সমতলে সরলরেখা
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • সরলরেখার সঙ্গা ও বিস্তারিত বিবরণ।
  • সরলরেখার সমীকরণ চিনবার উপায়।
  • সরলরেখার ঢাল।
  • সরলরেখার বিভিন্ন আকার।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সরলরেখা (Straight line):
একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।
সরলরেখার ঢাল (Slope or Gradient):
কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\).
সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায়ঃ
\(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।
পরামিতিক সমীকরন (Parametric Equation):
যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\), \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল
\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল
\(m=\tan\theta=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\).
\(2.\) \(X\) অক্ষের সমীকরণ
\(y=0\).
\(3.\) \(Y\) অক্ষের সমীকরণ
\(x=0\).
\(4.\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ
\(y=b\).
\(5.\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ
\(x=a\).
\(6.\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ
\(y=mx\).
এখানে, \(m\) সরলরেখাটির ঢাল।
\(7.\) \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \((c)\) এবং ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
\(y=mx+c\).
\(8.\) উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ \((a, b)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).
\(9.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং তার ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\).
\(10.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\).
\(11.\) মূলবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ
\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\).
\(12.\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\).
\(13.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ
\(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\).
যেখানে, \((x, y)\) বিন্দু হতে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর দূরত্ব=\(r\).
\(14.\) তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{1}{2} \frac{\Delta^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)
যেখানে,\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(\Delta\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।
অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(15.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
উপরক্ত \((1)\) এবং \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু
\(P\left(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\right)\)St81
\(16.\) দুইটি সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
উপরক্ত \((1)\) এবং \((2)\) সমীকরণদ্বয় একই সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
অনুশীলনী \(3.E\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশ \((1, 5)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। উত্তরঃ \(5x+y=10\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(2.\) দেখাও যে \(y=m_{1}x\), \(y=m_{2}x\) এবং \(y=b\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{b^{2}}{2}\left|(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\right|\)।
[ ঢাঃ ২০০৯, কুঃ ২০১০, দিঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(3.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরী করে এবং মূলবিন্দু থেকে উক্ত রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে ।
উত্তরঃ \(x+y=4\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
[ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

উদাহরণ \(4.\) \(x=3\), \(x=5\), \(y=4\) এবং \(y=6\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত আয়তের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+1=0\) এবং \(x+y-9=0\)।
[ যঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(5.\) \(x+3y-12=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \( x-6y=0\) এবং \( 2x-3y=0\).
[ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

উদাহরণ \(6.\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-8y=0\) এবং \(5x-2y=0\)
[ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

উদাহরণ \(7.\) মূলবিন্দু এবং \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাসমুহের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-8y=0\) এবং \(5x-2y=0\)
[ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]
উদাহরণ \(8.\) \(ax+by+c=0\), \(bx+cy+a=0\), \(cx+ay+b=0\) সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হলে দেখাও যে, \(a+b+c=0\)।
[ ঢঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(9.\) যে সরলরেখা \((-1, 3)\) এবং \((4,-2)\) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং অক্ষদুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=2\); \(2\sqrt{2}\)।
[ ঢঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(10.\) \(3x-4y-12=0\) সরলরেখার ঢাল এবং অক্ষদুইটি থেকে ছেদিতাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{3}{4}\); \(4\) এবং \(-3\)।
[ ঢঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(11.\) \(3x+4y+6=0\) সরলরেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। \(3x+4y+6=0\) এর উপরস্থ \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে এর উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); \((10, -9)\) এবং \((-6, 3)\)

উদাহরণ \(12.\) একটি ফ্যাক্টরিতে \(200\) বাল্ব তৈরী করতে \(800\) টাকা এবং \(400\) বাল্ব তৈরী করতে \(1200\) টাকা খরচ হয়। যদি ব্যায় রেখাটি সরলরেখা হয়, তবে এর সমীকরণ নির্ণয় কর। এ থেকে \(300\) বাল্ব তৈরী করতে কত টাকা খরচ হবে তা বের কর।
উত্তরঃ \(300\) বাল্ব তৈরী করতে খরচ হবে \(1000 \) টাকা।

উদাহরণ \(13.\) \(ax+by=c ........(1)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(2)\) ।
\((a)\) যে সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) একই সরলররেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) ও \(c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((c)\) \(a=3, \ b=4, \ c=25 \) হলে \((1)\) রেখার উপর \((-5, 10)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) রেখাটির সমীকরণ \(3x+2y=12\)।
\((b) p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
\((c)\) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((16, -13)\) এবং \((3, 4)\) ।
অনুশীলনী \(3.E\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i).(a) - Q.1.(i).(d)\) নিম্নলিখিত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((2, -1)\) এবং \((-3, 5)\) ;

\(Q.1.(i).(b)\) \((7, 5)\) এবং \((0, -4)\) ;

\(Q.1.(i).(c)\) \((a, b)\) এবং \((-a, -b)\);

\(Q.1.(i).(d)\) \((a, b)\) এবং \((a+b, a-b)\);

উত্তরঃ \((a)\ 6x+5y-7=0;\) \((b) \ 11x-6y-24=0;\) \((c) \ bx-ay=0;\) \((d) \ (2b-a)x+by+a^{2}-2ab-b^{2}\)।
\(Q.1.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(4x-3y=0\)।

\(Q.1.(iii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সাথে \((a)\) \(60^{o}\) এবং \((b)\) \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \((a)\) \(y-\sqrt{3}x=0\); \((b)\) \(x+y=0\)।

\(Q.1.(iv)\) \(6x-5y+30=0\) সরলরেখাটির ঢাল এবং অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); খন্ডিতাংশ \(=-5\) এবং \(6\)।

\(Q.1.(v)\) দুইটি সরলরেখা উভয়ে \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা যথাক্রমে \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর উপর লম্ব । রেখা দ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+4=0\) এবং \(x-3=0\)।

\(Q.1.(vi)\) \(ax+by=c\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) এবং \(c\) তে প্রকাশ কর ।
[ দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(p=\pm\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)।

\(Q.1.(vii)\) \(3x+7y=21\) এবং \(2ax-3by+6=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।

\(Q.1.(viii)\) \(12x+5y-6=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(p=\frac{6}{13}\)।

\(Q.1.(ix)\) \(3x+\sqrt{3}y+2=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(p=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)।
\(Q.1.(x)\) \(3x-4y=12\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এবং \(\alpha\) এর মান নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(p=\pm \frac{12}{5}\); \(\tan^{-1}(-\frac{4}{3})\)।

\(Q.1.(xi)\) দেখাও যে \(x-2y+5=0\) রেখাটি \((-3, 6)\) বিন্দু হতে \(x-2y-5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত সকল সরলরেখাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
[ ঢাঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, দিঃ ২০১২ ] ।

\(Q.1.(xii)\) একটি সরলরেখা \((1, 2)\) ও \((3, 4)\) বিন্দুগামী এবং \((x, y)\) বিন্দুটি তার উপর অবস্থিত । দেখাও যে, \(x-y+1=0\)।
[ ঢাঃ ২০০৩,রাঃ ২০০৬ ] ।

\(Q.1.(xiii)\) \(P(x, y)\) \(C(1, 2)\) রেখাটি \(A(-7, 3)\) \(B(1, -5)\) রেখার উপর লম্ব হলে, দেখাও যে, \(x-y+1=0\)।

\(Q.1.(xiv)\) \((a, b)\), \((\acute{a}, \acute{b})\), \((a-\acute{a}, b-\acute{b})\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, এদের সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(a\acute{b}=\acute{a}b\)।
[ কুঃ ২০০৯ ] ।

\(Q.1.(xv)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((3, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x+y-8=0\)।

\(Q.1.(xvi)\) কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ কুঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(3x+2y=12\)।

\(Q.1.(xvii)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((6, 2)\) বিন্দুতে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x+2y-10=0\)।

\(Q.1.(xviii)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(9x-20y+96=0\)।

\(Q.1.(xix)\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে, এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-2y=0\); \(5x-8y=0\)।

\(Q.1.(xx)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\sin^{-1}(\frac{5}{13})\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের ছেদাংশ \(5\) একক ।
উত্তরঃ \(12y=5x+60\)।
অনুশীলনী \(3.E\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) চলমান রেখাটি অক্ষরেখা দুইটিকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, এখানে \(P\) ধ্রুবক । দেখাও যে, \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ হবে \(P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)।

\(Q.2.(ii)\) একটি বর্গের কর্ণদ্বয় অক্ষদ্বয় বরাবর এবং প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\) একক । বর্গের চারটি বাহুর সমীকরণ বের কর।
উত্তরঃ \(x+y+2=0; \ x-y-2=0; \ x+y-2=0; \ x-y+2=0\)।

\(Q.2.(iii)\) একটি সরলরেখা \((2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের সমষ্টি \(15\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।

\(Q.2.(iv)\) যে সরলরেখাটি \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(6\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(3x+2y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।

\(Q.2.(v)\) যে সরলরেখাটি \((6, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(=1\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x+4y=2\) বা, \(x+9y+3=0\)।

\(Q.2.(vi)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমান সমান অংশ ছেদ করে এবং \((\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[কুঃ ২০০৪, দিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x+y=\alpha+\beta\)।

\(Q.2.(vii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 8)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের ধনাত্মক অংশ ছেদ করে ।
উত্তরঃ \(x+y-5=0\)।

\(Q.2.(viii)\) একটি সরলরেখা \((3, 7)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+4=0\)।
\(Q.2.(ix)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(4\) একক ।
[ কুঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।

\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে প্রথম চতুর্ভাগে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x+y=8\)।

\(Q.2.(xi)\) \(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত ; \(AB\) সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১, যঃ,ঢাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x+y-6=0\)।

\(Q.2.(xii)\) দেখাও যে, \(x=a\), \(y=b\) এবং \(y=mx\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2m}(b-ma)^{2}\) ।
[ কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩ ] ।

\(Q.2.(xiii)\) \(2y+x-5=0\), \(y+2x-7=0\) এবং \(x-y+1=0\) রেখাত্রয়ের সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।
[ কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)বর্গ একক ।

\(Q.2.(xiv)\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) একক এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ মাঃবঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x-\sqrt{3}y+10=0\)।

\(Q.2.(xv)\) একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x-y+2=0\), \(x+2y-4=0\) এবং \(2x-y-3=0\) প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমকোণী । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\frac{1}{2}\) বর্গ একক ।
অনুশীলনী \(3.E\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) একটি সরলরেখা \((-2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-8y-18=0\)।

\(Q.3.(ii)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x-2y-8=0\)।

\(Q.3.(iii)\)এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA-OB=2\) হয়। যখন \(O\) মূলবিন্দু ।
[ সিঃ,রাঃ ২০১২ ] ।
উত্তরঃ \(2x+3y=12\) বা, \(x-y=1\)।

\(Q.3.(iv)\) \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশ ছেদ করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটির যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক বের কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0\); \((3, 6)\)।

\(Q.3.(v)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-10=0\).

\(Q.3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(16\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\).

\(Q.3.(vii)\) \(x+2y+7=0\) সরলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপরক্ত খন্ডিতাংশ কোন বর্গের বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\); \(61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(viii)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2t+2, t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y=10\); \(25\) বর্গ একক।

\(Q.3.(ix)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((t+5, 2t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয় থেকে যে পরিমান অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y=14\); \(7\) এবং (-14\).

\(Q.3.(x)\) \(3x+by+1=0\) এবং \(ax+6y+1=0\) রেখা দুইটি \((5, 4 )\) বিন্দুতে ছেদ করে; \(a\) ও \(b\) এর মান কত? যদি প্রথম রেখাটি \(X\) অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় রেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, তবে \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-5, \ b=-4\); \(3x+6y+1=0\).

\(Q.3.(xi)\) \(a\) এর মান কত হলে \((i) 3x+2y-5=0\), \((ii) ax+4y-9=0\), \((iii) x+2y-7=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে? বিশেষ অবস্থা দুইটি আলোচনা কর, যখন \(a=2\) এবং \(a=6\)।
উত্তরঃ \(a=7\); প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে। দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।

\(Q.3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\); \(AB\) ও \(AC\)এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
[ ঢঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(6x+2y-17=0\)।

\(Q.3.(xiii)\) \(A(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(C(6, -8)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে, ঐ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।

\(Q.3.(xiv)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) বিন্দুত্রয় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু ; ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।

\(Q.3.(xv)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত । \(OC\) রেখার সমীকরণ \(y=2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) । \(A\) ও \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AC\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(A(3, 0)\), \(C(1, 2)\), \(x+y-3=0\)।

\(Q.3.(xvi)\) \(x+by=b\) রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। যদি \(OA=3.OB\), যখন \(O\) মূলবিন্দু এবং \(Q\) এর স্থনাংক \((0, -9)\) হয়, তবে \(AQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(AQ\perp AB\) ।
উত্তরঃ \(3x-y=9\)।

\(Q.3.(xvii)\) \(x=4\), \(x=8\), \(y=6\) এবং \(y=10\) রেখাগুলি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তার পরস্পর লম্ব ।
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+3=0\) এবং \(y+2=0\) সমীকরণ চারটি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y+1=0\), \(x+y-2=0\)।

\(Q.3.(xix)\) \(X\) অক্ষের উপর \(P, Q\) বিন্দুদ্বয় \(Y\) অক্ষের উপর \(R, S\) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত। \(PR\) ও \(QS\) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y+6=0\) এবং \(x+2y-1=0\) ; দেখাও যে, \(PQ=RS\) ।
[ ঢঃ ২০০৮ ] ।

\(Q.3.(xx)\) \((2, -1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(-\frac{3}{4}\) এ রেখার উপর \((2, -1\) বিন্দু হতে \(15\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((14, -10)\), \((-10. 8)\)।

\(Q.3.(xxi)\) \((-1, 1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \((-1, 1\) বিন্দু হতে \(26\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((23, 11)\), \((-25, -9)\)।

\(Q.3.(xxii)\) \(A(3, -\frac{7}{2})\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(-\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেন, \(AP=\frac{13}{2}\) হয়।
উত্তরঃ \((9, -1)\), \((-3. -6)\)।

\(Q.3.(xxiii)\) একটি কারখনায় \(75\) একক এবং \(100\) একক জিনিস তৈরী করতে যথাক্রমে \(350\) টাকা এবং \(400\) টাকা খরচ হয়। জিনিস্টির খরচ ও পরিমানের মধ্যকার বিদ্যমান সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং তা থেকে \(150\) একক জিনিস তৈরী করার খরচ বের কর।
উত্তরঃ \(y=2x+200\); \(500\) টাকা ।

\(Q.3.(xxiv)\) কোনো একটি ছাত্রাবাসের মোট ব্যায় \(y\) এবং সদস্য সংখ্যা \(x\); \(12\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1040\) টাকা এবং \(20\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1600\) টাকা হলে, \((a)\) \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর। \((b)\) সদস্য সংখ্যা \(15\) হলে, মোট ব্যায় কত হবে? । উত্তরঃ \(y=70x+200\); \(1250\) টাকা।
অনুশীলনী \(3.E\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বন্দুতে ছেদ করে।
\(Q.4.(i).(a)\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(Q.4.(i).(b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত সলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬; সিঃ ২০১১; বঃ ২০১৩। ]
\(Q.4.(i).(c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত সলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
[ চঃ ২০০৬, ২০১৩; দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৪। ]
উত্তরঃ \((a) \ x+y=0;\) \((b) \ 9x-20y+96=0;\) \((c) \ x+y+4=0\) বা, \(x+y-4=0\) ।
\(Q.4.(ii)\) চিত্র হতে।locus4
\(Q.4.(ii).(a)\) \(AB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.4.(ii).(b)\) \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) রেখাকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করলে \(OP\) ও \(OQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫, সিঃ ২০০৯, চঃ ২০১৩ ]।
\(Q.4.(ii).(c)\) \(A\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরত্বে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x+3y=12;\) \((b) \ 2x-3y=0=0; \ 8x-3y=0.\) \((c) \ (-3, 8)\) বা, \((9, -8) \) ।

Please leave your comments below

2 Comment(s)
Alamin
September 3, 2019, 4:12 am
Hello Tanmoy
Reply
golzar
September 2, 2019, 1:24 am
Hello Taushy
Reply
1 Reply(s)
Tanmoy
September 3, 2019, 3:52 am
Hello Golzar

Pages