সমতলে বৃত্ত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
ঐতিহাসিক পটভূমি ( Historical Background )
বৃত্ত
The Circle
straight3
ইউক্লিড
৩০০ খ্রিষ্টপূর্বাব্দে ইউক্লিড তাঁর এলিমেন্ট গ্রন্থের তৃতীয় খন্ডে বৃত্তের বৈশিষ্ট্যসমূহের উপর আলোচনা করেন।
বক্ররেখার মধ্যে বৃত্ত সর্বাধীক পরিচিত এবং গুরুত্বপূর্ণ। স্কুল গণিতে বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয় আলোচিত হয়েছে। কোনো সমতলে একটি চলমান বিন্দু এমনভাবে পরিভ্রমণ করে যে, চলমান বিন্দু হতে ঐ সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব সর্বদা সমান হয়, তবে উক্ত চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথটিই বৃত্ত। নির্দিষ্ট দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে। গ্রীক শব্দ 'Kirkos' থেকে বৃত্ত (Circle) শব্দটি এসেছে। 'Kirkos' শব্দটির অর্থ আংটা।
বৃত্ত সম্পর্কে মানুষের ধারণা আক্রিতিক। গ্রিক দার্শনিক ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। , প্লেটোর straight3 প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ - খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। এবং আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। বৃত্তের পরিমার্জন করেন। ১৭০০ খ্রিস্টাব্দে রাইন্ড প্যাপিরাস straight3The late Alexander Henry Rhind was the only surviving son of Josiah Rhind of Sibster, banker in Wick. He was born on the 26th July 1833, and during his earlier years pursued his studies at the Pulteneytown Academy, under the tuition of Mr Andrew Scott, now Professor of Oriental Languages in the University of Aberdeen. He then proceeded to the University of Edinburgh, where he became a student in the class of Natural History in the session of 1848-49, and in the class of Natural Philosophy in the session of 1849-50. ( Rhind Papyrus) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন। গাড়ীর চাকা, চন্দ্র, সূর্য এবং গাছের প্রস্তছেদ প্রভৃতি বস্তু বৃত্তাকার দেখায়। স্থানাংক জ্যামিতিতে, ক্যালকুলাসে, জ্যোতির্বিদ্যায় এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্স ডিজাইনে বৃত্ত সম্পর্কিত অধ্যয়ন গুরুত্বপূর্ণ। প্রাচীন সভ্যতায় যোগাযোগের মাধ্যম চাকাবৃত্তের ধারণা থেকে সৃষ্ট, যা এই উত্তর আধুনিক সভ্যতায় বিস্ময় এনেছে। উচ্চমাধ্যমিক গণিতে বৃত্তকে সমীকরণের মাধ্যমে উপস্থাপন ও সংশ্লিষ্ট কতিপয় বিষয়ের উপর আলোকপাত করা হয়েছে।
বৃত্তের সঙ্গাঃ
সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুসমুহের সেট দ্বারা উৎপন্ন জ্যামিতিক চিত্রকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র (Center) এবং স্থির দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius) বলে।
বৃত্তের সমীকরণ চিহ্নিতকরণের উপায়ঃ
\(x\) ও \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণে \(x^{2}\) ও \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান এবং \(xy\) সম্বলিত পদের সহগ শুন্য \((0)\) হলে, তা বৃত্ত প্রকাশ করে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
\(1.\) কেন্দ্র মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)straight3
\(2.\) কেন্দ্র \(P(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)straight3
\(3.\) বৃত্তের সধারণ সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)straight3
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের বৈশিষ্ট্যঃ
\((a)\) এটি \(x, y\) সম্বলিত একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
\((b)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে।
\((c)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না।
\((d)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে।
\(4.\) \(x, y\) সম্বলিত সধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ।
\(ax^{2}+2hxy+by^{2}\)\(+2gx+2fy+c=0\)
সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের বৃত্ত প্রকাশ করার শর্তাবলীঃ
\((a)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)।straight3
\((b)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((c)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে।
এই ক্ষেত্রে বৃত্তের,
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\(5.\) কেন্দ্র \((h, k)\) এবং \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}\)\(=(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}\)
কেন্দ্রঃ \((h, k)\)straight3
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}}\)
\(6.\) \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ।
\((x-x_{1})(x-x_{2})+\)\((y-y_{1})(y-y_{2})=0\)straight3
\(7.\) মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0\)straight3
\(8.\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত।
সাধারণ সমীকরণঃ
\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)
\((a)\) \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ
\(g^{2}=c\)straight3
\((b)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ
\(f^{2}=c\)straight3
\((c)\) উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ
\(g^{2}=f^{2}=c\)straight3
\(9.\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ যখন, অক্ষদ্বয়কে ছেদ করে।
সাধারণ সমীকরণঃ
\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)
\((a)\) \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণঃ
straight3 \(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
\((b)\) \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণঃ
straight3 \(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(10.\) একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণঃ
\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)
সরলরেখার সমীকরণঃ
\(ax+by+c_{1}=0\)
নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণঃ
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\)straight3
\(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।
\(11.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ। [ খলিফার নিয়ম।]
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+\)\(k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) straight3
\(12.\) বৃত্তের সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি
\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}\)\(+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের,
\((a)\) বাহিরে অবস্থান করবে যদি,
\(f(x_{1},y_{1})>0\) হয়। straight3
\((b)\) পরিধীর উপরে অবস্থান করবে যদি,
\(f(x_{1},y_{1})=0\) হয়।straight3
\((c)\) ভিতরে অবস্থান করবে যদি,
\(f(x_{1},y_{1})<0 \) হয়।straight3
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(13.\) দুইটি বৃত্তের পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত।
\(S_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{1}x\)\(+2f_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\) বৃত্তের,
কেন্দ্রঃ \(C_{1}\)
ব্যাসার্ধঃ \(r_{1}\)
\(S_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\) বৃত্তের,
কেন্দ্রঃ \(C_{2}\)
ব্যাসার্ধঃ \(r_{2}\)
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=C_{1}C_{2}\)
\((a)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি,
\(C_{1}C_{2}=r_{1}+r_{2}\) হয়। straight3
\((b)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি,
\(C_{1}C_{2}=|r_{1}-r_{2}|\) হয়।straight3
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(14.\) দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\(S_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\)
\(S_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\)
বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(S_{1}-S_{2}=0 .....(3)\)
বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(S_{1}+k(S_{1}-S_{2})=0\)straight3
\(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রূবক)।
\(15.\) পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}=a^{2} ....(1)\)
বৃত্ত \((1)\) এর পোলার সমীকরণ,
\(r=a\)
\((b)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2} ....(2)\)
বৃত্ত \((2)\) এর পোলার সমীকরণ,
\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
\((c)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ....(3)\)
বৃত্ত \((3)\) এর পোলার সমীকরণ,
\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+c=0\)
অনুশীলনী \(4.A\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((2, -3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(5\)।

উদাহরণ \(2.\) \(2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(3.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, -8)\) বিন্দুতে এবং যা \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।

উদাহরণ \(4.\) \((3, 0)\) এবং \((-4, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(5.\) একটি বৃত্ত \((-6, 5)\), \((-3, -4)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) \((0, -1)\) ও \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো। বৃত্তটির সমীকরণ এবং \(X\) অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) \(2x-y=3\) রেখার উপর অবস্থিত কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(8.\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং যার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ \(6\) একক। দেখাও যে এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায়।

উদাহরণ \(9.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং যা \(x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
[ ঢঃ ২০১২; রাঃ ২০১২; কুঃ ২০১২, ২০১৩; চঃ২০১২; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(10.\) \(C(1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। এর সমীকরণ নির্ণয় করে ইহা \(Y\) অক্ষ থেকে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; কুঃ ২০০৫, বঃ ২০০৭,২০১০,২০১৫; দিঃ২০১১ ]

উদাহরণ \(11.\) \(OA=3\)এবং \(OB=5\)হলে, \(O, A, B\) বিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১১; রাঃ ২০১১; কুঃ ২০০৫, বঃ ২০০৮,সিঃ ২০০৭,২০১২; বঃ২০০৮, যঃ ২০০৯, ২০১৩,চঃ২০১২ ]

উদাহরণ \(12.\) একটি বৃত্ত \((1, 2)\) ও \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০, ২০১৩; বঃ ২০০৯; কুঃ ২০০৬, যঃ ২০১০,সিঃ ২০০৯,২০১২; চঃ২০১১, দিঃ২০১২ ]

উদাহরণ \(13.\) \((4, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}=4\) বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
[ বঃ ২০০6; রাঃ ২০০৭, ২০১১ যঃ ২০১৫,ঢঃ ২০০৮,২০১০ ]

উদাহরণ \(14.\) পোলগামী বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 45^{o})\)।

উদাহরণ \(15.\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় যা \(Y\) অক্ষকে \((0, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে যার কেন্দ্রের দূরত্ব \(4\) একক।

উদাহরণ \(16.\)
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0....(1)\)
\(3x+4y=12 .....(2)\)
\((a)\) \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2)\) নং সরলরেখা এবং অক্ষ দ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(17.\) \(3x^{2}+3y^{2}-5x-6y+4=0\) বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(18.\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((10, 1)\) এবং \((2, -5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(19.\) \((3, -10)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((11, -16)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(20.\) একটি বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(21.\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ থেকে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ ঢঃ ২০০৯; বঃ ২০১৪; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ২০০৯, রাঃ২০১৪, ২০০৯, ২০০০ ]

উদাহরণ \(22.\) একটি বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষ দুইটির ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে \(h\) ও \(k\) অংশ ছেদ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১৪, ]

উদাহরণ \(23.\) \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং বৃত্তটির কেন্দ্র \(y=3x-7\) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১৪, ]

উদাহরণ \(24.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^{2}+y^{2}-2y-15=0\) বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ কর। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(25.\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, \frac{\pi}{4})\) এবং ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(26.\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। এর সমীকরণ ও \(Y\) অক্ষ থেকে তা কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; বঃ ২০১৫, ২০১০;দিঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(27.\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১; ২০১৪; বঃ ২০০৭;রাঃ ২০০৫ ]

উদাহরণ \(28.\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু থেকে \(-4\) একক দূরত্বে \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \(X\) অক্ষ থেকে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খন্ডন করে।
[দিঃ ২০১০; চঃ ২০০৬ ]

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1(i)(a) - Q.1(i)(f)\)
নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি পোলার স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(x^{2}+y^{2}=25\)

\(Q.1.(i).(b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax=0\)

\(Q.1.(i).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\)


\(Q.1.(i).(d)\) কেন্দ্র \((4, 30^{o})\), ব্যাসার্ধ \(5\)

\(Q.1.(i).(e)\) কেন্দ্র \((3, 0^{o})\) এবং পোলগামী

\(Q.1.(i).(f)\) পোল, \((a, 0^{o})\) এবং \((b, 90^{o})\) বিন্দুগামী।

উত্তরঃ \((a) \ r=5;\) \((b) \ r=a\cos\theta;\)
\((c) \ r=b\sin\theta;\) \((d) \ r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-9=0\);
\((e) \ r=6\cos\theta;\) \((f) \ r=a\cos\theta+b\sin\theta\)
\(Q.1(ii)(a) - Q.1(ii)(d)\)
নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(r=a\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)

উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-(12x+12y)+11\sqrt{2}=0;\)
\((b) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-8x-8y=0\)
\((c) \ x^{2}+y^{2}=a^{2};\)
\((d) \ x^{2}+y^{2}-4(x+\sqrt{3}y)+7=0\)
\(Q.1(iii)(a) - Q.1(iii)(f)\)
নিম্নোলিখিত বৃত্তগুলির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(iii).(a)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\)

\(Q.1.(iii).(b)\) \(4(x^{2}+y^{2})+24x-4y-27=0\)

\(Q.1.(iii).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\)

\(Q.1.(iii).(d)\) \(r^{2}-4\sqrt{3}r\cos\theta-4r\sin\theta+15=0\)

\(Q.1.(iii).(e)\) \(r=2a\cos\theta\)

\(Q.1.(iii).(f)\) \(x^{2}+y^{2}=2gx-2fy\)

\(Q.1.(iii).(g)\) \(2(x^{2}+y^{2})-3x+4y=0\)

উত্তরঃ \((a) \ (4, -3), 4;\) \((b) \ (-4, \frac{1}{2}), 4;\)
\((c) \ (0, \frac{b}{2}), \frac{b}{2};\) \((d) \ (4, \frac{\pi}{6});\)
\((e) \ (a, 0^{o});\) \((f) \ (g, -f), \sqrt{g^{2}+f^{2}};\)
\((g) \ (\frac{3}{4}, -1), \frac{5}{4}\)
\(Q.1.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((3, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(6\) ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+4y-23=0\)

\(Q.1.(v)\) \(k\) এর কোন মানের জন্য \((x-y+3)^{2}+(kx+2)(y-1)=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে।
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.1.(vi)\) \(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি লেখ এবং এ থেকে দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+17=0\) সমীকরণটি কোন বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে না।

\(Q.1.(vii)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ কুঃ২০১২, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\), \(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)

\(Q.1.(viii)\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((-6, 5)\) এবং \(-3, -4\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে । বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং বাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0, (-3, 1), 5\)

\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং তা মূলবিন্দু দিয়ে যায় । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+10y=0, 8, 10\)

\(Q.1.(x)\) মূলনিয়মে প্রমণ কর যে, \((1, 5)\), \((7, -3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x-1)(x-7)+(y-5)(y+3)=0\) । বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 1), 5\)

\(Q.1.(xi)\) প্রমণ কর যে, \((-2, 3)\), \((3, -4)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x+2)(x-3)+(y-3)(y+4)=0\)।

\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+9=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক এবং \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
[ দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+8=0 \)

\(Q.1.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(x^{2}+y^{2}-6x+8y=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0 \)

\(Q.1.(xiv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((7, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং যা \(x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-14x-4y+28=0 \)

\(Q.1.(xv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, 0)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4x=0\) বৃত্ত ও \(x=3\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-12x+24=0 \)

\(Q.1.(xvi)\) মূলবিন্দু এবং \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্ত ও \(2x+3y+1=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x+8y=0 \)

\(Q.1.(xvii)\) মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ সিঃ ২০১২, ঢাঃরাঃ ২০১১, যঃ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-3x-5y=0 \)

\(Q.1.(xviii)\)একটি বৃত্ত মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(a\) ও \(a\) একক অংশ কর্তন করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-ax-by=0 \)

\(Q.1.(xix)\) \(b\) বাহুবিশিষ্ট \(OABC\) একটি বর্গ । \(OA\) এবং \(OC\) কে অক্ষ ধরে প্রমাণ কর যে, বর্গটির পরিবৃত্তের সমীকরণ হবে \(x^{2}+y^{2}=b(x+y)\)
[রাঃ ২০১০, বঃ ২০১৩ ] ।

\(Q.1.(xx)\) \(ax^{2}+2bxy-2y^{2}+8x+12y+6=0\) একটি বৃত্ত নির্দেশ করলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর। অতপর বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-2, b=0; (2, 3); 4\)

\(Q.1.(xxi)\) \((a, b)\)কেন্দ্র এবং \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0\)

\(Q.1.(xxii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((9, 4)\) এবং যা \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-18x-8y-3=0\)

\(Q.1.(xxiii)\) \((0, 0)\), \((2a, 0)\) এবং \((0, 2b)\) বিন্দু তিনটি দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তের সমীকরণ, কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0, (a, b), \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

\(Q.1.(xxiv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) এবং \(3x^{2}+3y^{2}-12x+18y+28=0\) বৃত্ত দুইটি এককেন্দ্রিক।

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \((2, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ হতে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১, ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+4=0; 2\sqrt{5}\)

\(Q.2.(ii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((-5, 7)\) এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+10x-14y+25=0 \)

\(Q.2.(iii)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(3x-4y+8=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)

\(Q.2.(iv)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3,0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0 \)

\(Q.2.(v)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})-25x=0 \)

\(Q.2.(vi)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) এবং যা \(x^{2}+y^{2}=9\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
[চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)

\(Q.2.(vii)\) \(4\sqrt{2}\) বাহুবিশিষ্ট বর্গের একটি শীর্ষ মূলবিন্দুতে এবং এর বিপরীত শীর্ষ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ঐ বর্গের কর্ণকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 8x=0 \)

\(Q.2.(viii)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(y=4\), \(y=10\) এবং \(x=0\) রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 6x-14y+49=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)

\(Q.2.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দুগামী । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+4x+8y-30=0 \)

\(Q.2.(x)\) \((-4, 3)\) ও \((12, -1)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-2y-51=0; 4\sqrt{13} \)

\(Q.2.(xi)\) \((0, -1)\) ও \((2, 3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-2y-51=0; 4 \)

\(Q.2.(xii)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((-1, 9)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-10y+4=0 \)

\(Q.2.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষকে \((0, \sqrt{3})\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((-1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+4x-2\sqrt{3}y+3=0; (-2, \sqrt{3}), 2\)

\(Q.2.(xiv)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৮ ; সিঃ ২০১১; ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0 \)

\(Q.2.(xv)\) \(x+2y+3=0\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((-1, -1)\) এবং \((3, 2)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০.১৩ ; সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+7y-3=0 \)

\(Q.2.(xvi)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর সমীকরণসহ \(Y\) অক্ষ হতে তা কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0; 2\sqrt{3}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})-25x=0\)

\(Q.2.(xviii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3,0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\)
অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0\) দ্বারা নির্দেশিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y+7=0 \)

\(Q.3.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও \((p, q)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ঢাঃ ২০১২; চঃ রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(q(x^{2}+y^{2})-(p^{2}+q^{2})y=0 \)

\(Q.3.(iii)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}+2x-8y+8=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+10x-2y+22=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-\frac{17}{5}, \frac{11}{5})\)

\(Q.3.(iv)\) \((1, 1)\) এবং \((2, 2)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(1\) । বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\);\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\)

\(Q.3.(v)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র \(x+y=3\) রেখার উপর অবস্থিত।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\); \(x^2+y^2+4x-10y+4=0\)

\(Q.3.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)

\(Q.3.(vii)\) \(x^{2}+y^{2}=9\) এবং \(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা -এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y+5=0; 4\)

\(Q.3.(viii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((0, 0)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})=25x\)

\(Q.3.(ix)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরত্বে \(X\) অক্ষকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং যার ব্যাসার্ধ \(5\) একক।
[যঃ ২০০৫; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 2\sqrt{21}y-4=0\)

\(Q.3.(x)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি \(x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0\) বৃত্তের উপর অবস্থিত । \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১০; দিঃ ২০১২; বঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((-5, -7)\)

\(Q.3.(xi)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) ও \(Y\) অক্ষরেখা হতে যথাক্রমে \(5\) এবং \(2\) একক দৈর্ঘ্যের সমান অংশ কর্তন করে এবং যার কেন্দ্র \(2x-y=6\) রেখার উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-5x+2y=0\);\(x^{2}+y^{2}-11x-10y+24=0\)

\(Q.3.(xii)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যখন বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0\)।
উত্তরঃ \(x-2y+7=0 \)

\(Q.3.(xiii)\) একটি বৃত্ত \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং এর কেন্দ্র \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১০;কুঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+7y-3=0\)

\(Q.3.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0\) বৃত্তের বর্ধিত যে ব্যাসটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(4x+y-13=0 \)

\(Q.3.(xv)\)একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 3)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4y=0\) বৃত্ত ও \(y-2=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। ঐ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6y+4=0 \)

\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{c}\) হলে, দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+2ax+c=0\) ও \(x^{2}+y^{2}+2by+c=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে ।

\(Q.3.(xvii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(7\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(4\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-14r\cos\theta+33=0\)

\(Q.3.(xviii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(8\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-16r\sin\theta+39=0\)

\(Q.3.(xix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(3\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-12r\sin\theta+25=0\)

\(Q.3.(xx)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(8\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-16r\cos\theta+39=0\)

\(Q.3.(xxi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3, 30^{o})\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4r^{2}-24r\cos(\theta-30^{o})+27=0\)

\(Q.3.(xxii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3, \frac{pi}{6})\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4r^{2}-12r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+27=0\)

\(Q.3.(xxiii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4,\frac{\pi}{3})\) এবং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{3})+12=0\)

\(Q.3.(xxiv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((2,\frac{\pi}{6})\) এবং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-2r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+3=0\)

\(Q.3.(xxv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4,\frac{\pi}{3})\) এবং ব্যাসার্ধ \(3\) একক হলে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)

\(Q.3.(xxvi)\) যদি বৃত্তের উপরস্থ \((4, 1)\) বিন্দুটি \((1+5\cos\theta, -3+5\sin\theta)\) দ্বারা প্রকাশিত হয়, তবে এ বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, -7)\)

\(Q.3.(xxvii)\) দেখাও যে, \(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

\(Q.3.(xxviii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3,\frac{\pi}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(2\) একক হলে ; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r^{2}+6r\sin\theta+5=0\)

\(Q.3.(xxix)\) \(x=a(\cos\theta-1)\) এবং \(y=a(\sin\theta+1)\) হলে, বৃত্তটির কার্তেসীয় সমীকরণ, ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2ax-2ay+a^{2}=0, (-a, a), a\)

\(Q.3.(xxx)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-18=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x-18y+36=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{13}, \frac{33}{13}\right)\)

\(Q.3.(xxxi)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-10x-6y+14=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে \((3, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।

\(Q.3.(xxxii)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। এর মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x\)

\(Q.3.(xxxiii)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) ও \((a, b)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্ত \(X\) অক্ষকে এমন বিন্দুতে ছেদ করে যার ভুজ হবে \(x^{2}-ax+b=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়।

\(Q.3.(xxxiv)\) \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজের \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 0)\) ও \((2, 0)\) ; \(BC\) বাহুকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0 \)

\(Q.3.(xxxv)\) \(x^{2}+2ax-b^{2}=0\) এর মূলদ্বয় \(A\) ও \(B\) বিন্দুর ভুজ এবং \(x^{2}+2px-q^{2}=0\) এর মূলদ্বয় তাদের কটি হলে \(AB\) ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2ax+2py-b^{2}-q^{2}=0 \)

\(Q.3.(xxxvi)\) \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\) বৃত্তের কেন্দ্র হতে \(3\) একক দূরে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 8\)

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) দৃশ্যকল্পঃ \(x^2+y^2-10x-16y+64=0\) একটি বৃত্ত এবং \(4x+3y+8=0\) একটি রেখা।
\((a)\) \(2x^2+2y^2+4x+6y+4=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে দৃশ্যকল্পের বৃত্তটিকে, \(3x-4y-8=0\) রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
\((c)\) \((0, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \left(-1, -\frac{3}{2}\right), \frac{\sqrt{5}}{2} ;\)
\((b) \ (8, 4) ;\) \((c) \ x^2+y^2+2y=0 \)
\(Q.4.(ii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(3(x^2+y^2)-5x+y+1=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OA=4\) এবং \(OB=3\) হলে, চিত্রে প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\parallel CD\) হলে, \(F\) ও \(D\) বিন্দুর সংযোজক রেখাকে ব্যস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((a) \left(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6}\right), \frac{\sqrt{14}}{6} ;\)
\((b) \ 25x^2+25y^2-150x-150y+369=0;\) \((c) \ 25x^2+25y^2-352x-111y+1020=0 \)

\(Q.4.(iii)\)
কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((2, -4)\) এবং \((-3, 1)\) ।
\((a)\) ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে যে পরিমাণ অংশ কর্তন করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের বৃত্তটির সাপেক্ষে \((1, -3)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দু দুইটির অবস্থান এবং প্রথমোক্ত বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5\sqrt{2}\) একক। \((b) \sqrt{41}\) একক; \(=7\) একক।
\((c) (1, -3)\) বিন্দু বৃত্তের ভিতরে। \((2, 3)\) বিন্দু বৃত্তের বাহিরে এবং ব্যাসের সমীকরণ \(x+y+2=0\)

\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্ত \((3, 5)\) ও \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং এর কেন্দ্র,
\((a)\) \(x+2y-10=0\) রেখার উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২; দিঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((a) x^{2}+y^{2}-8x-6y+20=0 \);
\((b) x^{2}+y^{2}-6x-16=0 \);
\((c) x^{2}+y^{2}+18y-124=0 \)
নিজে কর।
\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+4y+4=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+10x+4y+4=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((a)\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) কেন্দ্র \((4, -2)\), \((-5, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(4\) একক, \(\sqrt{21}\) একক।
\((b) y+2=0 \); \((c) (0, -2) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(vi)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-1, 3)\) এবং \((4, 2)\) ।
\((a)\) \((0, 3)\) কেন্দ্র ও \(3\) ব্যসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করে \(Y\) অক্ষ হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \((a) r=6\sin\theta \) \((b) \sqrt{17} \);
\((c) 2x^2+2y^2-2x+2y-19=0 \)
নিজে কর।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard