বিশেষ আকারের যোগজীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
কতিপয় স্মরণীয় আকারের যোগজ
ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\int{f\{g(x)\}g^{\prime}(x)dx}=\int{f(t)dz}\)
2 \(\int{\{f(x)\}^{n}f^{\prime}(x)dx}=\frac{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+c\)
3 \(\int{e^{f(x)}f^{\prime}(x)dx}=e^{f(x)}+c\)
4 \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}=2\sqrt{f(x)}+c\)
5 \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}=\ln{|f(x)|}+c\)
6 \(\int{\tan{x}dx}=\ln{|\sec{x}|}+c\)
7 \(\int{\cot{x}dx}=\ln{|\sin{x}|}+c\)
8 \(\int{\sec{x}dx}=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c\)\(=\ln{|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}|}+c\)
9 \(\int{cosec \ {x}dx}=\ln{|cosec \ {x}-\cot{x}|}+c\)\(=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)
10 \(\int{\tan{(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\ln{|\sec{(ax+b)}|}+c\)
11 \(\int{\cot{(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\ln{|\sin{(ax+b)}|}+c\)
12 \(\int{\sec{(ax+b)}dx}\)\(=\frac{1}{a}\ln{|\sec{(ax+b)}+\tan{(ax+b)}|}+c\)\(=\frac{1}{a}\ln{|\tan{\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{(ax+b)}{2}\right\}}|}+c\)
13 \(\int{cosec \ {(ax+b)}dx}\)\(=\frac{1}{a}\ln{|cosec \ {(ax+b)}-\cot{(ax+b)}|}+c\)\(=\frac{1}{a}\ln{|\tan{\frac{(ax+b)}{2}}|}+c\)
বিশেষ আকারের যোগজ
\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(1.\) যদি, \(m\) অথবা \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(1.(i)\) \(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে, \(\cos{x}=t\)
এবং
\(1.(ii)\) \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে, \(\sin{x}=t\)
ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।
যেমনঃ
\(1.\) \(\int{\sin^{5}{x}\cos^{4}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(2.\) যদি, \(m\)এবং \(n\) উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(\sin{x}=t\)
ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।
যেমনঃ
\(2.\) \(\int{\sin^{5}{x}\cos^{3}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(3.\) যদি, \(m\)এবং \(n\) উভয়ে জোড় সংখ্যা হয় তবে,
এই ক্ষেত্রটি উচ্চমাধ্যমিক গণিতে আলোচনা করা হয়নি। পরবর্তি উচ্চতর শ্রেণীতে এর যথেষ্ট আলোচনা আছে।
\(\int{\sin^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(4.(i)\) যদি, \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(\cos{x}=t\) ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।
\(4.(ii)\) যদি, \(n\) জোড় সংখ্যা হয় তবে,
ইন্টিগ্র্যান্ডকে গুণিতক কোণে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।
যেমনঃ
\(4.(i)\) \(\int{\sin^{7}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(4.(ii)\) \(\int{\sin^{6}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(\int{\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(5.(i)\) যদি, \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(\sin{x}=t\) ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।
\(5.(ii)\) যদি, \(n\) জোড় সংখ্যা হয় তবে,
ইন্টিগ্র্যান্ডকে গুণিতক কোণে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।
যেমনঃ
\(5.(i)\) \(\int{\cos^{5}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(5.(ii)\) \(\int{\cos^{4}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
অনুশীলনী \(10.C\) উদাহরণ সমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\((1.)\) \(\int{x^2(3-2x^3)^4dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{30}(3-2x^3)^{5}+c\)

\((2.)\) \(\int{cosec^2 \ {x}e^{\cot{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-e^{\cot{x}}+c\)

\((3.)\) \(\int{\sec{x}\tan{x}e^{\sec{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{\sec{x}}+c\)

\((4.)\) \(\int{cosec \ {x}\cot{x}e^{cosec \ {x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-e^{cosec \ {x}}+c\)

\((5.)\) \(\int{\frac{\sec{x}}{\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(\ln{|\sec{x}+\tan{x}|})}+c\)

\((6.)\) \(\int{\frac{cosec \ {x}}{\ln{|cosec \ {x}-\cot{x}|}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(\ln{|cosec \ {x}-\cot{x}|})}+c\)

\((7.)\) \(\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{1-x}+c\)

\((8.)\) \(\int{\tan^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\tan^2{x}-\ln{|\sec{x}|}+c\)

\((9.)\) \(\int{\frac{\sin{2x}}{a+b\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{b}\ln{|a+b\sin^2{x}|}+c\)

\((10.)\) \(\int{\frac{\sin{(\tan^{-1}{x})}}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+c\)

\((11.)\) \(\int{\frac{\cos{(\tan^{-1}{x})}}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+c\)

\((12.)\) \(\int{\frac{\sec{(\cot^{-1}{x})}}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\ln{\left|\frac{x^2+2}{x}\right|}+c\)

\((13.)\) \(\int{\frac{2x\tan^{-1}{x^2}}{1+x^4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left(\tan^{-1}{x^2}\right)^2+c\)

\((14.)\) \(\int{\frac{\tan^{-1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}(1+x)}dx}\)
উত্তরঃ \((\tan^{-1}{\sqrt{x}})^2+c\)

\((15.)\) \(\int{\frac{\tan^{-1}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^2}(1+\sqrt[3]{x^2})}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}(\tan^{-1}{\sqrt[3]{x}})^2+c\)

\((16.)\) \(\int{\frac{\sec^{-1}{(\sqrt{x})}}{x\sqrt{x-1}}dx}\)
উত্তরঃ \(\{\sec^{-1}{(\sqrt{x})}\}^2+c\)

\((17.)\) \(\int{\frac{cosec^{-1}{(\sqrt{x})}}{x\sqrt{x-1}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\{cosec^{-1}{(\sqrt{x})}\}^2+c\)

অনুশীলনী \(10.C / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(\int{f\{g(x)\}g^{\prime}(x)dx}\) ও \(\int{\{f(x)\}^nf^{\prime}(x)dx}\) আকার।
\(Q.1.(i)\) \(\int{x\sin{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\cos{x^2}+c\)

\(Q.1.(ii)\) \(\int{x^2\cos{x^3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\sin{x^3}+c\)

\(Q.1.(iii)\) \(\int{\frac{\sin{\frac{1}{x}}}{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\cos{\frac{1}{x}}+c\)
[ যঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(iv)\) \(\int{\frac{\sec{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\ln{|\sec{\sqrt{x}}+\tan{\sqrt{x}}|}+c\)

\(Q.1.(v)\) \(\int{\frac{\cos{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\sin{\sqrt{x}}+c\)

\(Q.1.(vi)\) \(\int{e^x\cos{e^x}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{e^x}+c\)

\(Q.1.(vii)\) \(\int{e^x\tan{e^x}\sec{e^x}dx}\)
উত্তরঃ \(\sec{e^x}+c\)
[ কুঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(viii)\) \(\int{e^{2x}\tan{e^{2x}}\sec{e^{2x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sec{e^{2x}}+c\)
[ চঃ২০০৭ ]

\(Q.1.(ix)\) \(\int{\frac{e^{x}(1+x)dx}{\cos^2{(xe^x)}}}\)
উত্তরঃ \(\tan{(xe^{x})}+c\)
[ রুয়েটঃ২০১১-২০১২]

\(Q.1.(x)\) \(\int{\frac{\cos{(\ln{|x|})}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\ln{|x|})}+c\)

\(Q.1.(xi)\) \(\int{\frac{\tan^2{(\ln{|x|})}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan{(\ln{|x|})}-\ln{|x|}+c\)
[ বঃ২০০২ ]

\(Q.1.(xii)\) \(\int{\frac{\tan{(\ln{|x|})}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\{\sec{(\ln{|x|})}\}}+c\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\int{\frac{\tan{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\{|\sec{(\sin^{-1}{x})}|\}}+c\)
[ বঃ২০১১,২০০৭; যঃ২০০৯; কুঃ২০০৭,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৫; ঢাঃ২০০৩; মাঃ২০১১,২০০৭ ]

\(Q.1.(xiv)\) \(\int{(2x+3)\sqrt{x^2+3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}(x^2+3x)^{\frac{3}{2}}+c\)

\(Q.1.(xv)\) \(\int{x^2\sqrt(1-x^3)dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{9}(1-x^3)^{\frac{3}{2}}+c\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\int{\frac{e^{-x}dx}{(5+e^{-x})^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5+e^{-x}}+c\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\int{\left(e^x+\frac{1}{x}\right)(e^x+\ln{|x|})dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(e^x+\ln{|x|})^2+c\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\int{\frac{(\ln{|x|})^2}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(\ln{|x|})^3+c\)

\(Q.1.(xix)\) \(\int{\frac{\ln{|x|}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\ln{|x|})^2+c\)

\(Q.1.(xx)\) \(\int{\frac{1}{x(\ln{|x|})^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\ln{|x|}}+c\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\int{\frac{\sqrt{1+\ln{|x|}}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}(1+\ln{|x|})^{\frac{3}{2}}+c\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\int{\frac{1}{x(1+\ln{|x|})^3}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2(1+\ln{|x|})^2}+c\)
[ ঢাঃ২০০১]

\(Q.1.(xxiii)\) \(\int{(1+\cos{x})^3\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}(1+\cos{x})^4+c\)
[ কুঃ২০০৩]

\(Q.1.(xxiv)\) \(\int{\sqrt{1-\sin{x}}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{3}(1-\sin{x})^{\frac{3}{2}}+c\)
[ সিঃ২০০১]

\(Q.1.(xxv)\) \(\int{\frac{\cos{x}dx}{(1-\sin{x})^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1-\sin{x}}+c\)
[ কুঃ২০০৬; বঃ২০১১ ]

\(Q.1.(xxvi)\) \(\int{\tan^3{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\tan^4{x}+c\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\int{\frac{1+\tan^2{x}}{(1+\tan{x})^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+\tan{x}}+c\)
[ কুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.1.(xxviii)\) \(\int{\frac{\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2+c\)

\(Q.1.(xxix)\) \(\int{\frac{2x\sin^{-1}{x^2}}{\sqrt{1-x^4}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x^2})^2+c\)

\(Q.1.(xxx)\) \(\int{\frac{x^2\tan^{-1}{x^3}}{1+x^6}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}(\tan^{-1}{x^3})^2+c\)
[ কুঃ২০১৫,২০০৮; যঃ২০০৬; চঃ২০০৭; মাঃ২০০৮ ]

\(Q.1.(xxxi)\) \(\int{x7^{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7^{x^2}}{2\ln{7}}+c\)

\(Q.1.(xxxii)\) \(\int{\frac{\tan{\sqrt{x}}\sec^2{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan^2{\sqrt{x}}+c\)

\(Q.1.(xxxiii)\) \(\int{\tan^2{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\tan^3{x}+c\)

\(Q.1.(xxxiv)\) \(\int{\tan^4{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\tan^5{x}+c\)

\(Q.1.(xxxv)\) \(\int{\cos{x}\cos{(\sin{x})}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\sin{x})}+c\)

\(Q.1.(xxxvi)\) \(\int{\sin{x}\sin{(\cos{x})}dx}\)
উত্তরঃ \(\cos{(\cos{x})}+c\)

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\int{\frac{(\sec^{-1}{x})^4}{x\sqrt{x^2-1}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}(\sec^{-1}{x})^5+c\)

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\int{\frac{\cos{2x}}{(\sqrt{2+\sin{2x}})^3}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{2+\sin{2x}}}+c\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(\int{\sqrt{1+\sec{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\sin^{-1}{\left(\sqrt{2}\sin{\frac{x}{2}}\right)}+c\)

\(Q.1.(xL)\) \(\int{\frac{\sin{(2+3\ln{|x|})}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{3}\cos{(2+3\ln{|x|})}+c\)

অনুশীলনী \(10.C / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(\int{\sin^m{x}\cos^n{x}dx}\), \(\int{\sin^m{x}dx}\), \(\int{\cos^n{x}dx}\) ও \(\int{e^{f(x)}f^{\prime}(x)dx}\) আকার।
\(Q.2.(i)\) \(\int{\sin^3{x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\sin^4{x}+c\)

\(Q.2.(ii)\) \(\int{\sin^2{x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\sin^3{x}+c\)
[ ঢাঃ২০০২]

\(Q.2.(iii)\) \(\int{\sin^2{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\sin^3{\frac{x}{2}}+c\)
[ কুঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(iv)\) \(\int{\sin^3{x}\cos^4{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\cos^7{x}-\frac{1}{5}\cos^5{x}+c\)
[ রাঃ২০০১ ]

\(Q.2.(v)\) \(\int{\sin^3{x}\cos^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\sin^4{x}-\frac{1}{6}\sin^6{x}+c\)
[ যঃ২০০৬ ]

\(Q.2.(vi)\) \(\int{\sin^5{x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\cos{x}+\frac{2}{3}\cos^3{x}-\frac{1}{5}\cos^5{x}+c\)
[ রুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int{xe^{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
[ বঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(viii)\) \(\int{x^2a^{x^3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{x^3}}{3\ln{a}}+c\)
[ মাঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(ix)\) \(\int{\frac{e^{\sqrt{x}}}{5\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{5}e^{\sqrt{x}}+c\)

\(Q.2.(x)\) \(\int{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x+\frac{1}{x}}+c\)
[ বিআইটিঃ ২০০১-২০০২]

\(Q.2.(xi)\) \(\int{\cos{x}e^{\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{\sin{x}}+c\)
[ ঢাঃ ২০১১; রাঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(xii)\) \(\int{\sec^2{x}e^{\tan{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{\tan{x}}+c\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\int{\frac{e^{\sin^{-1}{x}}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{\sin^{-1}{x}}+c\)
[ বুয়েটঃ২০০৬; বুটেক্সঃ২০১০-২০১১; কুয়েটঃ২০০৬-২০০৭; চঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(\int{e^{a\sin^{-1}{x}}.\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a}e^{a\sin^{-1}{x}}+c\)

\(Q.2.(xv)\) \(\int{e^{\tan^{-1}{x}}.\frac{dx}{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(e^{\tan^{-1}{x}}+c\)
[ ঢাঃ২০০৯; মাঃ২০১২,২০১৪ ]

\(Q.2.(xvi)\) \(\int{e^{a\tan^{-1}{x}}.\frac{dx}{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a}e^{a\tan^{-1}{x}}+c\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\int{\sin^5{\theta}\cos{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\sin^6{\theta}+c\)

\(Q.2.(xviii)\) \(\int{\cos^3{x}\sqrt{\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\sin^{\frac{3}{2}}{x}-\frac{2}{7}\sin^{\frac{7}{2}}{x}+c\)

\(Q.2.(xix)\) \(\int{\sin^2{x}\cos^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\sin{4x}+c\)

\(Q.2.(xx)\) \(\int{\sin^2{x}\cos{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(4\sin{2x}-4x-\sin{4x})+c\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\int{\sin^4{x}\cos^4{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1024}(24x-8\sin{4x}+\sin{8x})+c\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\int{\frac{\sin{4x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-ln{|\sin^4{x}+\cos^4{x}|}+c\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\int{\frac{\tan{x}dx}{1+\cos^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}ln{|2+\tan^2{x}|}+c\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{\sin{(x+a)}}dx}\)
উত্তরঃ \(x\cos{a}-\sin{a}\ln{|\sin{(x+a)}|}+c\)

\(Q.2.(xxv)\) \(\int{(\sqrt{\tan{x}}+\sqrt{\cot{x}})dx}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\sin^{-1}{\sin{x}-\cos{x}}+c\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\int{\frac{dx}{\sin{x}\cos^3{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\tan^2{x}+\ln{|\tan{x}|}+c\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\int{\cos^2{x}\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\cos^{4}{x}+c\)

অনুশীলনী \(10.C / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}\) ও \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}\) আকার।
\(Q.3.(i)\) \(\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\sqrt{1-x^2}+c\)
[ ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১১ ]

\(Q.3.(ii)\) \(\int{\frac{x^3dx}{\sqrt{1-2x^4}}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}\sqrt{1-2x^4}+c\)
[ চঃ২০১০ ]

\(Q.3.(iii)\) \(\int{\frac{dx}{x\sqrt{1+\ln{|x|}}}}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{1+\ln{|x|}}+c\)
[ কুঃ২০০৩ ]

\(Q.3.(iv)\) \(\int{\frac{\cos{x}}{\sqrt{\sin{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{\sin{x}}+c\)
[ রাঃ২০১০; কুঃ২০০৫ ]

\(Q.3.(v)\) \(\int{\frac{dx}{\cos^2{x}\sqrt{\tan{x}-1}}}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{\tan{x}-1}+c\)
[ সিঃ২০০২ ]

\(Q.3.(vi)\) \(\int{\frac{\sqrt{\tan{x}}}{\sin{x}\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{\tan{x}}+c\)
[ দিঃ২০১৪; রাঃ,কুঃ২০০৯; সিঃ২০০৭ ]

\(Q.3.(vii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{\sin^{-1}{x}}\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{\sin^{-1}{x}}+c\)

\(Q.3.(viii)\) \(\int{\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}{x}+3}}}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{\tan^{-1}{x}+3}+c\)

\(Q.3.(ix)\) \(\int{\frac{2x}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(1+x^2)}+c\)

\(Q.3.(x)\) \(\int{\frac{e^{3x}}{e^{3x}-1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\ln{|e^{3x}-1|}+c\)

\(Q.3.(xi)\) \(\int{\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(e^{x}+e^{-x})}+c\)
[ দিঃ২০১০ ]

\(Q.3.(xii)\) \(\int{\frac{1}{e^{x}+1}dx}\)
উত্তরঃ \(-\ln{(1+e^{-x})}+c\)
[ বঃ২০১৭; যঃ২০১০ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(\int{\frac{1}{x\ln{|x|}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\ln{|x|}}+c\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\int{\frac{1}{x(1+\ln{|x|})}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(|1+\ln{|x|}|)}+c\)
[ বঃ২০০৯ ]

\(Q.3.(xv)\) \(\int{\frac{\tan{x}}{\ln{|\cos{x}|}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\ln{(\ln{|\cos{x}|)}}+c\)
[ রাঃ২০০৯ ; কুঃ২০০৯,২০০১; সিঃ২০০৯,২০০৭; দিঃ২০০৯; যঃ২০০৮,২০০৪; চঃ,বঃ২০০৬ ]

\(Q.3.(xvi)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\ln{|1+\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{4-\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{|4-\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{3+4\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}\ln{|3+4\cos{x}|}+c\)
[ ঢাঃ২০১৫,২০০৭; বঃ২০১৩ ]

\(Q.3.(xix)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{1+2\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\ln{|1+2\cos{x}|}+c\)
[ রাঃ২০০৩ ]

\(Q.3.(xx)\) \(\int{\frac{1+\cos{x}}{x+\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{|x+\sin{x}|}+c\)
[যঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xxi)\) \(\int{\frac{1-\tan{x}}{1+\tan{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{|\sin{x}+\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\int{\frac{\sec^2{x}}{3-4\tan{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}\ln{|3-4\tan{x}|}+c\)
[ দিঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xxiii)\) \(\int{\frac{\sec{x}dx}{\ln{(|\sec{x}+\tan{x}|)}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\{\ln{(|\sec{x}+\tan{x}|)}\}}+c\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\int{\frac{dx}{(1+x^2)\tan^{-1}{x}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{|\tan^{-1}{x}|}+c\)
[ সিঃ২০১১; চঃ২০১০; বঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xxv)\) \(\int{\frac{dx}{x(x^4-1)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\ln{\left|1-\frac{1}{x^4}\right|}+c\)
[ চুয়েটঃ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.3.(xxvi)\) \(\int{cosec \ {\frac{x}{2}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\ln{\left|cosec \ {\frac{x}{2}}-\cot{\frac{x}{2}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(\int{\sec{\frac{x}{2}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\ln{\left|\sec{\frac{x}{2}}+\tan{\frac{x}{2}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{a+b\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\ln{|a+b\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxix)\) \(\int{\frac{\sin{2x}}{a\sin^2{x}+b\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a-b}\ln{|a\sin^2{x}+b\cos^2{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\int{\frac{\sin{2x}}{3+5\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{5}\ln{|3+5\cos^2{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(\int{\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln{|\sin{x}+\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ln{|\sin{x}+\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\int{\frac{dx}{1+\tan{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ln{|\sin{x}+\cos{x}|}+c\)
[ ঢাঃ২০১০; কুঃ২০১০; সিঃ২০১৪,২০১০; বঃ২০১৪; যঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\int{\frac{\cos{x}dx}{(5-2\sin{x})^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(5-2\sin{x})}+c\)

\(Q.3.(xxxv)\) \(\int{\frac{\sec^2{(\cot^{-1}{x})}}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x}+c\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\int{\frac{dx}{(e^x-1)^2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-e^{-x}}-\ln{|1-e^{-x}|}+c\)

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\int{\frac{dx}{1+e^{-x}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{(e^x+1)}+c\)

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}+x}}\)
উত্তরঃ \(2\ln{(1+\sqrt{x})}+c\)

\(Q.3.(xxxix)\) \(\int{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}}}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{x}+4\sqrt[4]{x}+4\ln{|\sqrt[4]{x}-1|}+c\)
[ চঃ২০১০,২০১৫; রাঃ২০০৭; যঃ২০০০ ]

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard