অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ।
  • অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
Differentiation implicit function.
যদি \(x\) ও \(y\) এর সমন্বয়ে কোনো সমীকরণ গঠিত হয় এবং এই সমীকরণে \(y\) কে সরাসরি \(x\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা না যায়, তবে ফাংশনটিকে অব্যক্ত ফাংশন বলে। অব্যক্ত ফাংশনকে সাধারণত \(f(x, y)=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমনঃ \(x^{y}=y^{x}, x^3+\cos{xy}=0 ........\) ইত্যাদি। অব্যক্ত ফাংশনের ক্ষেত্রে \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(y\) কে \(x\) এর একটি অজ্ঞাত ফাংশনরূপে গণ্য করে সমীকরণের প্রতিটি পদকে অন্তরীকরণ করা হয় এবং পরে \(\frac{dy}{dx}\) এর মাণ নির্ণয় করা হয়।
পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ।
Differentiation of Parametric equation.
অনেক সময় সুবিধার জন্য কোনো বক্ররেখার সমীকরণে \(x\) এবং \(y\) কে তৃতীয় আর একটি চলরাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এ তৃতীয় চলরাশিকে পরামিতি বলা হয়। পরামিতি অপসারণ না করেও \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করা করা যায়।
মনে করি,
\(x=\phi(t)\) এবং \(y=f(t)\)
তাহলে \[\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\frac{\delta{y}}{\delta{x}}\]
\[=\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\left(\frac{\delta{y}}{\delta{t}}\div{\frac{\delta{x}}{\delta{t}}}\right)\]
\[=\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\frac{\delta{y}}{\delta{t}}\div{\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\frac{\delta{x}}{\delta{t}}}\]
\[=\frac{dy}{dt}\div{\frac{dx}{dt}}\]
অনুশীলনী \(9.F\) উদাহরণ সমুহ
নিচের অব্যক্ত ফাংশনগুলি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\((1)\) \(\ln{xy}=x^2+y^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)

\((2)\) \(x^y=e^{x-y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}}{(1\ln{x})^2}\)

\((3)\) \(\sqrt{x}+\sin{y}=x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{4x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}\cos{y}}\)

\((4)\) \(4x^4-x^2y+2y^3=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x(8x^2-y)}{x^2-6y^2}\)

\((5)\) \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)

নিচের পরামিতিক সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\((6)\) \(x=a(\theta-\sin{\theta})\) এবং \(y=a(1-\cos{\theta})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\cot{\frac{\theta}{2}}\)

\((7)\) \(x=at^2\) এবং \(y=2at\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}\)

\((8)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)

\((9)\) \(x=a\cos^3{\theta}\) এবং \(y=a\sin^3{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\tan{\theta}\)

\((10)\) \(x=e^t\cos{t}\) এবং \(y=e^t\sin{t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\sin{t}+\cos{t}}{\cos{t}-\sin{t}}\)

\((11)\) যদি \(x^yy^x=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)

\((12)\) যদি \(x^4+x^2y^2+y^4=1\) দ্বারা কোনো অব্যক্ত ফাংশন বর্ণিত হলে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x(2x^2+y^2)}{y(x^2+2y^2)}\)
অনুশীলনী \(9.F / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
নিচের অব্যক্ত ফাংশনগুলি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(x^y+y^x=1\)
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)

\(Q.1.(ii)\) \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)

\(Q.1.(iii)\) \(e^{xy}-4xy=2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(iv)\) \(x^2-xy+y^2=3\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}\)

\(Q.1.(v)\) \(x^3y+xy^3=2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(3x^2+y^2)}{x(x^2+3y^2)}\)

\(Q.1.(vi)\) \(x^3+y^3=3axy\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\)

\(Q.1.(viii)\) \(y+x=x^{-y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y(x+y)}{x\{(x+y)\ln{x}+1\}}\)

\(Q.1.(ix)\) \(x+y=xy^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-1}{1-2xy}\)

\(Q.1.(x)\) \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xi)\) \(x^yy^x=1\)
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)

\(Q.1.(xii)\) \(xy+x^2y^2=c\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=c\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(x^3-3xy+y^3=1\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-y}{x-y^2}\)

\(Q.1.(xv)\) \(y=x^{y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x(1-y\ln{x})}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(x^4+x^2y^2+y^4=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x(2x^2+y^2)}{y(x^2+2y^2)}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(x^4+y^4=3axy\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(y^4-3x^4)}{x(3y^4-x^4)}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(x^my^n=(x-y)^{m+n}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xix)\) \(x^y+y^x=a^b\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{yx^{y-1}+y^x\ln{y}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)

\(Q.1.(xx)\) \(1+xy^2+x^2y=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(y+2x)}{x(x+2y)}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{ax+hy+g}{hx+by+f}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(xy+x^2y^2=3\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(3x^4-x^2y+2y^3=1\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x(6x^2-y)}{x^2-6y^2}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xxv)\) \(x^py^q=(x-y)^{p+q}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(y=x^{y^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\ln{y}(x\ln{x}\ln{y}+1)}{x\ln{x}(1-x\ln{y})}\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(y=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x ......\infty}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)

\(Q.1.(xxviii)\) যদি \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}.\frac{nln{x}-1}{n\ln{y}-1}\)

\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, বক্ররেখা \(x^3y+x^2y^2+xy^3=3\) এর \((1, 1)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.1.(xxx)\) \(f(x)=\left(\frac{a+x}{b+x}\right)^{a+b+2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(f^{'}(0)=\left(2\ln{\frac{a}{b}}+\frac{b^2-a^2}{ab}\right)\left(\frac{a}{b}\right)^{a+b}\)

\(Q.1.(xxxi)\) \(x\sqrt{(1+y)}+y\sqrt{(1+x)}=0\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)

অনুশীলনী \(9.F / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
নিচের অব্যক্ত ফাংশনগুলি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(x=y\ln{(xy)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x-y)}{x(x+y)}\)

\(Q.2.(ii)\) \(e^{x-y}=x^y\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}}{(1+\ln{x})^2}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\tan{(x+y)}=a\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.2.(iv)\) \(\sin^{-1}{(x+y)}=a\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.2.(v)\) \(y=\sin{(x+y)^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2(x+y)}{\sec{(x+y)^2}}-2(x+y)\)

\(Q.2.(vi)\) \(e^x+e^y=e^a\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-e^{x-y}\)

\(Q.2.(vii)\) \(x^2+y^2=\sin{(xy)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos{(xy)}-2x}{2y-x\cos{(xy)}}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\ln{(x^ny^n)}=x^n+y^n\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x^n-1)}{x(1-y^n)}\)

\(Q.2.(ix)\) \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)

\(Q.2.(x)\) \((\sec{x})^y=(\tan{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\tan{y})}-y\tan{x}}{\ln{(\sec{x})}-x\sec^2{y}\cot{y}}\)

\(Q.2.(xi)\) \(y=\tan{(x+y)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^2}{y^2}\)
\(Q.2.(xii)\) \(\ln{xy}=x+y\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(x\cos{y}=\sin{(x+y)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos{y}-\cos{(x+y)}}{\cos{(x+y)}+x\sin{y}}\)

\(Q.2.(xiv)\) \((\sin{x})^y=(\cos{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\cos{y})}-y\cot{x}}{\ln{(\sin{x})}+x\tan{y}}\)

\(Q.2.(xv)\) \(\ln{xy}=x^2+y^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(2x^2-1)}{x(1-2y^2)}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(e^{xy}-4xy=c\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(x+y=\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y+x^2\cos{(x+y)}}{x-x^2\cos{(x+y)}}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(x^y=e^{x+y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x(\ln{x}-1)}\)

\(Q.2.(xix)\) \(y=\cot{(x+y)}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^2}{2+y^2}\)

\(Q.2.(xx)\) \(x^2=5y^2+\sin{y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\tan{y}=\sin{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(y=\sqrt{\cos{x}+\sqrt{\cos{x}+\sqrt{\cos{x} ......\infty}}}\) হলে, দেখাও যে, \((2y-1)\frac{dy}{dx}+\sin{x}=0\)
অনুশীলনী \(9.F / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
নিচের পরামিতিক সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(x=a(\theta+\sin{\theta}), y=a(1+\cos{\theta})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\tan{\frac{\theta}{2}}\)

\(Q.3.(ii)\) \(x=a(\cos{\theta}+\theta\sin{\theta}), y=a(\sin{\theta}-\theta\cos{\theta})\) যখন \(\theta=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.3.(iii)\) \(x=\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos{\theta}}{1+\cos{\theta}}}\), \(y=\tan^{-1}\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-1\)

\(Q.3.(iv)\) \(x=a\cos{\theta}+b\sin{\theta}\), \(y=a\sin{\theta}-b\cos{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{a\cos{\theta}+b\sin{\theta}}{b\cos{\theta}-a\sin{\theta}}\)

\(Q.3.(v)\) \(x=a\sec^3{\theta}\), \(y=a\tan^3{\theta}\) যখন \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)

\(Q.3.(vii)\) \(x=a\cos^3{\theta}\) এবং \(y=a\sin^3{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\tan{\theta}\)

\(Q.3.(viii)\) \(x=e^t\cos{t}\) এবং \(y=e^t\sin{t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\sin{t}+\cos{t}}{\cos{t}-\sin{t}}\)

\(Q.3.(ix)\) \(x=a\cos{t}\) এবং \(y=b\sin{t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\cot{t}\)

\(Q.3.(x)\) \(x=\sqrt{t}\) এবং \(y=t-\frac{1}{\sqrt{t}}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=2\sqrt{t}+\frac{1}{t}\)
\(Q.3.(xi)\) \(x=2\sin{t}\) এবং \(y=\cos{2t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-2\sin{t}\)

\(Q.3.(xii)\) \(x=\cos^3{\theta}\) এবং \(y=\sin^3{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\tan{\theta}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(x=a(\cos{\phi}+\phi\sin{\phi}), y=a(\sin{\phi}-\phi\cos{\phi})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\tan{\phi}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(x=\frac{3at}{1+t^3}, y=\frac{3at^2}{1+t^3}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\)

\(Q.3.(xv)\) \(x=a(\theta-\sin{\theta}), y=a(1-\cos{\theta})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\cot{\frac{\theta}{2}}\)

\(Q.3.(xvi)\) \(x=\frac{a\cos{t}}{t}, y=\frac{a\sin{t}}{t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\sin{t}-t\cos{t}}{t\sin{t}+\cos{t}}\)

\(Q.3.(xvii)\) \(x=a(\cos{t}+t\sin{t}), y=a(\sin{t}-t\cos{t})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\tan{t}\)

\(Q.3.(xviii)\) \(x=a\cos{\theta}\) এবং \(y=a\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\cot{\theta}\)

\(Q.3.(xix)\) \(x=a\sec{\phi}\) এবং \(y=b\tan{\phi}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{b}{a} cosec \ {\phi}\)

\(Q.3.(xx)\) \(x=a(t-\sin{t}), y=a(1+\cos{t})\) হলে,
দেখাও যে, \(t=\frac{5\pi}{3}\) যখন \(\frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard