লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • স্বাধীন ও অধীন চলকের অন্তরীকরণ।
  • লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ।
  • নেপিয়ার অথবা প্রাকৃতিক লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ।
  • দুইয়ের অধিক ফাংশনের গুনফল ও ভাগফল দ্বারা গঠিত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
স্বাধীন ও অধীন চলকের অন্তরীকরণ।
Differentiation of dependent and independent variable.
কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার নির্ণয়ের পদ্ধতিই হলো ঐ ফাংশনের অন্তরীকরণ। \(f(x)\) ফাংশনের স্বাধীন চলক \(x\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dx=x\) এর ক্ষুদ্র বৃদ্ধি \((increment of x)\delta{x}\). অধীন চলক \(y\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dy=f^{'}(x)dx\) অর্থাৎ অধীন চলকের অন্তরক = স্বাধীন চলকের অন্তরজ \(\times\) স্বাধীন চলকের অন্তরক ।
লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ।
Logarithmic differentiation.
কোনো ফাংশনের সূচক অন্য আরেকটি ফাংশন হলে অথবা কোনো ফাংশন কয়েকটি ফাংশনের গুনফল ও ভাগফল দ্বারা গঠিত হলে, প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে অন্তরজ নির্ণয় সহজতর হয়।
যখন, \(u, \ v\) ও \(w\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=\frac{uv}{w}\) এই ক্ষেত্রে।
\((1)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{uv}{w}\left(\frac{1}{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{w}\frac{dw}{dx}\right)\)
যখন, \(u\) ও \(v\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=u^{v}\) এই ক্ষেত্রে।
\((2)\) \(\frac{dy}{dx}=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
ধ্রুবক বা স্থির রাশি \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এই দুইটির মধ্যে সূচকের চারটি রূপ দেখা যায়। যেমনঃ
\((a).\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\)
\((b).\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\)
\((c).\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\)
\((d).\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\)
উদাহরণসহ ব্যাখ্যাঃ
\((a).\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}x^{n}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(\sin^{2}{x})\)
\(=2\sin{x}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=2\sin{x}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\(=\sin{2x}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\((b).\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}a^{x}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(5^{\sin{x}})\)
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{a}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\((c).\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}(c)=0\), (c=ধ্রুবক) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(a^{c})\)
\(=0\) ➜ \(\frac{d}{dx}(c)=0\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\((d).\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\): এই ক্ষেত্রে ফাংশনের সূচক একটি ফাংশন তাই এটিকে সরাসরি অন্তরীকরণ করা কষ্টসাধ্য। প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে সূচক অপসারণ করা হয় অথবা \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়, অতপর ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(x^{\sin{x}})\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{\ln{x^{\sin{x}}}})\) ➜ \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin{x}\ln{x}})\) ➜ \(\because \ln{x^n}=n\ln{x}\)
\(=e^{\sin{x}\ln{x}}.\frac{d}{dx}(\sin{x}\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=e^{\ln{x^{\sin{x}}}}\{\sin{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\sin{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\frac{1}{x}\sin{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
অনুশীলনী \(9.E\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(y=(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)\)
উত্তরঃ \( -(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)\)\(\left(\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1-2x}+\frac{3}{1-3x}+\frac{4}{1-4x}\right)\)

\((2)\) \(x^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\)

\((3)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \( (\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{\ln{\sin^{-1}{x}}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}\right)\)

\((4)\) \(x^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\ln{x}}\frac{2\ln{x}}{x}\)

\((5)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ ঢাঃ ২০১৩,২১০,২০০৫;রাঃ২০১৪,২০১০,২০০৭,২০০৫;কুঃ২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৩; যঃ২০১৪,২০১০,২০০৩;সিঃ ২০০৮,২০০৬;দিঃ ২০১৫,২০০৯;চঃ২০১৪; বঃ২০১০,২০০৬,২০০৩;মাঃ ২০১১ ]

\((6)\) \(x^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x^{x}}x^{x}\{\frac{1}{x}+\ln{x}(1+\ln{x})\}\)
[ বুয়েটঃ ০৮-০৯;বুটেক্সঃ০৫-০৬; কুঃ ২০০৫;যঃ২০১১,২০০৯;সিঃ২০১৬,২০০৪;রাঃ ২০১৬,২০০৮,২০০৬]

\((7)\) \(x^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
[ ঢাঃ ২০০৯;রাঃ২০১৩;কুঃ২০১২;সিঃ ২০১২ ]

\((8)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}+(\cos{x})^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}\{\cot{x}\cos{x}-\sin{x}\ln{\sin{x}}\}\)\(+(\cos{x})^{\sin{x}}\{-\sin{x}\tan{x}+\cos{x}\ln{(\cos{x})}\}\)
[ রাঃ ২০১১]

\((9)\) \(\frac{x\sin{x}}{1+\cos{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin{x}+x}{1+\cos{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৮;রাঃ২০১৩;চঃ২০১৪,২০১১;সিঃ ২০১৪,২০১০;বঃ২০০৮,২০১৪ দিঃ২০১৪;মাঃ২০১৪,২০১৫ ]

\((10)\) \((\cos{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\tan{x}}(\ln{\cos{x}}\sec^2{x}-\tan^2{x})\)

\((11)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{1}{x}\ln{\sin^{-1}{x}}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}\right)\)

\((12)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ ঢাঃ২০১৩;রাঃ২১৪,২০১০;কুঃ২০১৩;চঃ২০১৪;যঃ২০১৪,২০১০;বঃ২০১০;সিঃ২০০৮;দিঃ২০১৫ ]

অনুশীলনী \(9.E / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)\) \(\ln{[x-\sqrt{x^2-1}]}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
[ কুঃ২০১০,২০০৩;চঃ২০০৫;রাঃ২০০০;মাঃ২০০৬]

\(Q.1.(ii)\) \(\ln{[\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}]}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
[ চঃ২০০১]

\(Q.1.(iii)\) \(\ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
[ চঃ২০১৭]

\(Q.1.(iv)\) \(\ln{(ax^2+bx+c)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}\)

\(Q.1.(v)\) \(\ln{\left(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)}\) উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}\)
\(Q.1.(vi)\) \(\ln{\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\right)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2(1-x^2)}{1+x^2+x^4}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\ln{\left(\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}\right)}\)
উত্তরঃ \( cosec{x}\)
[ ঢাঃ২০১২,২০০৭;রাঃ২০১১]

\(Q.1.(viii)\) \(\ln{\{e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
[ সিঃ২০০৩]

\(Q.1.(ix)\) \(\ln{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)
[ দিঃ২০১০]

\(Q.1.(x)\) \(\log_{x}a\)
উত্তরঃ \(-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
[ যঃ২০১৭,২০০৮;চঃ২০০৬;রাঃ২০০১]

\(Q.1.(xi)\) \(\log_{x}2x\)
উত্তরঃ \(-\frac{\ln{2}}{x(\ln{x})^2}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\log_{\cos{x}}\tan{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{cosec{x}\sec{x}\ln{(\cos{x})}+\tan{x}\ln{\tan{x}}}{(\ln{\cos{x}})^2}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\log_{a}x+\log_{x}a\)
উত্তরঃ \(\frac{(\ln{x})^2-(\ln{a})^2}{x(\ln{x})^2\ln{a}}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\frac{e^{-x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-e^{-x}\left(\frac{21x^2+32x+33}{(7x-1)^2}\right)\)
[ যঃ২০০৫]

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{3}{x+4}-1\right)\)
[ কুঃ২০০৯]

\(Q.1.(xvi)\) \(x^3\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2+3}}\)
উত্তরঃ \(x^3\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2+3}}\left(\frac{3}{x}+\frac{x}{x^2+4}-\frac{x}{x^2+3}\right)\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\frac{x\cos^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\cos^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\cos^{-1}{x}}+\frac{x}{1-x^2}\right)\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\frac{e^{x^2}\tan^{-1}{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x^2}\tan^{-1}{x}}{\sqrt{1+x^2}}\left(2x+\frac{1}{(1+x^2)\tan^{-1}{x}}-\frac{x}{1+x^2}\right)\)

\(Q.1.(xix)\) \(\frac{(x^2+1)^2}{\sqrt[3]{x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\left(5x^{\frac{7}{3}}+4x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{5}{3}}\right)\)

\(Q.1.(xx)\) \(\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)^{n}\)
উত্তরঃ \(\frac{n}{x\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)^{n}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\frac{x\log{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\log{x}}{\sqrt{1+x^2}}\left(\frac{1}{x}+\frac{\log_{10}e}{x\log{x}}-\frac{x}{1+x^2}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

অনুশীলনী \(9.E / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \((\sin{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\tan{x}}(1+\sec^2{x}\ln{\sin{x}})\)

\(Q.2.(ii)\) \((\sin^{-1}{x})^x\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^x\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\ln{\sin^{-1}{x}}\right)\)

\(Q.2.(iii)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}(\cos^2{x} \ cosec{x}-\sin{x}\ln{\sin{x}})\)

\(Q.2.(iv)\) \((\cos^{-1}{x})^x\)
উত্তরঃ \((\cos^{-1}{x})^x\left(\ln{\cos^{-1}{x}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\cos^{-1}{x}}\right)\)

\(Q.2.(v)\) \((\ln{x})^{ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{ln{x}}\frac{1}{x}\{1+\ln{(\ln{x})}\}\)

\(Q.2.(vi)\) \((\sin{x})^{ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{ln{x}}\{\cot{x}\ln{x}+\frac{1}{x}\ln{(\sin{x})}\}\)

\(Q.2.(vii)\) \((\cot{x})^{tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cot{x})^{tan{x}}\sec^2{x}\{\ln{(\cot{x})}-1\}\)
[ যঃ২০১২;বঃ২০০৯;দিঃ২০০৯]

\(Q.2.(viii)\) \(x^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\ln{x}}\frac{2\ln{x}}{x}\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(ix)\) \((\ln{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{x}\left(\frac{1}{\ln{x}}+\ln{(\ln{x})}\right)\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(x)\) \((\tan{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\tan{x})^{\ln{x}}\left(2\ln{x} \ cosec{2x}+\frac{1}{{x}}\ln{(\tan{x})}\right)\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(xi)\) \((\cos{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\tan{x}}\{\sec^2{x}\ln{(\cos{x})}-\tan^2{x}\}\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(xii)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{x}\right)\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(xiii)\) \(x^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
[ ঢাঃ ২০০৯;রাঃ২০১৩;কুঃ২০১২;সিঃ ২০১২ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(e^{2\ln{(\tan{5x})}}\)
উত্তরঃ \(10\tan{5x}\sec^2{5x}\)
[ ঢাঃ ২০০৪;চঃ২০১২,২০০২;কুঃ২০০৭;দিঃ ২০১৬;সিঃ২০১০বঃ২০১১,২০০৬ ]

\(Q.2.(xv)\) \((\sec{x})^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \((\sec{x})^{x^{x}}x^{x}\{\tan{x}+(1+\ln{x})\ln{(\sec{x})}\}\)

অনুশীলনী \(9.E / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(x^{x}\ln{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x-1}\{1+x\ln{x}(1+\ln{x})\}\)
[ চঃ২০১২;বঃ২০১২;দিঃ২০১০]

\(Q.3.(ii)\) \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+e^{x^2-1}(1+\ln{x^2})\)
[ঢাঃ ২০১২,২০০৬;সিঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(iii)\) \(x^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x^{x}}x^{x}\left(\ln{x}(1+\ln{x})+\frac{1}{x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ০৮-০৯;বুটেক্সঃ০৫-০৬; কুঃ ২০০৫;যঃ২০১১,২০০৯;সিঃ২০১৬,২০০৪;রাঃ ২০১৬,২০০৮,২০০৬]

\(Q.3.(iv)\) \(e^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(e^{x^{x}}x^{x}(1+\ln{x})\)

\(Q.3.(v)\) \(x^{e^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{e^{x}}e^{x}\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(vi)\) \(e^{e^{x}}\)
উত্তরঃ \(e^{e^{x}}e^{x}\)

\(Q.3.(vii)\) \(a^{a^{x}}\)
উত্তরঃ \(a^{a^{x}}a^{x}(\ln{a})^2\)
[ দিঃ২০১২ ]

\(Q.3.(viii)\) \(x^{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
[ চঃ২০১৩;সিঃ২০০৯]

\(Q.3.(ix)\) \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\ln{\sqrt{x}})\)
[ কুঃ২০১১;বঃ২০১২]

\(Q.3.(x)\) \(a^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(a^{x^{x}}x^{x}\ln{a}(1+\ln{x})\)
[ দিঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xi)\) \((x^{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((x^{x})^{x}\{x(1+\ln{x^2})\}\)
[ ঢাঃ২০১১;রাঃ২০১২;কুঃ২০১৪;যঃ২০১১;বঃ২০১৪;দিঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xii)\) \((ax)^{bx}\)
উত্তরঃ \((ax)^{bx}\{b(1+\ln{ax})\}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(x^{x}+x^{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})+x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)

\(Q.3.(xiv)\) \((\tan{x})^{x}+x^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\tan{x})^{x}(x\cot{x}\sec^2{x}+\ln{\tan{x}})\)\(+x^{\tan{x}}\left(\frac{\tan{x}}{x}+\sec^2{x}\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(xv)\) \(a^{x}+b^{x^2}\)
উত্তরঃ \(a^{x}\ln{a}+2xb^{x^2}\ln{b}\)

\(Q.3.(xvi)\) \((\ln{x})^{x}+x^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{x}\left(\frac{1}{\ln{x}}+\ln{\ln{x}}\right)\)\(+x^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\cos{x}\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(xvii)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}+(\sin^{-1}{x})^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}x}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)\(+(\sin^{-1}{x})^{x}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\ln{(\sin^{-1}{x})}\right)\)

\(Q.3.(xviii)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}+(\cos{x})^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}\{\cot{x}\cos{x}-\sin{x}\ln{(\sin{x})}\}\)\(+(\cos{x})^{\sin{x}}\{\cos{x}\ln{(\cos{x})}-\tan{x}\sin{x}\}\)

\(Q.3.(xix)\) \((1+x^2)^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2x(1+x^2)^{x^2}\left(\frac{x^2}{1+x^2}+\ln{(1+x^2)}\right)\)

\(Q.3.(xx)\) \((1+x^2)^{2x}\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{2x}\left(\frac{4x}{1+x^2}+2\ln{(1+x^2)}\right)\)
[ যঃ২০০৬]

\(Q.3.(xxi)\) \((\sin{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{x}\{x\cot{x}+\ln{(\sin{x})}\}\)
[ যঃ২০০৬]

\(Q.3.(xxii)\) \((1+x)^{x}\)
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\)
[ বঃ২০১৩]

\(Q.3.(xxiii)\) \(y=\sqrt{\sin{x}+\sqrt{\sin{x}+\sqrt{\sin{x}+.......\infty}}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos{x}}{2y-1}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(y=\sqrt{\cos{x}\sqrt{\cos{x}\sqrt{\cos{x}.......\infty}}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\sin{x}}{\cos{x}-2y}\)

\(Q.3.(xxv)\) \(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{dy}{dx}=1-xy-x^2\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard