সমতলে অসমান্তরাল সরলরেখা
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
অসমান্তরাল সরলরেখাঃ
যদি একই সমতলে অবস্থিত দুই বা ততোধিক সরলরেখা চলার পথে কোনো একটি বিন্দুতে মিলিত হয় তবে তাদেরকে অসমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ
\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণঃ
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)
সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(2.\) দুইটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব এবং সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(m_{1}=m_{2}\).
\((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(m_{1}\times m_{2}=-1\).
সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\).
\((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\).
\(3.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\).
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

\(4.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\).

\(5.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(ax+by+k=0\).
এখানে,
\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(6.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(bx-ay+k=0\).
এখানে,
\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(7.\) তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত
ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
অনুশীলনী \(3.F\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।

উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০১১,যঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\)এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]

উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]

উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণটি নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।

উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।

উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।

উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ বঃ ২০০১ ]
অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(a)\) \(y=5\) এবং \(x+y-2=0;\)

\(Q.1.(i).(b)\) \(x-2y+1=0\) এবং \(3x-y+5=0;\)

\(Q.1.(i).(c)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x-3y+7=0;\)

\(Q.1.(i).(d)\) \(y-\sqrt{3}x-5=0\) এবং \(\sqrt{3}y-x+6=0;\)

\(Q.1.(i).(e)\) \((2-\sqrt{3})x-y+5=0\) এবং \((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0;\)

\(Q.1.(i).(f)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x+3y+7=0\)এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ \((a) \ 45^{o}; \ (b) \ 45^{o};\) \((c) \ 90^{o}; \ (d) \ 30^{o};\) \((e) \ 60^{o};\) \((f) \ \tan^{-1}(-\frac{25}{24});\)
\(Q.1.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-1=0\) এবং \(2x+ky-7=0\) রেখাদুইটি সমান্তরাল হবে?
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5}\)।

\(Q.1.(iii)\) \(a\) এর মান কত হলে \(2x-y+3=0\) এবং \(3x+ay-2=0\) রেখাদুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \( a=6\).

\(Q.1.(iv)\) মূলবিন্দু এবং \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।

\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু এবং \(4x+3y-8=0\) ও \(x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(4x+5y=0\)।

\(Q.1.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ও \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x-y=0\)।

\(Q.1.(vii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(2x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y-11=0\)।

\(Q.1.(viii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((4, 6)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার মধ্যবিন্দু এবং \(2x+3y-6=0\) ও \(5x+4y-1=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x-4y+19=0\)।

\(Q.1.(ix)\) \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং \(2x-3y=7\) রেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+2y=0\)।

\(Q.1.(x)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((2, 5)\) বিন্দুগামী এবং \(3x+12y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
[ কুঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x-3y-9=0\)।

\(Q.1.(xi)\) একটি সরলরেখা \((-3, -2)\) বিন্দুগামী এবং \(4x+5y-2=0\) রেখার উপর লম্ব । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(5x-4y+7=0\)।

\(Q.1.(xii)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2y-11x+7=0\) রেখার উপর লম্ব এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(2x+11y+17=0\)।
\(Q.1.(xiii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় যা \(3x+2y+6=0\) এবং \(2x+3y-11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+6y+15=0\) রেখার উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \(3x-2y+42=0\)।

\(Q.1.(xiv)\) \(5x-9y+13=0\)এবং \(9x-5y+11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।

\(Q.1.(xv)\) \(AB\) ও \(AC\)রেখা দুইটির সমীকরণ \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\) হলে, \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x+2y=7\)।

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখা ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।

\(Q.1.(xvii)\) \((4, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+11y-2=0\) রেখাটির সমান্তরাল এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।

\(Q.1.(xviii)\) \(4x+3y+12=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \(x+y-5=0\) ও \(2x-y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।

\(Q.1.(xix)\) \(A(8, 5)\)\(B(-4, -3)\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।

\(Q.1.(xx)\) \((8, 5)\),\((-4, -3)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y=10\)।

\(Q.1.(xxi)\) \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । \(A\) বিন্দুগামী এবং \(BC\) রেখার উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।

\(Q.1.(xxii)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(3x+2y=9\) ও \(2x+3y=11\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং প্রথম রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।

\(Q.1.(xxiii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(y-2x-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এই রেখার সাথে প্রদত্ত রেখ দুইটি কি কোণে আনত তাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।

\(Q.1.(xxiv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-6=0\) ও \(2x+ky+9=0\) রেখা দুইটি সমান্তরাল হবে?
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5} \)।

\(Q.1.(xxv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(2x-y+7=0\) ও \(3x+ky-5=0\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(k=6 \)।
অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 2)\) ও \((3, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং উক্ত রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।

\(Q.2.(ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।

\(Q.2.(iii)\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((2\pm \sqrt{3})x+y=10\pm 3\sqrt{3}\)।

\(Q.2.(iv)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এদের সমীকরণ থেকে প্রমাণ কর যে, তারা পরস্পর লম্ব।
[ ঢাঃ ২০১১, যঃ ২০১১, সিঃ ২০১২, চঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x+y=0\) বা, \(x-2y+5=0\)।

\(Q.2.(v)\) দুইটি সরলরেখা \((6, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x+4y=11\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১, ২০১৩, চঃ ২০১১, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((x-7y+43=0; \ 7x+y-49=0\)।

\(Q.2.(vi)\) \(3x+8y-10=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11x+5y-13=0; \ 5x-11y-59=0\)।

hints: \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(3x+8y-10=0\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উতপন্ন করে
\(Q.2.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) ।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।

\(Q.2.(viii)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(2x+y-4=0\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y-1=0, \ 7x+y-19=0\)।
\(Q.2.(ix)\) দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x=8y, \ 7x=4y\)।

\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে ।
উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।

\(Q.2.(xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((1, 8)\)।

\(Q.2.(xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।

\(Q.2.(xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) ।
[ ঢাঃ ২০১৩, রাঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।

\(Q.2.(xv)\) \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x+y-3=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)।

\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

\((xvii)\) দেখাও যে, \(x=t\), \(y=2t+1\) এবং \(x=2t\), \(y=-t-4\) রেখা দুইটি \((-2, -3)\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে।

\(Q.2.(xviii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) রেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।

\(Q.2.(xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।

\(Q.2.(xxi)\) \(a\) এর মান কত হলে \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\) ও \(x+ay=0\) রেখাত্রয় একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(a=3\)।

\(Q.2.(xxii)\) \(ax+by+c=0\) রেখাটি \(bx+cy+a=0\) এবং \(cx+ay+b=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে গেলে প্রমাণ কর যে, \(a+b+c=0\) ।
[সিঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(y-1=0\)।

\(Q.2.(xxiv)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(4x+3y=6\) ও \(x-2y=7\) রেখাদ্বয়ের সমবিন্দু রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৫, দিঃ ২০১০, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০০৭, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y+2=0\)।

\(Q.2.(xxv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-3y+4=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৪,যঃ ২০১০,বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(5x-1=0\)।

\(Q.2.(xxvi)\) \(2x-3y-15=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি সরলরেখা সমবিন্দু এবং \(x=0\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-4=0\)।

\(Q.2.(xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।

\(Q.2.(xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে।
উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।

\(Q.2.(xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।

\(Q.2.(xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।

\(Q.2.(xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\)রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।

\(Q.2.(xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।

\(Q.2.(xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।

\(Q.2.(xxxiv)\) \(Y\)অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(13x-23=0 \) ।
অনুশীলনী \(3.F\)/ \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) একটি সরলরেখা \(2x+5y-9=0\) ও \(3x-4y-7=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে সমবিন্দু এবং \(x=y\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।

\(Q.3.(ii)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এবং যারা \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদুইটি সাথে সমবিন্দু ।
উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।

\(Q.3.(iii)\) \(3x-4y+1=0\) এবং \(5x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(23x+23y=11\)।

\(Q.3.(iv)\) \(3x-7y+5=0\) এবং \(x-2y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=85\)।

\(Q.3.(v)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(7x+13y-87=0\) ও \(5x-8y+7=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি হতে সমান সংখ্যা মানের অংশ ছেদ করে।
উত্তরঃ \(x+y-9=0; \ x-y-1=0\)।

\(Q.3.(vi)\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(4x-3y=1\) ও \(2x-5y+3=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।

\(Q.3.(vii)\)\(P\) বিন্দুটি \(x-3y=2\)রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3)\), \((6, -5)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(P\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((14, 4)\)।

\(Q.3.(viii)\) \(x+2y+2=0\)রেখার উপর এরূপ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \((2, -1)\), \((3, 4)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী।
উত্তরঃ \((-10, 4)\)।

\(Q.3.(ix)\) \(P(x, y)\)বিন্দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \(Q(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\) রেখার উপর লম্ব। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।

\(Q.3.(x)\) \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\) হলে, \(P\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।

\(Q.3.(xi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\); অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((-2, -3)\)।

\(Q.3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) হলে, \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।

\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) সরলরেখাটি \(2x-y=1\) এবং \(3x-4y+6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+3y-6=0\) রেখার সমান্তরাল হয়, তবে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।
\(Q.3.(xiv)\) দেখাও যে, \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং \((4, 9)\) বিন্দুর সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দুগামী।

\(Q.3.(xv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।

\(Q.3.(xvi)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\) এবং কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \((4, 5)\) । এর অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।

\(Q.3.(xvii)\) প্রমণ কর যে, \(2x+y+5=0\) এবং \(x-2y-3=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। রেখাদ্বয়কে কোনো আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু ধরলে এবং অপর বাহুদ্বয় \((3, 4)\) বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করলে অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(k\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, 2)\)।

\(Q.3.(xix)\) দেখাও যে, \(k\) এর সকল বাস্থব মানের জন্য একগুচ্ছ সরলরেখা \((3+2k)x+5ky-3=0\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, -\frac{2}{5})\)।

\(Q.3.(xx)\) \(4x+7y-12=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষ \((3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত। এ বিন্দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।

\(Q.3.(xxi)\) \(A(3,-1)\),\(B(-2, 3)\) বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং তার লম্ববিন্দুটি মূলবিন্দুতে অবস্থিত। তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-\frac{36}{7}, -\frac{45}{7})\)।

\(Q.3.(xxii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(x-y+1=0\) ও \(2x+3y-6=0\) এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \((1, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে। সামান্তরিকের অপর দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y-1=0; \ x-y-2=0\)।

\(Q.3.(xxiii)\) \((2, 1)\), \((6, 3)\) বিন্দু দুইটি এবং \((6, 3)\), \((8, 1)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, এ লম্ব দ্বিখন্ডক দুইটির ছেদবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।

\(Q.3.(xxiv)\) দেখাও যে, \(4x-6y-24=0\), \(3x+7y+5=0\) এবং \(4x-3y-18=0\)রেখাত্রয় সমবিন্দু। এদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, -2)\)।

\(Q.3.(xxv)\) \((x, y)\) এমনেই একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((-1, 2)\) ও \((-5, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার উপর লম্ব হয়। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।

\(Q.3.(xxvi)\) \(\lambda\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \(y(1+\lambda)-x(3+2\lambda)-11-9\lambda=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 5)\)।
অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\)
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(Q.4.(ii)\) চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

\(Q.4.(iii)\) \(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard