যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\) \(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\) \(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\) \(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\) \(\cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\) \(\cot{(A-B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}+1}{\cot{B}-\cot{A}}\) \(\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}=\sin^2{A}-\sin^2{B}=\cos^2{B}-\cos^2{A}\) \(\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}=\cos^2{A}-\sin^2{B}=\cos^2{B}-\sin^2{A}\) \(\tan{(A+B)}\tan{(A-B)}=\frac{\tan^2{A}-\tan^2{B}}{1-\tan^2{A}\tan^2{B}}\) \(\cot{(A+B)}\cot{(A-B)}=\frac{\cot^2{A}\cot^2{B}-1}{\cot^2{B}-\cot^2{A}}\) \(\sin{(A+B+C)}=\cos{A}\cos{B}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C})\) \(\cos{(A+B+C)}=\cos{A}\cos{B}\cos{C}(1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A})\) \(\tan{(A+B+C)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C}}{1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A}}\) \(\cot{(A+B+C)}=\frac{\cot{A}\cot{B}\cot{C}-\cot{A}-\cot{B}-\cot{C}}{\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}-1}\)
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of compound angles
যৌগিক কোণঃ দুই বা ততোধিক কোণের বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক কোণ বলে।
যেমনঃ \(A+B, \ A-B, \ A+B-C, \ A-B+C\) ইত্যাদি।
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\)
\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\) \(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\) \(\cot{(A-B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}+1}{\cot{B}-\cot{A}}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}=\sin^2{A}-\sin^2{B}=\cos^2{B}-\cos^2{A}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}=\cos^2{A}-\sin^2{B}=\cos^2{B}-\sin^2{A}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}\tan{(A-B)}=\frac{\tan^2{A}-\tan^2{B}}{1-\tan^2{A}\tan^2{B}}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}\cot{(A-B)}=\frac{\cot^2{A}\cot^2{B}-1}{\cot^2{B}-\cot^2{A}}\)

\(A, \ B\) ও \(C\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B+C)\lt90^{o}\)
\(\sin{(A+B+C)}=\cos{A}\cos{B}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C})\)

\(A, \ B\) ও \(C\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B+C)\lt90^{o}\)
\(\cos{(A+B+C)}=\cos{A}\cos{B}\cos{C}(1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A})\)

\(A, \ B\) ও \(C\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B+C)\lt90^{o}\)
\(\tan{(A+B+C)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C}}{1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A}}\)

\(A, \ B\) ও \(C\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B+C)\lt90^{o}\)
\(\cot{(A+B+C)}=\frac{\cot{A}\cot{B}\cot{C}-\cot{A}-\cot{B}-\cot{C}}{\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}-1}\)

অধ্যায় \(7B\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) মান নির্ণয় করঃ
\(\sin{28^{o}32^{\prime}}\sin{88^{o}32^{\prime}}+\sin{61^{o}28^{\prime}}\sin{1^{o}28^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
উদাহরণ \(2.\) দেখাও যে,
\(\tan{36^{o}}+\tan{9^{o}}+\tan{36^{o}}\tan{9^{o}}=1\)
কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫; বঃ২০০৪ ।

উদাহরণ \(3.\) মান নির্ণয় করঃ
\(\sin{15^{o}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
কুঃ২০০৫ ।

উদাহরণ \(4.\) যদি \(A+B+C=\pi\) এবং \(\cos{A}=\cos{B}\cos{C}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a)\) \(\tan{A}=\tan{B}+\tan{C};\) কুঃ২০১৭, ২০১৩; রাঃ২০১৪; বঃ২০১৩; দিঃ২০১৩ ।
\((b)\) \(\tan{B}\tan{C}=2;\) যঃ২০০৯, ২০০৩; বঃ২০০৫ ।

উদাহরণ \(5.\) মান নির্ণয় করঃ
\(\sin{75^{o}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\)

উদাহরণ \(6.\) \(A=\frac{a\cos{x}-b\cos{y}}{a\sin{x}+b\sin{y}}\) এবং \(B=\tan{54^{o}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {(x-y)}=\frac{\sec{x}\sec{y}}{\tan{x}-\tan{y}}.\) বিআইটিঃ১৯৯৫-১৯৯৬ ।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(B=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}.\) চুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ।
\((c)\) \(\cot{\theta}=A\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\sin{(\theta-x)}}{\sin{(\theta+y)}}=\frac{b}{a}.\) ঢাঃ২০০৫ ।

উদাহরণ \(7.\) প্রমাণ কর যে,
\(\cos{A}\sin{(B-C)}+\cos{B}\sin{(C-A)}+\cos{C}\sin{(A-B)}=0\)

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(\cot{\theta}-\cot{2\theta}=cosec \ {2\theta}\)

অধ্যায় \(7B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) মান নির্ণয় করঃ
\((a)\) \(\cos{15^{o}}\)
\((b)\) \(\sin{105^{o}}\)
\((c)\) \(cosec \ {375^{o}}\)
\((d)\) \(\cos{75^{o}};\) রাঃ ২০১৯ ।
\((e)\) \(\tan{15^{o}}\)
\((f)\) \(\sec{165^{o}}\)
\((g)\) \(\tan{105^{o}}\)
\((h)\) \(cosec \ {165^{o}}\)
\((i)\) \(\cot{165^{o}}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}};\) \((b) \ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};\) \((c) \ \sqrt{6}+\sqrt{2};\) \((d) \ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}};\) \((e) \ 2-\sqrt{3};\) \((f) \ -\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};\) \((g) \ -(2+\sqrt{3});\) \((h) \ \sqrt{6}+\sqrt{3};\) \((i) \ -(2+\sqrt{3}).\)

মান নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ii)\) \(\cos{17^{o}40^{\prime}}\sin{77^{o}40^{\prime}}+\cos{107^{o}40^{\prime}}\sin{12^{o}20^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\sin{78^{o}19^{\prime}}\cos{18^{o}19^{\prime}}-\sin{11^{o}41^{\prime}}\sin{18^{o}19^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(iv)\) \(\cos{30^{o}32^{\prime}}\cos{29^{o}28^{\prime}}-\sin{149^{o}28^{\prime}}\sin{29^{o}28^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(v)\) \(\cos{74^{o}33^{\prime}}\cos{14^{o}33^{\prime}}+\cos{75^{o}27^{\prime}}\cos{15^{o}27^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(vi)\) \(\cos{38^{o}15^{\prime}}\sin{68^{o}15^{\prime}}-\cos{51^{o}45^{\prime}}\sin{21^{o}45^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\cos{69^{o}22^{\prime}}\cos{9^{o}22^{\prime}}+\cos{80^{o}38^{\prime}}\cos{20^{o}38^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\sin{76^{o}40^{\prime}}\cos{16^{o}40^{\prime}}-\cos{73^{o}20^{\prime}}\sin{13^{o}20^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\cos{36^{o}25^{\prime}}\sin{66^{o}25^{\prime}}-\cos{53^{o}35^{\prime}}\sin{23^{o}35^{\prime}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(x)\) \(\frac{\tan{65^{o}35^{\prime}}-\cot{69^{o}25^{\prime}}}{1+\tan{65^{o}35^{\prime}}\cot{69^{o}25^{\prime}}}\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.1.(xi)\) \(\frac{\tan{68^{o}35^{\prime}}-\cot{66^{o}25^{\prime}}}{1+\tan{68^{o}35^{\prime}}\cot{66^{o}25^{\prime}}}\)
উত্তরঃ \(1\)

মান নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xii)\) \(\frac{\tan{73^{o}23^{\prime}}-\cot{76^{o}37^{\prime}}}{1+\tan{73^{o}23^{\prime}}\cot{76^{o}37^{\prime}}}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(xiii)\) \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\cos{68^{o}20^{\prime}}\cos{8^{o}20^{\prime}}+\cos{81^{o}40^{\prime}}\cos{21^{o}40^{\prime}}=\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\cos{A}=\frac{4}{5},\sin{B}=\frac{5}{13}\) হলে, \(\sin{(A-B)}\) ও \(\cos{(A+B)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16}{65}, \frac{33}{65}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\tan{A}=\frac{2}{11},\tan{B}=\frac{7}{24}\) হলে, \(\cot{(A-B)}\) ও \(\tan{(A+B)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{278}{29}, \frac{1}{2}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\sin{A}=\frac{3}{5},\cos{B}=\frac{12}{13}\) হলে, \(\sin{(A-B)}\) ও \(\cos{(A+B)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16}{65}, \frac{33}{65}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\cot{A}=\frac{11}{2},\tan{B}=\frac{7}{24}\) হলে, \(\cot{(A-B)}\) ও \(\tan{(A+B)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{278}{29}, \frac{1}{2}\)

\(Q.1.(xix)\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\sec{A}=\frac{17}{8},\ cosec \ {B}=\frac{5}{4}\) হলে, \(\sec{(A+B)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{85}{36}\)

\(Q.1.(xx)\) \(\tan{A}\tan{B}=1\) হলে, \((A+B)\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(A+B=105^{o}\) হলে, \(\sin{C}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\sin{(A-B-C)}\) এবং \(\cos{(A-B+C)}\) কে বিস্তৃত কর।
উত্তরঃ \(\cos{A}\cos{B}\cos{C}(\tan{A}-\tan{B}-\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C})\)
\(\cos{A}\cos{B}\cos{C}(1+\tan{A}\tan{B}+\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A})\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\cot{(A+B+C)}\) কে \(\cot{A}, \ \cot{B}, \ \cot{C}\) পদে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\cot{A}\cot{B}\cot{C}-\cot{A}-\cot{B}-\cot{C}}{\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}-1}\)

অধ্যায় \(7B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\cos{(x-60^{o})}\cos{(x-30^{o})}-\sin{(x-60^{o})}\sin{(x+330^{o})}\)\(=\sin{2x}\)

\(Q.2.(ii)\) \(\sin{x}\sin{(x+30^{o})}+\cos{x}\sin{(x+120^{o})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.2.(iii)\) \(\cos{A}+\cos{(120^{o}-A)}+\cos{(120^{o}+A)}=0\)

\(Q.2.(iv)\) \(\frac{\sin{(B-C)}}{\cos{B}\cos{C}}+\frac{\sin{(C-A)}}{\cos{C}\cos{A}}+\frac{\sin{(A-B)}}{\cos{A}\cos{B}}=0\)

\(Q.2.(v)\) \(\frac{\cos{(45^{o}+A)}+\cos{(45^{o}-A)}}{\cos{(45^{o}-A)}-\cos{(45^{o}+A)}}=\cot{A}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\frac{\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}-\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}{\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}+\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}=\sin{2A}\)

\(Q.2.(vii)\) \(2\sin{\left(\frac{\pi}{4}+A\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}+B\right)}=\cos{(A+B)}+\sin{(A-B)}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\tan{\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}+\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{4\sin{2\alpha}}{1-4\sin^2{\alpha}}\)
সিঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(ix)\) \(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{\sin{2A}}{\sin^2{A}-\sin^2{B}}\)

\(Q.2.(x)\) \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮; ঢাঃ২০১৫,২০১০; বঃ২০০৬; চঃ২০০৫; বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.2.(xi)\) \(\tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}\)

\(Q.2.(xii)\) \(\tan{\frac{\pi}{20}}+\tan{\frac{\pi}{5}}+\tan{\frac{\pi}{20}}\tan{\frac{\pi}{5}}=1\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\tan{5A}\tan{3A}\tan{2A}=\tan{5A}-\tan{3A}-\tan{2A}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\sin{(n+1)\theta}\sin{(n-1)\theta}+\cos{(n+1)\theta}\cos{(n-1)\theta}=\cos{2\theta}\)

\(Q.2.(xv)\) \(\tan{20^{o}}+\tan{25^{o}}+\tan{20^{o}}\tan{25^{o}}=1\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\tan{65^{o}}=\tan{25^{o}}+2\tan{40^{o}}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\tan{3\theta}-\tan{2\theta}-\tan{\theta}=\tan{3\theta}\tan{2\theta}\tan{\theta}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(\tan{(A+60^{o})}+\tan{(A-60^{o})}=\frac{4\sin{2A}}{1-4\sin^2{A}}\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xix)\) \(\sin{(25^{o}+A)}\cos{(25^{o}-A)}+\cos{(25^{o}+A)}\cos{(115^{o}-A)}\)\(=\sin{2A}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\sin{A}\sin{(B-C)}+\sin{B}\sin{(C-A)}+\sin{C}\sin{(A-B)}=0\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\sin{(B+C)}\sin{(B-C)}+\sin{(C+A)}\sin{(C-A)}\)\(+\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}=0\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\sin{(135^{o}-A)}+\cos{(135^{o}+A)}=0\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\tan{(B-C)}+\tan{(C-A)}+\tan{(A-B)}\)\(=\tan{(B-C)}\tan{(C-A)}\tan{(A-B)}\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\tan{(A+B)}\tan{(A-B)}=\frac{\sin^2{A}-\sin^2{B}}{\cos^2{A}-\sin^2{B}}\)

\(Q.2.(xxv)\) \(\cos{(A-B)}\cos{(A-C)}+\sin{(A-B)}\sin{(A-C)}\)\(=\cos{(B-C)}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\frac{\cot{(3A-B)}\cot{B}-1}{-\cot{B}-\cot{(3A-B)}}=-\cot{3A}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\cos{A}+\cos{\left(\frac{2\pi}{3}-A\right)}+\cos{\left(\frac{2\pi}{3}+A\right)}=0\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\tan{32^{o}}+\tan{13^{o}}+\tan{32^{o}}\tan{13^{o}}=1\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\tan{50^{o}}=\tan{40^{o}}+2\tan{10^{o}}\)

\(Q.2.(xxx)\) \(\tan{(45^{o}+A)}\tan{(45^{o}-A)}=1\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(\cos^2{(A-B)}-\sin^2{(A+B)}=\cos{2A}\cos{2B}\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(\cos{\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{6}-\beta\right)}-\sin{\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}\sin{\left(\frac{\pi}{6}-\beta\right)}\)\(=\sin{(\alpha+\beta)}\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\cos{x}\sin{(y-z)}+\cos{y}\sin{(z-x)}+\cos{z}\sin{(x-y)}=0\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\frac{\tan{(3\theta-2\phi)}+\tan{2\phi}}{1-\tan{(3\theta-2\phi)}\tan{2\phi}}=\tan{3\theta}\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(1+\tan{2A}\tan{A}=\sec{2A}\)

\(Q.2.(xxxvi)\) \(\sin{2\theta}\cos{\theta}+\cos{2\theta}\sin{\theta}=\sin{4\theta}\cos{\theta}-\cos{4\theta}\sin{\theta}\)

অধ্যায় \(7B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\frac{\cos{8^{o}}+\sin{8^{o}}}{\cos{8^{o}}-\sin{8^{o}}}=\tan{53^{o}}\)

\(Q.3.(ii)\) \(\frac{\cos{25^{o}}+\sin{25^{o}}}{\cos{25^{o}}-\sin{25^{o}}}=\cot{20^{o}}\)
রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

\(Q.3.(iii)\) \(\frac{\sin{75^{o}}+\sin{15^{o}}}{\sin{75^{o}}-\sin{15^{o}}}=\sqrt{3}\)
মাঃ ২০১০ ।

প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(iv)\) \(\frac{\cos{75^{o}}+\cos{15^{o}}}{\cos{75^{o}}-\cos{15^{o}}}=-\sqrt{3}\)
চঃ ২০১০ ।

\(Q.3.(v)\) \(\frac{\cos{27^{o}}-\cos{63^{o}}}{\cos{27^{o}}+\cos{63^{o}}}=\tan{18^{o}}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{\cos{10^{o}}-\sin{10^{o}}}{\cos{10^{o}}+\sin{10^{o}}}=\tan{35^{o}}\)

অধ্যায় \(7B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(\cot{\alpha}+\cot{\beta}=a, \ \tan{\alpha}+\tan{\beta}=b\) এবং \(\alpha+\beta=\theta\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\theta}=\frac{ab}{a-b}\)
ঢাঃ২০১১; রাঃ২০১৫; দিঃ২০১৬; চঃ২০১৬,২০১২; বঃ২০০৮; কুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.4.(ii)\) যদি \(\tan{\alpha}-\tan{\beta}=a\) এবং \(\cot{\beta}-\cot{\alpha}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cot{(\alpha-\beta)}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(Q.4.(iii)\) যদি \(A+B=\frac{\pi}{4}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1+\tan{A})(1+\tan{B})=2\)
রুয়েটঃ২০১০-২০১১ ।

\(Q.4.(iv)\) যদি \(\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=1\) হয়, তবে দেখাও যে, \(1+\cot{\alpha}\tan{\beta}=0\)
সিঃ২০১৬; যঃ২০০৭ ।

\(Q.4.(v)\) যদি \(\frac{\sin{(\alpha+\gamma)}}{\sin{\alpha}}=\frac{2\sin{(\beta+\gamma)}}{\sin{\beta}}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cot{\alpha}-\cot{\gamma}=2\cot{\beta}\)
কুঃ২০১২ ।

\(Q.4.(vi)\) যদি \(\tan{\beta}=\frac{2\sin{\alpha}\sin{\gamma}}{\sin{(\alpha+\gamma)}}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cot{\alpha}+\cot{\gamma}=2\cot{\beta}\)

\(Q.4.(vii)\) যদি \(a\cos{(x+\alpha)}=b\cos{(x-\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((a+b)\tan{x}=(a-b)\cot{\alpha}\)
ঢাঃ২০০৫ ।

\(Q.4.(viii)\) যদি \(a\sin{(x+\theta)}=b\sin{(x-\theta)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((a-b)\tan{x}+(a+b)\tan{\theta}=0\)

\(Q.4.(ix)\) যদি \(a\sin{(\theta+\alpha)}=b\sin{(\theta+\beta)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cot{\theta}=\frac{a\cos{\alpha}-b\cos{\beta}}{b\sin{\beta}-a\sin{\alpha}}\)
যঃ২০০৫ ।

\(Q.4.(x)\) যদি \(\theta+\phi=\alpha\) এবং \(\tan{\theta}=k\tan{\phi}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{(\theta-\phi)}=\frac{k-1}{k+1}\sin{\alpha}\)
কুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.4.(xi)\) যদি \(\tan{\beta}=\frac{n\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{1-n\sin^2{\alpha}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha-\beta)}=(1-n)\tan{\alpha}\)

\(Q.4.(xii)\) \(\cot{\theta}=\frac{a\cos{x}-b\cos{y}}{a\sin{x}+b\sin{y}}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{\sin{(\theta-x)}}{\sin{(\theta+y)}}=\frac{b}{a}\)

\(Q.4.(xiii)\) যদি \(\sin{\alpha}=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{\tan{(\alpha-\beta)}+\tan{\beta}}{1-\tan{(\alpha-\beta)}\tan{\beta}}=\frac{m^2-n^2}{2mn}\)

\(Q.4.(xiv)\) যদি \(\tan{\alpha}=\frac{b}{a}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\alpha)}\)

\(Q.4.(xv)\) যদি \(\sqrt{2}\cos{A}=\cos{B}+\cos^3{B}\) এবং \(\sqrt{2}\sin{A}=\sin{B}-\sin^3{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {(A-B)}=\pm{3}\)

রাঃ, কুঃ, চঃ, বঃ ২০১৮ ।
\(Q.4.(xvi)\) \(\theta\) কোণকে \(\alpha\) ও \(\beta\) অংশে এমন ভাবে বিভক্ত করা হলো যেন \(\tan{\alpha}:\tan{\beta}=x:y\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{x-y}{x+y}\sin{\theta}\)

\(Q.4.(xvii)\) \(\tan{\theta}=\frac{a\sin{x}+b\sin{y}}{a\cos{x}+b\cos{y}}\) হলে দেখাও যে, \(a\sin{(\theta-x)}+b\sin{(\theta-y)}=0\)

\(Q.4.(xviii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\sec{B}=\sec{C}\sec{A}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{A}=2\cot{C}\)

\(Q.4.(xix)\) যদি \(\tan{\alpha}-\tan{\beta}=x\) এবং \(\cot{\beta}-\cot{\alpha}=y\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cot{(\alpha-\beta)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(Q.4.(xx)\) \(\tan{\theta}=\frac{a\sin{\alpha}+b\sin{\beta}}{a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}}\) হলে দেখাও যে, \(a\sin{(\theta-\alpha)}+b\sin{(\theta-\beta)}=0\)

\(Q.4.(xxi)\) \(A\) কোণকে \(\alpha\) ও \(\beta\) অংশে এমন ভাবে বিভক্ত করা হলো যেন \(\frac{\tan{\alpha}}{x}=\frac{\tan{\beta}}{y}\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{x-y}{x+y}\sin{A}\)

\(Q.4.(xxii)\) \(\sin{\theta}=k\cos{(\theta-\alpha)}\) হলে দেখাও যে, \(\cot{\theta}=\frac{1-k\sin{\alpha}}{k\cos{\alpha}}\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(\tan{\theta}+\sec{\theta}=\frac{x}{y}\) হলে দেখাও যে, \(\sin{\theta}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

\(Q.4.(xxiv)\) যদি \(\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)}+\cos{(\alpha-\beta)}=-\frac{3}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sum{\sin{\alpha}}=0\) এবং \(\sum{\cos{\alpha}}=0\)

\(Q.4.(xxv)\) \(\sin{(A+B)}=n\sin{(A-B)}\) এবং \(n\ne{0}\) হলে দেখাও যে, \(\cot{A}=\frac{n-1}{n+1}\cot{B}\)

\(Q.4.(xxvi)\) \(\cot{\alpha}+\cot{\beta}=a, \ \tan{\alpha}+\tan{\beta}=b\) এবং \(\alpha+\beta=\theta\) হলে দেখাও যে, \((a-b)\tan{\theta}=ab\)
ঢাঃ২০১১; রাঃ২০১৫; দিঃ২০১৬; চঃ২০১৬,২০১২; বঃ২০০৮; কুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.4.(xxvii)\) \(\frac{\sin{(\alpha+\theta)}}{\sin{\alpha}}=\frac{2\sin{(\beta+\theta)}}{\sin{\beta}}\) হলে দেখাও যে, \(\cot{\alpha}-\cot{\theta}=2\cot{\beta}\)
কুঃ২০১২ ।

\(Q.4.(xxviii)\) \(\tan{\beta}=\frac{2\sin{\alpha}\sin{\gamma}}{\sin{(\alpha+\gamma)}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{\tan{\alpha}}+\frac{1}{\tan{\gamma}}=\frac{2}{\tan{\beta}}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(\tan{\theta}=\frac{x\sin{\phi}}{1-x\cos{\phi}}\) এবং \(\tan{\phi}=\frac{y\sin{\theta}}{1-y\cos{\\theta}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\sin{\theta}}{\sin{\phi}}=\frac{x}{y}\)

\(Q.4.(xxx)\) \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm{\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}}\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(\cos{(\alpha-\beta)}\cos{\gamma}=\cos{(\alpha-\gamma+\beta)}\) হলে দেখাও যে, \(\cot{\alpha}, \cot{\gamma}\) এবং \(\cot{\beta}\) সমান্তর প্রগমন ভুক্ত।

\(Q.4.(xxxii)\) \(\sin{\alpha}=k\sin{(\alpha+\beta)}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}-k}\)

\(Q.4.(xxxiii)\) \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=a\) এবং \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=b\) হলে দেখাও যে, \(\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2)\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(\tan{\beta}=\frac{\sin{2\alpha}}{5+\cos{2\alpha}}\) হলে দেখাও যে, \(3\tan{(\alpha-\beta)}=2\tan{\alpha}\)

\(Q.4.(xxxv)\) \(\cos{(\alpha+\beta)}\sin{(\gamma+\theta)}=\cos{(\alpha-\beta)}\sin{(\gamma-\theta)}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\tan{\beta}\tan{\gamma}\)

\(Q.4.(xxxvi)\) \(m\sin{(\theta-\alpha)}=n\sin{(\theta+\alpha)}\) হলে দেখাও যে, \((m-n)\tan{\theta}=(m+n)\tan{\alpha}\)

\(Q.4.(xxxvii)\) \(\cos{(A+B)}\sin{(C+D)}=\cos{(A-B)}\sin{(C-D)}\) হলে দেখাও যে, \(\cot{A}\cot{B}\cot{C}=\cot{D}\)

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\) \(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\) \(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\) \(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\)\(\cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\) \(\cot{(A-B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}+1}{\cot{B}-\cot{A}}\) \(\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}=\sin^2{A}-\sin^2{B}=\cos^2{B}-\cos^2{A}\)\(\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}=\cos^2{A}-\sin^2{B}=\cos^2{B}-\sin^2{A}\) \(\tan{(A+B)}\tan{(A-B)}=\frac{\tan^2{A}-\tan^2{B}}{1-\tan^2{A}\tan^2{B}}\) \(\cot{(A+B)}\cot{(A-B)}=\frac{\cot^2{A}\cot^2{B}-1}{\cot^2{B}-\cot^2{A}}\) \(\sin{(A+B+C)}=\cos{A}\cos{B}\cos{C}(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C})\)\(\cos{(A+B+C)}=\cos{A}\cos{B}\cos{C}(1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A})\) \(\tan{(A+B+C)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C}}{1-\tan{A}\tan{B}-\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\tan{A}}\) \(\cot{(A+B+C)}=\frac{\cot{A}\cot{B}\cot{C}-\cot{A}-\cot{B}-\cot{C}}{\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}-1}\) অধ্যায় \(7B\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard