ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
Historical Background
straight3
হিপার্কাস (১৯০ খ্রিষ্টপূর্ব-১২০ খ্রিষ্টপূর্ব )
গণিত, জ্যোতির্বিদা ও ভূগোলে তাঁর অবদান অপরিসীম। তিনিই প্রথম ত্রিকোণমিতক সারণি প্রণয়ন করে 'arc' ও 'chord' সিরিজের মাণ নির্ণয় করেন। এজন্য তাঁকে ত্রিকোণমিতির জনক বলা হয়।
ইংরেজী শব্দ 'Trigonometry' শব্দটি দুইটি গ্রিক শব্দ 'Trigon' যার অর্থ তিন কোণ এবং 'Metron' যার অর্থ পরিমাপ, এর সমন্বয়ে গঠিত। ত্রিকোণমিতি গণিত শাস্ত্রের একটি অত্যান্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা। গ্রিক গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ হিপার্কাস (Hipparchus) এই শাখার আবিষ্কার করেন। এই গুরুত্বপূর্ণ শাখার বহুবিধ ব্যবহার বিজ্ঞানের বহু শাখার উন্নয়নে সহায়ক হয়েছে। প্রাথমিকভাবে ত্রিকোণমিতি ত্রিভুজে পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। অন্যভাবে বলা যায়, ত্রিভুজের বাহু, কোণ ও ক্ষেত্রফলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনের জন্য ত্রিকোণমিতি ব্যবহৃত হয়। পরবর্তীতে ধনাত্মক কোণ, ঋণাত্মক কোণ তথা অন্য অনেক শাখায় বহুল সমস্যা সমাধানের জন্য এর ব্যবহার উল্লেখযোগ্য। বিজ্ঞান ও প্রকৌশলীর বিভিন্ন শাখা ছাড়াও বিশ্লেষণী জ্যামিতি ও বিশ্লেষণী গণিত ত্রিকোণমিতির ভিত্তির ওপর প্রতিষ্ঠিত। বায়োটেকনোলজি, ভিডিও গেমস ও কম্পিউটার গ্রাফিক্সে ব্যাপক আকারে ত্রিকোণমিতিক ব্যবহার রয়েছে। কোণের ব্যবহারিক প্রয়োগ ছয়টি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ। একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণকে তাদের বাহুদ্বয়ের অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করার জন্য ছয়টি অপারেটর ব্যবহার করা হয়। যথাঃ Sine, Cosine, Tangent, Cotangent, Secant এবং Cosecant. জ্যোতির্বিদ্যা নিয়ে গবেষণার সূত্র ধরেই ত্রিকোণমিতিক তত্ত্বের উদ্ভব ঘটে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর উৎকৃষ্ট উদাহরণ। ভারতবর্ষে ৪র্থ - ৫ম শতাব্দীতে সিদ্ধার্থ ও আর্জভট্ট straight3 প্রাচীন ভারতীয় গণিতের ইতিহাসে আর্যভট্টের (৪৭৬ – ৫৫০ খ্রিষ্টপূর্ব ) হাত ধরেই ক্লাসিকাল যুগ (কিংবা স্বর্ণযুগ) শুরু হয়। গণিত এবং জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত আর্যভট্টের বিভিন্ন কাজ মূলত দুটি গ্রন্থে সংকলিত হয়েছে বলে জানা গেছে। এর মাঝে ‘আর্যভট্টীয়’ একটি, যেটি উদ্ধার করা গিয়েছে। এটি রচিত চার খণ্ডে, মোট ১১৮টি স্তোত্রে। অন্য যে কাজটি সম্পর্কে জানা যায় সেটি হল ‘আর্য-সিদ্ধান্ত’। আর্য-সিদ্ধান্তের কোন পাণ্ডুলিপি খুঁজে পাওয়া যায়নি, তবে বরাহমিহির, ব্রহ্মগুপ্ত এবং প্রথম ভাস্করের কাজে এটির উল্লেখ মেলে। আর্যভট্ট গ্রন্থ রচনা করেছেন পদবাচ্যের আকারে। , ৭ম শতাব্দীতে ভাষ্করা-১ ও ব্রহ্মগুপ্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ নিয়ে প্রচুর তত্ত্ব লিপিবদ্ধ করেন। মধ্যযুগে মুসলমানরা ত্রিকোণমিতির অন্তর্নিহিত তত্ত্ব উদ্ঘাটন করেন। মূসা-আল খোয়ারিজমী নির্ভুলভাবে সাইন, কোসাইন ও ট্যানজেন্ট এর সারণী প্রণয়ন করেন। সপ্তদশ শতাব্দীতে স্যার আইজ্যাক নিউটন straight3 ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। জেমস স্টার্লিং straight3 স্টার্লিং (11/05/1692-5/12/1770) ছিলেন আর্চিবাল্ড স্টার্লিং অফ গার্ডেনের তৃতীয় পুত্র। ১৮ বছর বয়সে তিনি বলিওল কলেজ, অক্সফোর্ডে গিয়েছিলেন, যেখানে প্রধানত আর্ল অফ মারের প্রভাবে তিনি ব্যালিওলের বিশপ ওয়ার্নারের প্রদর্শনীকারীদের (বা স্নেল প্রদর্শনী) মনোনীত হন। লন্ডনে তিনি দশ বছর অবস্থান করেন, বেশিরভাগ সময় টাওয়ার স্ট্রিটের একটি একাডেমির সাথে যুক্ত ছিলেন এবং তাঁর অবসরকে গণিত এবং খ্যাতিমান গণিতবিদদের সাথে যোগাযোগের জন্য উৎসর্গ করেছিলেন। ত্রিকোণমিতিক সিরিজের বিস্তার নির্ণয় করেন এবং ত্রিকোণমিতি আধুনিক গণিতের গুরুত্বপূর্ন শাখা হিসেবে প্রতিষ্ঠা লাভ করে। বর্তমানে ব্যবহৃত sin, cos, tan, cosec, sec এবং cot প্রতীকগুলি বৈজ্ঞানিক লেওনার্ড অয়লারের straight3 অয়লার (15 /04/1707 - 18/09/1783 ) একজন সুইস গণিতবিদ এবং পদার্থবিজ্ঞানী (বাসেল, সুইজারল্যান্ড )। তিনি ক্যালকুলাস, সংখ্যাতত্ত্ব, অন্তরক সমীকরণ, গ্রাফ তত্ত্ব ও টপোগণিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন। আধুনিক গণিতে ব্যবহৃত অনেক পরিভাষা ও ধারণা তার অবদান। গাণিতিক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত গাণিতিক ফাংশন-এর ধারণা তারই আবিষ্কার।[১] অয়লার e , পাই এর জন্য π , যোগের জন্য Σ চিহ্নের প্রবর্তন করেন। তিনি বলবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান ও জ্যোতির্বিজ্ঞানেও অবদান রাখেন। সমসাময়িককালে তার মত প্রকাশনা সম্পন্ন কোনো গণিতবিদ ছিলেন না। এমনকি মুদ্রণ ব্যবস্থার উন্নতি হওয়ার পরও তার সমপরিমাণ প্রকাশনা সম্পন্ন বিজ্ঞানীর সংখ্যা খুবই কম। অনস্বীকার্য অবদান। তিনি এগুলিকে অসীম সিরিজ আকারে বর্ণনা করেন।
সার সংক্ষেপ
ত্রিকোণমিতিক কোণ, কোণের পরিমাপ, ষাটমূলক পদ্ধতি, বৃত্তীয় পদ্ধতি, শতমূলক পদ্ধতি, বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুব সংখ্যা, রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ, ডিগ্রি, রেডিয়ান ও গ্রাড এর মধ্যে সম্পর্ক , বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল, ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ, রেডিয়ান পরিমাপে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ও বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সূত্র।
ত্রিকোণমিতিক কোণ
Trigonomeriic angle
straight3 দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে যে কোণ উৎপন্ন হয়, তাঁকে জ্যামিতিক কোণ বলে। জ্যামিতিক কোণ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না এবং \(0^{o}\) ও \((360^{o}\) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে। ত্রিকোণমিতিতে কোণ উৎপন্ন হয় একটি রশ্মির ঘূর্ণনের ফলে। একটি রশ্মি তাঁর প্রান্ত বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ ঘুরে তাঁর আদি অবস্থানের সাথে যদি কোণ উৎপন্ন করে তবে তাকে ত্রিকোণমিতক কোণ বলা হয়। ঘূর্ণায়মান রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ধনাত্মক কোণ এবং ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে ঘুরে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ঋণাত্মক কোণ বলে।
কোণের পরিমাপ
Measurement of angle
কোণ পরিমাপের পদ্ধতিঃ
\((1)\) ষাটমূলক পদ্ধতি (Sexagesimal System)
\((2)\) বৃত্তীয় পদ্ধতি (Circular System)
\((3)\) শতমূলক পদ্ধতি (Centesimal System)
ষাটমূলক পদ্ধতি
Sexagesimal System
straight3 ষাটমূলক পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান নব্বইভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রত্যেক ভাগকে এক ডিগ্রি \((1^{o})\) বলা হয়। এক ডিগ্রিকে সমান ষাট ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে মিনিট \((1^{\prime})\) বলা হয় এবং এক মিনিটকে সমান ষাট ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক সেকেন্ড \((1^{\prime\prime})\) বলা হয়।
অর্থাৎ \(1\) সমকোণ \(=90\) ডিগ্রি \(90^{o}\)
\(1\) ডিগ্রি \(=60\) মিনিট \(60^{\prime}\)
\(1\) মিনিট \(=60\) সেকেন্ড \(60^{\prime\prime}\)
এই পদ্ধতিকে ব্রিটিশ পদ্ধতি বা ইংলিশ পদ্ধতিও বলা হয়ে থাকে।
বৃত্তীয় পদ্ধতি
Circular System
straight3 বৃত্তীয় পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে মূল একক হচ্ছে রেডিয়ান। কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান \((1^{c})\) কোণ বলা হয়। রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ। এই কোণ পরিমাপের একককে বৃত্তীয় একক বলে। সকল তত্ত্বীয় কাজে কোণ পরিমাপের জন্য রেডিয়ানকে ব্যবহার করা হয়।
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুব সংখ্যা
The ratio of the circumference to the diameter of a circle is a constant number
straight3 মনে করি,
দুইটি বৃত্তে কেন্দ্র \(O\)
এখন, বহিঃস্থ বৃত্তটিকে \(n\) সংখ্যক \(n>1\) সমান ভাগে বিভক্ত করি। কেন্দ্র \(O\) এর সহিত বিভক্ত বিন্দুগুলি যোগ করায় অন্তঃস্থ বৃত্তটিও \(n\) সংখ্যক সমান ভাগে বিভক্ত হলো। উভয় বৃত্তে বিভক্ত বিন্দুগুলো পরস্পর যুক্ত করি। ফলে বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থ বৃত্তে \(n\) সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি করে সুষম বহুভুজ অন্তর্লিখিত হলো।
এখন, \(OA=OB ....(1)\) (উভয়ে বহিঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
এবং \(OA^{\prime}=OB^{\prime} .....(2)\) (উভয়ে অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\((1)\) কে \((2)\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\frac{OA}{OA^{\prime}}=\frac{OB}{OB^{\prime}} .......(3)\)
\(\triangle{AOB}\) এবং \(\triangle{A^{\prime}OB^{\prime}}\) এর সাধারণ কোণ \(O\) বিন্দুতে,
অর্থাৎ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ
\(\therefore \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{OB}{OB^{\prime}}\) ➜ \(\because \) সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।

\(\Rightarrow \frac{n\times AB}{n\times A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{OB}{OB^{\prime}}\) ➜ বাম পার্শে লব ও হরের সহিত \(n\) গুণ করে।

\(\Rightarrow \frac{n\times AB}{OB}=\frac{n\times A^{\prime}B^{\prime}}{OB^{\prime}}\)
অর্থাৎ \(\frac{\text{বহিঃস্থ বহুভুজের পরিসীমা}}{\text{বহিঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\frac{\text{অন্তঃস্থ বহুভুজের পরিসীমা}}{\text{অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}} .........(4)\)
বহুভুজের যে কোনো সংখ্যক বাহুর জন্য \((4)\) নং সম্পর্কটি সত্য। \(n\) এর মাণ যথেষ্ট বড় হলে \((n\rightarrow{\infty})\) বহুভুজের বাহুগুলো ছোট হয় এবং বাহুগুলো বৃত্তের ছোট ছোট চাপে পরিণত হয়। তখন বহিঃস্থ এবং অন্তঃস্থ বহুভুজের পরিসীমা যথাক্রমে এদের পরিধিতে পরিগণিত হয়।
\((4)\) নং হতে,
\(\frac{\text{বহিঃস্থ বৃত্তের পরিধি}}{\text{বহিঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\frac{\text{অন্তঃস্থ বৃত্তের পরিধি}}{\text{অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}} \)
অর্থাৎ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত সমান।
অর্থাৎ \(\frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{\text{ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\text{ধ্রুব সংখ্যা }\)
\(\Rightarrow \frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{2\times\text{বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\frac{\text{ধ্রুব সংখ্যা }}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2 \) ভাগ করে।

\(\therefore \frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{\text{বৃত্তের ব্যাস}}=\text{ধ্রুব সংখ্যা } ........(5)\) ➜ \(\because \) ব্যাস \(=2\times\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\frac{\text{ধ্রুব সংখ্যা }}{2}=\text{ধ্রুব সংখ্যা }\)

এই ধ্রুব সংখ্যাটিকে গ্রিক অক্ষর \(\pi\) (পাই) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(\pi\) একটি অমূলদ সংখ্যা দশমিকে প্রকাশ করলে এটি একটি অন্তহীন অপৌনঃপুনিক সংখ্যা \((\pi=3.1459265358.......)\) হয়।
\((5)\) নং হতে,
\(\frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{\text{ব্যাস}}= \pi \ (\text{ধ্রুব সংখ্যা })\)
\(\Rightarrow \text{ বৃত্তের পরিধি}= \pi\times\text{ব্যাস}\)
\(\Rightarrow \text{ বৃত্তের পরিধি}= \pi\times2r\) যেখানে, \(r=\) ব্যাসার্ধ
\(\therefore \text{পরিধি}= 2\pi r\)
\(\text{পরিধি}= 2\pi r\)
রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ
Radian is a constant angle
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ।
যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\) ধ্রুবক

দ্রষ্টব্যঃ আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাত নিত্য বা ধ্রুবক। এই ধ্রুবকটি হচ্ছে \(\pi\) (গ্রিক অক্ষর,)
কেননা \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি \(=2\pi r\) এবং ব্যাস \(=2r\)
সুতরাং \(\frac{\text{পরিধি}}{\text{ব্যাস}}=\frac{2\pi r}{2r}\)
\(=\pi\) যা একটি ধ্রুবক।
এই ধ্রুবক একটি অমূলদ সংখ্যা \(\frac{22}{7}\) ইহা অমূলদ সংখ্যা হওয়া স্বত্বেও দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মিল থাকায় কখনও কখনও বিশেষ সুবিধার্থে \(\pi=\frac{22}{7}\) ধরা হয়।
আবার,
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ।
\(\Rightarrow \pi^{c}=2\) সমকোণ।
\(\therefore \pi^{c}=180^{o}\)
আবার,
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ।
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{1}{\pi}\times 2\) সমকোণ।
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{1}{3.1416}\times 180^{o}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{180^{o}}{3.1416}\)
\(\therefore 1^{c}=57.2956455\) ডিগ্রি।
শতমূলক পদ্ধতি
Centesimal System
শতমূলক পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান একশত ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রত্যেক ভাগকে এক গ্রেড \((1^{g})\) বলা হয়। এক গ্রেডকে সমান একশত ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে মিনিট \((1^{\prime})\) বলা হয় এবং এক মিনিটকে সমান একশত ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক সেকেন্ড \((1^{\prime\prime})\) বলা হয়।
অর্থাৎ \(1\) সমকোণ \(=100\) গ্রেড \(100^{g}\)
\(1\) গ্রেড \(=100\) মিনিট \(100^{\prime}\)
\(1\) মিনিট \(=100\) সেকেন্ড \(100^{\prime\prime}\)
এই পদ্ধতিকে ফরাসি পদ্ধতিও বলা হয়।
আবার,
\(1\) সমকোণ \(=90^{o}=100^{g}\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{100^{g}}{90}\)
\(\therefore 1^{o}=\left(\frac{10}{9}\right)^{g}\)
আবার,
\(1\) সমকোণ \(=90^{o}=100^{g}\)
\(\Rightarrow 100^{g}=90^{o}\)
\(\Rightarrow 1^{g}=\frac{90^{0}}{100}\)
\(\therefore 1^{g}=\left(\frac{9}{10}\right)^{o}\)
ডিগ্রি, রেডিয়ান ও গ্রাড এর মধ্যে সম্পর্ক
Relation between degree, radian and grad
\(\frac{D}{180}=\frac{R}{\pi}=\frac{G}{200}\)

বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
The length of the arc
\(s=r\theta\)
যেখানে, \(s=\) চাপ
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) কোণের বৃত্তীয় মাণ

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
Area of ​​the sector
\(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণের বৃত্তীয় মাণ
অথবা,
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণ

ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ
The angle between the hour hand and the minute hand
ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
যদি, \(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}>180^{o}\)
ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(360^{o}-\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
যেখানে, \(H=\) ঘন্টা
এবং \(M=\) মিনিট

অধ্যায় \(6A\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\) সে.মি. এবং এর একটি চাপ কেন্দ্রে \(40^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে, চাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8.727\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)
বঃ ২০১৬ ।

উদাহরণ \(2.\) \(13\) সে.মি. ব্যসার্ধের দুইটি বৃত্ত পরস্পর ছেদ করেছে। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(24\) সে.মি.। সাধারণ অংশের পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.5 \) সে.মি.। \(8.727\) বর্গ সে.মি.।
বঃ ২০১৬ ।

উদাহরণ \(3.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও চট্টগ্রাম পৃথিবীর কেন্দ্রে \(5^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(562\) কি.মি. (প্রায়)

উদাহরণ \(4.\) \(2\) টা \(20\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(50^{o}\)

উদাহরণ \(5.\) \(10\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(142.5^{o}\)

উদাহরণ \(6.\) \(1\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)

উদাহরণ \(7.\) বৃত্তীয় এককে বা রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
\((a)\) \(18^{o}33^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((b)\) \(20^{o}32^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((c)\) \(29^{o}36^{\prime}9.8^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \((a)\) \(\frac{33\pi}{320}\) রেডিয়ান।
\((b)\) \(\frac{4931\pi}{43200}\) রেডিয়ান।
\((c)\) \(0.1644595\pi\) রেডিয়ান।

উদাহরণ \(8.\) ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
\((a)\) \(\frac{7\pi}{15}\) রেডিয়ান।
\((b)\) \(\frac{5\pi}{16}\) রেডিয়ান।
\((c)\) \(\frac{3\pi}{8}\) রেডিয়ান।
\((d)\) \(\frac{3\pi}{14}\) রেডিয়ান।
উত্তরঃ \((a)\) \(84^{o}\)
\((b)\) \(56^{o}25^{\prime}\)
\((c)\) \(67^{o}30^{\prime}\)
\((d)\) \(38^{o}34^{\prime}17.14^{\prime\prime}\)

উদাহরণ \(9.\) একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে \(72^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\) এবং \(37^{o}6^{\prime}9^{\prime\prime}\) তৃতীয় কোণটির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{18}\) রেডিয়ান।

উদাহরণ \(10.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও ফরিদপুর পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1\frac{1}{2}^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(168.6\) কি.মি. (প্রায়)

উদাহরণ \(11.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(8\) সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(56^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7.82\) সে.মি. (প্রায়); \(31.28\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

উদাহরণ \(12.\) দুইটি কোণের সমষ্টি এবং অন্তর যথাক্রমে \(\frac{2\pi}{5}\) এবং \(18^{o}\) । কোণ দুইটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 27^{o}\)

উদাহরণ \(13.\) \(5\) টা \(10\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(95^{o}\)

উদাহরণ \(14.\) \(11\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(112.5^{o}\)

উদাহরণ \(15.\) একটি কোণের পরিমাণ ডিগ্রি ও রেডিয়ান এককে যথাক্রমে \(D^{o}\) ও \(R^{c}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{D}{180}=\frac{R}{\pi}\)

উদাহরণ \(16.\) একটি চাকা \(2.40\) কি.মি. পথ যেতে \(54\) বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?
উত্তরঃ \(7.07354\) মিটার (প্রায়)।

straight3
উদাহরণ \(17.\) চিত্রের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) বর্গ একক হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.85\) বর্গ একক।

straight3
উদাহরণ \(18.\) চিত্রে, \(2\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(Q\) ও \(S\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(P\) ও \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।

অধ্যায় \(6A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) বৃত্তীয় এককে বা রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
\((a) \) \(18^{o}33^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((b) \) \(73^{o}7^{\prime}30^{\prime\prime}\)
\((c) \) \(50^{o}37^{\prime}30^{\prime\prime}\)
\((d) \) \(45^{o}12^{\prime}23.2^{\prime\prime}\)
\((e) \) \(45^{o}12^{\prime}36^{\prime\prime}\)
\((f) \) \(55^{o}54^{\prime}53^{\prime\prime}\)
\((g) \) \(30^{o}12^{\prime}36^{\prime\prime}\)
\((h) \) \(72^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{33\pi}{320}\) রেডিয়ান
\((b) \ \frac{13\pi}{32}\) রেডিয়ান
\((c) \ \frac{9\pi}{32}\) রেডিয়ান
\((d) \ 0.25115\pi\) রেডিয়ান
\((e) \ \frac{1507\pi}{6000}\) রেডিয়ান
\((f) \ 0.310637345\pi\) রেডিয়ান
\((g) \ 0.167833333\pi\) রেডিয়ান
\((h) \ 0.404986111\pi\) রেডিয়ান

\(Q.1.(ii)\) ডিগ্রিতে বা ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
\((a) \) \(\frac{5\pi}{16}\) রেডিয়ান
\((b) \) \(\frac{47\pi}{12}\) রেডিয়ান
\((c) \) \(\frac{7\pi}{15}\) রেডিয়ান
\((d) \) \(\frac{25\pi}{3}\) রেডিয়ান
\((e) \) \(\frac{7\pi}{20}\) রেডিয়ান
\((f) \) \(0.9759\) রেডিয়ান
\((g) \) \(12.3046\) রেডিয়ান
\((h) \) \(\frac{5\pi}{4}\) রেডিয়ান
উত্তরঃ \((a) \ 56^{o}15^{\prime}\)
\((b) \ 705^{o}\)
\((c) \ 84^{o}\)
\((d) \ 1500^{o}\)
\((e) \ 705^{o}\)
\((f) \ 55^{o}54^{\prime}53.82^{\prime\prime}\)
\((g) \ 705^{o}5.93^{\prime\prime}\)
\((h) \ 255^{o}\)

\(Q.1.(iii)\) কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত \(3:4:5\) কোনগুলিকে ষাটমূলক এবং রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 75^{o}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{12}\)

\(Q.1.(iv)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। ক্ষুদ্রতম ও মধ্যম কোণ দুইটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে তাদের অনুপাত \(3:5\) । কোণগুলির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{5}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{7\pi}{15}\)

\(Q.1.(v)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণ দুইটিকে যথাক্রমে রেডিয়ানে ও ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে তাদের অনুপাত \(\pi:90^{o}\) কোণগুলির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{9}\)
কুঃ ২০১৫ ।

\(Q.1.(vi)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলি যথাক্রমে \(x, \ 25^{o}\) এবং \(\frac{11\pi}{36}\) হলে, \(x\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(100^{o}\)

\(Q.1.(vii)\) দুইটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটির কোণগুলি গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত। একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতর কোণ অপরটির ক্ষুদ্রতর কোণের তিনগুণ এবং তাদের বৃহত্তম কোণ দুইটির সমষ্টি \(240^{o}\) বৃত্তীয় এককে কোণগুলির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{21}, \ \frac{4\pi}{21}, \ \frac{16\pi}{21}, \ \frac{\pi}{7}, \ \frac{2\pi}{7}, \ \frac{4\pi}{7}\)

\(Q.1.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের দুইটি কোণ \(60^{o}\) ও \(\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান। অপর দুইটি কোণের অনুপাত \(3:4\) হলে, কোণগুলি বৃত্তীয় এককে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{\pi}{4}\)

\(Q.1.(ix)\) \(54^{o}\) কোণকে এমন তিনটি অংশে ভাগ কর যেন রেডিয়ানে প্রকাশিত প্রথম ও দ্বিতীয় কোণটির অন্তর \(\frac{\pi}{10}\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় কোণ দুইটির যোগফল \(27^{o}\) ।
উত্তরঃ \(27^{o}, \ 9^{o}, \ 18^{o}\)

\(Q.1.(x)\) একটি বৃত্তচাপ \(30\) মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(31.42\) মিটার। \(471.24\) বর্গ মিটার।
যঃ ২০১৫ ।

\(Q.1.(xi)\) একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(24^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃহত্তর জ্যা \(49\) মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10.263\) মিটার। \(125.716\) বর্গ মিটার।
যঃ ২০১৫ ।

\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(13.09\) বর্গ সে.মি. হয়, তবে বৃত্তের ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\) সে.মি.

\(Q.1.(xiii)\) এক ব্যক্তি বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় \(5\) কি.মি. বেগে পরিভ্রমণ করে \(15\) সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি ঐ বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(\frac{5\pi}{12}\) কোণ উৎপন্ন করে তবে বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.915\) মিটার।

\(Q.1.(xiv)\) একটি গাড়ি বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি চাপটি কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃত্তের ব্যাস \(60\) মিটার হয়, তবে গাড়িটির গতিবেগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(52.78\) কি.মি./ ঘন্টা (প্রায়)

\(Q.1.(xv)\) \(10\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের \(14\) সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর। জ্যাটি বৃত্তের যে ক্ষুদ্রতম অংশ কর্তন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.55\) রেডিয়ান। \(27.51\) বর্গ সে.মি.।

\(Q.1.(xvi)\) একটি গাড়ির চাকা \(200\) বার আবর্তিত হয়ে \(800\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। চাকার ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.6366\) মিটার (প্রায়)

\(Q.1.(xvii)\) একজন সাইকেল আরোহী মিনিটে \(250\) মিটার বেগে, \(A\) কলেজ থেকে \(B\) কলেজে পৌছালো। কলেজ দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1^{o}5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে তার কত ঘন্টা সময় লাগবে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\) ঘন্টা \(7\) মিনিট।
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xviii)\) \(7\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(127^{o}30^{\prime}\)

\(Q.1.(xix)\) \(11\) টা \(45\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{11\pi}{24}\)

\(Q.1.(xx)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6371\) কি.মি. । ঢাকা ও দিল্লী পৃথিবীর পৃষ্ঠে দুইটি স্থান। ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(1882\) কি.মি. হলে, স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করবে?
উত্তরঃ \(17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xxi)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(35\) মি.। বৃত্তটির কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{4}\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(27.5\) মি.।

\(Q.1.(xxii)\) \(44\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{3}\) কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(42\) সে.মি.।

\(Q.1.(xxiii)\) যদি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রে দুইটি সমান দৈর্ঘ্যের চাপ যথাক্রমে \(60^{o}\) ও \(75^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ্যের অনুপাত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:4\)

\(Q.1.(xxiv)\) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা \(12\) সে.মি. লম্বা হলে এর অগ্রভাগ \(15\) মিনিটে যে দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18.857\) সে.মি. (প্রায়)

\(Q.1.(xxv)\) পৃথিবী হতে চন্দ্রের দূরত্ব \(237600\) কি.মি. । যদি ভূপৃষ্টে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে চন্দ্র \(16^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে চন্দ্রের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(533.14\) কি.মি. ।

\(Q.1.(xxvi)\) \(540\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.1\) কি.মি. ।

\(Q.1.(xxvii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(30^{o}15^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(10\) মিটার হলে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.28\) মিটার ।

\(Q.1.(xxviii)\) একটি বালক সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে বৃত্তচাপ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(90\) মিটার হলে বালকটির ঘন্টায় গতিবেগ কত?
উত্তরঃ \(158.4\) কি.মি. / ঘন্টা ।

\(Q.1.(xxix)\) এক ব্যক্তি সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে পথ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তটির ব্যাস \(180\) মিটার হয় তবে লোকটির গিতিবেগ কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(44\) মি. / সে. ।

\(Q.1.(xxx)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে গ্রাডে প্রকাশ করলে \(\pi:40\) অনুপাত হয়। কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20^{o}, \ 60^{o}, \ 100^{o}\)

\(Q.1.(xxxi)\) দুইটি কোণের সমষ্টি \(120^{0}\) এবং তাদের অন্তর \(\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান। কোণ দুইটির বৃত্তীয় মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5\pi}{12}, \ \frac{\pi}{4}\)

\(Q.1.(xxxii)\) দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে প্রত্যেকটির কোণসমূহ সমান্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত; তাদের একটির ক্ষুদ্রতম কোণ অপরটির ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ এবং ত্রিভুজ দুইটির বৃহত্তম কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^{o}\) । কোণসমূহকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{9}, \ \frac{2\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{9}\)

\(Q.1.(xxxiii)\) বহুভুজের কোণগুলি সমান্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। ক্ষুদ্রতম কোণটি \(\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান এবং সাধারণ অন্তর \(5^{o}\) হলে, বাহুর সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9\) অথবা, \(16\)

\(Q.1.(xxxiv)\) সকাল \(10.45\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)

\(Q.1.(xxxv)\) দুইটি কোণের যোগফল ও অন্তর যথাক্রমে \(25^{c}\) এবং \(35^{o}\) হলে, কোণ দুইটির মাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(733.7^{o}; 698.7^{o}\)

\(Q.1.(xxxvi)\) দুইটি কোণের যোগফল ও অন্তর যথাক্রমে \(1\) রেডিয়ান এবং \(1^{o}\) হলে, রেডিয়ানে ক্ষুদ্রতর কোণটির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left(1-\frac{\pi}{180}\right)\)

\(Q.1.(xxxvii)\) পৌণে বারটার সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(82^{o}30^{\prime}; \ \frac{11\pi}{24}\)

\(Q.1.(xxxviii)\) একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ আর একটি কোণের \(\frac{3}{8}\) এবং অন্য দুইটি কোণ যথাক্রমে \(60^{o}\) এবং \(\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান। কোণগুলি ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 120^{o}, \ 135^{o}\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(6\) কিলোমিটার দূরত্ব একটি স্তম্ভ পৃথিবী পৃষ্টে কোনো বিন্দুতে \(10^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.46\) মিটার।

\(Q.1.(xL)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে \(74^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\) এবং \(35^{o}6^{\prime}9^{\prime\prime}\) তৃতীয় কোণটির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{18}\) রেডিয়ান।

\(Q.1.(xLi)\) সকাল \(9.30\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{12}\) রেডিয়ান।

\(Q.1.(xLii)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলো সমান্তর শ্রেণীভুক্ত এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ। কোণগুলির রেডিয়ান পরিমাপ কত?
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}\) রেডিয়ান।

\(Q.1.(xLiii)\) \(800\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7.5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.746\) কি.মি.(প্রায়) ।

\(Q.1.(xLiv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । টেকনাফ ও তেঁতুলিয়া পৃথিবীর কেন্দ্রে \(10^{o}6^{\prime}3^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1135.32\) কি.মি. (প্রায়)

\(Q.1.(xLv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । পৃথিবীর উপরে যে কোনো দুইটি স্থান কেন্দ্রে \(32^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তাদের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1\) কি.মি. (প্রায়)

\(Q.1.(xLvi)\) রেজা বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় \(6\) কিলোমিটার বেগে দৌড়ে \(36\) সেকেন্ডে যে বৃত্তচাপ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তাকার পথের ব্যাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(114.59\) মিটার (প্রায়)।

\(Q.1.(xLvii)\) একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(36^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তের ব্যাস \(1.28\) মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.402\) মিটার (প্রায়)। \(0.1287\) বর্গ মিটার (প্রায়)।

\(Q.1.(xLviii)\) \(72^{o}\) কোণকে এমন তিনটি অংশে ভাগ কর যেন প্রথম ও দ্বিতীয় কোণটির অন্তর \(18^{o}\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় কোণ দুইটির সমষ্টি \(\frac{\pi}{5}\) রেডিয়ান হয়।
উত্তরঃ \(36^{o}, \ 18^{o}, \ 18^{o}\)

\(Q.1.(xLix)\) একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ আর একটি কোণের \(\frac{3}{8}\) এবং অন্য দুইটি কোণ যথাক্রমে \(\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান এবং \(135^{o}\)। কোণগুলি ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 120^{o}, \ 135^{o}\)

\(Q.1.(L)\) একটি গরু দড়ির সাহায্যে একটি খুঁটির সঙ্গে বাঁধা আছে। গরুটি দড়িটিকে স্টান রেখে \(5\) মিটার দূরত্বে বৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করতে পারে। গরুটি যখন কেন্দ্রে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তখন চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3.927\) মিটার (প্রায়)।

\(Q.1.(Li)\) \(13\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\theta\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত চাপ দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তকলার পরিসীমা \(44\) সে.মি. হলে \(\theta\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(79.33^{o}\) ।

\(Q.1.(Lii)\) বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে \(0.75\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত চাপ দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(37\frac{1}{2}\) বর্গ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10\) সে.মি.।

\(Q.1.(Liii)\) একটি দেয়াল ঘড়ির সেকেন্ডের কাঁটার দৈর্ঘ্য \(3\) মিটার। \(15\) সেকেন্ড সময়ে কাঁটার শীর্ষবিন্দু কতটুকু বৃত্তাকার পথ অতিক্রম করবে?
উত্তরঃ \(4.7124\) মিটার।

\(Q.1.(Liv)\) \(2\) সে.মি. বাহুবিশিষ্ট \(ABCD\) রম্বসের সূক্ষ্ণকোণ \(\theta=60^{o}\) । \(A\) কে কেন্দ্র করে অঙ্কিত \(BD\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত হবে।
উত্তরঃ \(2.094\) সে.মি.।

\(Q.1.(Lv)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে \(\pi:36\) অনুপাত হয়। কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20^{o}, \ 60^{o}, \ 100^{o}\)

\(Q.1.(Lvi)\) তিনটি কোণ গুণোত্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে \(\pi:45\) অনুপাত হয়। কোণ তিনটির সমষ্টি \(126^{o}\) হলে, কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}\)

\(Q.1.(Lvii)\) বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি পরিধিকে \(a:b:c\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ত্রিভুজের কোণগুলি রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi a}{a+b+c}, \ \frac{\pi b}{a+b+c}, \ \frac{\pi c}{a+b+c}\)

\(Q.1.(Lviii)\) একটি কোণের পরিমাণ ডিগ্রি ও রেডিয়ানে যথাক্রমে \(x\) ও \(z\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{x}{90}=\frac{2z}{\pi}.\)

\(Q.1.(Lix)\) \(n\) বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম ক্ষেত্রের একটি কোণকে ডিগ্রি ও রেডিয়ানে পরিমাপ করলে দেখাও যে, কোণটির রেডিয়ানের পরিমাপ থেকে ডিগ্রির পরিমাপ \((180-\pi)\left(1-\frac{2}{n}\right)\) বেশি।

\(Q.1.(Lx)\) একটি গাড়ির চাকার ব্যাস \(70\) সে.মি. এবং চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(7\) বার আবর্তিত হয়। গাড়িটির গিতিবেগ ঘন্টায় কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(55.42\) কি.মি. (প্রায়)।

অনুশীলনী \(6A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
straight3
\(Q.2.(i)\) চিত্রে একটি বৃত্তাংশ দেখানো হয়েছে যার কেন্দ্র \(O\) ব্যাসার্ধ \(10\) সে.মি. এবং \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(14\) সে.মি.
\((a)\) রেডিয়ান এককে কোণ \(AOB\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) গাড় অংশটুকুর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1.40\) রেডিয়ান।
\((b) \ 20.73\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)

straight3
\(Q.2.(ii)\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে \(OCD\) এর \(OD=OC,\) \(OAB\) একটি বৃত্তকলা এবং \(\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21.467\) বর্গ সে.মি. । \(20.588\) সে.মি. ।

straight3
\(Q.2.(iii)\) চিত্রানুসারে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের চাপ \(AC,\) \(BC\) রেখা \(OC\) রেখার উপর লম্ব এবং \(OB\) অতিভুজ। \(\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান। ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12.327\) বর্গ সে.মি. ।

straight3
\(Q.2.(iv)\) চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যেখানে, ব্যাসার্ধ \(OC=6.5\) সে.মি. এবং \(BC=5\) সে.মি.
উত্তরঃ \(36.37\) বর্গ সে.মি. ।
রাঃ ২০১৯ ।

straight3
\(Q.2.(v)\) \(OABC\) একটি রম্বস এবং \(OAC\) বৃত্তকলা \(O\) কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ । \(ABCA\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(503.051\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
দিঃ ২০১৯ ।

straight3
\(Q.2.(vi)\) \(\angle{AOC}=90^{o},\) \(OA=2\) সে.মি. হলে, চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.3623\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
চঃ ২০১৯ ।

straight3
\(Q.2.(vii)\) চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তের পরিধি \(31.416\) সে.মি. হলে, বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(65.89\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
বঃ ২০১৯ ।

straight3
\(Q.2.(viii)\) চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\) হলে, বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(51.31\) বর্গ একক (প্রায়)।
সিঃ ২০১৯ ।

straight3
\(Q.2.(ix)\) চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.57\) বর্গ একক (প্রায়)।
বঃ ২০১৭ ।

straight3
\(Q.2.(x)\) চিত্রে \(AB=5\) সে.মি. হলে, গাড় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(67.63\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ, যঃ ২০১৮ ।

straight3
\(Q.2.(xi)\) চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.76\) বর্গ মি. (প্রায়)।
রাঃ ২০১৭ ।

straight3
\(Q.2.(xii)\) চিত্রে \(PEF\) একটি বৃত্তকলা হলে, \(EQRF\) এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(19.335\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
চঃ ২০১৭ ।

straight3
\(Q.2.(xiii)\) চিত্রে \(ABCD\) একটি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(8\) মিটার ও \(7\) মিটার এবং \(DAE\) ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(DE\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(ABCDE\) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.189\) মিটার (প্রায়); \(72.755\) বর্গ মিটার (প্রায়)।

straight3
\(Q.2.(xiv)\) চিত্রে \(ABCD\) একটি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(4\) মিটার ও \(3\) মিটার এবং \(ACE\) ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(CE\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(CDE\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.635\) মিটার (প্রায়); \(5.5875\) বর্গ মিটার (প্রায়)।

straight3
\(Q.2.(xv)\) চিত্রে \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজে \(ADC\) একটি অর্ধবৃত্ত ও \(AECB\) একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(AEC\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.2832\) মিটার (প্রায়); \(8\) বর্গ মিটার (প্রায়)।

straight3
\(Q.2.(xvi)\) চিত্রে \(1\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(P\) ও \(Q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(APBQ\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{3}\) বর্গ একক (প্রায়) ।

straight3
\(Q.2.(xvii)\) একজন বালক চিত্রের \(OAB\) পথ \(6\) সেকেন্ডে অতিক্রম করলে তার বেগ নির্ণয় কর। যদি \(R\) অংশের প্রতি বর্গ এককে টাইলস বসাতে \(5000\) টাকা খরচ হর তাহলে \(R\) অংশের জন্য মোট কত টাকা খরচ হবে?
উত্তরঃ \(\text{বালকটির বেগ }=1.26\) একক/সেঃ(প্রায়); খরচ \(545\) টাকা।

straight3
\(Q.2.(xviii)\) চিত্রে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার \(AB=12cm, \ BC=6cm\) । ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল ও \(x\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(25.37\) বর্গ সে.মি.। \(30^{o}\)

straight3
\(Q.2.(xix)\) নিচের চিত্র হতে \(AEC\) চাপের দৈর্ঘ্য ও ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.5\pi;\) \(18\) বর্গ সে.মি.।

straight3
\(Q.2.(xx)\) নিচের চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর, যেখানে \(\angle{AOD}=45^{o}\) এবং ব্যাস \(CD=10cm.\)
উত্তরঃ \(7.135\) বর্গ সে.মি.।

straight3
\(Q.2.(xxi)\) নিচের চিত্রে হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। \(A\) ও \(B\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র এবং \(AB=24cm.\)
উত্তরঃ \(73.56\) বর্গ সে.মি.।

straight3
\(Q.2.(xxii)\) নিচের চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(104.72\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।

straight3
\(Q.2.(xxiii)\) দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং \(AB\) ও \(CD\) দুইটি বৃত্তচাপ। \(OA=6cm\) এবং \(AC=3cm\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর, যেখানে \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
উত্তরঃ \(15\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।

straight3
\(Q.2.(xxiv)\) \(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। \(OA=5cm; \ C, \ OA\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তচাপ \(CD\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7.59\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।

straight3
\(Q.2.(xxv)\) চিত্রের \(OABC\) একটি অর্ধবৃত্ত। যার \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(3.14cm, \ \angle{AOB}=30^{o}\) এবং \(OB\) হলো এর ব্যাসার্ধ। \(BC\) চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.7\) সে.মি.।

straight3
\(Q.2.(xxvi)\) চিত্রের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক হলে, ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।

straight3
\(Q.2.(xxvii)\) চিত্র হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30.02\) বর্গ সে.মি.।

straight3
\(Q.2.(xxviii)\) চিত্রে একটি অর্ধবৃত্ত দেখানো হলো। \(OB\) এবং ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.14\) সে.মি.। \(37.41\) সে.মি.। \(88.32\) বর্গ সে.মি.।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard