মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ
  • মূলদ ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরের নিয়ম
  • আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরের অভিজ্ঞতালব্দধ পদ্ধতি
  • লক্ষণীয় এবং স্মরণীয় তত্তসমুহ
মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণঃ
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগজ নির্ণয় করতে হলে প্রথমে তাকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক অংশের জন্য পৃথক যোজিত মান নির্ণয় করতে হয়। যদি কোনো যোগজ \(\int{\frac{\phi(x)}{\psi(x)}dx}\) আকারের থাকে ও আনুপাতিক ফাংশন \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) এর হরের ঘাত লবের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয় এবং \( \psi(x)\) কে বিভিন্ন উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। তবে \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) কে আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।
যদি লবের ঘাত হরের ঘাতের সমান হয় অথবা হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয়, তবে সাধারণ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে \(\phi(x)\) কে \(\psi(x)\) দ্বারা এমনভাবে ভাগ করতে হবে, যেন অবশিষ্টের লবের ঘাত, হর \(\psi(x)\) এর ঘাত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয়।
মূলদ ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরের কতিপয় নিয়মঃ
\(1.\) যদি হরের উৎপাদকসমূহ বাস্তব এবং একঘাত হয় কিন্তু কোনোটিরই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে প্রত্যেক \((ax+b)\) একঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}\) হয়।
যেমনঃ
\(1.\) \(\int{\frac{2x}{x^2-5x+6}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(2.\) অভিজ্ঞতালদ্ধ পদ্ধতি ( Thumb-rule Method/Cover-up Method ): এই পদ্ধতি ব্যবহার করে সহজেই আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায়।
যেমনঃ
\(2.\) \(\int{\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(3.\) যদি হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত এবং পুনরাবৃত্তি আকারের হয়, তবে অভিজ্ঞতালদ্ধ পদ্ধতি সমাধান করা যায়।
যেমনঃ
\(3.\) \(\int{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(4.\) যদি হরের উৎপাদকসমূহ দ্বিঘাত এবং জটিল আকারের হয়, তবে নিম্নের উদাহরণের মতো আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয় করতে হবে।
যেমনঃ
\(4.\) \(\int{\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(5.\) যদি লবের ঘাত, হরের ঘাতের সমান হয় অথবা তা অপেক্ষা বৃহত্তর হয় ( অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ), তাহলে প্রথমে ভাগ করে অবশিষ্টকে প্রকৃত ভগ্নাংশে পরিণত করে অতঃপর আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করতে হয়।
যেমনঃ
\(5.(i)\) \(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(5.(ii)\) \(\int{\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
লক্ষণীয় এবং স্মরণীয় তত্তসমুহঃ
যদি হরের উৎপাদকসমূহ বাস্তব এবং একঘাত হয় কিন্তু কোনোটিরই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে প্রত্যেক \((ax+b)\) একঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}\) হয়।
প্রত্যেক \((ax+b)^n\) উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}+\frac{C}{(ax+b)^3}+ ...\) হয়।
প্রত্যেক \((ax^2+bx+c\) দ্বিঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\) হয়।
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)(x+c)}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)^2}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)^3}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}+\frac{D}{(x+b)^3}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x^2+b)}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b}\)
অনুশীলনী \(10.E\) উদাহরণ সমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\((1.)\) \(\int{\frac{x}{x^2-5x+6}dx}\)
উত্তরঃ \(3\ln{|x-3|}-2\ln{|x-2|}+c\)

\((2.)\) \(\int{\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}dx}\)
উত্তরঃ \(2\ln{|x-3|}-\ln{|x-2|}+c\)

\((3.)\) \(\int{\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{25}\ln{|x-3|}-\frac{3}{25}\ln{|x+2|}-\frac{7}{5(x-3)}+c\)

\((4.)\) \(\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{10}\ln{|x^2+4|}+\frac{2}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\((5.)\) \(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx}\)
উত্তরঃ \(x+4\ln{|x-4|}+\ln{|x+2|}+c\)

\((6.)\) \(\int{\frac{x^2}{x^2-4}dx}\)
উত্তরঃ \(x+\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)

\((7.)\) \(\int{\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}dx}\)
উত্তরঃ \(x+\ln{|x^2-x+1|}+\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}+c\)

\((8.)\) \(\int{\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\left(3\ln{|x-2|}+2\ln{|x+3|}\right)+c\)

\((9.)\) \(\int{\frac{1}{x^2+5x+4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{x+1}{x+4}\right|}+c\)

\((10.)\) \(\int{\frac{x^3-2x+3}{x^2+x-2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{2}-x+\frac{1}{3}\ln{|x+2|}+\frac{2}{3}\ln{|x-1|}+c\)

\((11.)\) \(\int{\frac{x^2dx}{(x^2+4)(x^2-3)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{7}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\sqrt{3}}{14}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}\right|}+c\)

অনুশীলনী \(10.E / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\int{\frac{dx}{(x+1)(x+3)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x+1}{x+3}\right|}+c\)

\(Q.1.(ii)\) \(\int{\frac{dx}{x^2+x}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+c\)
[ বঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(iii)\) \(\int{\frac{xdx}{(x-a)(x-b)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a-b}\{a\ln{|x-a|}-b\ln{|x-b|}\}+c\)

\(Q.1.(iv)\) \(\int{\frac{x+1}{3x^2-x-2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\ln{|3x+2|}+c\)

\(Q.1.(v)\) \(\int{\frac{x}{x^2-5x+6}dx}\)
উত্তরঃ \(3\ln{|x-3|}-2\ln{|x-2|}+c\)

\(Q.1.(vi)\) \(\int{\frac{1}{x(x-1)(x-3)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\ln{|x|}+\frac{1}{6}\ln{|x-3|}-\frac{1}{2}\ln{|x-1|}+c\)

\(Q.1.(vii)\) \(\int{\frac{(2x+3)dx}{x^3+x^2-2x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\ln{|x-1|}-\frac{3}{2}\ln{|x|}-\frac{1}{6}\ln{|x+2|}+c\)

\(Q.1.(viii)\) \(\int{\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\ln{|x-2|}-\frac{1}{2}\ln{|x|}-\ln{|x-1|}+c\)
[ ঢাঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(ix)\) \(\int{\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{6}\ln{|1-2x|}-\frac{4}{3}\ln{|x+1|}+c\)

\(Q.1.(x)\) \(\int{\frac{x+1}{x^2-7x+6}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{5}\ln{|x-6|}-\frac{2}{5}\ln{|x-1|}+c\)

\(Q.1.(xi)\) \(\int{\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{10}\ln{|x-2|}-\frac{1}{6}\ln{|x|}-\frac{2}{15}\ln{|x+3|}+c\)

\(Q.1.(xii)\) \(\int{\frac{x+1}{x^2-7x+10}dx}\)
উত্তরঃ \(2\ln{|x-5|}-\ln{|x-2|}+c\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\int{\frac{dx}{x^2+x-6}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\ln{\left|\frac{x-2}{x+3}\right|}+c\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\int{\frac{dx}{(x+1)(x-5)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x-5}{x+1}\right|}+c\)

\(Q.1.(xv)\) \(\int{\frac{dx}{x^2-3x+2}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{x-2}{x-1}\right|}+c\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\int{\frac{(x+1)dx}{x^2-5x+6}}\)
উত্তরঃ \(4\ln{|x-3|}-3\ln{|x-2|}+c\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\int{\frac{dx}{x^2-2x-3}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-3}{x+1}\right|}+c\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\int{\frac{x}{x^2-5x-6}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\ln{|x+1|}+\frac{6}{7}\ln{|x-6|}+c\)

অনুশীলনী \(10.E / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\int{\frac{1}{x(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+\frac{1}{x+1}+c\)

\(Q.2.(ii)\) \(\int{\frac{x^2dx}{(x+1)(x+2)^2}}\)
উত্তরঃ \(\ln{|x+1|}+\frac{4}{x+2}+c\)

\(Q.2.(iii)\) \(\int{\frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{x+2}{x-1}\right|}-\frac{1}{x-1}+c\)

\(Q.2.(iv)\) \(\int{\frac{1}{x^2(x-1)}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{x-1}{x}\right|}+\frac{1}{x}+c\)
[ বঃ২০১০,২০০৫; রাঃ২০০২; কুঃ২০০২ ]

\(Q.2.(v)\) \(\int{\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{9}\ln{\left|\frac{x-1}{x+2}\right|}-\frac{1}{3(x-1)}+c\)

\(Q.2.(vi)\) \(\int{\frac{xdx}{(x-1)(x^2+1)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
[ ঢাঃ২০১৭,২০০৮; কুঃ২০১১,২০০৮; দিঃ২০০৯; বঃ২০০৭,২০০১ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int{\frac{dx}{x(x^2+1)}}\)
উত্তরঃ \(\ln{|x|}-\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}+c\)

\(Q.2.(viii)\) \(\int{\frac{x^2dx}{x^4-1}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)

\(Q.2.(ix)\) \(\int{\frac{2x+3}{x^3-x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{|x+1|}-3\ln{|x|}+\frac{5}{2}\ln{|x-1|}+c\)

\(Q.2.(x)\) \(\int{\frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\ln{|1-x|}+\frac{3}{10}\ln{|x^2+4|}-\frac{1}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\(Q.2.(xi)\) \(\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{10}\ln{|x^2+4|}+\frac{2}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\(Q.2.(xii)\) \(\int{\frac{dx}{x^2(x+1)^2}}\)
উত্তরঃ \(2\ln{\left|\frac{x+1}{x}\right|}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\int{\frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}dx}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)

অনুশীলনী \(10.E / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx}\)
উত্তরঃ \(x+4\ln{|x-4|}+\ln{|x+2|}+c\)

\(Q.3.(ii)\) \(\int{\frac{x^2dx}{x^2-4}}\)
উত্তরঃ \(x+\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
[ সিঃ,রাঃ,বঃ২০০৮; চঃ২০০২ ]

\(Q.3.(iii)\) \(\int{\frac{x^2-1}{x^2-4}dx}\)
উত্তরঃ \(x+\frac{3}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
[ ঢাঃ২০১১; কুঃ২০০৯,২০০১; যঃ২০০৯; সিঃ২০০৫,২০০৩ ]

\(Q.3.(iv)\) \(\int{\frac{dx}{x^2-9}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x-3}{x+3}\right|}+c\)

\(Q.3.(v)\) \(\int{\frac{x+35}{x^2-25}dx}\)
উত্তরঃ \(4\ln{|x-5|}-3\ln{|x+5|}+c\)
[ চঃ২০০৮; সিঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(vi)\) \(\int{\frac{3x+1}{(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(3\ln{|x+1|}+\frac{2}{x+1}+c\)

\(Q.3.(vii)\) \(\int{\frac{2x+1}{(2x+3)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{|2x+3|}+\frac{1}{2x+3}+c\)

\(Q.3.(viii)\) \(\int{\frac{xdx}{(1-x)^2}}\)
উত্তরঃ \(\ln{|1-x|}+\frac{1}{1-x}+c\)

\(Q.3.(ix)\) \(\int{\frac{6x-10}{(2x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left\{3\ln{|2x+1|}+\frac{13}{2x+1}\right\}+c\)

\(Q.3.(x)\) \(\int{\frac{x^2+1}{(x+2)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(x-4\ln{|x+2|}-\frac{5}{x+2}+c\)

\(Q.3.(xi)\) \(\int{\frac{dx}{e^{2x}-3e^{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{x}{9}+\frac{1}{3e^{x}}+c\)

\(Q.3.(xii)\) \(\int{\frac{x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(a^2-b^2)}\ln{\left|\frac{x^2+b^2}{x^2+a^2}\right|}+c\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\int{\frac{\cos{x}}{(a-\sin{x})(b-\sin{x})}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a-b}\ln{\left|\frac{a-\sin{x}}{b-\sin{x}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\int{\frac{\sec^2{x}}{(1+\tan{x})(2-\tan{x})}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{1+\tan{x}}{2-\tan{x}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xv)\) \(\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\left\{\ln{|1-x^4|}+\frac{1}{1-x^4}\right\}+c\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\int{\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(x-6\ln{|x+1|}-\frac{8}{x+1}+c\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\int{\frac{\sin{2x}}{3+5\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{25}\left(3\ln{|3+5\cos{x}|}-5\cos{x}\right)+c\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\int{\frac{dx}{(e^x-1)(e^x+3)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{x}{3}+c\)

\(Q.3.(xix)\) \(\int{\frac{x^2dx}{x^2-16}}\)
উত্তরঃ \(x+2\ln{\left|\frac{x-4}{x+4}\right|}+c\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard