অধিবৃত্ত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • অধিবৃত্তের সংজ্ঞা।
  • অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
  • অধিবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন।
  • অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামক।
  • অধিবৃত্তের আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষ।
  • কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ।
  • অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয়।
  • অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ দেওয়া থাকলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
  • অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে এর বিভিন্ন অংশ চিহ্নিত করণ।
  • অধিবৃত্তে অসীমতটের অবস্থান নির্ণয়।
  • \((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ, যার অক্ষ দুইটি স্থানাংকের অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল ।
  • অধিবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং তার সমাধান
  • ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমুহ এবং তার সমাধান
অধিবৃত্ত
Hyperbola
অধিবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশিhyperbola এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা বৃহত্তর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \( e > 1\) হবে । উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত অধিবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে প্রধান বা আড় অক্ষ ( Transverse axis) বলা হয়। প্রধান অক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে অনুবন্ধী অক্ষ ( Conjugate axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র বলা হয়।
মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
Standard equation of Hyperbola.
ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e, (e > 1)\), নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) অধিবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore CS-a=e(a-CZ) .......(1)\) ➜ \(\because SA=CA-CS=CS-a; AZ=CZ-CA=a-CZ\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore CS+a=e(a+CZ) ........(2)\) ➜ \(\because S\acute A=C\acute A+CS=CS+a; \acute AZ=CZ+CA=a+CZ\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(CS-a+CS+a=e(a-CZ)+e(a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(a-CZ+a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\therefore CS=ae\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(CS+a-CS+a=e(a+CZ)-e(a-CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(a+CZ-a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=eCZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜ \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN-CZ)^2\) ➜ \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN-CZ\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\) ➜ \(\because SN=CS+CN=x-ae; NZ=x-\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2+a^2e^2-2aex+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=-a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2(e^2-1)}{a^2(e^2-1)}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2(e^2-1)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1 .......(3)\)
যেহেতু \(e>1, a^2(e^2-1)\) ধনাত্মক।
অতএব, লিখা যায় \(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(b\) একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore b^2=a^2(e^2-1) ........(4)\)
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1; \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এ \(x\) বা \(y\) যুক্ত পদ থাকবে না। শুধু \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{a^2}\) এবং \(y^2\)-এর সহগ \(-\frac{1}{b^2}\) অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
অধিবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ এবং \(y^2\)-এর সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ ও বিভিন্ন অংশের বিবরণ।
\(1.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)
hyperbola
  • অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
  • আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • আড় অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
  • নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
  • একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)
  • অসীমতটের সমীকরণ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(2.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)
hyperbola
  • অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
  • আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • আড় অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\)
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm \frac{b}{e})\)
  • উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2be|\)
  • নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
  • একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{b}{e}-be|\)
  • অসীমতটের সমীকরণ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(3.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
hyperbola
  • অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a+\alpha, 0)\)
  • অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
  • আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • আড় অক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae+\alpha, \beta)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-\alpha=\pm \frac{a}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-\alpha=\pm ae\)
  • অসীমতটের সমীকরণ \( y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(4.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\)
hyperbola
  • অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b+\beta)\)
  • অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
  • উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
  • আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
  • আড় অক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
  • অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm be+\beta)\)
  • নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y-\beta=\pm \frac{b}{e}\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-\beta=\pm be\)
  • অসীমতটের সমীকরণ \( y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(5.\) কোনো সরলরেখা অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\right)\)
\(5.1\) কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(p^2=a^2\cos^2\alpha-b^2\sin^2\alpha\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha \pm \sqrt{(a^2\cos^2\alpha-b^2\sin^2\alpha)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a^2\cos\alpha}{p}, \frac{b^2\sin\alpha}{p}\right)\)
\(5.2\) কোনো সরলরেখা অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(a^2l^2-b^2m^2=n^2\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(lx+my \pm \sqrt{(a^2l^2-b^2m^2)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{-a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)\)
\(5.3\) অধিবৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং অধিবৃত্তের উপরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}-\frac{y^2_1}{b^2}=0\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং অধিবৃত্তের ভিতরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{y^2_1}{b^2}>\frac{x^2_1}{a^2}\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের বাহিরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}>\frac{y^2_1}{b^2}\)
\(5.4\) অধিবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)
\(6.\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা
Focus and directrix of Hyperbola
hyperbola একটি অধিবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা আছে। যেহেতু, অধিবৃত্তটি \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতিসম তাই তাকে \(B\acute B\) বরাবর ভাঁজ করা হলে অধিবৃত্তের ডান ও বাম পক্ষ দুইটি পরস্পরের সাথে সমাপতিত হয়। এখন \(x\) অক্ষের উপর \(\acute S\) ও \(\acute Z\) দুইটি বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয়, যেন \(C\acute S=CS=ae \) এবং \(C\acute Z=CZ=\frac{a}{e}\) হয়। \(Z\acute Z\)-এর উপর \(\acute M\acute Z\) লম্ব আঁকি। তাহলে প্রতিসাম্য অনুযায়ী, এটি স্পষ্ট যে, \(\acute S\)-কে উপকেন্দ্র এবং \(\acute M\acute Z\)-কে নিয়ামকরেখা ধরে আমরা একই অধিবৃত্ত পাই। অতএব, অধিবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র এবং দুইটি নিয়ামকরেখা আছে।
\(7.\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য
Transverse and Conjugate axis of Hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)hyperbola
\(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) আড় অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow -\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=-b^2\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{-b^2}\)
\(\Rightarrow y=b\sqrt{-1}\)
\(\therefore y=\pm ib\) ➜ \(\because i=\sqrt{-1}\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে কাল্পনিকভাবে \(B(0, ib)\) এবং \(\acute B(0, -ib)\) ( কাল্পনিক ) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) অনুবন্ধী অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।
\(8.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রতা ।
Eccentricity from the equation of Hyperbola
আমরা জানি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+1=e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, অধিবৃত্তের \(e\)-এর মান \(e > 1\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং অনুবন্ধী অক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
\(9.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ।
The co-ordinates of focus and the equation of directrix from the equation of Hyperbola
মনে করি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜ \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜ \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜ \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\) অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\) অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(10.\) উপকেন্দ্র ও নিয়ামকের সমীকরণ থেকে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
Determination of the equation of Hyperbola from focus and equation of directrix.
ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\), নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(ax+by+c=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e; (e>1)\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(P\) বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি এবং \(S, p\) যোগ করি।
এখন,
\(P(x, y)\) ও \(S(\alpha, \beta)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(PS=\sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}\)
এবং \(P(x, y)\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}=e.\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=e^2.\frac{(ax+by+c)^2}{a^2+b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (a^2+b^2)\{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2\}=e^2(ax+by+c)^2\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(11.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য।
Latus rectum and it's length.
অধিবৃত্তের যে কোনো উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অঙ্কিত আড় অক্ষের উপর লম্ব রেখার অধিবৃত্তের অন্তর্গত অংশই উপকেন্দ্রিক লম্ব। যদি \(L\acute L\) উপকেন্দ্রিক লম্ব হয়, তবে \(SL=S\acute L\) এবং \(\acute L\)-এর স্থানাঙ্ক \((-ae, SL)\) ।hyperbola
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{SL^2}{b^2} \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=e^2-1 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(e^2-1) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜ \(\because e^2-1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)
\(12.\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক।
Parametric coordinates of Hyperbola at fixed point.
ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং অধিবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে আড় অক্ষের উপর \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। \(N\) থেকে সহায়ক বৃত্তে \(NQ\) স্পর্শক আঁকি এবং \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়। \(C(0, 0)\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(CQN\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\cos \theta=\frac{CQ}{CN}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow \sec \theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\sec \theta\)
\(\therefore x=a\sec\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\sec\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\sec\theta)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\sec^2\theta}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-1=\frac{y^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1+\sec^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\tan^2\theta\)
\(\therefore y=b\tan\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(b\tan\theta=y\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\sec\theta\) এবং \(y=b\tan\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)।
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)।
\(13.\) অধিবৃত্তের অসীমতটের অবস্থান নির্ণয়।
Determination of the position of asymptotes of Hyperbola.
অসীমতটঃ একটি সরলরেখা কোনো বক্ররেখার সহিত অসীম দূরে অবস্থিত দুইটি সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করলে, ঐ সরলরেখা নিজে সম্পুর্ণ অসীমে অবস্থিত নয়, তবে ঐ সরলরেখাকে বক্ররেখাটির অসীমতট বলে।
অধিবৃত্তের অসীমতটঃ কোনো রেখাকে বর্ধিত করলে যদি অধিবৃত্তকে অসীমে ছেদ করে কিন্তু রেখা নিজে অসীমে অবস্থিত নয় তবে ঐ রেখাকে অধিবৃত্তের অসীমতট বলা হয়। অধিবৃত্তের সমীকরণের ডান পক্ষে \(1\)-এর পরিবর্তে \(0\) প্রতিস্থাপন করলে এর দইটি অসীমতট পাওয়া যায়।
ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ, \(y=mx+c ....(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2-a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2-2a^2mcx-a^2c^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2(c^2+b^2)=0 ....(3)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তকে \((2)\) নং সরলরেখা অসীমে ছেদ করলে সেক্ষেত্রে \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের \(x^2\) ও \(x\)-এর সহগ শুন্য হবে। অর্থাৎ \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের উভয় মূলই অসীম হবে।
\(\therefore b^2-a^2m^2=0; -2a^2mc=0\)
\(\Rightarrow -a^2m^2=-b^2; c=0; -2a^2m\ne 0\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{b^2}{a^2}; c=0\)
\(\therefore m=\pm \frac{b}{a}; c=0\)
\(m\) ও \(c\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{b}{a}x+0 \)
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x \)
ইহাই নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ।
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)
\(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)
\(14.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র ।
hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) থেকে দেখা যাচ্ছে যে, যখন \(y=0; x=\pm a\) অতএব অধিবৃত্ত \(X\) অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute{A}(-a, 0)\) বিন্দু দইটিতে ছেদ করে। \(A\) ও \(\acute{A}\) বিন্দু দুইটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং \(A\acute{A}\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ যখন \(x=0; y^2=-b^2\) এ ক্ষেত্রে \(y\)-এর কোনো বাস্তব মাণ পাওয়া যায় না। \(Y\) অক্ষের উপর \(B(0, b)\) এবং \(\acute{B}(0, -b)\) বিন্দু দুইটি নেই। উল্লেখ্য যে, \(B\acute{B}\) অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)থেকে পাই, \(\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\geq 1\)
অতএব, \(|x|\leq a\) অর্থাৎ \(x\leq +a\) এবং \(x\geq -a\) সুতরাং \(x=a\) এবং \(x=-a\) রেখা দুইটির মধ্যে লেখের কোনো বিন্দু নেই। প্রত্যেক অধিবৃত্তের তাই দুইটি শাখা রয়েছে। যদি \((x, y)\) লেখের উপর কোনো বিন্দু হয় তবে \((-x, y)\) বিন্দুটিও লেখের উপর অবস্থিত। অর্থাৎ, লেখটি \(Y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। অনুরূপভাবে এটি দেখানো যায় যে, লেখটি \(X\) অক্ষের সাপেক্ষেও প্রতিসম। \(x\)-এর মাণ বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\)-এর মাণ অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অতএব, অধিবৃত্ত দুইদিকে অসীমে বিস্তৃত হয়।
অনুশীলনী \(5.C\) উদাহরণ সমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(x^2-3y^2-2x=8\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রতা, অক্ষদ্বয় ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]

উদাহরণ \(2.\) উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) ও \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]

উদাহরণ \(3.\) এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখা \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]

উদাহরণ \(4.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]

উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) এবং \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\) যেখানে,\(a, b, q\ne 0\).
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\) অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x=\pm 4\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)।
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। এর কেন্দ্র, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(9.\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]

উদাহরণ \(10.\) এরূপ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \(2x+y=1\) ।
[ঢাঃ২০০৮,২০০৪;যঃ২০০৮,২০০৩;কূঃ২০০৯,২০০৮,২০০৪;দিঃ২০১১,২০০৯;রাঃ২০১৫;চঃ২০১৪,২০১১বঃ২০১৪,২০০৮;মাঃ২০১১,২০০৯ ]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

উদাহরণ \(11.\) \(C(3, 2)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
hyperbola
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(12.\) একটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm 3)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((3, 0), (5, \frac{8}{3}), (-5, \frac{8}{3}),(5, -\frac{8}{3}),(-5, -\frac{8}{3})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) অক্ষ ও \(Y\) অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{2}\) এবং দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{8}{3}\) ।

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)(a)- Q.1.(i)(z.3)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\) এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

\(Q.1.(i)(c)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)

\(Q.1.(i)(d)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 6\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(10\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(e)\) যার নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)

\(Q.1.(i)(f)\) যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((4, 2)\) এবং \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((4, 6)\) এবং \((-1, -3)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(5y^2-9x^2=36\)

\(Q.1.(i)(i)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 8)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 1, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(i)(l)\) যা \((5, 9)\) বিন্দুগামী এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)

\(Q.1.(i)(m)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)

\(Q.1.(i)(n)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(12\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\)

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(2\) ।
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

\(Q.1.(i)(p)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) ।
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)

\(Q.1.(i)(q)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 3)\) এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\) ।
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)

\(Q.1.(i)(r)\) যার অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.1.(i)(s)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং \((4, 2)\) বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)

\(Q.1.(i)(t)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(i)(u)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)

\(Q.1.(i)(v)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)

\(Q.1.(i)(w)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=22\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{121}=1\)

\(Q.1.(i)(x)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)

\(Q.1.(i)(y)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{19}=1\)

\(Q.1.(i)(z)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)

\(Q.1.(i)(z.1)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{200}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{151}-\frac{x^2}{49}=1\)

\(Q.1.(i)(z.2)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=7\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)

\(Q.1.(i)(z.3)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)

\(Q.1.(ii)(a)- Q.1.(ii)(z.6)\) নিম্নলিখিত অধিবৃত্তগুলির কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে অসীমতটের সমীকরণও নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);
\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3}xm x\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
[ সিঃ২০১৪; রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫;মাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5};
(\pm \sqrt{41}, 0); 10,8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25\);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{4}{3}; (0, \pm 4); 6,2\sqrt{7};\frac{14}{3};4x\pm 9=0\);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}x\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(25x^2-16y^2=400\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);
\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\);
অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x x\)

\(Q.1.(ii)(e)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ;
অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)

\(Q.1.(ii)(f)\) \(16x^2-25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0);10;8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25=0\);
অসীমতট \(y=\pm \frac{4}{5}x\)

\(Q.1.(ii)(g)\) \(9x^2-16y^2=144\)
[সিঃ ২০০৫;মাঃ ২০১৩,২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{5}{4}; (\pm 5, 0);8;6;\frac{16}{5};\)
\(5x\pm 16=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{4}x\)

\(Q.1.(ii)(h)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\)
[ যঃ ২০১২;সিঃ২০০৮; চঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 12);\)\( e=\frac{13}{12}; (\pm 13, 0);24;10;\frac{25}{6};13x\pm 144=0 \) ;
অসীমতট, \(y=\pm frac{5}{12}x\)

\(Q.1.(ii)(i)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\);
অসীমতট, \(y+1=\pm \frac{3}{4}(x+4)\)

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4y^2-5x^2=20\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ;
অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(k)\) \(9x^2-4y^2+36=0\)
[ যঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \((0, 0) ; (0, \pm 3); \frac{\sqrt{13}}{3};(0, \pm \sqrt{13});\) \(6;4;\frac{8}{3};\sqrt{13}y\pm 9=0\);
অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{2}x\)

\(Q.1.(ii)(l)\) \(\frac{y^2}{2}-x^2=1\)
[ রুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{2});\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};(0, \pm \sqrt{3});2\sqrt{2};2;\sqrt{2};\)
\(\sqrt{3}y\pm 2=0;\) অসীমতট, \(y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(m)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\sqrt{5};(\pm 4\sqrt{5}, 0)\);
\(8;4;2;\sqrt{5}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm x=0\)

\(Q.1.(ii)(n)\) \(y^2-x^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}\);
অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};\)
\(6;2(x-2)\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)

\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)

\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);
\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)

\(Q.1.(ii)(v)\) \(4x^2-y^2=16\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\sqrt{5};(\pm 2\sqrt{5}, 0)\);\(4;8;16;\sqrt{5}x\pm 2=0\);
অসীমতট \(y=\pm 2x\)

\(Q.1.(ii)(w)\) \(9y^2-16x^2=144\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 4);\frac{5}{4};(0, \pm 5)\);\(8;6;\frac{9}{2};5y\pm 16=0\);
অসীমতট \(3y\pm 4x=0\)

\(Q.1.(ii)(x)\) \(8x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);3;(\pm 3, 0)\);\(2;4\sqrt{2};16;3x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y\pm 2\sqrt{2}x=0\)

\(Q.1.(ii)(y)\) \(3y^2-2x^2=24\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2\sqrt{2});\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};(0, \pm 2\sqrt{5})\);
\(4\sqrt{2};4\sqrt{3};6\sqrt{2};\sqrt{5}y\pm 4=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm \sqrt{2}x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.1)\) \(3x^2-4y^2=12\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\frac{\sqrt{7}}{2};(\pm \sqrt{7}, 0)\);
\(4;2\sqrt{3};3;\sqrt{7}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm \sqrt{3}x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.2)\) \(9y^2-4x^2=36\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);
\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.3)\) \(4y^2-25x^2=100\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{29}}{5};(0, \pm \sqrt{29})\);
\(10;4;\frac{8}{5};\sqrt{29}y\pm 25=0\); অসীমতট \(2y\pm 5x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.4)\) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{\sqrt{34}}{3};(0, \pm \sqrt{34})\);
\(6;10;\frac{50}{3};\sqrt{34}y\pm 9=0\); অসীমতট \(5y\pm 3x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.5)\) \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{34}}{5};(0, \pm \sqrt{34})\);\(10;6;\frac{18}{5};\sqrt{34}y\pm 25=0\);
অসীমতট \(3y\pm 5x=0\)

\(Q.1.(ii)(z.6)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\);
অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(iii)(a)- Q.1.(iii)(j)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(x^2=16y\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।

\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।

\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((h)\) \(8x^2-3y^2=48\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((i)\) \(25y^2-9x^2= 225\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\((j)\) \(16x^2-9y^2=576\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।

\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)

\(Q.1.(v)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ চুয়েতঃ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১১,২০১৩;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \( (1, -2), (5, -2), (-3, -2), (6, -2), (-4, -2) \)

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0 \)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)

\(Q.1.(viii)\) \(16x^2-25y^2=400\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৫;রাঃ২০০৮;সিঃ২০১৪;মাঃ২০১৫ ]
উত্তরঃ উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0) \)

\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)

\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)

\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)

\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)

\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{14})\)

\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(16x^2-9y^2=576\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয় ও নভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 6, 0);(\pm 10, 0); \frac{5}{3}; 12; 16; \frac{64}{3}; 5x\pm 18=0\)

\(Q.1.(xvii)\) \(9x^2-16y^2-36x-32y-124=0\) অধিবৃত্তের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2, -1), (6, -1), (-2, -1), (7, -1), (-3, -1), \frac{5}{4};\)
\(y+1=0, x-2=0, 5x-26=0, 5x+6=0\)

\(Q.1.(xviii)(a)- Q.1.(xviii)(c)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, অধিবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ, কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.1.(xviii)(b)\) \((\sqrt{3}\sec\theta, 2\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(xviii)(c)\) \((8\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, 1)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0;\) \(2x+y-3=0 \)

\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

\(Q.2.(iii)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 2)\) উৎকেন্দ্রতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+y=9\) হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4xy-32x-32y+154=0\)

\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)

\(Q.2.(v)\) একটি অধিবৃত্ত \((6, 4)\) ও \((-3, 1)\) বিন্দুগামী । এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১১,২০০৪;চঃ ২০০৯; বঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.2.(vi)\) একটি অধিবৃত্ত \((2, 1)\) ও \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৬;বঃ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)

\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)

\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)

\(Q.2.(x)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 3)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং অনুরূপ নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+2y=1\)।
উত্তরঃ \(2x^2-7y^2-12xy-14x-18y+62=0\)

\(Q.2.(xi)\) একটি অধিবৃত্ত \((-2, 1)\) ও \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)

\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)

\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)

\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)

\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)

\(Q.2.(xvi)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=4\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=2\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2-15y^2+64y-64=0\)

\(Q.2.(xvii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 0)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4xy+4x-4=0\)

\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)

\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)

\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

\(Q.3.(iv)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অধিবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=1\)

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).

\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).

\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).

\((d)\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((4, 2), (8, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}(x-6)=0\).

\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).

\((f)\) সমীকরণ \( 4x^2-5y^2+40x-30y-45=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+3)\pm 2\sqrt{5}(x+5)=0\).

\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o},\)
\(157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)

\(Q.3.(vii)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((0, 2), (4, \frac{10}{3}),(-4, \frac{10}{3}),(-4, -\frac{10}{3}))\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)

\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)

\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)

\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)

\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)

\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের জন্য \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t+\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।

\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)

\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\)
\((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\)
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \)

\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।

\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।

\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\)।
conic
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\) \((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।

\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\)
\((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\)
\((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।

\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\) \((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।

\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি একটি কনিক নির্দেশ করে।
conic
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\) \((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।

\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c\)
\((n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\)
\((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।

\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)

\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)

\(Q.4.(xi)\) \((0, 2)\) বিন্দুটি \(y=5x^2+3x+c\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \(ax+cy+1=0\) রেখার সমান্তরাল।
\((a)\) বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বক্ররেখাটি কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ করে এর শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) y=5x^2+3x+2\); \((b) -6\);
\((c)\) পরাবৃত্ত, \(\left(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20}\right)\); \(\left(\frac{3}{10}, \frac{8}{5}\right)\)
নিজে কর।
\(Q.4.(xii)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ কর।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\); ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
উত্তরঃ \((a)\) পরাবৃত্ত; \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\);
\((c) \frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
নিজে কর।
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমুহ
\(Q.5.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, -3)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0;\) \(2x+y-3=0 \)

\(Q.5.(ii)\) \(16x^2+9y^2-32x-128=0\) উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)

\(Q.5.(iii)\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

\(Q.5.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

\(Q.5.(v)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি, তার কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)

\(Q.5.(vi)\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)

\(Q.5.(vii)\) \(x-y+2=0\) রেখাটি কোনো পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত হলে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)

\(Q.5.(viii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)

\(Q.5.(ix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।

\(Q.5.(x)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)

\(Q.5.(xi)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)

\(Q.5.(xii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।

\(Q.5.(xiii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) কে দুইবার বর্গ করে কণিকটি সনাক্ত কর। অক্ষের সমীকরণ, শীর্ষবিন্দু এবং স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু দেখিয়ে ছবি আঁক।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ পরাবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।

\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।

\(Q.5.(xv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)

\(Q.5.(xvi)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)

\(Q.5.(xvii)\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)

\(Q.5.(xviii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

\(Q.5.(xix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.5.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।

\(Q.5.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \((0, 4)\) ও \((0, -4)\) এবং যা \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।

\(Q.5.(xxii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।

\(Q.5.(xxiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।

\(Q.5.(xxiv)\) \(y=3x+1\) সরলরেখা \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\)-এর মাণ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3;(\frac{1}{3}, 2); (3, 0); 12; x+3=0\)।

\(Q.5.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।

\(Q.5.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) পরাবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}a^2\)।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard