দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিতে ভেক্টরের প্রয়োগ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
ভেক্টরের মাণ
Magnitude of Vector
ভেক্টর নির্দেশক রেখাংশের প্রারম্ভিক বিন্দু এবং প্রান্তবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে ভেক্টরের মাণ বলা হয়। \( \overrightarrow{V}\) ভেক্টরের মাণকে \(|\overrightarrow{V}|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
বিপরীত ভেক্টর
Opposite Vector
straight3 দুইটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ সমান তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল কিন্তু দিক বিপরীতমুখী এরূপ ভেক্টরকে একে অপরের বিপরীত ভেক্টর বলা হয়।
যেমনঃ
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}\) এবং বিপরীত ভেক্টর \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{v};\)
\(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) এর দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু এরা পরস্পর বিপরীতমুখী।
একক ভেক্টর
Unite Vector
কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ \(\) (এক) হলে তাকে একক ভেক্টর বলে। মাণ শন্য নয় এরূপ একটি ভেক্টরকে তার মাণ দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টর রাশিটির দিক বরাবর অথবা তার সমান্তরাল বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। একক ভেক্টর প্রকাশের জন্য ভেক্টর প্রতীক হিসেবে হ্যাট \((\hat{})\) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ
অক্ষ রেখা বরাবর একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
আবার
\(\overline{a}\) একটি ভেক্টর রাশি যার মাণ \(|\overline{a}|,\) যেখানে \(|\overline{a}|\ne{0}\)
তাহলে, \(\overline{a}\) এর একক ভেক্টর অথবা সমান্তরাল একক ভেক্টর, \(\hat{a}=\pm{\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}}\)
\(\overline{a}\) এর দিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}\)
\(\overline{a}\) এর বিপরিতদিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=-\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}\)
সমরৈখিক ভেক্টর
Collinear Vector
দুই বা ততোধিক ভেক্টর একটি সরলরেখার সমান্তরাল হলে, তবে তাদেরকে সমরৈখিক বা সমান্তরাল ভেক্টর বলে।
যদি \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয় সমরৈখিক হয় তবে \(\overline{A}=m\overline{B};\) যেখানে \(m\) একটি স্কেলার ।
সমতলীয় ভেক্টর
Coplanar Vector
দুই বা ততোধিক ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন হলে, তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।
দুইটি ভেক্টরের অন্তরভুক্ত কোণ
Angle of two Vectors
ধরা যাক, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর এদের ধারক রেখাদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দুতে \(0<\theta<\pi\) কোণ উৎপন্ন হয়।
straight3
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র
Triangle law of vector addition
straight3 যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু একই ক্রমে দিকে ও মাণে দুইটি ভেক্টর রাশিকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) ভেক্টর দুইটিকে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{BC}\) দ্বারা সূচিত করা হলো। \(\overrightarrow{AB}\) এর প্রারম্ভিকবিন্দু \(A\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) এর প্রান্তবিন্দু \(B\) এর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা গঠিত ভেক্টর \(\overrightarrow{AC}\) পূর্বোক্ত ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করবে যাকে \(\overline{R}\) দ্বারা সূচীত করা হলো।
সুতরাং , \(\overline{P}+\overline{Q}=\overline{R}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র
Parallelogram law of vector addition
straight3 কোনো সামান্তরিকের একটি কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহুদ্বয় যদি কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি ভেক্টরের মাণ ও দিক নির্দেশ করে, তাহলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

দ্রঃ দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য নয়, কিন্তু ত্রিভুজ বিধি সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য হবে।
ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্র
Polygon law of vector addition
straight3 দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে একই ক্রমে ভেক্টরগুলিকে সাজিয়ে প্রথম ভেক্টরের প্রারম্ভিকবিন্দু এবং শেষ ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু যোগ করে একটি বহুভুজ অঙ্কন করলে বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরগুলির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ , \(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)

ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণিতক
Scalar Multiple of Vector
ধরি, \(\overline{a}\) একটি ভেক্টর এবং \(m\) একটি স্কেলার। \(m\overline{a}\) দ্বারা ভেক্টর \(\overline{a}\) এর \(m\) গুণিতক বোঝায়। \(m\) গুনিতকের বিবরণ নিম্নে দেওয়া হলো।
\(\overline{a}=\underline{0}\) হলে,
\((1) \ m\overline{a}=\underline{0}\)
\(\overline{a}\ne{\underline{0}}\) হলে,
\((1) \ m\overline{a}\) এবং \(\overline{a}\) এর ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে।
\((2) \ m\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্য \(\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্যের \(m\) গুণ হবে। অর্থাৎ, \(|m\overline{a}|=m|\overline{a}|\) হবে।
\((3) \ m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক একই হবে যখন, \(m>0\)
\((4) \ m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক পরস্পর বিপরীত হবে যখন, \(m<0\)
\(m\) গুনিতকের বিশেষ বিধি
\((1) \ (mn)\overline{a}=m(n)\overline{a}\)
\((2) \ m(-\overline{a})=(-m)\overline{a}=-m\overline{a}\)
\((3) \ (-1)\overline{a}=-\overline{a}\)
\((4) \ 0\overline{a}=\underline{0}\) (এখানে, বামপক্ষের শূন্যটি স্কেলার কিন্তু ডানপক্ষের শূন্যটি ভেক্টর )
\((5) \ m=\frac{\overline{a}}{\overline{b}} \Rightarrow \overline{a}=m\overline{b}\)
দ্রঃ যদি দুইটি অশূণ্য ভেক্টরের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হয়, তবে একটি ভেক্টরকে অন্যটির একটি স্কেলার গুণিতক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ ও স্কেলার গুণিতকের বিধি
Addition Subtraction and Scalar Multiple Law of two Dimentional Vector
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\((1) \ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\) ( যোগের বিনিময় বিধি )

\((2) \ \overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\) ( যোগের সংযোগ বিধি )

\((3) \ m\overline{a}=\overline{a}m\) ( গুণের বিনিময় বিধি )

\((4) \ m(n\overline{a})=(mn)\overline{a}\) ( গুণের সংযোগ বিধি )

\((5) \ m(\overline{a}+\overline{a})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ( বন্টন বিধি )

সমতলে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in a Plane
যদি, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসম ভেক্টর হয়, তবে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) কে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ এককভাবে প্রকাশ করা যাবে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)

আয়ত একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}\)
Unite Vector \(\hat{i}, \hat{j}\)
কার্তেসীয় সমতলে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর যথাক্রমে একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) কে আয়ত একক ভেক্টর বলা হয়। \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) পরস্পর লম্ব দুইটি একক ভেক্টর।
এখানে, \(|\hat{i}|=|\hat{j}|=1\)
কার্তেসীয় স্থানাংককে ভেক্টরে এবং ভেক্টরকে কার্তেসীয় স্থানাংকে প্রকাশ
Represention of Vector in Cartesian Co-ordinates and Cartesian Co-ordinates in Vector
straight3 ধরি, কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
আবার, \(\triangle{PON}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
অবস্থান ভেক্টর
Position Vector
straight3 অবস্থান ভেক্টরঃ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in two Dimension Space
straight3 কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)

\(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ
straight3 ধরি,
\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
ভেক্টর বিভক্তিকরণ সূত্র
Section formula Of Vector
straight3 \(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}-n\overline{a}}{m-n}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
straight3 \(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(C, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(2\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
\(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
অধ্যায় \(2\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর অর্ধেক ও সমান্তরাল।
ঢাঃ ২০০১৫; কুঃ ২০১৫,২০১৪; যঃ,দিঃ ২০১২; সিঃ ২০১৪,২০১১; বঃ ২০১১; মাঃ ২০১৪,২০১১ ।

উদাহরণ \(2.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ঢাঃ ২০০১১; রাঃ ২০১২; চঃ ২০১৪; যঃ২০১৫,২০১৪; দিঃ ২০১৩,২০০৯; সিঃ ২০১৪; বঃ২০১৩,২০০৯; মাঃ ২০১৪,২০১১ ।

উদাহরণ \(3.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

উদাহরণ \(4.\)
straight3
\((a)\) \(P(4,-3,1), \ Q(2,-1,-2)\) এর সংযোগ রেখাকে \(R\) বিন্দু \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে \(\overrightarrow{OR}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overrightarrow{AB}\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের সাথে \(x\) অক্ষের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(\overrightarrow{OR}=\frac{22}{7}\hat{i}-\frac{15}{7}\hat{j}-\frac{2}{7}\hat{k}\)
\((b)\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।
\((c)\) \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{38}}\right)}\)

উদাহরণ \(5.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-\hat{j}+p\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{A}\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(p=-1\) হলে, দেখাও যে, উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
\((b)\) \(p\) এর কোন মাণের জন্য \(\overline{A}-\overline{B}\) ভেক্টরটি \(\overline{B}\) এবং \(\overline{C}\) উভয়ের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব হবে।
উত্তরঃ \((a)\) \(\overline{r}=(2+2t)\hat{i}-(2+t)\hat{j}+(3+3t)\hat{k}\)
\((c)\) \(p=\frac{3}{2}\)

উদাহরণ \(6.\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{B}=-3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\((a)\) অবস্থান ভেক্টর কি? ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) দেখাও যে, উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(\overline{A}\times(\overline{B}\times\overline{C})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c)\) \(5\hat{i}+25\hat{j}-20\hat{k}\)

উদাহরণ \(7.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{A}.\overline{B}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}, \ \overline{B}, \ \overline{C}\) ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকে।
উত্তরঃ \((a)\) \(14\)
\((b)\) \(\pm{\frac{1}{\sqrt{66}}(5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})}\)
\((c)\) \(a=-\frac{9}{2}\)

অধ্যায় \(2\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
বঃ ২০১১ ।

\(Q.1.(ii)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু।
ঢাঃ ২০১৪,২০১১,২০০৮; রাঃ ২০১২,২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১২,২০০৭; দিঃ ২০১৬,২০১৪; কুঃ ২০১৬,২০১৪,২০১২,২০১০,২০০৮; সিঃ ২০০৬; যঃ ২০১৬,২০১০,২০০৩; বঃ ২০১৪,২০১০,২০০৬; মাঃ ২০১২,২০০৯ ।

\(Q.1.(iii)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, ত্রিভুজের শীর্ষ হতে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয় সমবিন্দু।
ঢাঃ,চঃ ২০১৪।

\(Q.1.(iv)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দু।

\(Q.1.(v)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং তাদের ছেদবিন্দুতে মধ্যমা \(2:1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।
রাঃ ২০০৪; যঃ,চঃ ২০০৫; সিঃ ২০০৩ ।

\(Q.1.(vi)\) কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পর্যায়ক্রমে যোগ করলে উৎপন্ন চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর।
যঃ ২০০৪ ।

\(Q.1.(vii)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি তার বাহু চারটির বর্গের সমষ্টির সমান।

\(Q.1.(viii)\) ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(ix)\) ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের বিয়োগফলের অর্ধেক, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(x)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
ঢাঃ ২০১০; রাঃ ২০১৩,২০০৯; কুঃ ২০১৩; চঃ ২০০৪; সিঃ ২০১৩,২০০৭; বঃ ২০১৬,২০০৭; যঃ,দিঃ ২০১১; মাঃ ২০১৩ ।

\(Q.1.(xi)\) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
ঢাঃ ২০১৬,২০১৩; রাঃ ২০১০; কুঃ ২০১১; চঃ ২০১৩; সিঃ ২০১৬,২০১২; বঃ ২০১৬,২০০৭; দিঃ ২০১৫ ।

\(Q.1.(xii)\) রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এটি একটি বর্গ, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(xii)\) রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এটি একটি বর্গ, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(xiii)\) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তা একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

\(Q.1.(xiv)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলি হতে সমদূরবর্তী।

অনুশীলনী \(2\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\)
\((2)\) \(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\((3)\) \(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)
\((4)\) \(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)

\(Q.2.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(a=b\cos{C}+c\cos{B}\)
\((2)\) \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\((3)\) \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

\(Q.2.(iii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) অথবা, \(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
যঃ ২০০৫ ।
\((2)\) \(b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) অথবা, \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\((3)\) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) অথবা, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
চঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০১৪,২০১০,২০০৬,২০০১; বঃ ২০১২,২০০৮,২০০৫; কুঃ ২০১২,২০০৭; যঃ২০১০,২০০৭,২০০৩; রাঃ ২০০৮; সিঃ ২০০৪ ।

\(Q.2.(iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৫ ।

\(Q.2.(v)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(\frac{1}{2}bc\sin{A}=\Delta\) অথবা, \(bc\sin{A}=2\Delta\) অথবা, \(\sin{A}=\frac{2\Delta}{bc}\)
\((2)\) \(\frac{1}{2}ca\sin{B}=\Delta\) অথবা, \(ca\sin{B}=2\Delta\) অথবা, \(\sin{B}=\frac{2\Delta}{ca}\)
\((3)\) \(\frac{1}{2}ab\sin{C}=\Delta\) অথবা, \(ab\sin{C}=2\Delta\) অথবা, \(\sin{C}=\frac{2\Delta}{ab}\)

\(Q.2.(vi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(\tan{\left(\frac{B-C}{2}\right)}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
\((2)\) \(\tan{\left(\frac{C-A}{2}\right)}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
\((3)\) \(\tan{\left(\frac{A-B}{2}\right)}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\(a^2+b^2+c^2=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)

অনুশীলনী \(2\) / \(Q.3\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(\overline{P}=\overrightarrow{OA}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{Q}=\overrightarrow{OB}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) যেখানে, \(O\) মূলবিন্দু
\((a)\) \(\overline{P}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{Q}\) ভেক্টরের ভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \((\overline{P}\times\overline{Q})\) এবং \((\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \(\overrightarrow{AB}\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের সাথে অক্ষত্রয়ের উৎপন্ন কোণগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{31}{\sqrt{34}}\)
\((c)\) কোণগুলির মধ্যে বৃহত্তম কোণ \(\beta=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\)

\(Q.3.(ii)\) \(P(1,3,2), \ Q(2,-1,3)\) এবং \(R(-1,2,3)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং \(O\) মূলবিন্দু
\((a)\) \(\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(QR\) বাহুর ভেক্টর এবং এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(PQR\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 5\)
\((b) \ \overline{r}=(2-3t)\hat{i}-(1-3t)\hat{j}+3\hat{k}; \ \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{0}\)
\((c) \ \frac{3\sqrt{11}}{2}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(iii)\) মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(2,-1,3)\) হলে,
straight3
\((a)\) \(|\overrightarrow{AB}|\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(SM\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\overline{p}\) এবং \(\overline{q}\) উভয় ভেক্টরের সমতলে লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(11\)
\((b)\) \(SM=\frac{10}{\sqrt{29}}\)
\((c)\) \(\pm{\frac{1}{\sqrt{13}}(2\hat{i}-3\hat{k})}\)

\(Q.3.(iv)\) \(PQRS\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(1,0,2), \ Q(2,-3,3), \ R(2,1,4)\) এবং \(S(1,4,3)\)
\((a)\) \(A(-1,2,2)\) বিন্দুগামী এবং \(\overrightarrow{PQ}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overrightarrow{PR}\) এবং \(\overrightarrow{QS}\) কে সামান্তরিকের কর্ণ ধরে ভেক্টর পদ্ধতিতে \(PQRS\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(\overrightarrow{QR}\) এবং \(\overrightarrow{RS}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\sin^{-1}{\left(\sqrt{\frac{6}{17}}\right)}\)
উত্তরঃ \((a)\) \(\overline{r}=(-1+t)\hat{i}+(2-3t)\hat{j}+(2+t)\hat{k}\)
\((b)\) \(\sqrt{66}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(v)\) \(A(1,2,3), \ B(-1,-1,8)\) এবং \(C(-4,4,6)\) বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) \(AB\) বাহুর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অক্ষত্রয়ের সাথে \(\overrightarrow{OB}\) যে কোণ উৎপন্ন করে, তা নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, \(\triangle{ABC}\) সমবাহু।
উত্তরঃ \((a)\) \(\overline{r}=(1-2t)\hat{i}+(2-3t)\hat{j}+(3+5t)\hat{k}\)
\((b)\) \(\cos^{-1}{-\left(\frac{1}{\sqrt{66}}\right)}, \ \cos^{-1}{-\left(\frac{1}{\sqrt{66}}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি ঘনবস্তুর ধার নির্দেশ করে।
\((a)\) \(|\overline{a}-\overline{b}-\overline{c}|\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর।
\((c)\) ঘনবস্তুটির পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(\sqrt(29)\)
\((b)\) \(7\) ঘন একক।
\((c)\) \(60.83\) বর্গএকক।

\(Q.3.(vii)\) \(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) তিনটি ভেক্টর ।
\((a)\) \(A(1,2,3)\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{c}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর লব্ধির অংশক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\sin^{-1}{\left(\frac{5}{3\sqrt{3}}\right)}\)
উত্তরঃ \((a)\) \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(3+t)\hat{k}\)
\((b)\) \(\frac{7}{9}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\)

\(Q.3.(viii)\)
straight3
\((a)\) \(x\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}-\frac{1}{2}\hat{k}\) একটি একক ভেক্টর হলে \(x\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\overline{P}, \ \overline{Q}, \ \overline{R}\) ভেক্টরত্রয় ভেক্টর যোগের সহযোজন সূত্র মেনে চলে।
\((c)\) \(x\) এর ধনাত্মক মাণের জন্য \(\overrightarrow{OD}\) এর মাণ \(9\) হলে, \(\overrightarrow{OD}\) এবং \(3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\((c)\) \(\cos^{-1}{\left(\frac{4\sqrt{76}-7}{9\sqrt{29}}\right)}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}, \ \overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) তিনটি ভেক্টর।
\((a)\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) পরস্পর লম্ব হলে, \(\mu\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\mu\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{a}, \ \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত হবে?
\((c)\) \(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(\mu=-1\)
\((b)\) \(\mu=-1\)
\((c)\) \(\pm{\frac{1}{\sqrt{174}}(2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k})}\)

\(Q.3.(x)\) \(\overline{M}=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{N}=3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
\((a)\) \(\overline{M}\) এবং \(\overline{N}\) এর লব্ধি ভেক্টরের মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব।
\((c)\) \(\overline{P}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{M}, \ \overline{N}\) এবং \(\overline{P}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a)\) \(\sqrt{69}\)
\((b)\) \(\pm{\frac{1}{7\sqrt{5}}(-8\hat{i}+10\hat{j}-9\hat{k})}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\overline{P}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=a\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
\((a)\) দুইটি ভেক্টরের ক্রস প্রডাক্ট ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে \(\overline{Q}\) ভেক্টরটি \(x\) অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4\) হলে ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব একক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b)\) \(\cos^{-1}{\left(\frac{15}{\sqrt{265}}\right)}\)
\((c)\) \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)

\(Q.3.(xii)\) \(PQR\) ত্রিভুজে \(S, \ T\) এবং \(U\) যথাক্রমে \(QR, \ RP\) এবং \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু।
\((a)\) \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি অসমান্তরাল ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(\overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\)
\((b)\) উদ্দীপক থেকে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, \(PQ^2+PR^2=2(PS^2+QS^2)\)
\((c)\) দেখাও যে, \(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{RU}=0\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) মাণের বল \((2,-1,2)\) বিন্দুতে কোনো একটি কণার উপর প্রয়োগ করায় কণাটির শেষ অবস্থান \((5,1,4)\) হলো।
\((a)\) প্রদত্ত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বলটি দ্বারা কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ঘূর্ণন কেন্দ্র \((2,3,2)\) হলে বলের ভ্রামকের মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \( \overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(2+2t)\hat{k}\)
\((b)\) \(4\) একক।
\((c)\) \(4\sqrt{5}\) একক।

\(Q.3.(xiv)\) একটি বস্তুর অবস্থান ভেক্টর \(A(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\) বস্তুটির উপর \(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) বল প্রয়োগ করায় বস্তুটির অবস্থান পরিবর্তন হয়। \(B\) ও \(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(3\hat{i}+2\hat{j}+z\hat{k}\) ও \(5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
\((a)\) \(|\overline{A}+\overline{C}|\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overrightarrow{AB}\) বরাবর বস্তুটির সরণ ( বা এর লম্ব অভিক্ষেপ ) না থাকলে \(z\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুর সাপেক্ষে \(\overline{F}\) বলের ভ্রামক মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(\sqrt{85}\)
\((b)\) \(z=6\)
\((c)\) \(\sqrt{137}\)

\(Q.3.(xv)\) জেনারেটরে ব্যবহৃত একটি সামান্তরিক আকৃতির কুন্ডলীপাতের দুইটি সন্নিহিত বাহু যথাক্রমে \(\overrightarrow{QP}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{QR}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\) পাতটির নিকটে অবস্থিত একটি চুম্বকের চৌম্বকক্ষেত্র \(\overline{B}=4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}.\)
\((a)\) \(\overline{B}\) বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((b)\) সামান্তরিক পাতের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{B}\) এবং \(\overrightarrow{QR}\) ভেক্টরদ্বয় দ্বারা সৃষ্ট সমতলের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a)\) \(\frac{1}{\sqrt{69}}(4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k})\)
\((b)\) \(\sqrt{74}\) বর্গ একক।
\((c)\) \(\pm{\frac{1}{17\sqrt{5}}(-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k})}\)

\(Q.3.(xvi) (1)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(L\) ও \(M\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(5\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}, \ c\) একটি ধ্রুবক। এমন একটি বিন্দু \(N\) নেয়া হলো, যাতে \(OLMN\) একটি আয়তক্ষেত্র হয়।
\((2)\) আটলান্টিক মহাসাগরে দুইটি সাবমেরিন সরলরেখা বরাবর চলছে। মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে তাদের গতিপথের ভেক্টর সমীকরণ যথাক্রমে
\(\overline{r_{1}}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}+\lambda(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\) এবং \(\overline{r_{2}}=9\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}+\mu(4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\)
\((a)\) দেখাও যে, সাবমেরিন দুইটির গতিপথ পরস্পর লম্ব।
\((b)\) সাবমেরিনদ্বয়ের গতিপথের ছেদবিন্দু \(A\) এর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((c)\) \(N\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b)\) \(5\hat{i}-\hat{k}\)
\((c)\) \(3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}, \ \overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.\)
\((a)\) \(A(2,-3,1)\) এবং \(B(-1,0,4)\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\) হলে, \(p\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \( \overrightarrow{AB}=-3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}\)
\((b)\) \(p=\frac{4-\sqrt{85}}{3}\)
\((c)\) \(\pm{\frac{1}{\sqrt{195}}(5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k})}\)
ঢাঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xviii)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{R}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.\)
\((a)\) \(\overline{P}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \((\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টরটি \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ভেক্টরগুলির \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(\overline{r}=(3+3t)\hat{i}-(3+2t)\hat{j}+(4+4t)\hat{k}\)
\((c)\) \(\begin{bmatrix} \ \ 0&1&-2 \\-1&1& \ \ 0\\-\frac{1}{2}&0& \ \ \ \frac{3}{2} \end{bmatrix}\)
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xix)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}.\)
\((a)\) অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\((b)\) \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ \(\overline{C}\) ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((\overline{A}+\overline{B})\) এবং \((\overline{A}\times\overline{B})\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b)\) \(b=\frac{1}{3}\)
\((c)\) \(90^{0}\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xx)\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8)\)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\triangle{PQS}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b)\) \(\frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k})\)
\((c)\) \(48.57\) বর্গ একক।
সিঃ ২০১৭ ।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard