বৃহত্তম মানটি নির্ণয় কর।
Ans: \(\frac{1}{2}A^{2}\) বর্গ একক। [চঃ২০১২, যঃ ২০০৭]

\(Q.4.(x)\) \((t+1, 1)\), \((2t+1, 3)\) এবং \((2t+2, 2t)\) বিন্দুগুলি যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু; এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=2\) বা \(t=-\frac{1}{2}\) হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে।
Ans: \(\frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৬,রাঃ ২০১০,২০০৮, চঃ ২০১৬,২০১৫, কুঃ ২০১০, সিঃ ২০০৭, বঃ ২০১০]

\(Q.4.(xi)\) দেখাও যে, \((3, 90^{o})\) এবং \((3, 30^{o})\) শীর্ষবিশিষ্ট বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সহিত একটি সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(\frac{9}{4}\sqrt{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xii)\) \(A(2, 6)\),\(B(-7, -3)\), \(C(5,-6)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে,\(\triangle ABC=3\triangle ABG=3\triangle BCG=3\triangle CAG\)
Ans: \((0, -1)\)।

\(Q.4.(xiii)\) দেখাও যে, \(A(2, 6)\) এবং \(B(-7, -3)\) বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সঙ্গে একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।
অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.5\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হবে?
Ans: \(k=3\)

\(Q.5.(ii)\) \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ। এর কৌনিক বিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(k=3\) একক।

\(Q.5.(iii)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\); \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
Ans: \(2:3\)
[রাঃ ২০১৫, কুঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, দিঃ ২০১৩।]

\(Q.5.(iv)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) কে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
Ans: \(2:1\)

\(Q.5.(v)\) \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -8)\), \((-3, 4)\), \((0, 7)\) এবং \((3, 16)\); \(AB\) কে \(CD\) সরলরেখা যে অনুপাতে ভাগ করে তা নির্ণয় কর এবং \(CD\) কে \(AB\) সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তাও নির্ণয় কর।
Ans: \(3:1\); \(2:5\) বহির্বিভক্ত করে।

\(Q.5.(vi)\) \(A, B, C, D\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((t-4, -2)\), \((t, t+3)\), \((2t+1, 1)\) এবং \((t-3, 1)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু \(\triangle OAB\) এবং \(\triangle OCD\) এর অনুপাত নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=4\) হলে ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে ।
Ans: \((t-3):1\)
\(Q.5.(vii)\) \((-2, 3)\), \((-3, -4)\), \((5, -1)\) এবং \((2, 2)\) বিন্দুগুলি ক্রমান্বয়ে নিয়ে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয় তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(31\) বর্গ একক।

\(Q.5.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-b, 0)\), \((0, a)\) এবং \((0, -b)\) দেখাও যে, এর ক্ষেত্রফল শুন্য; এর ব্যাখ্যা দাও।

\(Q.5.(ix)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((1, 0)\) হলে (a) \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (b) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু এবং (c) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর।
Ans: \((a)\) \((-1, -2)\);
Ans: \((b)\) \((1, 1)\)
Ans: \((c)\) \(4\) বর্গ একক।

\(Q.5.(x)\) \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\) চারটি বিন্দু। \(ABCD\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(41\) বর্গ একক।

\(Q.5.(xi)\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ একক হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(k=3\)

\(Q.5.(xii)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, 2)\), \((-4, -3)\), \((1, -7)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর।
Ans: \((2, -2)\); \(29\) বর্গ একক।
অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.6\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.6.(i)\) \(A, B, C, D\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\).
\((a)\) \(ABD\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, চতুর্থ শীর্ষ \(C\) এর স্থনাংক \((9, 12)\)।
\((c)\) রম্বসটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সাহায্যে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(3.5\) বর্গ একক; \(7\) বর্গ একক।

\(Q.6.(ii)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\).
\((a)\) \(AB:CD\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC:\triangle ABD\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
Ans: \(3\sqrt{13}:\sqrt{37}\); \(2:3\)
\(Q.6.(iii)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\).
\((a)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) হলে চতুর্থ শীর্ষ \(D\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(CD\) সরলরেখা \(AB\) রেখাংশকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AD\) রেখাংশকে \(X\) অক্ষ এবং \(Y\) অক্ষ যে বিন্দুতে ছেদ করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \((9, 0)\); \((b)\)\(2:1\); \((c)\) \((9, 0)\) এবং \((0, -\frac{3}{2})\)।
নিজে করঃ

Please leave your comments below

2 Comment(s)
Alamin
September 3, 2019, 4:12 am
Hello Tanmoy
Reply
golzar
September 2, 2019, 1:24 am
Hello Taushy
Reply
1 Reply(s)
Tanmoy
September 3, 2019, 3:52 am
Hello Golzar

Pages