বৃত্ত, জ্যা, স্পর্শক এবং অভিলম্ব
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
বৃত্তের স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ
Tangent and Normal of a circle
মনে করি, straight3 একটি সরলরেখা কোনো বৃত্তকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। এখন \(Q\) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর দিয়ে ঘুরে \(P\) এর সন্নিকটবর্তী হলে অর্থাৎ \(P\) এর উপর \(Q\) সমপতিত হলে, ছেদক রেখাটিকে \(P\) বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়। এখানে \(PT\) হলো স্পর্শক এবং \(P\) কে স্পর্শবিন্দু বলে। \(PT\) এবং বৃত্ত উভয়ে একই সমতলে অবস্থান করে। কোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বরেখাকে ঐ বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্ব (Normal) বলে। বৃত্তের অভিলম্ব সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমন করে।
দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক এবং সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ
Direct and Trans verse Common tangents
ধরি,straight3
বৃত্ত দুইটির সমীকরণ,
\((x-\alpha_1)^2+(y-\beta_1)^2=r^2_1 ........(1)\)
\((x-\alpha_2)^2+(y-\beta_2)^2=r^2_2 ........(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((\alpha_1, \beta_1)\), ব্যাসার্ধ \(r_1\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \((\alpha_2, \beta_2)\), ব্যাসার্ধ \(r_2\)
চিত্রে,
\(A_1A_2\) ও \(\acute A_1\acute A_2\) স্পর্শকদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct Common tangents) আর \(B_1B_2\) ও \(\acute B_1\acute B_2\) স্পর্শকদ্বয় তীর্যক সাধারণ স্পর্শক (Trans verse Common tangents) নির্দেশ করে। প্রথম জোড়া \(T_1\) বিদুতে এবং দ্বিতীয় জোড়া \(T_2\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। বিন্দু দুইটি বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রগামী \(C_1C_2\) রেখার উপর অবস্থিত।
যেহেতু, \(A_1C_1T_1\) ও \(A_2C_2T_1\) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ
ফলে \(\frac{C_1T_1}{C_2T_1}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}=\frac{r_1}{r_2}\)
\(\Rightarrow C_1T_1:C_2T_1=r_1:r_2\) ➜ অর্থাৎ \(C_1C_2\) রেখাংশকে \(T_1\) বিন্দুটি \(r_1:r_2\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
আবার,
\(A_1C_1T_2\) ও \(A_2C_2T_2\) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ
ফলে \(\frac{C_1T_2}{C_2T_2}=\frac{C_1B_1}{C_2B_2}=\frac{r_1}{r_2}\)
\(\Rightarrow C_1T_2:C_2T_2=r_1:r_2\) ➜ অর্থাৎ \(C_1C_2\) রেখাংশকে \(T_2\) বিন্দুটি \(r_1:r_2\) অনুপাতে অন্তঃর্বিভক্ত করে।
এটা স্পষ্ট যে \(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুদ্বয় \(C_1C_2\) রেখাংশকে যথাক্রমে \(r_1:r_2\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত ও অন্তঃর্বিভক্ত করে। \(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুকে সদৃশ কেন্দ্র (Centre of Similitude ) আর \(T_1T_2\) রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তকে সাদৃশ্য বৃত্ত (Circle of similitude) বলে।
সঙ্গাঃ দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র সংযোজক রেখাংশকে ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত ও অন্তঃর্বিভক্তকারী বিন্দুদ্বয়কে বৃত্ত দুইটির সাদৃশ্য কেন্দ্র আর সাদৃশ্য কেন্দ্র দুইটির সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তকে সাদৃশ্য বৃত্ত বলে।
\(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করা এবং সাধারণ স্পর্শকগুলির সমীকরণ নির্ণয় করা সহজ। \(T_1(x_1, y_1)\) বহিঃস্থ বিন্দু থেকে কোন বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয়ের সাহায্যে সহজেই সরল সাধারণ স্পর্শক এবং \(T_2(x_2, y_2)\) বিন্দুগামী তীর্যক সাধারণ স্পর্শক নির্ণয় করা সম্ভব।
দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা
Common Chord of two circles
যদি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে। তবে ঐ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে উক্ত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা বলে।
মনে করি,\(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে। তবে \(A,B\) এর সংযোগ রেখাংশকে উক্ত \(S_1, S_2\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা বলে।
সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ
\(S_{1} -S_{2}=0\)straight3
স্পর্শ জ্যা
Chord of contact
একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে বৃত্তটিতে দুইটি স্পর্শক অঙ্কিত হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখটিকে ঐ বৃত্তের স্পর্শক জ্যা বলে।straight3
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
\(1.\) \(y=mx+c\) রেখাটি \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
\(c=\pm a\sqrt{1+m^2}\)straight3
স্পর্শকের সমীকরণ ।
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক ।
\((\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, -\frac{a}{\sqrt{1+m^2}})\)
\(2.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\( xx_1+yy_1=a^2\)straight3
\(3.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ।
\( x_1y-y_1x=0\)straight3
\(4.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)straight3
\(5.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ।
\((x_1+g)y-(y_1+f)x+fx_1-gy_1=0\)straight3
\(6.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ।
\( (x^2+y^2-a^2)(x^2_1+y^2_1-a^2)=(xx_1+yy_1-a^2)^2\)straight3
\(7.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ।
\( (x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
straight3
\(8.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(PT=\sqrt{x^2_1+y^2_1-a^2}\)straight3
\(9.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\( PT=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)straight3
\(10.\) \(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ।
\( S_1-S_2\equiv 2(g_1-g_2)x+2(f_1-f_2)y+c_1-c_2=0\)straight3
\(11.\) \((a)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ ।
\(xx_1+yy_1\)=\(x^2_1+y^2_1\)straight3
\((b)\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)\)=\(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)straight3
\(12.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1=a^2\)straight3
\(13.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)straight3
\(14.\) \(A(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\(\frac{x^2+y^2+2gx+2fy+c}{ax+by+c}=\frac{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}{ax_1+by_1+c}\)straight3
অনুশীলনী \(4.B\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(2.\) \(k\) এর মান কত হলে, \(3x+4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
[ ঢাঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(3.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^2+y^2-2y-15=0\) বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(4.\) \(x^2+y^2=144\) বৃত্তের যে জ্যা \((4, -6)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(5.\) \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) বৃত্তের স্পর্শক অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) ও \(x^2+y^2+4x+3y+2=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(7.\) \(y=mx\) রেখাটি \(x^2+y^2+2gx+c=0\) বৃত্তের স্পর্শক হলে, \(m\)-এর মান নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(8.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]

উদাহরণ \(9.\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৪]

উদাহরণ \(10.\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]

উদাহরণ \(11.\) মূলবিন্দু থেকে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\) একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]

উদাহরণ \(12.\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]

উদাহরণ \(13.\) মূলবিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(15.\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y=8\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(5x-12y-9=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৭,২০১৪; সিঃ ২০১১;চঃ ২০১২;ঢাঃ ২০১৪। ]

উদাহরণ \(16.\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬; বঃ২০০৮,২০১০;সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০৯,২০১৩;চঃ ২০০৬,২০১২,২০১৫; রাঃ ২০০৬,২০১১; দিঃ ২০১৩;মাঃ ২০০৬,২০০৭।]

উদাহরণ \(17.\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 .........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(18.\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের স্পর্শক দুইটি \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(19.\) \(x^2+y^2-6x+4y+3=0\) বৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(20.\) \((4, 7)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(21.\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি লম্বভাবে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(22.\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(23.\) \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(24.\) \(y=2x \) যদি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(25.\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(26.\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(27.\) \(x^2+y^2=16\) ও \(x^2+y^2+6x-8y=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(28.\) \(x^2+y^2-4x-2y+4=0\) ও \(x^2+y^2+4x+2y-4=0\) বৃত্ত দুইটির তীর্যক সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(29.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) প্রমাণ কর যে, \(3x+4y-38=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-2y=15\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 5)\)

\(Q.1.(ii)\) \(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)

\(Q.1.(iii)\) \(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।

\(Q.1.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]

উত্তরঃ \(3x+y=5\)।

\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।

\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।

\(Q.1.(vii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং যা \(5x-12y+3=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

\(Q.1.(viii)\) \(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।

\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নীর্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং একটি স্পর্শক \(5x-12y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

\(Q.1.(x)\) \(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।

\(Q.1.(xi)\) \(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।

\(Q.1.(xii)\) \(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ]

\(Q.1.(xiii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।

\(Q.1.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(4x+3y-25=0, 4x+3y+5=0\)।

\(Q.1.(xv)\) দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।

\(Q.1.(xvi)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তের স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।

\(Q.1.(xvii)\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y-8=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(5x-12y=9\) রেখার সমান্তরাল । স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, সিঃ২০১১ ]
উত্তরঃ \(5x-12y-51=0; 5x-12y+131=0 \)।

\(Q.1.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\) বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y=x\) রেখার সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(x-y\pm 10=0 \)।

\(Q.1.(xix)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল; ঐ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+5=0, x+1=0\)।

\(Q.1.(xx)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(X\) অক্ষের সমান্তরাল; তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, y+6=0\)।

\(Q.1.(xxi)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)
সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুটি নির্ণয় করতে হবে।
\(Q.1.(xxii)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে স্পর্শ করে।

\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(4x+3y-3=0\) ও \(12x+5y-13=0\) রেখাটি দুইটি \((-2, -3)\) কেন্দ্র ও \(4\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।
কেন্দ্র হতে সরলরেখাগুলির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান দেখাতে হবে। অর্থাৎ \(Q.1.(i)\)-এর প্রথম অংশের অনুরূপ।
\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \(x+2y=10, x-2y=10\)

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।

\(Q.1.(xxvi)\) \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।

\(Q.1.(xxvii)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।

\(Q.1.(xxviii)\) \((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।

\(Q.1.(xxix)\) যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।
অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের একটি \((2, -4)\) এবং অপরটি মূলবিন্দু; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। এ বৃত্তে যে স্পর্শকদ্বয় প্রদত্ত ব্যাসের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।

\(Q.2.(ii)\) \((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।

\(Q.2.(iii)\) \((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।

\(Q.2.(iv)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

\(Q.2.(v)\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।

\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}=16\)বৃত্তের জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0\)।

\(Q.2.(vii)\) \(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

\(Q.2.(viii)\) \(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।

\(Q.2.(ix)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।

\(Q.2.(x)\) \(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।

\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xii)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।

\(Q.2.(xiii)\) \(x^2+y^2=13\) বৃত্তের যে বিন্দুতে কটি \(2\), উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \( 2y\pm 3x=13 \)।

\(Q.2.(xiv)\) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।

\(Q.2.(xv)\) মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।

\(Q.2.(xvi)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।

\(Q.2.(xvii)\) দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।

\(Q.2.(xviii)\) মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।

\(Q.2.(xx)\) \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।

\(Q.2.(xxi)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।
অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \((3, 7)\) এবং \((9, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(x+y=4\) রেখাটি ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।
\(Q.3.(ii)\) \((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।

\(Q.3.(iii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।

\(Q.3.(iv)\)\(x^2+y^2=16\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০১০; বঃ ২০১১; কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=x\pm 8\)।

\(Q.3.(v)\) \(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।

\(Q.3.(vi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\)।

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-3=0\)।

\(Q.3.(viii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।

\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।

\(Q.3.(x)\) \((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।

\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।

\(Q.3.(xii)\) \((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।

\(Q.3.(xiii)\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।

\(Q.3.(xiv)\) \(ax+2y-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(a\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(a=3, -\frac{17}{3} \)।

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x+2y=17\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-6y=10\) বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(2x-y+1=0 \)।

\(Q.3.(xvi)\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।

\(Q.3.(xvii)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।
\(Q.3.(xix)\) \(3\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(y=x-1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং এটি \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায় এবং এদের একটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\)।

\(Q.3.(xx)\) \(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

\(Q.3.(xxi)\) নীচের বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ
\(x^2+y^2-12x+16y-69=0\)
\(x^2+y^2-9x+12y-59=0\)
উত্তরঃ \(10\)।

\(Q.3.(xxii)\) \((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 10\)।

\(Q.3.(xxiii)\) \(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।

\(Q.3.(xxiv)\) \(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।

\(Q.3.(xxv)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।

\(Q.3.(xxvi)\) \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) ও \((x-q)^2+(y-p)^2=r^2\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{4r^2-2(p-q)^2}\)।

\(Q.3.(xxvii)\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

\(Q.3.(xxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।

\(Q.3.(xxix)\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)

\(Q.3.(xxxi)\) \((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .

\(Q.3.(xxxiii)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .

\(Q.3.(xxxiv)\) \((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।

\(Q.3.(xxxv)\) যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।

\(Q.3.(xxxvi)\) \(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।

\(Q.3.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।

\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)
অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\)
\((b) \ 3x-4y-8=0;\)
\((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।

\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।

\(Q.4.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x+4y=4\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\)এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) 8\) । \((c) \) ।

\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।

\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।

\(Q.4.(vi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4 \(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক। \((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\) \((c) \ 2x-y-1=0\)।

\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(M\) বিন্দুটি \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং \(PQ\) রেখার সমীকরণ \(x+y-6=0\)।
\((a)\) \(OM\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OACB\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(PQ\) যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-4y=0 \)
\((b) \ x^2+y^2-4x-3y=0\)
\((c) \ 2x^2+2y^2-13x-11y+30=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(viii)\) \(2x-y=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ 10 \) একক।
\((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\)
\((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(C\) কেন্দ্রবিশীষ্ট বৃত্তে \(AB\) একটি ব্যাস।
\((a)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) ও \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(A, B\) এবং মূলবিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x^2+y^2-8x-2y-51=0 \)
\((b) \ 2\sqrt{67}, 4\sqrt{13}\)
\((c) \ 16x^2+16y^2-230x-440y=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\(2x-y=3\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশীষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুগামী।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র \(h, k\) হলে, \(h\) ও \(k\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ k=2h-3 \)
\((b) \ (-2, -7)\)
\((c) \ 2\sqrt{45}\) একক।
নিজে কর।
\(Q.4.(xi)\) \(x^2+y^2+4x+10y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্পর্শবিন্দু ও বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(A(-6, -2)\) বিন্দুটি বৃত্তটির উপর অবস্থিত। \(A\) বিন্দু দিয়ে বৃত্তটির যে ব্যাস অঙ্কন করা যায় তার অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-2, -5), c=4 \)
\((b) \ (-2, 0), \sqrt{21}\) একক।
\((c) (2, -8)\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xii)\) \(y=2x\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ (5, 0), 5 \) একক।
\((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) একক।
\((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xiii)\) \(x^2+y^2-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(3x+4y-9=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান।
\((b)\) এরূপ দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উল্লেখিত রেখার উপর লম্ব হবে।
\((c)\) \((4, -3)\) বিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0\)।
\((c) \ 3, 12x+5y-33=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xiv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
locus4
\((a)\) \(OC\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OP\) স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটির যে জ্যা \(\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{3} \) একক।
\((b) \ 3x-4y=0\)
\((c) \ 2y-3=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xv)\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) এবং \(x^2+y^2+4x+3y+3=0\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে।
\((a)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((b)\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু ও প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ \((a) \ x+1=0\)। \((b)
\ x^2+y^2+3y-1=0\)।
\((c) \ x^2+y^2+x+3y=0\)।
নিজে কর।
ভর্তি পরীক্ষায় আসা \(Q.5\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) \(C\) কেন্দ্রবিশিষ্ট \(x^2+y^2+6x-4y+4=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।

\(Q.5.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(y=2\) রেখাকে \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।

\(Q.5.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0,\) \(x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।

\(Q.5.(iv)\)\(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\)ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে । দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(v)\)\(x^2+y^2=9\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।

\(Q.5.(vi)\) বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) এর স্পর্শক গুলির সমীকরণ নির্ণয় কর যারা অক্ষদ্বয়কে সমান ও বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।

\(Q.5.(vii)\) \(2x^2+2y^2-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^2+16y^2-32x-1=0\) দুইটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের একটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.5.(viii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।

\(Q.5.(ix)\) \(r\)-এর মাণ কত হলে, \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে যা, \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।

\(Q.5.(x)\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।

\(Q.5.(xi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এ ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।

\(Q.5.(xii)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(c\)-এর মাণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।

\(Q.5.(xiii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।

\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের এমন দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard