সমতলে বিন্দুর সঞ্চারপথ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • সঞ্চারপথের বিস্তারিত বিবরণ।
  • কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে কোনো বিন্দুর চলার পথ নির্ণয়।
  • সেটের ধারণা থেকে কোনো বিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সঞ্চারপথঃ কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে চলমান কোনো বিন্দু যে সরল বা বক্ররেখায় সঞ্চরণ করে তাকে প্রদত্ত শর্তাধীনে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথ বলা হয়। মাধ্যমিক জ্যামিতিতে আমরা তিনটি সঞ্চারপথের সহিত পরিচিত।
\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A, B\) থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথ \(AB\) রেখাংশের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখা। এখানে \(PA=PB\) শর্তাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান, যেখানে \(PA\) ও \(PB\) যথাক্রমে \(P\) বিন্দু হতে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর দূরত্ত বুঝায়।
\(2.\) একটি নির্দিষ্ট কোণ \(\angle AOB\) এর বাহু দুইটি হতে যে চলমান বিন্দু \(P\) এর লম্ব দূরত্ত সমান, তার সঞ্চারপথ উক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা। এখানে \(PM=PN\) শর্থাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান যেখানে \(PN\) ও \(PM \ P\) বিন্দু হতে \(OA\) ও \(OB\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য বুঝায়।
\(3.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(O\) থেকে নির্দিষ্ট দূরত্তে চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র ঐ নির্দিষ্ট বিন্দু এবং যার ব্যাসার্ধ ঐ নির্দিষ্ট দূরত্ত \(a\)। এখানে \(OP=a\) শর্থাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান।
এ অধ্যায়ে বিশেষ কোনো সূত্র নেই তবে, পূর্ববর্তী সকল সূত্র প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয়।
অনুশীলনী \(3.D\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) এমন একটি সঞ্চারপথের সমীকরণ বের কর যা দুইটি প্রদত্ত বিন্দু \((b, 0)\) এবং \((-b, 0)\) থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী \((b\neq 0)\)।
উত্তরঃ নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।

উদাহরণ \(2.\) মূলবিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ত একটি ধ্রুবক \(a\) এর সমান সেই বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(3.\) মূলবিন্দু এবং \((0, 4)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\) তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(4.\) \((-2, 5)\) বিন্দু এবং \(X\) অক্ষ থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\) একক হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x\pm 1\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(6.\) মূলবিন্দু এবং \((-5, 0)\) বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের অনুপাত \(3:4\). উক্ত সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 1.\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q 1.(i)\) \((3, 0)\) ও \((-4, 0)\) বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(2x+1=0\).

\(Q 1.(ii)\) \((a, 0)\) বিন্দু ও \(x+a=0\) সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).

\(Q 1.(iii)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি চলমান বিন্দুর দূরত্ব \(x=0\) সরলরেখা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের তিনগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]

\(Q 1.(iv)\) \((3, 0)\) ও \((-3, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে যে সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \(10\) একক, ঐ সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).

\(Q 1.(v)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \(Y\) অক্ষ থেকে তার দূরত্বের তিনগুন। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]

\(Q 1.(vi)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \((2, 2)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(3x^{2}+4y^{2}-16x-16y+32=0\).
\(Q 1.(vii)\) একটি সেটের বিন্দুসমূহ \((2, -1)\) বিদু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
[রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২]

\(Q 1.(viii)\) একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদান \((2, -1)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).

\(Q 1.(ix)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.

\(Q 1.(x)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).

\(Q 1.(xi)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).

\(Q 1.(xii)\) \((a, 0)\) বিন্দু এবং \(x+a=0\) রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চারপথ গঠন করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).
অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 2.\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q 2.(i)\) \((a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y=x\pm 1\).
[ঢাঃ ২০০৭, যঃ ২০০৭, ২০১২, বঃ ২০০৮, ২০০৩।]

\(Q 2.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]

\(Q 2.(iii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। একটি বিন্দু-সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে। যেন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দু থেকে সেটের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
\(Q 2.(iv)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে, \(X\) অক্ষ থেকে এর প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).

\(Q 2.(v)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]

\(Q 2.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}=4ay\).
অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 3.\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q 3.(i)\) \(A(0, 4)\) এবং \(B(0, 6)\) দুইটি স্থির বিন্দু। কার্তেসীয় সমতলে বিন্দুসমূহের এমন একটি সেট গঠন করা হয়েছে যে, \(AB\) রেখাংশ ঐ সেটের যে কোনো বিন্দুতে এক সমকোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\).
[ রাঃ ২০১৪।]

\(Q 3.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]

\(Q 3.(iii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A(a, b)\) এবং \(B(0, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩।]

\(Q 3.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(\) হয়, তবে \(\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).

\(Q 3.(v)\) \(O, A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((2, 6)\), \((x, y)\); \(B\) ও \(C\) বিন্দু দুইটি \(OA\) রেখার এক পার্শে অবস্থিত। এবং \((x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেক বিন্দুর ক্ষেত্রে \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, তাহলে দেখাও যে, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ \(5x-3y+16=0\)।

\(Q 3.(vi)\) \(B(2, 6)\) ও \(C(x, y)\) বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) ও \((3, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার একই পার্শে অবস্থিত। \(C(x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রতিটি বিন্দুর জন্য \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x-3y+16=0\).
\(Q 3.(vii)\) \(A(x, y)\), \(B(1, 1)\) ও \(C(-1, -1)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক হলে, \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x-y=\pm 5\).

\(Q 3.(viii)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x-y=\pm 5\).

\(Q 3.(ix)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু যেন, \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\). \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(2cx=c^{2}-a^{2}\).

\(Q 3.(x)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\); \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(5\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=25\).

\(Q 3.(xi)\) \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(7\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=49\).

\(Q 3.(xii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((4, -3)\), \((2, 5)\), \((-3, 1)\). \(P(x, y)\) এমন একটি চলমান বিন্দু যেন সর্বদা \(\triangle PBC=\frac{1}{4}\triangle ABC\) খাটে। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(4x-5y+5=0\).
অনুশীলনী \(3.D\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(ABP\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0;\)
\((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0;\)
\((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
\(Q.4.(ii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু ।
\((a)\) \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APC=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(2cx=c^{2}-a^{2};\)
\((b)\) \(2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0;\)
\((c)\) \(y=0\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard