ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতাঃ
ধরি, \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত \(a>c>b\) হলে ফাংশনটি \(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি
\[f^{\prime}(c)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] বিদ্যমান থাকে এবং \[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] ও \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] এর মাণ সসীম ও পরস্পর সমান হয়।
বিশেষ স্বরনীয় বিষয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন \(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন \(x=c\)বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে।
ফাংশন \(f(x)\)-কে \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি সকল \(x\in(a, b)\) বিন্দুতে \(f(x)\) অন্তরীকরণযোগ্য হয়।
রোলের উপপাদ্যঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন
\([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য এবং
\(f(a)=f(b)\) হয়, তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যেখানে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
অর্থাৎ \(a>c>b\) খোলা ব্যবধিতে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
টেলরের ধারাঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন এবং \(f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), f^{\prime\prime\prime}(x), .......f^{n-1}(x)\) ফাংশনগুলি \([a, a+h]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f^{n}(x)\) ফাংশনটি \((a, a+h)\) খোলা ব্যবধিতে বিদ্যমান থাকে, তবে,
\(f(a+h)=f(a)+hf^{\prime}(a)+\frac{h^2}{l^2}f^{\prime\prime}(a)+\frac{h^3}{l^3}f^{\prime\prime\prime}(a)+ ........\)
গড়মান উপপাদ্য ( Mean value theorem, Lagrange's form )
যদি \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \((a, b)\) ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যাতে \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\) হয়।

উদাহরণঃ
\((1, 3)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2-2x+3\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা নিরূপণ কর।
geo1 মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যঃ
যদি \([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে \(f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় এবং \(k\) যে কোনো একটি সংখ্যা \(f(a)\) ও \(f(b)\) এর মধ্যে অবস্থিত হয় তাহলে \([a, b]\) ব্যবধির মধ্যে কমপক্ষে একটি সংখ্যা থাকবে যেখানে \(f(x)=l\).
geo1 প্রতিজ্ঞাঃ
যদি কোনো ফাংশন \(f(x), [a, b]\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f(a)\) ও \(f(b)\) শূন্য না হয় এবং বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় তবে \(f(x)=0\) সমীকরণের \((a, b)\) ব্যবধিতে কমপক্ষে একটি সমাধান বিদ্যমান।
উদাহরণঃ
মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 0]\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3+x+1\) সমীকরণের সমাধান আছে।
ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন ( Increasing and Decreasing function )
geo1 ক্রমবর্ধমান ফাংশনঃ
যদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমবর্ধমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}>0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(90^{o}>\theta\).
geo1 ক্রমহ্রাসমান ফাংশনঃ
যদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ হ্রাস পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমহ্রাসমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}<0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(\theta>90^{o}\).
মন্তব্যঃ
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)>0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান হবে।
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)<0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান হবে।
ফাংশনের চরম মাণ ( Extreme values of function )
geo1 ফাংশনের চরম মাণঃ
\(y=f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটির লেখচিত্র থেকে আমরা দেখতে পাই যে, \(P_{1}\) বিন্দুর ডান ও বাম দিকে একটি ক্ষুদ্র ব্যবধি \(L_{1}L_{2}\) এর অন্তর্গত \(x\) এর সকল মানের মধ্যে \(x=OC_{1}=c\) এর জন্য \(f(x)=f(c)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অনুরূপভাবে, \(P_{2}, P_{3}, P_{4}\) বিন্দুগুলিতেও বিন্দুগুলির উভয় দিকে \(x\) এর মাণসমূহের একটি ক্ষুদ্র ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অতএব, কোনো বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তমের অর্থ এই নয় যে, ফাংশনটির মাণ সে বিন্দুতে চুড়ান্তভাবে বৃহত্তম। ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মানও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের মাণ ক্ষুদ্রতম-এর অর্থ এই নয় যে, বিন্দুটিতে ফাংশনটির মাণ চুড়ান্তভাবে ক্ষুদ্রতম। লক্ষ করলে আরও দেখা যায় যে, কোনো বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মাণ আর একটি বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মানের চেয়ে বৃহত্তম। সুতরাং একটি ফাংশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলি প্রকৃতপক্ষে আপেক্ষিকভাবে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ। ফাংশনের আপেক্ষিক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলিকে ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান এবং এদের একত্রে ফাংশনের চরম মাণ বলা হয়। অর্থাৎ আপেক্ষিক বৃহত্তম মাণ ও আপেক্ষিক ক্ষুদ্রতম মাণ বুঝাতে আমরা 'গুরুমান' ও 'লঘুমান' ব্যবহার করব।
মন্তব্যঃ
একটি ফাংশনের একাধিক গুরুমান ও লঘুমাণ থাকতে পারে।
কোনো বিন্দুতে ফাংশনের লঘুমান অন্য একটি বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমানের চেয়ে বড় হতে পারে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান ( Maximum and Minimum Values of a function )
ফাংশনের গরিষ্ঠমানঃ
geo1 \(f(c)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((c-h, c+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(c)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে।
অর্থাৎ \(f(c)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(c-h, c+h)}\) কিন্তু \(x\ne{c}\)
তাহলে, \(f(c+h)-f(c)<0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=c\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(c)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে তবে, \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(c)\)
ফাংশনের লঘিষ্ঠমানঃ
geo1 \(f(d)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের লঘিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((d-h, d+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(d)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে।
অর্থাৎ \(f(d)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(d-h, d+h)}\) কিন্তু \(x\ne{d}\)
তাহলে, \(f(d+h)-f(d)>0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=d\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(d)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে তবে, \(x=d\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(d)\)
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্তঃ
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান থাকে এবং \(f^{\prime}(c)\) এর মাণ বিদ্যমান থাকে তবে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং \(f^{\prime}(c)=0\) ও \(f^{\prime\prime}(c)\ne{0}\) হলে,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
প্রদত্ত ফাংশনটিকে \(f(x)\) ধরতে হবে।
\(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ ও লঘিষ্ঠমানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\) ধরে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \(x=a, b, c\)
\(f^{\prime\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
\((1) \ x=a\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)>0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=a\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে এবং ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=f(a)\)
\((2) \ x=b\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)<0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=b\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে এবং ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=f(b)\)
\((3) \ x=c\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=c\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান ও গরিষ্ঠমাণ থাকতেও পারে আবার নাও থাকতে পারে। যা উচ্চতর পর্যায়ে শেখানো হবে।
খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি ( Open and Close Interval )
খোলা ব্যবধি \((a, b)\Rightarrow ]a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x>a\}\)
বদ্ধ খোলা ব্যবধি \([a, b)\Rightarrow [a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}>a\}\)
খোলা বদ্ধ ব্যবধি \((a, b]\Rightarrow ]a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x\ge{a}\}\)
বদ্ধ ব্যবধি \([a, b]\Rightarrow [a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}\ge{a}\}\)
অনুশীলনী \(9.I\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) \([2, 5]\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x^2-7x+10\) ফাংশনের ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের বৈধতা যাচাই কর।

\((2.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।

\((3.)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
[ যঃ২০০৯; ঢাঃ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭; বঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]

\((4.)\) \(x\)এর মাণ কত হলে \(y=x(12-2x)^2\) ফাংশনের গুরুমান অথবা লঘুমান হবে?
উত্তরঃ \(\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ২০০৫ ]

\((5.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
[ যঃ২০১১; বঃ২০০১ ]

\((6.)\) গুরুমান ও লঘুমানগুলি নির্ণয় করঃ \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
[ ঢাঃ ২০০৮; বঃ২০০১]

\((7.)\) \(y=4x(6-x)^2\) \(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
[ কুঃ২০১৭]

\((8.)\) দেখাও যে, \(x=2\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+3x\)ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

\((9.)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।

\((10.)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
[ বঃ, দিঃ, ঢাঃ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ২০০৯, মাঃ২০১৪,২০১৫ ]

\((11.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+3\) এর কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
[ সিঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১৩, মাঃ২০১৫ ]

\((12.)\) \(f(x)=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}, 0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)

\((13.)\) \((0, 9)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-18x^2+96x\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)

\((14.)\) \(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)

\((15.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)

\((16.)\) \(f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)

\((17.)\) দেখাও যে, \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

অনুশীলনী \(9.I / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.1.(i)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য নিচের ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমান পাওয়া যায়।
\((a)\) \(4x^3-15x^2+12x-2\)
উত্তরঃ \(x=2\) লঘুমানের জন্য; \(x=\frac{1}{2}\) গুরুমানের জন্য।

\((b)\) \(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
উত্তরঃ \(x=4 \) গুরুমানের জন্য ; \( x=16\) লঘুমানের জন্য।
[ যঃ২০০৭ ]

\((c)\) \(x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
উত্তরঃ \(x=1\) লঘুমানের জন্য; \(x=2\) গুরুমানের জন্য; \(x=3\) লঘুমানের জন্য।
[ কুঃ২০০৮ ]

\(Q.1.(ii)\) \(f(x)=x^3-9x^2+24x-12\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(iii)\) \(h(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-19\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ ঢঃ২০১৭]

\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{43}{2}\) ; লঘুমান \( =\frac{2}{3}\)
[ বঃ২০০৩]

\(Q.1.(v)\) \(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{81}{16}\) ; লঘুমান \( =0\)
[ দিঃ২০১০]

\(Q.1.(vi)\) \(x^3-6x^2+9x-8\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বৃহত্তমমান \( =-4\) ; ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\)

\(Q.1.(vii)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =-3\) ; লঘুমান \( =-128\)
[ ঢাঃ২০১২, ২০০৯,২০০৮; বঃ২০১২; দিঃ২০১২; যঃ২০০৯,২০০০; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭ ]

\(Q.1.(viii)\) \(f(x)=x^3-3x^2-45x+13\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-162\); গুরুমান \( =94\) .
[ ঢাঃ২০০৩; বঃ২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৫; কুঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০০৮; মাঃ২০১১,২০০৮ ]

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
[ যঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(x+\frac{1}{x}\) এর গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ যঃ২০১২,২০১০; ঢঃ২০১১,২০০৫; চঃ২০১০; সিঃ ২০১০; বঃ২০০৯; কুঃ২০০৮,২০০৩; রাঃ২০০৬,২০০২ ]

\(Q.1.(xi)\) \(h(x)=x\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(x^3-3x^2+6x+2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]

\(Q.1.(xiii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]

\(Q.1.(xiv)\) নিম্নের ফাংশনগুলি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((a)\) \(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
উত্তরঃ \(1>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।

\((b)\) \(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায়। \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।

\(Q.1.(xv)\) \(f(x)=x-x^2-x^3\) এর সন্ধিবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\)

\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =9\); গুরুমান \( =10\) .
[ চঃ২০০৪; রাঃ২০১১ ]

\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=x(12-2x)^2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =32\); গুরুমান \( =5\) .
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xix)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =5\); গুরুমান \( =9\) .
[ চঃ২০০৪; সিঃ২০১৩ ]

\(Q.1.(xx)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-7\); গুরুমান \( =\frac{67}{27}\) .
[ মাঃ২০১২ ]

\(Q.1.(xxi)\) \((0, 2)\) ব্যবধিতে \(f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =2\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{39}{16}\) .
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.1.(xxii)\) \((0, 3)\) ব্যবধিতে \(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\frac{1}{3}\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{23}{48}\) .
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-x-x^3\) একটি \(x\) এর ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।

\(Q.1.(xxiv)\) যে সকল ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-3x+5\) ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, সেই সকল ব্যবধি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xxv)\) \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xxvi)\) \(f(x)=3x^2-2x+4, -1\le{x}\le{2}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।

\(Q.1.(xxvii)\) \(f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =-3\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(x^5-5x^4+5x^3-1\) ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-28\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =0\)

\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)=x^3-6x^2+27x+5\) এর কোনো চরমমান থাকবে না।

\(Q.1.(xxx)\) মুনাফা ফাংশন \(P=300+1200x-x^2\) কি পরিমাণ উৎপাদন করা হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে? \(x=\)উৎপাদিত দ্রব্য।
উত্তরঃ \(600\) একক।

\(Q.1.(xxxi)\) একটি খামারের মোট ব্যয় ফাংশন \(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x\), যখন \(x\)উৎপাদিত এককের সংখ্যা নির্দেশ করে। আয় ফাংশন \(R=12x-x^2\) হলে সর্বাধিক মুনাফার জন্য উৎপাদন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=4\).

\(Q.1.(xxxii)\) \(5-8x-2x^2\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।

\(Q.1.(xxxiii)\) \(2x^3-15x^2+36x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।

\(Q.1.(xxxiv)\) \(x^3-3x^2+3x+3\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।

\(Q.1.(xxxv)\) \(2x^3-3x^2-12x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।

\(Q.1.(xxxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+4x\) ফাংশনটি \(x\) এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।

\(Q.1.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=3x^2-2x+4\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

\(Q.1.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-x^2-2x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xxxix)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।

\(Q.1.(xL)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=32\), সর্বনিম্ন মান \(=0\)

\(Q.1.(xLi)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=5\), সর্বনিম্ন মান \(=-27\)

\(Q.1.(xLii)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=2\), সর্বনিম্ন মান \(=1\)

\(Q.1.(xLiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।

\(Q.1.(xLiv)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।

অনুশীলনী \(9.I / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{\ln{x}}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(e\).
[ কুঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(ii)\) \(f(x)=\ln{x}\) হলে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \(=\frac{2}{e}\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iii)\) \(g(u)=\ln{u}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{g(2x)}{x}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \(\frac{2}{e}\).
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(4e^{x}+9e^{-x}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
[ রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৩; সিঃ২০১২; কুঃ২০১০; বঃ ২০১০,২০০৫ ]

\(Q.2.(v)\) \(f(p)=e^{-2p}\) হলে, \(4f(p)+\frac{9}{f(p)}\) এর চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=12\)
[ চঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{6}\) হয়।

\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, \(x\sin{x}+4\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=0\) হয়।

\(Q.2.(viii)\) দেখাও যে, \(\sin{x}(1+\cos{x})\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{3}\) হয়।

\(Q.2.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\ln{x}}{x}\) এর গুরুমান \(\frac{1}{e}\).

\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{1}{x}}\) এর গুরুমান \(e^{\frac{1}{e}}\).

\(Q.2.(xi)\) \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =3\); গুরুমান \( =4\frac{1}{3}\) .
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xii)\) দেখাও যে, \(f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।

\(Q.2.(xiii)\) \((0, \pi)\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sin{x}+\cos{2x}\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =0\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{9}{8}\) .
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তরঃ সর্বচ্চমান বিদ্যমান।

\(Q.2.(xv)\) \(x^{x}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) .

\(Q.2.(xvi)\) \(100\) কে এমন দুইভাগে ভাগ কর যেন তাদের গুনফল সর্বোচ্চ হয়।
উত্তরঃ \( 50, 50\) .

\(Q.2.(xvii)\) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি. । এর ক্ষেত্রফলের মান সর্বোচ্চ হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \( 50\) সে.মি. , \(50\) সে.মি.
\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(e^{\frac{1}{e}}\).

অনুশীলনী \(9.I / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2+2x+3\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।

\(Q.3.(ii)\) \(]0, 4[\) ব্যবধিতে \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।

\(Q.3.(iii)\) \(]-1, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=\frac{1}{x}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।

\(Q.3.(iv)\) \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\begin{cases}-x \ , & যখন \ \ -1\le{x} < 0\\ \ \ \ x \ , & যখন \ \ \ \ \ \ 0\le{x}\le{1}\end{cases}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।

\(Q.3.(v)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=3+2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।

\(Q.3.(vi)\) \([2, 4]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।

\(Q.3.(vii)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।

\(Q.3.(viii)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।

\(Q.3.(ix)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([0, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-3x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।

\(Q.3.(x)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-4x+1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।

\(Q.3.(xi)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(x^3+x^2-2x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।

\(Q.3.(xii)\) \(f(x)=x^2\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে \((2.1)^2\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.4\)

\(Q.3.(xiii)\) \(x=0\) বিন্দুর সন্নিকটে \(f(x)=\sqrt{1+x}\) ফাংশনের লেখকে আসন্নভাবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের লেখ দ্বারা স্থানীয়ভাবে প্রতিস্থাপন করে \(\sqrt{0.9}\) এবং \(\sqrt{1.1}\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.95\) এবং \(1.05\)

\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=2\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)

\(Q.3.(xv)\) \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=3\) ও \(\delta{x}=dy=3\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)

অনুশীলনী \(9.I / Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) এবং \(g(x)=x^2\)
\((a)\) \(f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ কুঃ২০১৩; যঃ২০১০,২০১৪; সিঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৩; রাঃ২০১০,২০১৪; বঃ২০১০; চঃ২০১৪ ]
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রুতর।
[ কুঃ২০০৮; বঃ২০০৯; যঃ২০১০,২০১২; সিঃ ২০১০,২০১৪ ]
\((c)\) \(g(x)\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর।

\(Q.4.(ii)\) \(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ....(2)\)
\((a)\) \(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)এর জন্য \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\delta{y}=\frac{1}{2}, dy=0\)
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
[ যঃ২০১৩; কুঃ২০১১,২০১৪; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৮; রাঃ,সিঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]
\((c)\) \((1)\) যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলোতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0, 20x+y-140=0\)
[ ঢাঃ ২০০৯; যঃ,চঃ২০১০; দিঃ২০১১; কুঃ২০১৪ ]

\(Q.4.(iii)\) \[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\) \(x^{2}\sin^{-1}{(1-x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ বঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১২ ]
\((b)\) \(L_{1}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রাঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৯; মাঃ ২০১৩ ]
\((c)\) স্যান্ডউইস উপপাদ্যের সাহায্যে \(L_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিদ্যমান নেই।

\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \(f(x)\) কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1>x>-\infty\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় , \(5>x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((c)\) \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=42\), সর্বনিম্ন মান \(=10\),

\(Q.4.(v)\) নিচের রাশি দুইটি লক্ষ কর।
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{4}\)
\((b)\) \((1)\) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\).
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) রাশির সর্বনিম্ন মান \(e\).

\(Q.4.(vi)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ কর।
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\] এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(f(x)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)=5a^2\)

\(Q.4.(vii)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\] কত?
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \((1)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) এর মান \(\frac{1}{2}\).

\(Q.4.(viii)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ করঃ
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\] সমান কত?
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)=\frac{3}{2}\].

\(Q.4.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্যটি লিখ।
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^{x}\sin{\left(\frac{b}{2^{x}}\right)}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b\)
\((c)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে
দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\].

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(f^{\prime}(x)=-2\sin{2x}\).
\((b)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2\sin x\)
\((c)\) দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)

\(Q.4.(xi)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_{a}e\).
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) ও \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\); \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)

\(Q.4.(xii)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল কত?
উত্তরঃ \(8\)
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর এবং \((2) \) ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\).
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((c)\) \((3)\) নং এ উল্লেখিত বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)

\(Q.4.(xiii)\) নিচের ফাংশন তিনটি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4 \).
\((c)\) \(f(x)\) এর লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)

\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}+4y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(4f(x)+9f(-x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).

\(Q.4.(xv)\) \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(\psi(2x)\) এর অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(-2\sin 2x\)
\((c)\) \(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) ফাংশনটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=0\), বৃহত্তমমান \(=4\frac{1}{3}\).

\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\((a)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক \(x\)অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\).
\((c)\) \(f(x)\) এর চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=1\), বৃহত্তমমান \(=\frac{13}{9}\).

\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos y\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin x\)
\((c)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(\{f(x)\}^{g(x)}\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)

\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \((1+x)^x\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\).
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2 \).
\((c)\) প্রমান কর যে, \(g(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(24\).

\(Q.4.(xix)\) \(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\) \(2x^{o}\cos{3x^{o}}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) মূল নিয়মে দেখাও যে, \(\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{1}{x}\).
\((c)\) \(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\).

\(Q.4.(xx)\) বক্ররেখা - \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ....(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\) \(\ln{(xy)}=x+y \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \((1)\) নং বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\), অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)

\(Q.4.(xxi)\) \(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\) \(\frac{d}{dx}A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0 \).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান \(\frac{2}{e}\).

\(Q.4.(xxii)\) \(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5a^2\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \(f(y)=g(x)\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\).

\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}=\] কত?
উত্তরঃ \(\frac{(a+b)^2}{2m}\)
\((b)\) \(y=\ln{\{f(x)\}}\) হলে, প্রমাণ যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{\phi(x)}{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\).

\(Q.4.(xxiv)\) \(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\) \(x^2-2xy+y^2=5\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(y=e^{g(x)}\) হলে, প্রমাণ যে, \((1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\).
\((c)\) \(\frac{f(x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{e}\)

\(Q.4.(xxv)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\) \(y=x^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\) প্রদত্ত বক্ররেখার \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=11x-41\)
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=-7\) ; গুরুমান \(\frac{67}{27}\)

\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\((b)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ?
উত্তরঃ \(x=-\frac{1}{3}\)
\((c)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে \(g(x, y)\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)

\(Q.4.(xxvii)\)
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-cosec^2{x}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।

\(Q.4.(xxviii)\) \(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(2x^{o}\cos^3{x^{o}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\) প্রথম ফাংশন থেকে প্রমাণ কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\).
\((c)\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\) \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0\)
\((c)\) \((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)

\(Q.4.(xxx)\) \(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\)
\((a)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)
\((b)\) ১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^x)y_{2}-xy_{1}-2=0\).
\((c)\) দ্বিতীয় উদ্দীপকের যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\cos 2x\)
\((c)\) \(y=f(m\sin^{-1}{x})\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\).

ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নাবলী।
\(Q.5.(i)\) একটি নলাকার আবদ্ধ টিনের তৈরি পাত্রের তরল পদার্থ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) পাত্রটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কত হলে ইহা তৈরি করতে ন্যূনতম টিনের প্রয়োজন হবে।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.5.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln{(1-x)}}\] এর মান বের কর।
উত্তরঃ \(2\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.5.(iii)\) শুন্য ব্যতীত \(k\) এর এমন একটি মান নির্ণয় কর যা উল্লেখিত ফাংশনকে \(x=0\) বিন্দুতে অবিছিন্ন করবে। তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা ব্যখ্যা কর।
\(f(x)=\begin{cases}\frac{\tan{kx}}{x}, & x<0\\3x+2k^2, & x \ge 0\end{cases}\)
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.5.(iv)\) \((\cos{x})^{y}=(\sin{y})^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.5.(v)\) যদি \(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.5.(vi)\) যদি \(y=a\cos{\ln{x}}+b\sin{\ln{x}}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.5.(vii)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(fog(x)=gof(x)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(viii)\) যদি \(f(x)=\sin{x}\) হয় তবে \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(ix)\) সীমাস্থ মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\].
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]

\(Q.5.(x)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\].
উত্তরঃ \(e\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln{(1+x)}}{1+x-e^x}\].
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\].
উত্তরঃ \(1\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0\].
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.5.(xvi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{7x}-\cos{9x}}{\cos{4x}-\cos{5x}}\].
উত্তরঃ \(\frac{32}{9}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.5.(xvii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\].
উত্তরঃ \(2\ln a\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xviii)\) যদি \(x^2=5y^2+\sin{y}\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) কত হবে?
উত্তরঃ \(\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xix)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\]. [ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xx)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xxi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\].
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec{x}(\sec{x}-\tan{x})\}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xxiii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
উত্তরঃ \(\ln 2\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\].
উত্তরঃ \(\cos y\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\sin^4\left(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.5.(xxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\left(\sqrt{x}\right)^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xxvii)\) \(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxviii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
[ বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxix)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\)
[ বুটেক্সঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(xxx)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.5.(xxxi)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{y}{x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]

\(Q.5.(xxxii)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{nh}\].
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxxiii)\) \(e^x+e^y=e^{x+y}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-e^{y-x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]

\(Q.5.(xxxiv)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.5.(xxxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\frac{a+bx}{b-ax}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xxxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xxxvii)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxxviii)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xxxix)\) যদি \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(2xy_{1}+y=2\sqrt{x}\).
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.5.(xL)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xLi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(a^{\sin^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xLii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi{r^2}\) গুণ।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(xLiii)\) \(y=3\) সরলরেখার সমান্তরাল যে রেখা \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক সেই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.5.(xLiv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\frac{x\ln{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(xLv)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]

\(Q.5.(xLvi)\) যদি \(y=e^{ax}\cos{bx}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\).
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(xLvii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(5e^x\ln{x}\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(xLviii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(xLix)\) যদি \(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) \) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}=?\).
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]

\(Q.5.(L)\) \(x^2+2ax+y^2=0\) বক্ররেখার উপর স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগুলো নির্ণয় কর, যেখানে স্পর্শকসমুহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]

\(Q.5.(Li)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখার উপরস্থ এমন কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেসব বিন্দুগামী স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]

\(Q.5.(Lii)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]

\(Q.5.(Liii)\) \(x^y+y^x=0\) সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]

\(Q.5.(Liv)\) দেখাও যে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\ln{\sqrt[3]{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\) এর অন্তরকসহগ \(\frac{2}{3} \ cosec \ x\).
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

\(Q.5.(Lv)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

\(Q.5.(Lvi)\) \(y=kx(1+x)\) বক্ররেখাটির \((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

\(Q.5.(Lvii)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) হয়, তবে \(\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2}{1-2x}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]

\(Q.5.(Lviii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩]

\(Q.5.(Lix)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২]

\(Q.5.(Lx)\) যদি \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১]

\(Q.5.(Lxi)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\).
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]

\(Q.5.(Lxii)\) \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

\(Q.5.(Lxiii)\) \(1\) লিটার ( \(1000\) ঘন সে.মি. ) তরল ধারন ক্ষমতা সম্পন্ন দুই প্রান্তে আবদ্ধ একটি খাড়া বৃত্তাকার সিলিন্ডার প্রয়োজন। সিলিন্ডারটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কিরূপ হলে সর্বাপেক্ষা কম ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট টিন দিয়ে তা তৈরি করা সম্ভব।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭]

\(Q.5.(Lxiv)\) যদি \(y=\cos{2\sin^{-1}{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]

\(Q.5.(Lxv)\) \(y=(x+1)(x-1)(x-3)\) বক্ররেখাটি যেসব বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলিতে অঙ্কিত স্পর্শকসমুহের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(Lxvi)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। যেখানে \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.5.(Lxvii)\) যদি \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) এবং \(y\ne{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.5.(Lxviii)\) যদি \(x^yy^x=a^2\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বাহির কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.5.(Lxix)\) \(e^{3x}\sin^2{x}\) এর \(n\) তম অন্তরীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]

\(Q.5.(Lxx)\) ফাংশনটির গুরুমান বা লঘুমানের পরীক্ষা কর এবং সে মান নির্ণয় করঃ \(\frac{x}{\ln{x}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]

\(Q.5.(Lxxi)\) \(x(12-2x)^2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]

\(Q.5.(Lxxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]. উত্তরঃ \(4\) [ রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
\(Q.5.(Lxxiii)\) দেখাও যে, \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) সমীকরণ \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) কে সিদ্ধ করে।
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯,২০০০-২০০১ ]

\(Q.5.(Lxxiv)\) \(x\) ও \(y\) এমন দুইটি সংখ্যা যাদের যোগফল \(100\) । \(x^2+y^2\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \(5000\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.5.(Lxxv)\) যদি \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply