অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণ
  • দুইটি ফাংশনের গুণ ফলের যোগজ নির্ণয়
  • অংশায়ন সূত্রের প্রমাণ
  • \(LIATE\) শব্দের অক্ষরগুলির ক্রমানুযায়ী সাজিয়ে \(u\) এবং \(v\) নির্ণয়
  • \(u\) এবং \(v\) নির্ণয়ের বিশেষ কৌশল
  • কতিপয় স্মরণীয় সূত্র
অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণঃ
যখন প্রতিস্থাপন সহ আর সকল কৌশল যোগজফল নির্ণয়ে ব্যার্থ ঠিক সেই ক্ষেত্রে এটি একটি বিশেষ পদ্ধতি। ইহার সাহায্যে দুইটি ফাংশন-এর গুনফলের যোগজীকরণ করা হয়।
অংশায়ন সূত্রঃ
যোজ্যরাশিকে দুইটি ফাংশনে বিভক্ত করে যোগজ নির্ণয় করা হয় বলে এ পদ্ধতিকে যোগজীকরণের অংশায়ন সূত্র বলে।
\(1.\) যদি \(u\) এবং \(v\) উভয়েই \(x\) এর ফাংশন হয় তবে,
\(\int{(uv)dx}=u\int{vdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(u)\int{vdx}\right\}dx}\)
দুইটি ফাংশন-এর গুণনের অন্তরীকরণ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যে কোনো একটিকে \(u\) এবং অপরটিকে \(v\) ধরে অন্তরজ নির্ণয় করা যায়। কিন্তু যোগজীকরণের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট একটি ফাংশনকে \(u\) এবং অপরটিকে \(v\) বিবেচনা করতে হয়। এ ক্ষেত্রে যোজ্যরাশির ফাংশণ দুইটিকে \(LIATE\) শব্দের অক্ষরগুলির ক্রমানুযায়ী সাজিয়ে প্রথমটিকে \(u\) এবং দ্বিতীয়টিকে \(v\) বিবেচনা করা সহজ হয়।
\(LIATE\) শব্দের অক্ষরগুলির বিশ্লেষণ নিম্নরূপঃ
\(L\rightarrow Logarithm \ function \ \ ( \ \ln{|x|},\ \log{|x|} ... )\)
\(I\rightarrow Inverse \ trigonometric \ function \ \ ( \ \sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x} \ ... )\)
\(A\rightarrow Algebric \ function \ \ ( \ x^3, \ x^2+3x \ ... )\)
\(T\rightarrow trigonometric \ function \ \ ( \ \sin{x}, \ \cos{x} \ ... )\)
\(E\rightarrow Exponential \ function \ \ ( \ e^{x}, \ a^{x} \ ... )\)
\(2.\) \(\int{\ln{|x|}dx}\), \(\int{\sin^{-1}{x}dx}\) ... ইত্যাদি আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(1\) কে দ্বিতীয় ফাংশন অর্থাৎ \(v\) ধরে যোগজীকরণ করতে হয়।
যেমনঃ
\(2.(i)\) \(\int{\ln{|x|}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(2.(ii)\) \(\int{\tan^{-1}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(3.\) \(\int{(uv)dx}\) সূত্র প্রয়োগ করে যোগজীকরণ করতে গিয়ে যদি প্রদত্ত যোজ্যরাশির পুনরাবৃত্তি ঘটে, সে ক্ষেত্রে যোগজটিকে \(I\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(3.\) \(\int{e^x\sin{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
কতিপয় স্মরণীয় সূত্র
\(4.\) \(\int{e^{ax}\sin{bx}dx}=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin{bx}-b\cos{bx})+c\)
\(5.\) \(\int{e^{ax}\cos{bx}dx}=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos{bx}+b\sin{bx})+c\)
\(6.\) \(\int{\sqrt{x^2-a^2}dx}=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}+c\)
\(7.\) \(\int{\sqrt{x^2+a^2}dx}=\frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\ln{|x+\sqrt{x^2+a^2}|}+c\)
\(8.\) \(\int{e^x\{f(x)+f^{\prime}(x)\}dx}=e^xf(x)+c\)
\(9.\) \(\int{e^{ax}\{af(x)+f^{\prime}(x)\}dx}=e^{ax}f(x)+c\)
অনুশীলনী \(10.F\) উদাহরণ সমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\((1.)\) \(\int{x^2\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}x^3\left(3\ln{|x|}-1\right)+c\)

\((2.)\) \(\int{e^x\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^x(\sin{x}-\cos{x})+c\)
[ রাঃ,দিঃ২০১৪; ঢ;২০১২,২০১২; কুঃ২০১৩,২০০৮,২০০৩; মাঃ২০০৯ ]

\((3.)\) \(\int{\sec^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left(\sec{x}+\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}\right)+c\)

\((4.)\) \(\int{e^x\left(\ln{|x|}+\frac{1}{x}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(e^x\ln{|x|}+c\)

\((5.)\) \(\int{xe^xdx}\)
উত্তরঃ \(e^x(x-1)+c\)

\((6.)\) \(\int{x\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sin{x}+\cos{x}+c\)

\((7.)\) \(\int{x\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}x^2(2\ln{|x|}-1)+c\)

\((8.)\) \(\int{x\tan^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(x^2\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{x}-x)+c\)

\((9.)\) \(\int{e^x(\cos{x}+\sin{x})dx}\)
উত্তরঃ \(e^x\sin{x}+c\)

\((10.)\) \(\int{x^3\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(12x^2\sin{2x}+6x\cos{x}-8x^3\cos{2x}-3\sin{2x})+c\)

অনুশীলনী \(10.F / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\int{x\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{x}-x\cos{x}+c\)

\(Q.1.(ii)\) \(\int{x\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sin{x}+\cos{x}+c\)

\(Q.1.(iii)\) \(\int{x\sin{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}\sin{3x}-\frac{1}{3}x\cos{3x}+c\)

\(Q.1.(iv)\) \(\int{x^2\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(2x\sin{x}+2\cos{x}-x^2\cos{x}+c\)

\(Q.1.(v)\) \(\int{x^3\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(3x^2\sin{x}+6x\cos{x}-x^3\cos{x}-6\sin{x}+c\)

\(Q.1.(vi)\) \(\int{xe^{-x}dx}\)
উত্তরঃ \(-(x+1)e^{-x}+c\)

\(Q.1.(vii)\) \(\int{x^3e^{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}e^{2x}(4x^3-6x^2+6x-3)+c\)

\(Q.1.(viii)\) \(\int{x^2e^{x}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}(x^2-2x+2)+c\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২; সিঃ ২০১৩,২০০৯; কুঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(ix)\) \(\int{x^2e^{-3x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{27}e^{-3x}(9x^2+6x+2)+c\)

\(Q.1.(x)\) \(\int{xe^{ax}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{a^2}e^{ax}(ax-1)+c\)

\(Q.1.(xi)\) \(\int{xe^{x}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}(x-1)+c\)

\(Q.1.(xii)\) \(\int{x^3\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}x^4(4\ln{|x|}-1)+c\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\int{(\ln{|x|})^2dx}\)
উত্তরঃ \(x(\ln{|x|})^2-2x\ln{|x|}+2x+c\)\)
[ যঃ২০০৫,২০০৭ ]

\(Q.1.(xiv)\) \(\int{\frac{\ln{|x|}}{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x}\ln{|xe|}+c\)

\(Q.1.(xv)\) \(\int{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(x(\ln{|x|}-1)+c\)
[ ঢাঃ২০১৭; কুঃ২০১৭,২০০৬; চঃ২০০৮,২০০৪; বঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(xvi)\) \(\int{x\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}x^2(2\ln{|x|}-1)+c\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\int{x^2(\ln{|x|})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{27}x^3\{9(\ln{|x|})^2-6\ln{|x|}+2\}+c\)
[ বুয়েতঃ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(\int{x\sqrt{1+x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}x(1+x)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}(1+x)^{\frac{5}{2}}+c\)

\(Q.1.(xix)\) \(\int{x\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(\sin{2x}-2x\cos{2x})+c\)

\(Q.1.(xx)\) \(\int{x^2\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x^2\sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x}+c\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\int{x(\ln{|x|})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}x^2\{2(\ln{|x|})^2-2\ln{|x|}+1\}+c\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\int{\frac{\ln{(\ln{|x|})}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{|x|}\{\ln{(\ln{|x|})}-1\}+c\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\int{\frac{x}{\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan{x}-\ln{|\sec{x}|}+c\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\int{x\sec{x}\tan{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sec{x}-\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c\)

\(Q.1.(xxv)\) \(\int{\frac{x}{\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-x\cot{x}+\ln{|\sin{x}|}+c\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(\int{x\cos^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{4}(x\sin{x}+\cos{x})\frac{1}{36}(3x\sin{3x}+\cos{3x})+c\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\int{xe^{ax}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a^2}e^{ax}(ax-1)+c\)

অনুশীলনী \(10.F / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\int{\cos^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\cos^{-1}{x}-\sqrt{1-x^2}+c\)
[ রাঃ২০১০; যঃ২০০৮; চঃ২০০৭; কুঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(ii)\) \(\int{\sin^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sin^{-1}{x}+\sqrt{1-x^2}+c\)
[ যঃ২০১০; সিঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(iii)\) \(\int{x\tan^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(x^2+1)\tan^{-1}{x}-\frac{1}{2}x+c\)
[ দিঃ২০১১; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৮,২০০৪; রাঃ২০০৬; যঃ২০০৬,২০০১; বঃ২০০২; মাঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(iv)\) \(\int{x\sin^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}+c\)
[ ঢাঃ২০০৭; মাঃ২০০৬,২০০৩,২০০২ ]

\(Q.2.(v)\) \(\int{x \ cosec^{-1}{\frac{1}{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}+c\)
[ চঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(vi)\) \(\int{mx\sin^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}\right)+c\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int{\tan^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan^{-1}{x}-\frac{1}{2}\ln{|1+x^2|}+c\)
[ ঢাঃ২০০৪; কুঃ২০০২ ]

\(Q.2.(viii)\) \(\int{\tan^{-1}{\frac{x}{5}}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan^{-1}{\frac{x}{5}}-\frac{5}{2}\ln{|x^2+25|}+c\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(ix)\) \(\int{e^{2x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}e^{2x}(2\cos{x}+\sin{x})+c\)

\(Q.2.(x)\) \(\int{e^{2x}\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin{x}-\cos{x})+c\)
[ সিঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xi)\) \(\int{e^{x}\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}e^{x}(\sin{2x}-2\cos{2x})+c\)
[ সিঃ২০১০; রাঃ,দিঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(xii)\) \(\int{e^{x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{x}(\cos{x}+\sin{x})+c\)
[ ঢাঃ২০১০; মাঃ২০১৩; বুয়েটঃ২০০৪,২০০৬ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(\int{e^{x}\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{x}(\sin{x}-\cos{x})+c\)
[ দিঃ,রাঃ২০১৪; কুঃ২০১৩,২০০৮; মাঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৮,২০০৩ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(\int{e^{ax}\sin{bx}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{ax}(a\cos{bx}+b\sin{bx})}{a^2+b^2}+c\)
[ রাঃ২০০৬; ঢাঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xv)\) \(\int{x\cos^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}(2x^2+2x\sin{2x}+\cos{2x})+c\)
[ সিঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xvi)\) \(\int{x\sin^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}(2x^2-2x\sin{2x}-\cos{2x})+c\)
[ কুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.2.(xvii)\) \(\int{x\sin{x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}(\sin{2x}-2x\cos{2x})+c\)

\(Q.2.(xviii)\) \(\int{x\sin^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{36}(27\sin{x}+3x\cos{3x}-27x\cos{x}-\sin{3x})+c\)

\(Q.2.(xix)\) \(\int{x\sin^2{\left(\frac{x}{2}\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(x^2-2x\sin{2x}-2\cos{2x})+c\)

\(Q.2.(xx)\) \(\int{x\cos{2x}\cos{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{50}(25x\sin{x}+25\cos{x}+5x\sin{5x}+\cos{5x})+c\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\int{x\sin{x}\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{18}(9x\sin{x}+9\cos{x}-3x\sin{3x}-\cos{3x})+c\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\int{x^2\cos^2{\frac{x}{2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}(x^3+3x^2\sin{x}+6x\cos{x}-6\sin{x})+c\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\int{x\tan^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan{x}+\ln{|\cos{x}|}-\frac{1}{2}x^2+c\)
[ রাঃ২০০৫; সিঃ২০০৫; ঢাঃ২০০২]

\(Q.2.(xxiv)\) \(\int{x\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan{x}+\ln{|\cos{x}|}+c\)
[ চঃ২০১৪ ]

\(Q.2.(xxv)\) \(\int{x\tan^{-1}{(x^2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(2x^2\tan^{-1}{x^2}-\ln{|1+x^4|})+c\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\int{x\sin^{-1}{(x^2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(x^2\sin^{-1}{(x^2)}+\sqrt{1-x^4})+c\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\int{\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1}{x}-\ln{|(1+x^2)|}+c\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\int{\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1}{x}-\frac{1}{2}\ln{|(1+x^2)|}+c\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\int{\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1}{x}-\frac{1}{2}\ln{|(1+x^2)|}+c\)

\(Q.2.(xxx)\) \(\int{\sin^{-1}{\sqrt{\frac{x}{a+x}}}dx}\)
উত্তরঃ \((a+x)\tan^{-1}{\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)}-\sqrt{(ax)}+c\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.2.(xxxi)\) \(\int{\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(x\cos^{-1}{x}-\sqrt{1-x^2})+c\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(\int{\cos^{-1}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(x\cos^{-1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\sin^{-1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x(1-x)}}{2}+c\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\int{\sin^{-1}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\sin^{-1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\sqrt{x(1-x)}+c\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\int{\tan^{-1}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\left(x+1\right)\tan^{-1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}+c\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(\int{\sec^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sec^{-1}{x}-\ln{|x+\sqrt{x^2-1}|}+c\)

অনুশীলনী \(10.F / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\int{x^3e^{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{x^2}(x^2-1)+c\)

\(Q.3.(ii)\) \(\int{e^{2t}\cos{\left(e^{t}\right)}dt}\)
উত্তরঃ \(e^{t}\sin{\left(e^{t}\right)}+\cos{\left(e^{t}\right)}+c\)

\(Q.3.(iii)\) \(\int{x\sin^{-1}{(x^2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left\{x^2\sin^{-1}{(x^2)}+\sqrt{1-x^4}\right\}+c\)
[ রাঃ২০০৬; ঢাঃ২০০৫ ]

\(Q.3.(iv)\) \(\int{\frac{\ln{|\sec^{-1}{x}|}}{x\sqrt{x^2-1}}dx}\)
উত্তরঃ \(\sec^{-1}{x}(\ln{|\sec^{-1}{x}|}-1)+c\)
[ ঢাঃ২০০৮ ]

\(Q.3.(v)\) \(\int{e^{x}(\sin{x}+\cos{x})dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}\sin{x}+c\)
[ সিঃ২০১১,২০০৫; ঢাঃ২০১০; বঃ২০০৬; কুঃ২০০০ ]

\(Q.3.(vi)\) \(\int{\frac{e^{x}}{x}(1+x\ln{|x|})dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}\ln{|x|}+c\)
[ যঃ২০০৭; বঃ২০০১; কুঃ২০০০ ]

\(Q.3.(vii)\) \(\int{e^{x}\left\{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1-x}+c\)

\(Q.3.(viii)\) \(\int{e^{5x}\left\{5\ln{|x|}+\frac{1}{x}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{5x}\ln{|x|}+c\)
[ চঃ২০০৯ ]

\(Q.3.(ix)\) \(\int{e^{-x}\left\{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{-x}}{x}+c\)

\(Q.3.(x)\) \(\int{\frac{xe^{x}}{(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{x+1}+c\)
[ ঢাঃ২০১১; কুঃ২০১১,২০০৯; চঃ২০১১,২০০৫,২০০৪ ]

\(Q.3.(xi)\) \(\int{e^{x}(\tan{x}-\ln{|\cos{x}|})dx}\)
উত্তরঃ \(-e^{x}\ln{|\cos{x}|}+c\)
[ কুঃ২০০৩ ]

\(Q.3.(xii)\) \(\int{cosec^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left\{\ln{\left|\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right|}-cosec \ {x}\cot{x}\right\}+c\)
[ কুঃ২০০২ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(\int{\sin{(\ln{|x|})}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}x\{\sin{(\ln{|x|})}-\cos{(\ln{|x|})}\}+c\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\int{\frac{e^{x}(x^2+1)}{(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}(x-1)}{x+1}+c\)
[ কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.3.(xv)\) \(\int{x\sec^2{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}(3x\tan{3x}-\ln{|\sec{3x}|})+c\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\int{x\tan^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan{x}-\ln{|\sec{x}|}-\frac{1}{2}x^2+c\)
[ রাঃ, সিঃ ২০০৫ ]

\(Q.3.(xvii)\) \(\int{e^{-3x}\cos{4x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{25}e^{-3x}(4\sin{4x}-3\cos{4x})+c\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\int{\log_{10}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\log_{10}{x}-x\log_{10}{e}+c\)

\(Q.3.(xix)\) \(\int{e^{-2x}\left(\frac{1}{x}-2\ln{|x|}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(e^{-2x}\ln{|x|}+c\)

\(Q.3.(xx)\) \(\int{\{\sin{(\ln{|x|})}+\cos{(\ln{|x|})}\}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sin{(\ln{|x|})}+c\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\int{e^x\{\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+\sec{x}\}dx}\)
উত্তরঃ \(e^x\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\int{e^x\left\{(\ln{|x|})^2+\frac{2}{x}\ln{|x|}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(e^x(\ln{|x|})^2+c\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(\int{e^x\left\{\tan^{-1}{x}+\frac{1}{1+x^2}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(e^x\tan^{-1}{x}+c\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\int{e^x\left\{\frac{1}{\ln{|x|}}-\frac{1}{x(\ln{x})^2}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\ln{|x|}}+c\)

\(Q.3.(xxv)\) \(\int{e^x\left(\frac{2+\sin{2x}}{1+\cos{2x}}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(e^x\tan{x}+c\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(\int{e^x\left(\frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(e^x\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)
[ বুয়েটঃ ২০১-২০১৩]

\(Q.3.(xxvii)\) \(\int{e^{2x}\cos{\left(e^{x}\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}\sin{\left(e^{x}\right)}+\cos{\left(e^{x}\right)}+c\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(\int{e^{x}\frac{x+1}{(x+2)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{x+2}+c\)

\(Q.3.(xxix)\) \(\int{x^n\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^{n+1}\ln{|x|}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+c\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\int{e^{x}\sec{x}(1+\tan{x})dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}\sec{x}+c\)
[ যঃ২০১১; রাঃ২০০৩ ]

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard