উপ-গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
উপ-গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\) \(1+\sin{A}=(\sin{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{A}{2}})^2\) \(1-\sin{A}=(\sin{\frac{A}{2}}-\cos{\frac{A}{2}})^2\) \(\sin{A}=\frac{2\tan{\frac{A}{2}}}{1+\tan^2{\frac{A}{2}}}\) \(\cos{A}=\cos^2{\frac{A}{2}}-\sin^2{\frac{A}{2}}\) \(\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}-1\) \(\cos{A}=1-2\sin^2{\frac{A}{2}}\) \(1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\) \(1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\) \(\cos{A}=\frac{1-\tan^2{\frac{A}{2}}}{1+\tan^2{\frac{A}{2}}}\) \(\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}=\tan^2{\frac{A}{2}}\) \(\tan{A}=\frac{2\tan{\frac{A}{2}}}{1-\tan^2{\frac{A}{2}}}\) \(\cot{A}=\frac{\cot^2{\frac{A}{2}}-1}{2\cot{\frac{A}{2}}}\) \(\sin{A}=3\sin{\frac{A}{3}}-4\sin^3{\frac{A}{3}}\) \(\cos{A}=4\cos^3{\frac{A}{3}}-3\cos{\frac{A}{3}}\) \(\tan{A}=\frac{3\tan{\frac{A}{3}}-\tan^3{\frac{A}{3}}}{1-3\tan^2{\frac{A}{3}}}\)\(\cot{A}=\frac{\cot^3{\frac{A}{3}}-3\cot{\frac{A}{3}}}{3\cot^2{\frac{A}{3}}-1}\)\(\cot{\frac{A}{2}}-\tan{\frac{A}{2}}=2\cot{A}\)\(15^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(18^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(36^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(54^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(72^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(75^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
উপ-গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of sub-multiple angles
একটি কোণকে কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে উক্ত কোণের উপ-গুণিতক কোণ পাওয়া যায়।
যেমনঃ \(A\) কোণের উপ-গুণিতক কোণগুলি \(\frac{A}{2}, \ \frac{A}{3}, \ \frac{A}{4} .........\frac{A}{n}\) ইত্যাদি।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
\(\sin{A}\) কে \(\sin{\frac{A}{2}}\) এবং \(\cos{\frac{A}{2}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\) \(1+\sin{A}=(\sin{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{A}{2}})^2\) \(1-\sin{2}=(\sin{\frac{A}{2}}-\cos{\frac{A}{2}})^2\)

\(\sin{A}\) কে \(\tan{\frac{A}{2}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{A}=\frac{2\tan{\frac{A}{2}}}{1+\tan^2{\frac{A}{2}}}\)

\(\cos{A}\) কে \(\sin{\frac{A}{2}}\) এবং \(\cos{\frac{A}{2}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{A}=\cos^2{\frac{A}{2}}-\sin^2{\frac{A}{2}}\) \(\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}-1\) \(\cos{A}=1-2\sin^2{\frac{A}{2}}\) \(1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\) \(1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\)

\(\cos{A}\) কে \(\tan{\frac{A}{2}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{A}=\frac{1-\tan^2{\frac{A}{2}}}{1+\tan^2{\frac{A}{2}}}\) \(\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}=\tan^2{\frac{A}{2}}\)

\(\tan{A}\) কে \(\tan{\frac{A}{2}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\tan{A}=\frac{2\tan{\frac{A}{2}}}{1-\tan^2{\frac{A}{2}}}\)

\(\cot{A}\) কে \(\cot{\frac{A}{2}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cot{A}=\frac{\cot^2{\frac{A}{2}}-1}{2\cot{\frac{A}{2}}}\)

\(\sin{A}\) কে \(\sin{\frac{A}{3}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{A}=3\sin{\frac{A}{3}}-4\sin^3{\frac{A}{3}}\)

\(\cos{A}\) কে \(\cos{\frac{A}{3}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{A}=4\cos^3{\frac{A}{3}}-3\cos{\frac{A}{3}}\)

\(\tan{A}\) কে \(\tan{\frac{A}{3}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\tan{A}=\frac{3\tan{\frac{A}{3}}-\tan^3{\frac{A}{3}}}{1-3\tan^2{\frac{A}{3}}}\)

\(\cot{A}\) কে \(\cot{\frac{A}{3}}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cot{A}=\frac{\cot^3{\frac{A}{3}}-3\cot{\frac{A}{3}}}{3\cot^2{\frac{A}{3}}-1}\)

বিশেষ সূত্র
\(\cot{\frac{A}{2}}-\tan{\frac{A}{2}}=2\cot{A}\)

\(15^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{15^{o}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\) \(\cos{15^{o}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\) \(\tan{15^{o}}=2-\sqrt{3}\)
\(cosec \ {15^{o}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\) \(\sec{15^{o}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\cot{15^{o}}=2+\sqrt{3}\)

\(18^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{18^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)\) \(\cos{18^{o}}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\) \(\tan{18^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}}\)
\(cosec \ {18^{o}}=\sqrt{5}+1\) \(\sec{18^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{50-10\sqrt{5}}\) \(\cot{18^{o}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)

\(36^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{36^{o}}=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\) \(\cos{36^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)\) \(\tan{36^{o}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\)
\(cosec \ {36^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{50+10\sqrt{5}}\) \(\sec{36^{o}}=\sqrt{5}-1\) \(\cot{36^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\)

\(54^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{54^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)\) \(\cos{54^{o}}=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\) \(\tan{54^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\)
\(cosec \ {54^{o}}=\sqrt{5}-1\) \(\sec{54^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{50+10\sqrt{5}}\) \(\cot{54^{o}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\)

\(72^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{72^{o}}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\) \(\cos{72^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)\) \(\tan{72^{o}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)
\(cosec \ {72^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{50-10\sqrt{5}}\) \(\sec{72^{o}}=\sqrt{5}+1\) \(\cot{72^{o}}=\frac{1}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}}\)

\(75^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{75^{o}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\) \(\cos{75^{o}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\) \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\)
\(cosec \ {75^{o}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sec{75^{o}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\) \(\cot{75^{o}}=2-\sqrt{3}\)

দ্রষ্টব্যঃ
\(15^{o}, \ 18^{o}, \ 30^{o}, \ 36^{o}\) ও \(45^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত জানা থাকলে নিম্নলিখিত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করা যায়।
\(3^{o}=18^{o}-15^{o}, \ 6^{o}=36^{o}-30^{o}, \ 9^{o}=45^{o}-36^{o}, \ 12^{o}=30^{o}-18^{o}, \ 21^{o}=36^{o}-15^{o}\) ইত্যাদি।
অধ্যায় \(7E\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{\left(7\frac{1}{2}\right)^{o}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

উদাহরণ \(2.\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{\left(67\frac{1}{2}\right)^{o}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

উদাহরণ \(3.\) প্রমাণ কর যে, \(2\sin{\left(\frac{\pi}{24}\right)}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

উদাহরণ \(4.\) প্রমাণ কর যে, \(2\sin{\left(\frac{\pi}{32}\right)}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\)

উদাহরণ \(5.\) প্রমাণ কর যে, \(2\sin{\frac{\pi}{16}}=2\sin{11^{o}15^{\prime}}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
ঢাঃ ২০০৮;চঃ২০১৬,২০১৪; যঃ২০১৬,২০১৪,২০১০; দিঃ২০১২,২০১০; বঃ২০১৪,২০১০; রাঃ২০১৪,২০১২,২০০৫; কুঃ২০০৩; সিঃ ২০১৪; মাঃ ২০১১; বুটেক্সঃ২০০৭-৮; বুয়েটঃ২০১৩-২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

উদাহরণ \(6.\) যদি \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{\phi}{2}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{\phi}=\frac{\cos{\theta}-e}{1-e\cos{\theta}}\)
ঢাঃ ২০১৪,২০০৬; রাঃ২০১৫,২০০৯; দিঃ২০১৬;কুঃ ২০১৫; চঃ ২০০৮; সিঃ২০১৫,২০১২,২০০৮; বঃ২০১৫; মাঃ ২০১৩; বুয়েটঃ২০০১-২০০২।

উদাহরণ \(7.\) \(\sin{\left(22\frac{1}{2}\right)^{o}}\) এবং \(\cos{\left(22\frac{1}{2}\right)^{o}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}, \ \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে,
\((a)\) \(\sin{18^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)\)
\((b)\) \(\cos{36^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)\)
\((c)\) \(\cos{18^{o}}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)
\((d)\) \(\sin{36^{o}}=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)

উদাহরণ \(9.\) যদি \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\tan^3{\frac{\phi}{2}}\) এবং \(\tan{\phi}=2tan{\alpha}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta+\phi=2\alpha\)

উদাহরণ \(10.\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sin{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
বঃ, দিঃ২০১৭;কুঃ ২০১৯ ।

উদাহরণ \(11.\) দেখাও যে,
\((a)\) \(\sin{15^{o}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\((b)\) \(\cos{15^{o}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
\((c)\) \(\tan{15^{o}}=2-\sqrt{3}\)

উদাহরণ \(12.\) প্রমাণ কর যে, \(\sec{x}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{4x}}}}\)
ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০০৯; যঃ২০০৫।

অধ্যায় \(7E\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{x}+\cos{x}}=\tan{\frac{x}{2}}\)

\(Q.1.(ii)\) \(\frac{1+\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}}=\tan^2{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\sec{x}+\tan{x}=\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\)

\(Q.1.(iv)\) \(\cot{\theta}=\frac{1}{2}\left(\cot{\frac{\theta}{2}}-\tan{\frac{\theta}{2}}\right)\)

\(Q.1.(v)\) \(\frac{\cos{\frac{\theta}{2}}-\sqrt{1+\sin{\theta}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}-\sqrt{1+\sin{\theta}}}=\tan{\frac{\theta}{2}}\)

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{2\cos{A}-\cos{2A}-1}{2\cos{A}+\cos{2A}+1}=\tan^2{\frac{A}{2}}\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{1-\tan{\frac{A}{2}}}{1+\tan{\frac{A}{2}}}=\frac{\cos{A}}{1+\sin{A}}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\frac{\sec{\alpha}-\tan{\alpha}}{\sec{\alpha}+\tan{\alpha}}=\cot^2{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\tan{\frac{\theta}{2}}+\cot{\frac{\theta}{2}}=2cosec \ {\theta}\)

\(Q.1.(x)\) \(\left(1+\tan{\frac{\alpha}{2}}-\sec{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(1+\tan{\frac{\alpha}{2}}+\sec{\frac{\alpha}{2}}\right)=\sin{\alpha}\sec^2{\frac{\alpha}{2}}\)

\(Q.1.(xi)\) \(\frac{2\sin{\theta}-\sin{2\theta}}{2\sin{\theta}+\sin{2\theta}}=\tan^2{\frac{\theta}{2}}\)

অধ্যায় \(7E\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\cos^4{\frac{\theta}{2}}+\sin^4{\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{4}(3+\cos{2\theta})\)

\(Q.2.(ii)\) \(\cos^2{\frac{\theta}{2}}+\cos^2{\left(\frac{\theta}{2}+60^{o}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\theta}{2}-60^{o}\right)}=\frac{3}{2}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\sin^2{\frac{\theta}{2}}+\sin^2{\left(\frac{\theta}{2}+60^{o}\right)}+\sin^2{\left(\frac{\theta}{2}-60^{o}\right)}=\frac{3}{2}\)

\(Q.2.(iv)\) \(\cos^4{\frac{\pi}{8}}+\cos^4{\frac{3\pi}{8}}+\cos^4{\frac{5\pi}{8}}+\cos^4{\frac{7\pi}{8}}=\frac{3}{2}\)

\(Q.2.(v)\) \(\sin^4{\frac{\pi}{8}}+\sin^4{\frac{3\pi}{8}}+\sin^4{\frac{5\pi}{8}}+\sin^4{\frac{7\pi}{8}}=\frac{3}{2}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\left(\frac{A}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}+\sin^2{\left(\frac{A}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{3}{2}\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(vii)\) \(\sin^2{\left(\frac{\alpha}{2}-36^{o}\right)}+\sin^2{\left(\frac{\alpha}{2}+36^{o}\right)}=\frac{1}{4}\left\{4-(\sqrt{5}-1)\cos{\alpha}\right\}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\cos^2{\left(\frac{\alpha}{2}-18^{o}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\alpha}{2}+18^{o}\right)}=\frac{1}{4}\left\{4+(\sqrt{5}+1)\cos{\alpha}\right\}\)

\(Q.2.(ix)\) \(\cos{2\theta}=8\cos^4{\frac{\theta}{2}}-8\cos^2{\frac{\theta}{2}}+1\)

\(Q.2.(x)\) \(\cos{2\theta}=8\sin^4{\frac{\theta}{2}}-8\sin^2{\frac{\theta}{2}}+1\)

\(Q.2.(xi)\) \(\cos^2{\frac{\theta}{2}}\left(1+\tan{\frac{\theta}{2}}\right)^2=1+\sin{\theta}\)

অধ্যায় \(7E\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(2\cos{\frac{\pi}{16}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
কুঃ ২০১৩,২০০৭।

\(Q.3.(ii)\) \(2\cos{\left(7\frac{1}{2}\right)^{o}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
কুঃ, চঃ ২০১০; রাঃ২০০৩।

\(Q.3.(iii)\) \((\cos{\alpha}+\cos{\beta})^2+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^2=4\cos^2{\frac{\alpha+\beta}{2}}\)
যঃ ২০১২।

\(Q.3.(iv)\) \(\tan{6^{o}}\tan{42^{o}}\tan{66^{o}}\tan{78^{o}}=1\)

\(Q.3.(v)\) \(\tan{\left(7\frac{1}{2}\right)^{o}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(vi)\) \(\tan{\left(82\frac{1}{2}\right)^{o}}=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\)

\(Q.3.(vii)\) \((\cos{\alpha}-\cos{\beta})^2+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^2=4\sin^2{\frac{(\alpha-\beta)}{2}}\)
যঃ ২০১২।

\(Q.3.(viii)\) \(\sin{(292.5)^{o}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\cot{(142.5)^{o}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}-2-\sqrt{6}\)

\(Q.3.(x)\) প্রমাণ কর যে, \(2\sin{\left(\frac{\pi}{64}\right)}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\)

অধ্যায় \(7E\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে দেখাও যে,
\((a) \ \cos{(\theta+\phi)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
রাঃ২০০৮,২০০৩; কুঃ২০১৪; সিঃ২০১৬,২০১১; বুয়েটঃ২০১১-২০১২।
\((b) \ \cos{\frac{1}{2}(\theta-\phi)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\)
\((c) \ \tan{\frac{1}{2}(\theta-\phi)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)
কুঃ২০১১।

\(Q.4.(ii)\) যদি \(a\sin{\alpha}+b\sin{\beta}=c\) এবং \(a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}=c\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \sin{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+b)^2-2c^2}{ab}}\)
\((b) \ \cos{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2c^2-(a-b)^2}{ab}}\)

\(Q.4.(iii)\) \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\) তবে দেখাও যে, \(\cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.4.(iv)\) যদি \(A+B\ne{0}\) এবং \(\sin{A}+\sin{B}=2\sin{(A+B)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=\frac{1}{3}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.4.(v)\) \(\triangle{ABC}\) এর \(A=75^{o}\) ও \(B-C=15^{o}\) হলে দেখাও যে, \(\cos{\frac{C}{6}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
যঃ২০১৯; কুঃ,চঃ ২০১০।

\(Q.4.(vi)\) \(\angle{E}+\angle{F}=65^{0}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{0}\) হলে দেখাও যে, \(2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.4.(vii)\) \(x=\sin{\frac{\pi}{18}}\) হলে দেখাও যে, \(8x^4+4x^3-6x^2-2x+\frac{1}{2}=0\)

\(Q.4.(viii)\) \(\cos{\theta}=\frac{a\cos{\phi}-b}{a-b\cos{\phi}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\tan{\frac{1}{2}\theta}}{\sqrt{a+b}}=\frac{\tan{\frac{1}{2}\phi}}{\sqrt{a-b}}\)

\(Q.4.(ix)\) \(\cos{36^{o}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)\)

\(Q.4.(x)\) \(\sec{(\theta+\alpha)}+\sec{(\theta-\alpha)}=2\sec{\theta}\) হলে দেখাও যে, \(\cos{\theta}=\pm{\sqrt{2}\cos{\frac{\alpha}{2}}}\)

\(Q.4.(xi)\) \(\sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(\sin{B}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\frac{A+B}{2}}\cot{\frac{A-B}{2}}=5+2\sqrt{6}\)

\(Q.4.(xii)\) \(a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=c\) সমীকরণটি \(\theta\) এর দুইটি ভিন্ন মান \(\alpha\) ও \(\beta\) দ্বারা সিদ্ধ হলে দেখাও যে, \(\sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xiii)\) দেখাও যে, \(\sin{x}=2^n\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2^3}} ...... \cos{\frac{x}{2^n}}\sin{\frac{x}{2^2}}\)

\(Q.4.(xiv)\) যদি \(\sin{\theta}=\frac{a-b}{a+b}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)}=\pm{\sqrt{\frac{b}{a}}}\)

\(Q.4.(xv)\) যদি \(\cos{\theta}=\frac{\cos{\alpha}-\cos{\beta}}{1-\cos{\alpha}\cos{\beta}}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{\theta}{2}}\) অনুপাতের একটি মান হবে \(\tan{\frac{\alpha}{2}}\cot{\frac{\beta}{2}}\)

\(Q.4.(xvi)\) \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=k=x\cos{\beta}+y\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{y}{\sin{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{k}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}}\)

উপ-গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)\(1+\sin{A}=(\sin{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{A}{2}})^2\)\(1-\sin{A}=(\sin{\frac{A}{2}}-\cos{\frac{A}{2}})^2\)\(\sin{A}=\frac{2\tan{\frac{A}{2}}}{1+\tan^2{\frac{A}{2}}}\)\(\cos{A}=\cos^2{\frac{A}{2}}-\sin^2{\frac{A}{2}}\)\(\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}-1\)\(\cos{A}=1-2\sin^2{\frac{A}{2}}\)\(1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)\(1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\)\(\cos{A}=\frac{1-\tan^2{\frac{A}{2}}}{1+\tan^2{\frac{A}{2}}}\)\(\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}=\tan^2{\frac{A}{2}}\)\(\tan{A}=\frac{2\tan{\frac{A}{2}}}{1-\tan^2{\frac{A}{2}}}\) \(\cot{A}=\frac{\cot^2{\frac{A}{2}}-1}{2\cot{\frac{A}{2}}}\) \(\sin{A}=3\sin{\frac{A}{3}}-4\sin^3{\frac{A}{3}}\)\(\cos{A}=4\cos^3{\frac{A}{3}}-3\cos{\frac{A}{3}}\) \(\tan{A}=\frac{3\tan{\frac{A}{3}}-\tan^3{\frac{A}{3}}}{1-3\tan^2{\frac{A}{3}}}\)\(\cot{A}=\frac{\cot^3{\frac{A}{3}}-3\cot{\frac{A}{3}}}{3\cot^2{\frac{A}{3}}-1}\)\(\cot{\frac{A}{2}}-\tan{\frac{A}{2}}=2\cot{A}\)\(15^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(18^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(36^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(54^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(72^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(75^{o}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অধ্যায় \(7E\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7E\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7E\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7E\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7E\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 28, 2019, 1:15 pm
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 12:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard