সমতলে সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
  • মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
  • দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
  • কোনো সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শ।
  • একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
  • মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
  • সরলরেখার প্রতিচ্ছবি।
  • দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান।
  • একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শঃ
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার যে কোনো পার্শের যে কোনো বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এর জন্য যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ এবং তার বিপরীত পার্শটিকে ঋনাত্মক পার্শ বলা হয়।
straight3straight3
মূলবিন্দুর অবস্থানঃ
যদি \(ax+by+c=0\) সমীকরণের \(c\) ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শে এবং \(c\) ঋনাত্মক হলে, মূলবিন্দু রেখাটির ঋনাত্মক পার্শে অবস্থিত হবে।
মূলবিন্দু ও অপর যে কোনো বিন্দুর অবস্থানঃ
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার ক্ষেত্রে, যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) এবং \(c\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির একই পার্শে অবস্থিত হবে। আর যদি বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির বিপরীত পার্শে অবস্থিত হবে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
লম্ব দূরত্ব
\(1.\) একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
straight3
\(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(2.\) মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)straight3
\(3.\) দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব।
\(ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)straight3
\(4.\) দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).straight3
\(5.\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি এবং বাহুগুলির মাধ্যমে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয়।
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু তিনটি \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) এবং \((x_{3}, y_{3})\) এবং বাহুগুলি \(BC=a, \ CA=b, \ AB=c \) হলে, এর অন্তঃকেন্দ্র,
\(I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).straight3
\(6.\) \(ax+by+c=0\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং \(d\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণঃ
\(ax+by+c\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\).straight3
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(7.\) \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয় \(ax+by+c=0\) সরলরেখার একই পার্শে অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা তা নির্ণয়ঃ
ধরি,straight3
\(f(x,y)\equiv ax+by+c=0 ......(1)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(Q(x_{2}, y_{2})\)
\((a)\) \(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার একই পার্শে অবস্থান করবে।
straight3 \((b)\) \(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(8.\) দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)straight3
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((a)\) যদি,\( (a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})>0\) হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\((b)\) যদি,\( 0>(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\) হয়, তবে
straight3
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(9.\)একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
straight3 \(f(x,y)\equiv a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\)
\(g(x,y)\equiv a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\)
\((a)\) যদি,\( f(\alpha,\beta)\times g(\alpha,\beta)>0\) হয়, তবে \(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
\((b)\) যদি, \( f(\alpha,\beta)\times g(\alpha,\beta) < 0 \) হয়, তবে
straight3 \(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(10.\)মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
straight3 \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .......(2)\)
\((a)\) যদি,\( c_{1}\) ও \( c_{2}\) সমচিহ্নযুক্ত হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
\((b)\) যদি, \( c_{1}\) ও \( c_{2}\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়, তবেstraight3
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(11.\)সরলরেখার প্রতিচ্ছবি।
straight3 \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\) রেখাদ্বয়ের সাপেক্ষে \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখা দুইটি পরস্পর প্রতিচ্ছবি
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(12.\)দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান।
\((a)\) যদি,\( (a_{1}\acute{x}+ b_{1}\acute{y}+c_{1})(a_{2}\acute{x}+ b_{2}\acute{y}+c_{2})(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})>0\) হয়, তবে
\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
\((b)\) যদি,\( 0>(a_{1}\acute{x}+ b_{1}\acute{y}+c_{1})(a_{2}\acute{x}+ b_{2}\acute{y}+c_{2})(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\) হয়, তবে
\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(13.\)একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন।
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\)।
\((a)\) যদি,\( (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}-y_{3})>0\) হয়, তবে \(\angle A\) হবে সূক্ষ্মকোণ
\((b)\) যদি,\( 0>(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}-y_{3})\) হয়, তবে \(\angle A\) হবে স্থুলকোণ
অনুশীলনী \(3.G\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \((-6, 0)\) বিন্দুটি \(3x+4y-1=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।

উদাহরণ \(2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।

উদাহরণ \(3.\) \(15x-8y+3=0\) ও \(4x+3y+5=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।

উদাহরণ \(4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত।
[কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]

উদাহরণ \(6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫।]

উদাহরণ \(7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।]

উদাহরণ \(8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।]

উদাহরণ \(9.\) দেখাও যে, \(y=1\), \(3x-4y=5\) ও \(5x+12y+13=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক মূলবিন্দুতে অবস্থিত।

উদাহরণ \(10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।

উদাহরণ \(11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(x\sqrt{3}-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(12.\) \((3, -2)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শে মূলবিন্দু, সেই পার্শে অবস্থিত?

উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \((\pm 4, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(3x\cos\theta+5y\sin\theta=15\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\theta\) বর্জিত ।
[কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]

উদাহরণ \(14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]

উদাহরণ \(15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(16.\) locus4 চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(17.\)
\(3y=4x-10 ........(1)\)
\(y=1 ........(2)\)
\(3x-4y=5 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]
। \((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১০।]
। \((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i).(a) - Q.1.(i).(i)\) লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(4x-3y+33=0\);

\(Q.1.(i).(b)\) \((4, -2)\) বিন্দু হতে \(5x+12y=3\);

\(Q.1.(i).(c)\) \((0, 0)\) বিন্দু হতে \(4x+3y+5=0\);

\(Q.1.(i).(d)\) মূলবিন্দু হতে \(8x+6y+25=0\);

\(Q.1.(i).(e)\) \(5x+12y=23\) হতে \(5x+12y+29=0\);

\(Q.1.(i).(f)\) \(3x-2y=2\) হতে \(6x-4y+9=0\);

\(Q.1.(i).(g)\) \(5x+12y+3=0\) হতে \(5x+12y+29=0\);

\(Q.1.(i).(h)\) \(3x-2y=1\) হতে \(6x-4y+9=0\);

\(Q.1.(i).(i)\) \(4y=3(x-4)\) হতে \(4y=3(x-1)\);

উত্তরঃ \((a) \ 10;\) \((b) \ \frac{7}{13};\)
\((c) \ 1;\) \((d) \ \frac{5}{2};\)
\((e) \ 4;\) \((f) \ \frac{\sqrt{13}}{2};\)
\((g) \ 2;\) \((h) \ \frac{11}{2\sqrt{13}};\)
\((i) \ \frac{9}{5}\)।
\(Q.1.(ii)\) \(4x-4y+3=0\) ও \(x+7y-2=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে, দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। এদের মধ্যে কোনটি মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
[যঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(16x-48y+23=0; \ 24x+8y+7=0\),
দ্বিতীয়টি।

\(Q.1.(iii)\) \(P\) বিন্দু হতে \(2x+y-1=0\) এবং \(x+2y+1=0\) সরলরেখাদ্বয়ের দূরত্বের অনুপাত \(2:1\) হলে, \(P\) এর সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+5y+1=0; \ y+1=0\)।

\(Q.1.(iv)\) দেখাও যে, \(7x-9y+10=0\) সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(3x+4y-5=0\) এবং \(12x+5y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

\(Q.1.(v)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y-2x+2=0\) এবং \(y-3x+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু হতে যাদের দূরত্ব \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) একক।
উত্তরঃ \(x+y=7\) এবং \(17x+31y=175\)।

\(Q.1.(vi)\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) একক দূরে অবস্থিত সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১২, রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0\)।

\(Q.1.(vii)\) \(4x-3y=8\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং তা থেকে \(2\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+2=0; \ 4x-3y-18=0\)।

\(Q.1.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((\pm c, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে \(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(b^{2}\) হবে যখন \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)।

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) বিন্দুটি \(12x-5y+1=0\) এবং \(5x+12y-16=0 \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]

\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(4x+7y-26=0\) রেখার উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু , \(3x+4y-12=0 \) এবং \(5x+12y-52=0 \) সরলরেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

\(Q.1.(xi)\) মূলবিন্দু হতে \(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta=k \) ও \(x\cos\theta-y\sin\theta=k\cos2\theta \) রেখদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(P\) ও \(P_{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4P^{2}+P_{1}^{2}=k^{2}\)।
[ চঃ ২০১১]

\(Q.1.(xii)\) \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(x-\sqrt{3}y+4=0\) রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কিত হলো। মূলবিন্দু থেকে এ লম্বের লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।

\(Q.1.(xiii)\) \((2, 3)\) বিন্দু এবং \(4x+3y-7=0\) রেখার সাপেক্ষে উক্ত বিন্দুর প্রতিবিম্বের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\) একক।

\(Q.1.(xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখা দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে দেখাও যে, \(x+7y=0\) অথবা, \(7x-y+2=0\)।

\(Q.1.(xv)\) \((7, 17)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((1, 9)\) বিন্দু থেকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।

\(Q.1.(xvi)\) একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক। তার সমীকরণ বের কর।
[ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।

\(Q.1.(xvii)\) \(x+3y=7\) রেখার সাপেক্ষে \((3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -4)\)।

অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।

\(Q.2.(ii)\)\(2x+y+3=0\) ও \(2x-4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।

\(Q.2.(iii)\) \((a, b)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, \(a+7b=0\) অথবা \(7a-b+2=0\)।
[চঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(iv)\) \(4x+3y+2=0\) এবং \(12x+5y+13=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত যে কোণটি মূলবিন্দুধারী তার সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।

\(Q.2.(v)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরালে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(3\)।

\(Q.2.(vi)\) \(bx+ay=ab\) এবং \(ax-by=ab\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হতে \(ax-by=0\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ও তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।

\(Q.2.(vii)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(7\frac{1}{2}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x+4y=7\) রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।

\(Q.2.(viii)\) মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) রেখার উপর লম্ব এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।
\(Q.2.(ix)\) \(8x-6y+5=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6x+8y\pm 40=0\)।

\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \((-\frac{1}{2}, -2)\) বিন্দুটি \(2x-3y+4=0\) এবং \(6x+4y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

\(Q.2.(xi)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3y=4x-10\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।

\(Q.2.(xii)\) \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3x+4y=15\) রেখার লম্বদূরত্ব \(6\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((-5, 0), \ (15, 0)\)।
Hints: \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(A(a, 0)\)
\(Q.2.(xiii)\) \(5x-12y-6=0\), \(3x+4y+2=0\) এবং \(y=2\) রেখার সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।

\(Q.2.(xiv)\) \(2x+y+3=0\) এবং \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(Q.2.(2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।

\(Q.2.(xv)\) \(x+y+1=0\) রেখাটি \(3x-4y+3=0\) এবং \(AB\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডক। \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।

\(Q.2.(xvi)\)\(12x+5y=4=0\) ও \(3x+4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21x-27y-111=0; \ 99x+77y+71=0\)।

\(Q.2.(xvii)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(4x+3y=12\), \(3x-4y+16=0\) এবং \(4x-3y=12\) তার অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, \frac{25}{7})\)।

অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(4y-3x=3\) এবং \(3y-4x=5\) রেখা দুইটির অন্তর্গত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।

\(Q.3.(ii)\) \(y=4\) এবং \(Y\) অক্ষের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।

\(Q.3.(iii)\) একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমীকরণ \(x-2y=0\), \(3x+y=0\) এবং \(2x-3y+11=0\) হলে, এর লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -3)\)।

\(Q.3.(iv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\) হলে, ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।

\(Q.3.(v)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(O(0, 0)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 3)\)।

\(Q.3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।

\(Q.3.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যার ঢাল \(-1\) এবং মূলবিন্দু হতে যার দূরত্ব \(4\) একক।
[সিঃ ২০০৯, কুঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(x+y\pm 4\sqrt{2}=0\)।

\(Q.3.(viii)\) মূলবিন্দু হতে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)।

\(Q.3.(ix)\) একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু \(6x-8y+5=0\) এবং \(3x-4y+10=0\) রেখা দুইটির উপর অবস্থিত এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(x)\) \((0, 0)\), \((0, 3)\) এবং \((4, 0)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে তারা সমবিন্দু ।
[ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।

\(Q.3.(xi)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x=3\), \(y=4\) এবং \(4x+3y=12\) তার কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।

\(Q.3.(xii)\) \(5x+12y=15\) রেখা এবং অক্ষদুইটির সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের কোণতিনটির বহিঃদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।

\(Q.3.(xiii)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \((1, 2)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 12)\)।
অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-4y+8=0\)।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।

\(Q.4.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \(-3, 2\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x=y; \ x+y=4.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0 \) ।

\(Q.4.(iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(kx+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।

\(Q.4.(iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\) \((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।

\(Q.4.(v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\) \((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।

\(Q.4.(vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\) \((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।

\(Q.4.(vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\) \((c) \ \) ।

\(Q.4.(viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) (AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\) \((c) \ x+(\sqrt{2}-1)y+1+6\sqrt{2}=0\) ।

\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।

\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।

\(Q.4.(xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।

\(Q.4.(xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}), \frac{5\pi}{4}\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (1, 1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((c) \ 2:1. \) ।

\(Q.4.(xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\) \((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।

\(Q.4.(xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\) \((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।

\(Q.4.(xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\) \((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।

\(Q.4.(xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\) \((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।

\(Q.4.(xviii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \((3, 5)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) চিত্রের আলোকে \(AB\) রেখা হতে \(3\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) চিত্রের মূলবিন্দু ও \(\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডণ বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2};\) \((b) \ 3x+4y+3=0; \ 3x+4y-27=0;\) \((c) \ 2\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xix)\) একটি সরলরেখা \((-4, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সরলরেখটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-2y+14=0;\) \((b) \ \frac{14}{\sqrt{10}};\) \((c) \ 49\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xx)\) \((5x-4y-1=0)\) ও \((-8x+7y+1=0)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। \(4x+3y-5=0\) সরলরেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।
\((a)\) \((-1, 2)\) ও \((3, -4)\) বিন্দুগামী সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 7x+4y=1;\) \((b) \ 3x-4y+1=0;\) \((c) \ \) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(D\) বিন্দু \(AC\) বাহুকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, \(D\) হতে \(BC\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ACB\) কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4});\) \((b) \ \frac{17}{7\sqrt{2}};\)
\((c) \ 7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}+3)y+71=0,\) \(7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}-3)y-83=0 \)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxii)\) দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})\) ও \(B(2, 270^{o})\)।
\((a)\) বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব এবং \((2, 3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3x-2y+4=0\) এবং \(AB\) এর উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ A(1, 1), \ B(0, -2);\) \((b) \ x+3y-11=0;\) \((c) \ \pm \tan^{-1}\frac{11}{3}\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxiii)\) \(A(2, 3)\) ও \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থীর বিন্দু।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যেন, \(PA:PB=2:3\) হয়।
\((c)\) দেখাও যে, \((0, 2)\) বিন্দু এবং \(AB\) সরলরেখা হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ একটি প্যারাবোলা।
উত্তরঃ \((a) \ y=3x+2;\) \((b) \ 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxiv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(B(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(B(6, -8)\)। মধ্যমাত্রয় \(AD\), \(BE\) এবং \(CF\); \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AD\) \(BE\) মধ্যমাত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) দেখাও যে, \(AD\) মধ্যমা \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 56;\) বর্গ একক। \((b) \ 11x-y-18=0, \ x-2y-8=0;\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(AB\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(X\) অক্ষের সাথে রেখাটির উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগানী এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{3}, 0), \ (0, 7), \ \tan^{-1}(\pm 3);\)
\((b) \ y+2x=0, x-2y+5=0, \ x-2y-8=0;\) \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxvi)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) মূলবিন্দু ও \((-2, -5)\) বিন্দুগামী রেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে সরলরেখটির লম্ব দূরত্ব এবং লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}\frac{5}{2}\) \((b) \ x-2y-8=0;\)
\((c) \ \frac{8}{\sqrt{5}}, 2x+y=0 \)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxvii)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত। \(OC\) এর সমীকরণ \(y=-2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, 2)\)।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) কর্ণের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(OB\) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং \(OABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, 2);\) \((b) \ 2\sqrt{2}, \ x-y+3=0;\) \((c) \ 2\sqrt{2},\ 6\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxviii)\) নিচের বিন্দু চারটি লক্ষ কর।
\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\), \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AB\) এর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ABCD\) আয়ত গঠন করলে \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-y-7=0;\) \((b) \ (9, 12);\) \((c) \ (\frac{13}{3}, -\frac{2}{3})\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxix)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত
\((a)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 120^{o};\) \((b) \ x+y-6=0;\)
\((c) \ (6\sqrt{29}+2\sqrt{37})x-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})y-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxx)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\), \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়।
\((a)\) \((0, 2)\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5}{\sqrt{13}};\) \((b) \ \frac{9\sqrt{10}}{10};\)
\((c) \ 6x+2y=17\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(3x+by+1=0 ........(1)\)
\(ax+6y+1=0 ........(2)\)
\((a)\) \((1)\) ও \((2)\) উভয় \((5, 4)\) বিন্দুগামী হলে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগুলি ও মূলবিন্দুগামী সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের সমান্তরাল হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=-4, \ b=-5;\) \((b) \ 7x+11y-18=0;\)
\((c) \ 2y-7=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(AD\) মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা \(BC\) এর সমান্তরাল।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2x-3y+1=0;\) \((c) \ \tan^{-1}(\frac{18}{17})\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxiii)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\((a)\) মূলবিন্দু থেকে \(3x-y+7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \((-1, 2)\) বিন্দু থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{7}{\sqrt{10}}\) একক।
\((b) \ 3x-y+17=0, \ 3x-y-3=0;\) \((c) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxiv)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(2x-3y+4=0 ........(1)\)
\(3x+3y-5=0 ........(2)\)
\((a)\) রেখাদ্বয়ের ঢালের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2, -1)\) বিন্দু থেকে প্রথম সরলরেখটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী এবং \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{3}\)। \((b) \ (\frac{56}{13}, \frac{20}{13});\) \((c) \ 5x-1=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxv)\) নিচের বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু ।
\(A(2, 1)\), \(B(5, 2)\)
\((a)\) \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(AB\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{10}\) একক। \((b) \ 3x+y=12;\) \((c) \ x-3y-9=0, \ x-3y+11=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxvi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(y=2x+1 ........(1)\)
\(2y-x=4 ........(2)\)
\((a)\) \(3x-2y=1\) ও \(6x-4y+9=0\) রেখাদুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখা দুইটি \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে, \(PQ\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী এবং উদ্দীপকের দ্বিতীয় সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{11}{2\sqrt{13}}\) একক।
\((b) \ 1\frac{1}{3}\) একক। \((c) \ 2x-y\pm 5=0 \)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(AB\) রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সঙ্গে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{3};\) \((b) \ x+3y\pm 4\sqrt{10}-9=0\)।
\((c) \ x-6y=0, \ 2x-3y=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxviii)\) \((-4, 4)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(CD\) রেখার সমীকরণ \(2x-7y+11=0\) এবং \(DE\) রেখার সমীকরণ \(x+3y-8=0\).
\((a)\) \(CD\) ও \(DE\) ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের \((-4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((c)\) উদ্দীপকের \(CD\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(DF\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{21}\) একক।
\((b) 2x+y+4=0, \ x+2y-4=0\). \((c) \ 91x+26y-215=0 \)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxix)\) \(x+2y+7=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) উপরোক্ত খন্ডিতাংশ অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে প্রদত্ত রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\)। \((b) \frac{49}{4}\) বর্গ একক।
\((c) \ (-\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xL)\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত রেখাটি \(X\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\)\(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{3}\)। \((b) \ ax+by=a^{2}\)। \((c) \ y-12=0, \ (0, 12)\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xLi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(AB\) রেখাংশের সমীকরণ \(3x-y+7=0\).
\((a)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের বাহু বিবেচনা করে বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 54\frac{4}{9};\) বর্গ একক। \((b) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)।
\((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)

নিজে করঃ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard