ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।

এখানে, \(ADB\) ত্রিভুজে \(\sin{B}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\sin{B}\)
\(\therefore AD=c\sin{B} ......(1)\) ➜Note \(\because AB=c\)

১ম চিত্রে , \(ACD\) ত্রিভুজে \(\sin{C}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{C}\)
\(\therefore AD=b\sin{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

২য় চিত্রে , \(ACD\) ত্রিভুজে \(\sin{\angle{ACD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{\angle{ACD}}\)
\(\Rightarrow AD=b\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(\angle{ACD}=\pi-C\)

\(\Rightarrow AD=b\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\therefore AD=b\sin{C} .......(2)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(b\sin{C}=c\sin{B}\)
\(\therefore \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
আবার,
৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ তাহলে \(ABC\) ত্রিভুজে \(\sin{B}=\frac{AC}{AB}\)
\(\Rightarrow AC=AB\sin{B}\)
\(\Rightarrow b=c\sin{B}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{90^{o}}}\) ➜Note \(\because \sin{90^{o}}=1\)

\(\therefore \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) ➜Note \(\because C=90^{o}\)

এখন, \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} ........(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(B\) বিন্দু হতে \(AC\) এর উপর লম্ব অঙ্কন করে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} ........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ হতে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
ধরি, \(ABC\) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং ব্যাসার্ধ \(R\) । ১ম ও ২য় চিত্রে, \(B, \ O\) যোগ করে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন তা বৃত্তের পরিধিকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(D, \ C\) যোগ করি। তৃতীয় চিত্রে, \(\triangle{ABC}\) সমকোণী হওয়ায় \(BD\) রেখা \(BC\) এর সাথে সমাপতিত হবে বা মিলে যাবে।

এখন, ১ম ও ২য় চিত্র হতে,
\(\angle{BCD}=90^{o}\) (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)
যেখানে, \(BD=2R\)
সুতরাং ১ম চিত্রে , \(\triangle{BCD}\) হতে,
\(\sin{\angle{BDC}}=\frac{BC}{BD}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{a}{2R}\) ➜Note \(\because \angle{BDC}=\angle{A}\) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণসমূহ সমান।
\(BC=a\)
এবং \(BD=2R\)

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
আবার,
২য় চিত্র হতে,
\(\angle{BDC}=180^{o}-A\) ➜Note \(\because \) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি\(180^{o}\)
অর্থাৎ \(\angle{BDC}+A=180^{o}\)
\(\therefore \angle{BDC}=180^{o}-A\)

\(\therefore \sin{\angle{BDC}}=\frac{BC}{BD}\)
\(\Rightarrow \sin{(180^{o}-A)}=\frac{a}{2R}\) ➜Note \(\because \angle{BDC}=180^{o}-A\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=2R\)

\(\Rightarrow \sin{(90^{o}\times2-A)}=\frac{a}{2R}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{a}{2R}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
আবার,
৩য় চিত্র হতে,
\(a=BD\)
\(\Rightarrow a=2R\) ➜Note \(\because BD=2R\)

\(\Rightarrow \frac{a}{1}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{90^{o}}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=2R\) ➜Note \(\because A=90^{o}\)

সুতরাং প্রত্যেক ক্ষেত্রে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=2R .......(1)\)
অনুরূপভাবে,
\(A, \ O\) যোগ করে এবং \(C, \ O\) যোগ করে তাদেরকে বৃত্তের পরিধি পর্যন্ত বর্ধিত পৃথকভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\frac{b}{\sin{B}}=2R .......(2)\)
\(\frac{c}{\sin{C}}=2R .......(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)

ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(A\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(B\) থেকে \(CA\) এর উপর \(BD\) লম্ব আঁকি যা \(CA\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ বিধায় \(CA\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(BD\) লম্ব, \(BA\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2-2CA.AD .....(1)\)
আবার, \(ABD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\therefore AD=c\cos{A}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\((1)\) হতে,
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) ➜Note \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(AD=c\cos{A}\)

\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(A\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2+2CA.AD .....(2)\)
আবার, \(ABD\) ত্রিভুজে, \(\angle{BAD}=\pi-A\)
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-A)}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-A\right)}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow -\cos{A}=\frac{AD}{AB}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow AD=-AB\cos{A}\)
\(\therefore AD=-c\cos{A}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\((2)\) হতে,
\(a^2=b^2+c^2+2b\times-c\cos{A}\) ➜Note \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(AD=-c\cos{A}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(A\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(BC^2=CA^2+AB^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\) ➜Note \(\because BC=a\)
\(CA=b\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\times0\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\times\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) ➜Note \(\because 90^{o}=A\)

\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
সুতরাং , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(B\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(B\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(C\) থেকে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি যা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ বিধায় \(AB\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(CD\) লম্ব, \(CB\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2-2AB.BD .....(1)\)
আবার, \(BCD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\therefore BD=a\cos{B}\) ➜Note \(\because BC=a\)

\((1)\) হতে,
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) ➜Note \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=a\cos{B}\)

\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(B\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2+2AB.BD .....(2)\)
আবার, \(BCD\) ত্রিভুজে, \(\angle{CBD}=\pi-B\)
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-B)}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-B\right)}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow -\cos{B}=\frac{BD}{BC}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow BD=-BC\cos{B}\)
\(\therefore BD=-a\cos{B}\) ➜Note \(\because BC=a\)

\((2)\) হতে,
\(b^2=c^2+a^2+2c\times-a\cos{B}\) ➜Note \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(BD=-a\cos{B}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{B}\)
\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(B\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(CA^2=AB^2+BC^2\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2\) ➜Note \(\because CA=b\)
\(AB=c\)
এবং \(BC=a\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\times0\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\times\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) ➜Note \(\because 90^{o}=B\)

\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
সুতরাং , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2-2BC.CD .....(1)\)
আবার, \(ACD\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\therefore CD=b\cos{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

\((1)\) হতে,
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
\(AC=b\)
এবং \(CD=b\cos{C}\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এখন ২য় চিত্রে , \(C\) স্থুলকোণ।
সুতরাং জ্যামিতি থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2+2BC.CD .....(2)\)
আবার, \(ACD\) ত্রিভুজে, \(\angle{ACD}=\pi-C\)
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-C)}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow -\cos{C}=\frac{CD}{AC}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow CD=-AC\cos{C}\)
\(\therefore CD=-b\cos{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

\((2)\) হতে,
\(c^2=a^2+b^2+2a\times-b\cos{C}\) ➜Note \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
\(CA=b\)
এবং \(CD=-b\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
আবার, ৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ।
সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে,
\(AB^2=BC^2+CA^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2\) ➜Note \(\because AB=c\)
\(BC=a\)
এবং \(CA=b\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\times0\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\times\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because 90^{o}=C\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
সুতরাং , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(C\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(C\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আঁকি যা \(BC\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার, ২য় চিত্রে \(C\) স্থুলকোণ বিধায় \(BC\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(AD\) লম্ব, \(AC\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\triangle{ABD}\)-এ
\(\cos{\angle{ABD}}=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow BD=AB\cos{\angle{ABD}}\)
\(\therefore BD=c\cos{B} ....(1)\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\triangle{ACD}\)-এ
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\therefore CD=b\cos{C} ....(2)\) ➜Note \(\because AC=b\)

এখন, \(BC=BD+CD\)
\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\) ➜Note \(\because BC=a\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(BD=c\cos{B}\)
এবং \(CD=b\cos{C}\)

২য় চিত্রে , \(C\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{ABD}\)-এ
\(\cos{\angle{ABD}}=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow BD=AB\cos{\angle{ABD}}\)
\(\therefore BD=c\cos{B} ....(3)\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\triangle{ACD}\)-এ
\(\cos{\angle{ACD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow CD=AC\cos{\angle{ACD}}\)
\(\Rightarrow CD=b\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(\angle{ACD}=\pi-C\)

\(\Rightarrow CD=b\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\therefore CD=-b\cos{C} .....(4)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

এখন, \(BC=BD-CD\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}-(-b\cos{C})\) ➜Note \(\because BC=a\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(BD=c\cos{B}\)
এবং \(CD=-b\cos{C}\)

\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
৩য় চিত্রে , \(C\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{ABC}}=\frac{BC}{AB}\)
\(\Rightarrow BC=AB\cos{\angle{ABC}}\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(AB=c\)

\(\Rightarrow a=c\cos{B}+b\times0\)
\(\Rightarrow a=c\cos{B}+b\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore a=c\cos{B}+b\cos{C}\) ➜Note \(\because C=90^{o}\)

সুতরাং , \(C\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
\(a=c\cos{B}+b\cos{C}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(A\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(B\) থেকে \(CA\) এর উপর \(BD\) লম্ব আঁকি যা \(CA\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(A\) স্থুলকোণ বিধায় \(CA\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(BD\) লম্ব, \(BA\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{BCD}}=\frac{CD}{BC}\)
\(\Rightarrow CD=BC\cos{\angle{BCD}}\)
\(\therefore CD=a\cos{C} ....(1)\) ➜Note \(\because BC=a\)

\(\triangle{BAD}\)-এ
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\therefore AD=c\cos{A} ....(2)\) ➜Note \(\because AB=c\)

এখন, \(AC=CD+AD\)
\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\) ➜Note \(\because AC=b\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(CD=a\cos{C}\)
এবং \(AD=c\cos{A}\)

২য় চিত্রে , \(A\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{BAD}\)-এ
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\cos{\angle{BAD}}\)
\(\Rightarrow AD=c\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\Rightarrow AD=c\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-A\right)}\)
\(\therefore AD=-c\cos{A} ....(3)\)➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{BCD}}=\frac{CD}{BC}\)
\(\Rightarrow CD=BC\cos{\angle{BCD}}\)
\(\Rightarrow CD=a\cos{C} ......(4)\) ➜Note \(\because BC=a\)

এখন, \(AC=CD-AD\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}-(-c\cos{A})\) ➜Note \(\because AC=b\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(CD=a\cos{C}\)
এবং \(AD=-c\cos{A}\)

\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\)
৩য় চিত্রে , \(A\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{BCA}}=\frac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow AC=BC\cos{\angle{BCA}}\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)
এবং \(BC=a\)

\(\Rightarrow b=a\cos{C}+c\times0\)
\(\Rightarrow b=a\cos{C}+c\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore b=a\cos{C}+c\cos{A}\) ➜Note \(\because A=90^{o}\)

সুতরাং , \(A\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(b=a\cos{C}+c\cos{A}\)
\(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। উহার \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a, \ b\) ও \(c\)। ১ম চিত্রে \(B\) সূক্ষ্ণকোণ ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ এবং ৩য় চিত্রে \(B\) সমকোণ করে ত্রিভুজগুলো অঙ্কন করা হয়েছে। \(C\) থেকে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি যা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার ২য় চিত্রে \(B\) স্থুলকোণ বিধায় \(AB\) এর বর্ধিতাংশকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে। তৃতীয় চিত্রে \(CD\) লম্ব, \(CB\) রেখার সাথে মিলে যায়।

১ম চিত্রে , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(ADC\) ত্রিভুজে, \(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\cos{\angle{CAD}}\)
\(\therefore AD=b\cos{A} ....(1)\) ➜Note \(\because AC=b\)

\(\triangle{BCD}\)-এ
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\therefore BD=a\cos{B} ....(2)\) ➜Note \(\because BC=a\)

এখন, \(AB=AD+BD\)
\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\) ➜Note \(\because AB=c\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(AD=b\cos{A}\)
এবং \(BD=a\cos{B}\)

২য় চিত্রে , \(B\) স্থুলকোণ।
\(\triangle{CAD}\)-এ
\(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\cos{\angle{CAD}}\)
\(\therefore AD=b\cos{A} ....(3)\) ➜Note \(\because AC=b\)

\(\triangle{CBD}\)-এ
\(\cos{\angle{CBD}}=\frac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow BD=BC\cos{\angle{CBD}}\)
\(\Rightarrow BD=a\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(\angle{CBD}=\pi-B\)

\(\Rightarrow BD=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-B\right)}\)
\(\therefore BD=-a\cos{B} .....(4)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

এখন, \(AB=AD-BD\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}-(-a\cos{B})\) ➜Note \(\because BC=a\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(AD=b\cos{A}\)
এবং \(BD=-a\cos{B}\)

\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\)
৩য় চিত্রে , \(B\) সমকোণ।
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(\cos{\angle{BAC}}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow AB=AC\cos{\angle{BAC}}\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}\) ➜Note \(\because AB=c\)
এবং \(AC=b\)

\(\Rightarrow c=b\cos{A}+a\times0\)
\(\Rightarrow c=b\cos{A}+a\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\therefore c=b\cos{A}+a\cos{B}\) ➜Note \(\because B=90^{o}\)

সুতরাং , \(B\) সূক্ষ্ণকোণ, স্থুলকোণ বা সমকোণ যাই হউক না কেন প্রত্যেক ক্ষেত্রে ,
\(c=b\cos{A}+a\cos{B}\)
\(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

আমরা জানি,
\(2\sin^2{\frac{A}{2}}=1-\cos{A}\)
\(=1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\)
\(=\frac{a^2-(b^2-2bc+c^2)}{2bc}\)
\(=\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(=\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=\frac{(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)}{2bc}\)
\(=\frac{(2s-2c)(2s-2b)}{2bc}\) ➜Note ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(=s\)
অর্থাৎ \(2s=a+b+c\)

\(=\frac{2(s-c)\times2(s-b)}{2bc}\)
\(\therefore 2\sin^2{\frac{A}{2}}=\frac{2(s-c)(s-b)}{bc}\)
\(\Rightarrow \sin^2{\frac{A}{2}}=\frac{(s-c)(s-b)}{bc}\)
\(\therefore \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-b)}{bc}}\) ➜Note \(\because \frac{A}{2}\) সূক্ষ্ণকোণ,
বিধায়, \(\sin{\frac{A}{2}}\) ধনাত্মক।

\(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\)
\(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)

আমরা জানি,
\(2\cos^2{\frac{A}{2}}=1+\cos{A}\)
\(=1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(b^2+2bc+c^2)-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=\frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)}{2bc}\)
\(=\frac{2s(2s-2a)}{2bc}\) ➜Note ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(=s\)
অর্থাৎ \(2s=a+b+c\)

\(=\frac{2s\times2(s-a)}{2bc}\)
\(\therefore 2\cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{2s(s-a)}{bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{bc}\)
\(\therefore \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) ➜Note \(\because \frac{A}{2}\) সূক্ষ্ণকোণ,
বিধায়, \(\cos{\frac{A}{2}}\) ধনাত্মক।

\(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
\(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

আমরা জানি,
\(\tan{\frac{A}{2}}=\frac{\sin{\frac{A}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}}{\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
এবং \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}{\frac{s(s-a)}{bc}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\times\frac{bc}{s(s-a)}}\)
\(=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(\therefore \tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}\)
\(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\)
আবার,
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}\) ➜Note ব্যাস্তকরণ করে,

\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s^2(s-a)^2}{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{A}}=\cot{A}\)
ডান পাশের লব ও হরকে \(\sqrt{s(s-a)}\) দ্বারা গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\)
\(\therefore \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)

ধরি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব এবং ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রফের \(=\triangle\)
এখন, \(\triangle{ACD}\)-এ
\(\sin{\angle{ACD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD=AC\sin{\angle{ACD}}\)
\(\therefore AD=b\sin{C}\) ➜Note \(\because AC=b\)

\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}BC\times{AD}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{b\sin{C}}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(AD=b\sin{C}\)

\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
আবার, \(\triangle{ABD}\)-এ
\(\sin{\angle{ABD}}=\frac{AD}{AB}\)
\(\Rightarrow AD=AB\sin{\angle{ABD}}\)
\(\therefore AD=c\sin{B}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}BC\times{AD}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{c\sin{B}}\) ➜Note \(\because BC=a\)
এবং \(AD=c\sin{B}\)

\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
অনুরূপভাবে, \(B\) বিন্দু হতে \(AC\) এর উপর লম্ব অংকন করে প্রমাণ করা যায় যে,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times \text{যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফল}\times\text{বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের সাইন অনুপাত}\)
আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}bc\times2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=bc\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=bc\times\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\times\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
এবং \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)

\(=bc\times\frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}}\times\frac{\sqrt{s(s-a)}}{\sqrt{bc}}\)
\(=bc\times\frac{1}{bc}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\therefore \triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}bc\times{\frac{a}{2R}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}\)

\(=\frac{abc}{4R}\)
\(\therefore \triangle=\frac{abc}{4R}\)
\(\triangle=\frac{abc}{4R}\) আমরা জানি,
\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}\) ➜Note \(\because s=\frac{a+b+c}{2}\)

\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{a+b+c-2a}{2}\times\frac{a+b+c-2b}{2}\times\frac{a+b+c-2c}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{b+c-a}{2}\times\frac{a+c-b}{2}\times\frac{a+b-c}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\}\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)^2-a^2\}\{a^2-(b-c)^2\}}\) ➜Note \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{b^2+2bc+c^2-a^2\}\{a^2-b^2+2bc-c^2\}}\) ➜Note \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{\{2bc-(a^2-b^2-c^2)\}\{2bc+(a^2-b^2-c^2)\}}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc)^2-(a^2-b^2-c^2)^2}\) ➜Note \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2b^2c^2-2c^2a^2)}\) ➜Note \(\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2-2b^2c^2+2c^2a^2}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4}\)
\(=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore \triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)
\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)

ধরি, \(\triangle{ABC}\) এর অন্ত কেন্দ্র \(O\) এবং অন্ত ব্যাসার্ধ \(r.\)
এখানে, \(OD\perp{BC}, \ OF\perp{AC}\) এবং \(OF\perp{AB}\)
আবার, \(OD=OE=OF=r\)
চিত্র হতে,
\(\triangle=\triangle{ABC}\)
\(=\triangle{BOC}+\triangle{COA}+\triangle{AOB}\)
\(=\frac{1}{2}BC\times{OD}+\frac{1}{2}AC\times{OE}+\frac{1}{2}AB\times{OF}\)
\(=\frac{1}{2}a\times{r}+\frac{1}{2}b\times{r}+\frac{1}{2}c\times{r}\) ➜Note \(\because BC=a, \ AC=b, \ AB=c\)
এবং \(OD=OE=OF=r\)

\(=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr\)
\(=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)
\(=\frac{1}{2}r\times{2s}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=rs\)
\(\therefore \triangle=rs\)
\(\triangle=rs\)
\(\text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}=\text{ত্রিভুজের অন্ত ব্যসার্ধ}\times\text{ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা}\)

আমরা জানি,
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}bc\sin{A}=\triangle\)
\(\Rightarrow bc\sin{A}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)
আবার,
\(\triangle=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ca\sin{B}=\triangle\)
\(\Rightarrow ca\sin{B}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
\(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)
আবার,
\(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin{C}=\triangle\)
\(\Rightarrow ab\sin{C}=2\triangle\)
\(\therefore \sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)
\(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)

আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{\sin{B}}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{\pi-A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow B+C=\pi-A\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
আবার,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{c}{\sin{C}}=\frac{a}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{C}+\sin{A}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\frac{C+A}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\frac{\pi-B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow C+A=\pi-B\)

\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c-a}{c+a}=\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\frac{1}{\tan{\frac{B}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
আবার,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\sin{A}}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\frac{A+B}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\frac{\pi-C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a-b}{a+b}=\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

\(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)

আমরা জানি,
\(\cot{A}=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}\)

\(=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times\frac{2R}{a}\)
\(=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
আবার,
\(\cot{B}=\frac{\cos{B}}{\sin{B}}\)
\(=\frac{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{b}{2R}\)

\(=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\times\frac{2R}{b}\)
\(=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
আবার,
\(\cot{C}=\frac{\cos{C}}{\sin{C}}\)
\(=\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\frac{c}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{2R}{c}\)
\(=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\therefore \cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)

দেওয়া আছে,
কোনো ত্রিভুজে \(A=60^{o}\)
\(L.S=b+c\)
\(=2R\sin{B}+2R\sin{C}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R(\sin{B}+\sin{C})\)
\(=2R\times2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=4R\sin{\frac{120^{o}}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-A\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-60^{o}\)
\(\therefore B+C=120^{o}\)

\(=4R\sin{60^{o}}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=4R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A=60^{o}\)

\(=2\times2R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=2\times{a}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore 2R\sin{A}=a\)

\(=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\)
\(\Rightarrow \cos{A}+\cos{C}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+C}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\pi-B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+C=\pi-B\)

\(\Rightarrow 2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(\Rightarrow \cos{\frac{A-C}{2}}=\cos{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{A-C}{2}=\frac{B}{2}\)
\(\Rightarrow A-C=B\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
\(\Rightarrow A+A=A+B+C\)
\(\Rightarrow 2A=\pi\)
\(\therefore A=\frac{\pi}{2}\)
অতএব \(ABC\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow \frac{b+c+a+c}{(a+c)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow \frac{a+b+2c}{(a+c)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow (a+b+2c)(a+b+c)=3(a+c)(b+c)\)
\(\Rightarrow a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+2ac+2bc+2c^2=3(ab+ac+bc+c^2)\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+3ac+b^2+3bc+2c^2=3ab+3ac+3bc+3c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=ab+c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=ab\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2ab\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cos{C}\)
এবং \(\frac{1}{2}=\cos{60^{o}}\)

\(\therefore C=60^{o}\)
(দেখানো হলো)

\(L.S=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=(2R\sin{B}+2R\sin{C})\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R(\sin{B}+\sin{C})\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=2R\times2\sin{B}+\sin{C})\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=2R\times2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2R\times2\sin{\frac{\pi-A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=2R\times2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=2R\times2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=2R\times2\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2R\times2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=2R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note
\(\because 2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}=\sin{A}\)

\(=a\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore 2R\sin{A}=a\)

\(=a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)
দেওয়া আছে,
\(a^4+b^4+c^4=2c^2(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2c^2a^2+2b^2c^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4-2c^2a^2-2b^2c^2=0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2c^2a^2-2b^2c^2=2a^2b^2\) ➜Note উভয় পার্শে \(2a^2b^2\) যোগ করে।

\(\Rightarrow (a^2)^2+(b^2)^2+(-c^2)^2+2a^2b^2+2b^2(-c^2)+2(-c^2)a^2=2a^2b^2\)
\(\Rightarrow (a^2+b^2-c^2)^2=2a^2b^2\) ➜Note \(\because a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=\pm\sqrt{2a^2b^2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=\pm\sqrt{2}ab\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pm\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2ab\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\pm\cos{45^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cos{C}\)
এবং \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos{45^{o}}\)

\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{45^{o}} \text{ অথবা } \ \cos{C}=-\cos{45^{o}}\)
\(\Rightarrow C=45^{o} \text{ অথবা } \ \cos{C}=\cos{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow C=45^{o} \text{ অথবা } \ \cos{C}=\cos{135^{o}}\)
\(\therefore C=45^{o} \text{ অথবা } \ C=135^{o}\)
দেওয়া আছে,
\(a=\sqrt{3}+1, \ b=\sqrt{3}-1\) এবং \(C=60^{o}\)
কিন্তু \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow A+B+60^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow A+B=180^{o}-60^{o}\)
\(\therefore A+B=120^{o} ....(1)\)
আবার, ট্যানজেন্ট সূত্র হতে, \(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}\cot{\frac{60^{o}}{2}}\) ➜Note \(\because a=\sqrt{3}+1, \ b=\sqrt{3}-1\)
এবং \(C=60^{o}\)

\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{2}{2\sqrt{3}}\cot{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \cot{30^{o}}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\tan{45^{o}}\) ➜Note \(\because \tan{45^{o}}=1\)

\(\Rightarrow \frac{A-B}{2}=45^{o}\)
\(\therefore A-B=90^{o} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ ও বিয়োগ করে।
\(A+B+A-B=120^{o}+90^{o}\)
\(\Rightarrow 2A=210^{o}\)
\(\Rightarrow A=\frac{210^{o}}{2}\)
\(\therefore A=105^{o}\)
আবার,
\(A+B-A+B=120^{o}-90^{o}\)
\(\Rightarrow 2B=30^{o}\)
\(\Rightarrow B=\frac{30^{o}}{2}\)
\(\therefore B=15^{o}\)
আবার, কোসাইন সূত্র হতে,
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(=(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2-2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because a=\sqrt{3}+1, \ b=\sqrt{3}-1\)
এবং \(C=60^{o}\)

\(=2(\sqrt{3})^2+2(1)^2-2(3-1)\times\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because (a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
এবং \(\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(=2\times3+2-2\)
\(=6\)
\(\therefore c^2=6\)
\(\therefore c=\sqrt{6}\)
নির্ণেয় সমাধান \(c=\sqrt{6}, \ A=105^{o}, \ B=15^{o}\)

দেওয়া আছে,
\(A+B=105^{o}\)
কিন্তু \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 105^{o}+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow C=180^{o}-105^{o}\)
\(\Rightarrow C=75^{o}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{75^{o}}\) ➜Note উভয় পার্শে সাইন অনুপাত নিয়ে,

\(=\sin{(45^{o}+30^{o})}\)
\(=\sin{45^{o}}\cos{30^{o}}+\cos{45^{o}}\sin{30^{o}}\) ➜Note \(\because \sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
এবং \(\sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\) ➜Note লব ও হরকে \(\sqrt{2}\) দ্বারা গুণ করে।

\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\times2}\)
\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\)
ইহাই নির্ণেয় মান
দেওয়া আছে,
\(L.S=a^2+b^2+c^2\)
\(=4R^2\sin^2{A}+4R^2\sin^2{B}+4R^2\sin^2{C}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R^2(2\sin^2{A}+2\sin^2{B}+2\sin^2{C})\)
\(=2R^2(1-\cos{2A}+1-\cos{2B}+2\sin^2{C})\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=2R^2\{2-(\cos{2A}+\cos{2B})+2\sin^2{C}\}\)
\(=2R^2\{2-2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}+2\sin^2{C}\}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2R^2\{2-2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+2\sin^2{C}\}\)
\(=4R^2\{1-\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\}\)
\(=4R^2\{1-\cos{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=4R^2\{1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\}\)
\(=4R^2\{1+\cos{C}\cos{(A-B)}+1-\cos^2{C}\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin^2{P}=1-\cos^2{P}\)

\(=4R^2\{2+\cos{C}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\}\)
\(=4R^2[2+\cos{C}\{\cos{(A-B)}-\cos{C}\}]\)
\(=4R^2[2+\cos{C}\{\cos{(A-B)}-\cos{(\pi-\overline{A+B})}\}]\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore C=\pi-\overline{A+B}\)

\(=4R^2[2+\cos{C}\{\cos{(A-B)}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\overline{A+B}\right)}\}]\)
\(=4R^2[2+\cos{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=4R^2[2+\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}]\) ➜Note
\(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=4R^2[2+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}]\)
\(=8R^2(1+\cos{A}\cos{B}\cos{C})\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
\(\triangle{PQR}\) এর ক্ষেত্রে \(\frac{1}{PQ+PS}=\frac{3}{PS+PQ+QS}-\frac{1}{PS+QS}\)
ধরি,
\(\angle{P}\) এর বিপরীত বাহু \(=p\)
\(\angle{Q}\) এর বিপরীত বাহু \(=q\)
\(\angle{S}\) এর বিপরীত বাহু \(=s\)
\(\therefore \frac{1}{PQ+PS}=\frac{3}{PS+PQ+QS}-\frac{1}{PS+QS}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{s+q}=\frac{3}{q+s+p}-\frac{1}{q+p}\)
\(\Rightarrow \frac{q+p+s+q}{(s+q)(q+p)}=\frac{3}{q+s+p}\)
\(\Rightarrow \frac{p+2q+s}{sq+ps+q^2+pq}=\frac{3}{q+s+p}\)
\(\Rightarrow (p+2q+s)(q+s+p)=3sq+3ps+3q^2+3pq\)
\(\Rightarrow pq+ps+p^2+2q^2+2qs+2pq+qs+s^2+ps=3sq+3ps+3q^2+3pq\)
\(\Rightarrow p^2+2q^2+3qs+3pq+s^2+2ps=3sq+3ps+3q^2+3pq\)
\(\Rightarrow p^2+s^2=ps+q^2\)
\(\Rightarrow p^2+s^2-q^2=ps\)
\(\Rightarrow \frac{p^2+s^2-q^2}{2ps}=\frac{ps}{2ps}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2ps\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{p^2+s^2-q^2}{2ps}=\frac{1}{2}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2ps\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \cos{\angle{Q}}=\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{p^2+s^2-q^2}{2ps}=\cos{\angle{Q}}\)
এবং \(\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(\therefore \angle{Q}=60^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় মান

আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)-এ
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{\sin{B}}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে,

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\frac{\pi-A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow B+C=\pi-A\)

\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b-c}{b+c}=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{P}}=\cot{P}\)

(প্রমাণিত)

\(R.S=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{C}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{A}-\sin{B})}{2R\sin{C}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{C}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{A-B}{2}}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(R.S=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{C}-2R\sin{A}}{2R\sin{B}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{C}-\sin{A})}{2R\sin{B}}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{B}}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore C+A=\pi-B\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{C-A}{2}}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}\)
\(=\frac{1}{\cos{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}\) ➜Note \(\because \sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)

\(=\frac{2}{2\cos{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}\) ➜Note লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুন করে,

\(=\frac{2}{\cos{\left(\frac{\pi}{4}+\theta-\frac{\pi}{4}+\theta\right)}+\cos{\left(\frac{\pi}{4}+\theta+\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}\) ➜Note \(\because 2\cos{A}\cos{B}=\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\)

\(=\frac{2}{\cos{2\theta}+\cos{2\times\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{2}{\cos{2\theta}+\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{2}{\cos{2\theta}+0}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{2}}=0\)

\(=2\frac{1}{\cos{2\theta}}\)
\(=2\sec{2\theta}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\cos{A}}=\sec{A}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\) এবং \(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{(\pi-C)}\) ➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=-\cot{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}=-\cot{C}\) ➜Note \(\because \cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\)

\(\Rightarrow \cot{A}\cot{B}-1=-\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\cot{A}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\) ➜Note পক্ষান্তর করে,

আবার, দেওয়া আছে,
\(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow (\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})^2=3\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow (\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})^2=3\times1\)
\(\Rightarrow \cot^2{A}+\cot^2{B}+\cot^2{C}+2\cot{A}\cot{B}+2\cot{B}\cot{C}+2\cot{C}\cot{A}=3(\cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A})\) ➜Note \(\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
এবং \(\cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\)

\(\Rightarrow \cot^2{A}+\cot^2{B}+\cot^2{C}+2\cot{A}\cot{B}+2\cot{B}\cot{C}+2\cot{C}\cot{A}-3\cot{A}\cot{B}+3\cot{B}\cot{C}+3\cot{C}\cot{A}=0\)
\(\Rightarrow \cot^2{A}+\cot^2{B}+\cot^2{C}-\cot{A}\cot{B}-\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\cot{A}=0\)
\(\Rightarrow 2\cot^2{A}+2\cot^2{B}+2\cot^2{C}-2\cot{A}\cot{B}-2\cot{B}\cot{C}-2\cot{C}\cot{A}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot^2{A}-2\cot{A}\cot{B}+\cot^2{B}+\cot^2{B}-2\cot{B}\cot{C}+\cot^2{C}+\cot^2{C}-2\cot{C}\cot{A}+\cot^2{A}=0\)
\(\Rightarrow (\cot{A}-\cot{B})^2+(\cot{B}-\cot{C})^2+(\cot{C}-\cot{A})^2=0\) ➜Note \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(\Rightarrow \cot{A}-\cot{B}=0, \ \cot{B}-\cot{C}=0, \ \cot{C}-\cot{A}=0\) ➜Note একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

\(\Rightarrow \cot{A}=\cot{B}, \ \cot{B}=\cot{C}, \ \cot{C}=\cot{A}\)
\(\Rightarrow A=B, \ B=C, \ C=A\)
\(\therefore A=B=C\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটি সমবাহু।
(প্রমাণিত)
ধরি,
\(\triangle{ABC}\) এর \(\angle{A}, \ \angle{B}, \ \angle{C}\) কোণগুলির বিপরীত বাহু যথাক্রমে, \(a, \ b, \ c\)
শর্ত মতে,
\(\cos{A}\propto\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\frac{k}{a}\)
এবং \(\cos{B}\propto\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow \cos{B}=\frac{k}{b}\)
এখন, \(\frac{\cos{A}}{\cos{B}}=\frac{\frac{k}{a}}{\frac{k}{b}}\) ➜Note \(\because \cos{B}=\frac{k}{b}, \ \cos{A}=\frac{k}{a}\)

\(\Rightarrow \frac{\cos{A}}{\cos{B}}=\frac{k}{a}\times\frac{b}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{A}}{\cos{B}}=\frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{A}}{\cos{B}}=\frac{2R\sin{B}}{2R\sin{A}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}\)

\(\Rightarrow \frac{\cos{A}}{\cos{B}}=\frac{\sin{B}}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow \sin{A}\cos{A}=\sin{B}\cos{B}\)
\(\Rightarrow \sin{A}\cos{A}-\sin{B}\cos{B}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{A}\cos{A}-2\sin{B}\cos{B}=0\times2\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \sin{2A}-\sin{2B}=0\) ➜Note \(\because 2\sin{P}\cos{P}=\sin{2P}\)

\(\Rightarrow 2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}=0\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cos{\frac{2(A+B)}{2}}\sin{\frac{2(A-B)}{2}}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(A+B)}\sin{(A-B)}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(A+B)}=0, \ \sin{(A-B)}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(A+B)}=\cos{90^{o}}, \ \sin{(A-B)}=\sin{0^{o}}\)
\(\Rightarrow A+B=90^{o}, \ A-B=0\)
\(\therefore A+B=90^{o}, \ A=B\)
এখন, \(A+B=90^{o}\)
\(\Rightarrow C=90^{o}\)
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী।
আবার, \(A=B\)
অর্থাৎ ত্রিভুজটির দুইটি কোণ সমান। তাহলে, উক্ত কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু
অতএব ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু অথবা সমকোণী।

\(L.S=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\)
\(=\frac{\cos{x}-2\cos^2{x}+1}{1-\cos{x}}\) ➜Note \(\because \cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)

\(=\frac{2\cos{x}-2\cos^2{x}+1-\cos{x}}{1-\cos{x}}\)
\(=\frac{2\cos{x}(1-\cos{x})+1(1-\cos{x})}{1-\cos{x}}\)
\(=\frac{(1-\cos{x})(2\cos{x}+1)}{1-\cos{x}}\)
\(=2\cos{x}+1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A=60^{o}\)
\(L.S=b+c\)
\(=2R\sin{B}+2R\sin{C}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R(\sin{B}+\sin{C})\)
\(=2R\times2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=4R\sin{\frac{120^{o}}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-A\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-60^{o}\)
\(\therefore B+C=120^{o}\)

\(=4R\sin{60^{o}}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=4R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A=60^{o}\)

\(=2\times2R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=2\times{a}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore 2R\sin{A}=a\)

\(=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A=60^{o}=\frac{\pi}{3}\)
\(ABC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{3}\) ➜Note \(\because r=4, \ \theta=\frac{\pi}{3}\)

\(=8\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{8\pi}{3}\)
\(=\frac{8\times3.1416}{3}\)
\(=8.38\) বর্গ একক।
\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times{AB}\times{AC}\times{\sin{60^{o}}}\)
\(=\frac{1}{2}\times{4}\times{4}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) ➜Note \(\because AB=4, \ AC=4, \ \sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=4\sqrt{3}\)
\(=6.93\) বর্গ একক।
দাগাংকিত লাল অংশের ক্ষেত্রফল \(=8.38-6.93\)
\(=1.45\) বর্গ একক।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=3.1416\times4^2\) ➜Note \(\because \pi=3.1416, \ r=4\)

\(=3.1416\times16\)
\(=50.27\) বর্গ একক।
সাদা অংশের ক্ষেত্রফল \(=50.27-8.38\times2\)
\(=50.27-16.76\)
\(=33.51\) বর্গ একক।
মোট খরচ \(=2(\text{দাগাংকিত লাল অংশের খরচ} +\text{ছায়াঘেরা } \triangle{ABC} \text{ অংশের খরচ})+\text{ সাদা অংশের খরচ} \)
\(=2(1.45\times25+6.93\times30)+33.51\times40 \)
\(=2(36.25+207.9)+1340.4 \)
\(=2\times244.15+1340.4 \)
\(=488.3+1340.4 \)
\(=1828.7\) টাকা।

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ \(c=3.8\) সে.মি. \(a=5.2\) সে.মি. এবং \(A=35^{o}\)
আমরা জানি,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow a\sin{C}=c\sin{A}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{c\sin{A}}{a}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{3.8\times\sin{35^{o}}}{5.2}\) ➜Note \(\because c=3.8, \ a=5.2, \ A=35^{o}\)

\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{3.8\times0.574}{5.2}\) ➜Note \(\because \sin{35^{o}}=0.574\)

\(\Rightarrow \sin{C}=0.419\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{24.8^{o}}\) ➜Note \(\because 0.419=\sin{24.8^{o}}\)

\(\therefore C=24.8^{o}\)
আবার,
\(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 35^{o}+B+24.8^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow B+59.8^{o}=180^{o}\)
\(\therefore B=180^{o}-59.8^{o}\)
\(\therefore B=120.2^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}=1200\) বর্গ মিটার, \(a=60\) মি. \(b=80\) মি.
আমরা জানি,
\(\frac{1}{2}ab\sin{C}=\triangle{ABC}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{2\triangle{ABC}}{ab}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{2\times1200}{60\times80}\) ➜Note \(\because \triangle{ABC}=1200\) বর্গ মিটার
\(a=60\) মি. \(b=80\) মি.

\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{2400}{4800}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{30^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{2}=\sin{30^{o}}\)

\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{(180^{o}-30^{o})}\) ➜Note \(\because\) ক্ষুদ্রাকৃতির দুই পাশের প্রাচীরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(60\) মি. এবং \(80\) মি.

\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{150^{o}}\)
\(\therefore C=150^{o}\)
আবার,
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow c^2=(60)^2+(80)^2-2\times60\times80\cos{150^{o}}\) ➜Note \(\because a=60, \ b=80, \ C=150^{o}\)

\(\Rightarrow c^2=3600+6400-9600\times{-0.87}\) ➜Note \(\because \cos{150^{o}}=-0.87\)

\(\Rightarrow c^2=3600+6400+8352\)
\(\Rightarrow c^2=18352\)
\(\Rightarrow c=\sqrt{18352}\)
\(\therefore c=135.47\)
সম্পূর্ণ প্রাচীরের দৈর্ঘ্য \(=a+b+c\)
\(=60+80+135.47\)
\(=275.47\) মি.
ইহাই নির্ণেয় দৈর্ঘ্য।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a, \ b, \ c\) যেখানে \(a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab.\)
\(a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab.\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2ab\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ➜Note \(\because \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cos{C}\)

\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{45^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos{45^{o}}\)

\(\therefore C=45^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}, \ s=\cos{2\beta}\) এবং \(p+q=c, \ r+s=d\)
\(\therefore \sin{2\alpha}+\sin{2\beta}=c\) এবং \(\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}=d\)
ধরি,
\(\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}=c .....(1)\)
এবং \(\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}=d .....(2)\)
\((2)\div{(1)}\) এর সাহায্যে,
\(\frac{\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{2\alpha+2\beta}{2}}\cos{\frac{2\alpha-2\beta}{2}}}{2\sin{\frac{2\alpha+2\beta}{2}}\cos{\frac{2\alpha-2\beta}{2}}}=\frac{d}{c}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{2(\alpha+\beta)}{2}}}{\sin{\frac{2(\alpha+\beta)}{2}}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{(\alpha+\beta)}}{\sin^2{(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2}{c^2}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow \frac{\cos^2{(\alpha+\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}}{\cos^2{(\alpha+\beta)}+\sin^2{(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{\cos{2(\alpha+\beta)}}{1}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}-\sin^2{A}=\cos{2A}\)
এবং \(\cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(\therefore \cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
( দেখানো হলো)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\) এবং \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\pi-\gamma, \ \gamma=\pi-(\alpha+\beta)\)
\(L.S=p^2+q^2+t^2\)
\(=\sin^2{2\alpha}+\sin^2{2\beta}+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\)

\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{2\alpha}+2\sin^2{2\beta})+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{4\alpha}+1-\cos{4\beta})+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{4\alpha}+\cos{4\beta})\}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(2-2\cos{\frac{4\alpha+4\beta}{2}}\cos{\frac{4\alpha-4\beta}{2}})+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2-2\cos{\frac{4(\alpha+\beta)}{2}}\cos{\frac{4(\alpha-\beta)}{2}}\right\}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{2(\alpha+\beta)}\cos{2(\alpha-\beta)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{2(\pi-\gamma)}\cos{(2\alpha-2\beta)}+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \alpha+\beta=\pi-\gamma\)

\(=1-\cos{(2\pi-2\gamma)}\cos{(2\alpha-2\beta)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4-2\gamma\right)}\cos{(2\alpha-2\beta)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{2\gamma}\cos{(2\alpha-2\beta)}+1-\cos^2{2\gamma}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{2\gamma}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{2\{\pi-(\alpha+\beta)\}}]\) ➜Note \(\because \gamma=\pi-(\alpha+\beta)\)

\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{\{2\pi-(2\alpha+2\beta)\}}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times4-(2\alpha+2\beta)\right\}}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{(2\alpha+2\beta)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2-\cos{2\gamma}\times2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{b-c}{b+c}\)
\(=\frac{2R\sin{B}-2R\sin{C}}{2R\sin{B}+2R\sin{C}}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}-\sin{C})}{2R(\sin{B}+\sin{C})}\)
\(=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=M.S\)
\(\therefore L.S=M.S\)
আবার,
\(M.S=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}\)
\(=\cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(=\cot{\frac{\pi-A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}\)
\(=\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\tan{\frac{B-C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=M.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{a-b}{a+b}\)
\(=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{A}+2R\sin{B}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}\)

\(=\frac{2R(\sin{A}-\sin{B})}{2R(\sin{A}+\sin{B})}\)
\(=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}\)
\(=\cot{\frac{A+B}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{\cos{P}}{\sin{P}}=\cot{P}\)
এবং \(\frac{\sin{P}}{\cos{P}}=\tan{P}\)

\(=\cot{\frac{\pi-C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}\)
\(=\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\tan{\frac{A-B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
আবার,
\(\frac{a-b}{a+b}=\tan{\frac{A-B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow (a+b)\tan{\frac{A-B}{2}}=(a-b)\times\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\)
\(\therefore (a+b)\tan{\frac{A-B}{2}}=(a-b)\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\tan{A}}=\cot{A}\)

(প্রমাণিত)

\(R.S=\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{B}-2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}-\sin{C})}{2R\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{B-C}{2}}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(R.S=\frac{b+c}{a}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{B}+2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}+\sin{C})}{2R\sin{A}}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{A}}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi-A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(\frac{b+c}{a}=\frac{2R\sin{B}+2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}+\sin{C})}{2R\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{\{\pi-(A+B)\}}}{\sin{A}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore C=\pi-(A+B)\)

\(=\frac{\sin{B}+\sin{\{\pi-(A+B)\}}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{(A+B)}}{\sin{A}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{\frac{B+A+B}{2}}\cos{\frac{B-A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{A+2B}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \frac{b+c}{a}=\frac{\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore a\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}} ......(1)\)
আবার,
\(\frac{b+c}{a}=\frac{2R\sin{B}+2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}+\sin{C})}{2R\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi-A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\frac{\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \frac{b+c}{a}=\frac{\cos{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore (b+c)\sin{\frac{A}{2}}=a\cos{\frac{B-C}{2}} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(a\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}=a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
(প্রমাণিত)

এখানে,
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(BC=a, \ CA=b, \ AB=c\)
এবং \(A+B+C=\pi\)
এখান,\(\frac{c+a}{b}=\frac{2R\sin{C}+2R\sin{A}}{2R\sin{B}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{C}+\sin{A})}{2R\sin{B}}\)
\(=\frac{\sin{C}+\sin{A}}{\sin{B}}\)
\(=\frac{\sin{C}+\sin{\{\pi-(B+C)\}}}{\sin{B}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A=\pi-(B+C)\)

\(=\frac{\sin{C}+\sin{\{\pi-(B+C)\}}}{\sin{B}}\)
\(=\frac{\sin{C}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B+C)\right\}}}{\sin{B}}\)
\(=\frac{\sin{C}+\sin{(B+C)}}{\sin{B}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{\frac{C+B+C}{2}}\cos{\frac{C-B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{B+2C}{2}}\cos{\frac{B}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(\therefore \frac{c+a}{b}=\frac{\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(\Rightarrow b\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(c+a)\sin{\frac{B}{2}}\)
\(\therefore AC\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(AB+BC)\sin{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because BC=a, \ CA=b, \ AB=c\)

(প্রমাণিত)

এখানে,
\(\triangle{ABC}\)-এ
\(A+B+C=\pi\)
\(L.s=\frac{a-b}{c}cosec \ {\frac{A-B}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{C}}cosec \ {\frac{A-B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{A}-\sin{B})}{2R\sin{C}}cosec \ {\frac{A-B}{2}}\)
\(=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{C}}cosec \ {\frac{A-B}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{C}}\times\frac{1}{\sin{\frac{A-B}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(cosec \ {P}=\frac{1}{\sin{P}}\)

\(=\frac{2\cos{\frac{\pi-C}{2}}}{\sin{C}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=\frac{2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}}{\sin{C}}\)
\(=\frac{2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}}{\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{C}{2}}}{2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
এবং \(\sin{P}=2\sin{\frac{P}{2}}\cos{\frac{P}{2}}\)

\(=\frac{1}{\cos{\frac{C}{2}}}\)
\(=\sec{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\cos{P}}=\sec{P}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{b+c}{a}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{B}+2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}+\sin{C})}{2R\sin{A}}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{A}}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\sin{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi-A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{c+a}{b}\sin{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{C}+2R\sin{A}}{2R\sin{B}}\sin{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{C}+\sin{A})}{2R\sin{B}}\sin{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{\sin{C}+\sin{A}}{\sin{B}}\sin{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}}\sin{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}{\cos{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi-B}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}{\cos{\frac{B}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore C+A=\pi-B\)

\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\cos{\frac{C-A}{2}}}{\cos{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\cos{\frac{C-A}{2}}}{\cos{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}{\cos{\frac{B}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\cos{\frac{C-A}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{a+b}{c}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{A}+2R\sin{B}}{2R\sin{C}}\sin{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{A}+\sin{B})}{2R\sin{C}}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{\sin{A}+\sin{B}}{\sin{C}}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}}\sin{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}{\cos{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}{\cos{\frac{C}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}}{\cos{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}}{\cos{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}{\cos{\frac{B}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\cos{\frac{A-B}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(\frac{b+c}{a}=\frac{2R\sin{B}+2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}+\sin{C})}{2R\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{\{\pi-(C+A)\}}+\sin{C}}{\sin{A}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B=\pi-(C+A)\)

\(=\frac{\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(C+A)\right\}}+\sin{C}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{(C+A)}+\sin{C}}{\sin{A}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{\frac{C+A+C}{2}}\cos{\frac{C+A-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\sin{\frac{A+2C}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\left(\frac{A}{2}+C\right)}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \frac{b+c}{a}=\frac{\sin{\left(\frac{A}{2}+C\right)}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore a\sin{\left(\frac{A}{2}+C\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{B}-2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}-\sin{C})}{2R\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{B-C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(R.S=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{C}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{A}-\sin{B})}{2R\sin{C}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{C}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{A-B}{2}}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(R.S=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{2R\sin{C}-2R\sin{A}}{2R\sin{B}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{C}-\sin{A})}{2R\sin{B}}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{B}}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore C+A=\pi-B\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{B}{2}\right)}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{\sin{\frac{B}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{C-A}{2}}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{a-b}{a+b}\)
\(=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{A}+2R\sin{B}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}\)

\(=\frac{2R(\sin{A}-\sin{B})}{2R(\sin{A}+\sin{B})}\)
\(=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{\sin{(B-C)}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{\sin{B}\cos{C}-\cos{B}\sin{C}}{\sin{A}}\) ➜Note \(\because \sin{(P-Q)}=\sin{P}\cos{Q}-\cos{P}\sin{Q}\)

\(=\frac{\frac{b}{2R}\cos{C}-\cos{B}\frac{c}{2R}}{\frac{a}{2R}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{\frac{1}{2R}(b\cos{C}-c\cos{B})}{\frac{1}{2R}a}\)
\(=\frac{b\cos{C}-c\cos{B}}{a}\)
\(=\frac{b\cos{C}-c\cos{B}}{b\cos{C}+c\cos{B}}\) ➜Note \(\because a=b\cos{C}+c\cos{B}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=(b+c)\cos{A}+(c+a)\cos{B}+(a+b)\cos{C}\)
\(=b\cos{A}+c\cos{A}+c\cos{B}+a\cos{B}+a\cos{C}+b\cos{C}\)
\(=(b\cos{C}+c\cos{B})+(c\cos{A}+a\cos{C})+(a\cos{B}+b\cos{A})\)
\(=a+b+c\) ➜Note \(\because a=b\cos{C}+c\cos{B}\)
\(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
এবং \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a(\cos{B}+\cos{C})\)
\(=a\cos{B}+a\cos{C}\)
\(=c-b\cos{A}+b-c\cos{A}\) ➜Note \(\because c=a\cos{B}+b\cos{A} \Rightarrow c-b\cos{A}=a\cos{B}\)
এবং \(b=a\cos{C}+c\cos{A} \Rightarrow b-c\cos{A}=a\cos{C}\)

\(=(b+c)-(b+c)\cos{A}\)
\(=(b+c)(1-\cos{A})\)
\(=(b+c)\times2\sin^2{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because 1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\)

\(=2(b+c)\sin^2{\frac{A}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a(\cos{C}-\cos{B})\)
\(=a\cos{C}-a\cos{B}\)
\(=b-c\cos{A}-c+b\cos{A}\) ➜Note \(\because b=a\cos{C}+c\cos{A} \Rightarrow b-c\cos{A}=a\cos{C}\)
এবং \(c=a\cos{B}+b\cos{A} \Rightarrow c-b\cos{A}=a\cos{B}\)

\(=(b-c)+(b-c)\cos{A}\)
\(=(b-c)(1+\cos{A})\)
\(=(b-c)\times2\cos^2{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because 1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)

\(=2(b-c)\cos^2{\frac{A}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a^2(\cos^2{B}-\cos^2{C})+b^2(\cos^2{C}-\cos^2{A})+c^2(\cos^2{A}-\cos^2{B})\)
\(=a^2(1-\sin^2{B}-1+\sin^2{C})+b^2(1-\sin^2{C}-1+\sin^2{A})+c^2(1-\sin^2{A}-1+\sin^2{B})\) ➜Note \(\because \cos^2{P}=1-\sin^2{P}\)

\(=a^2\left(\frac{c^2}{4R^2}-\frac{b^2}{4R^2}\right)+b^2\left(\frac{a^2}{4R^2}-\frac{c^2}{4R^2}\right)+c^2\left(\frac{b^2}{4R^2}-\frac{a^2}{4R^2}\right)\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}, \ \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)

\(=a^2\frac{c^2-b^2}{4R^2}+b^2\frac{a^2-c^2}{4R^2}+c^2\frac{b^2-a^2}{4R^2}\)
\(=\frac{1}{4R^2}\{a^2(c^2-b^2)+b^2(a^2-c^2)+c^2(b^2-a^2)\}\)
\(=\frac{1}{4R^2}\{a^2c^2-a^2b^2+a^2b^2-b^2c^2+b^2c^2-a^2c^2\}\)
\(=\frac{1}{4R^2}\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})+b^2(\sin^2{C}-\sin^2{A})+c^2(\sin^2{A}-\sin^2{B})\)
\(=a^2\left(\frac{b^2}{4R^2}-\frac{c^2}{4R^2}\right)+b^2\left(\frac{c^2}{4R^2}-\frac{a^2}{4R^2}\right)+c^2\left(\frac{a^2}{4R^2}-\frac{b^2}{4R^2}\right)\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}, \ \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)

\(=a^2\frac{b^2-c^2}{4R^2}+b^2\frac{c^2-a^2}{4R^2}+c^2\frac{a^2-b^2}{4R^2}\)
\(=\frac{1}{4R^2}\{a^2(b^2-c^2)+b^2(c^2-a^2)+c^2(a^2-b^2)\}\)
\(=\frac{1}{4R^2}\{a^2b^2-a^2c^2+b^2c^2-a^2b^2+a^2c^2-b^2c^2\}\)
\(=\frac{1}{4R^2}\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}\)
\(=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}, \ \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)

\(=\frac{1}{2R}(a+b+c)\)
\(=\frac{1}{2R}\times2s\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=\frac{1}{R}\times{s}\)
\(=\frac{s}{R}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a\sin{(B-C)}+b\sin{(C-A)}+c\sin{(A-B)}\)
\(=2R\sin{A}\sin{(B-C)}+2R\sin{B}\sin{(C-A)}+2R\sin{C}\sin{(A-B)}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R\sin{\{\pi-(B+C)\}}\sin{(B-C)}+2R\sin{\{\pi-(C+A)\}}\sin{(C-A)}+2R\sin{\{\pi-(A+B)\}}\sin{(A-B)}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A=\pi-(B+C), \ B=\pi-(C+A), \ C=\pi-(A+B)\)

\(=2R\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B+C)\right\}}\sin{(B-C)}+2R\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(C+A)\right\}}\sin{(C-A)}+2R\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\sin{(A-B)}\)
\(=2R\sin{(B+C)}\sin{(B-C)}+2R\sin{(C+A)}\sin{(C-A)}+2R\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}\) ➜Note
\(\because\)প্রতিটি পদে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2R(\sin^2{B}-\sin^2{C})+2R(\sin^2{C}-\sin^2{A})+2R(\sin^2{A}-\sin^2{B})\) ➜Note \(\because \sin{(P+Q)}\sin{(P-Q)}=\sin^2{P}-\sin^2{Q}\)

\(=2R(\sin^2{B}-\sin^2{C}+\sin^2{C}-\sin^2{A}+\sin^2{A}-\sin^2{B})\)
\(=2R(0)\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\cos{C}-\cos{B}\)
\(=\frac{1}{a}\{a\cos{C}-a\cos{B}\}\)
\(=\frac{1}{a}\{b-c\cos{A}-c+b\cos{A}\}\) ➜Note \(\because b=a\cos{C}+c\cos{A} \Rightarrow b-c\cos{A}=a\cos{C}\)
এবং \(c=a\cos{B}+b\cos{A} \Rightarrow c-b\cos{A}=a\cos{B}\)

\(=\frac{1}{a}\{(b-c)+(b-c)\cos{A}\}\)
\(=\frac{1}{a}\{(b-c)(1+\cos{A})\}\)
\(=\frac{1}{a}\{(b-c)\times2\cos^2{\frac{A}{2}}\}\) ➜Note \(\because 1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{1}{a}\{2(b-c)\cos^2{\frac{A}{2}}\}\)
\(=\frac{1}{a}\{2(b-c)\cos^2{\frac{A}{2}}\}\)
\(=\frac{2(b-c)}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=(b-c)\sin{A}+(c-a)\sin{B}+(a-b)\sin{C}\)
\(=(2R\sin{B}-2R\sin{C})\sin{A}+(2R\sin{C}-2R\sin{A})\sin{B}+(2R\sin{A}-2R\sin{B})\sin{C}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R(\sin{B}-\sin{C})\sin{A}+2R(\sin{C}-\sin{A})\sin{B}+2R(\sin{A}-\sin{B})\sin{C}\)
\(=2R\{(\sin{B}-\sin{C})\sin{A}+(\sin{C}-\sin{A})\sin{B}+(\sin{A}-\sin{B})\sin{C}\}\)
\(=2R\{\sin{A}\sin{B}-\sin{C}\sin{A}+\sin{B}\sin{C}-\sin{A}\sin{B}+\sin{C}\sin{A}-\sin{B}\sin{C}\}\)
\(=2R\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a(\sin{B}-\sin{C})+b(\sin{C}-\sin{A})+c(\sin{A}-\sin{B})\)
\(=2R\sin{A}(\sin{B}-\sin{C})+2R\sin{B}(\sin{C}-\sin{A})+2R\sin{C}(\sin{A}-\sin{B})\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R\{\sin{A}(\sin{B}-\sin{C})+\sin{B}(\sin{C}-\sin{A})+\sin{C}(\sin{A}-\sin{B})\}\)
\(=2R\{\sin{A}\sin{B}-\sin{C}\sin{A}+\sin{B}\sin{C}-\sin{A}\sin{B}+\sin{C}\sin{A}-\sin{B}\sin{C}\}\)
\(=2R\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=(a+b+c)\left(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}\right)\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}+\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\right)\) ➜Note \(\because \tan{\frac{A}{2}}=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
এবং \(\tan{\frac{B}{2}}=\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\)

\(=(s-c)(a+b+c)\left(\frac{(s-b)}{\triangle}+\frac{(s-a)}{\triangle}\right)\)
\(=(s-c)(a+b+c)\times\frac{s-b+s-a}{\triangle}\)
\(=(s-c)(a+b+c)\times\frac{2s-b-a}{\triangle}\)
\(=(s-c)2s\times\frac{a+b+c-b-a}{\triangle}\) ➜Note \(\because 2s=a+b+c\)

\(=(s-c)2s\times\frac{c}{\triangle}\)
\(=2c\times\frac{s(s-c)}{\triangle}\)
\(=2c\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{s(s-c)}{\triangle}=\cot{\frac{C}{2}}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=(b+c-a)\tan{\frac{A}{2}}\)
\(=(a+b+c-2a)\times\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\) ➜Note \(\because \tan{\frac{A}{2}}=\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)

\(=(2s-2a)\times\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=2(s-a)\times\frac{(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(=\frac{2(s-a)(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(M.S=(c+a-b)\tan{\frac{B}{2}}\)
\(=(a+b+c-2b)\times\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\) ➜Note \(\because \tan{\frac{B}{2}}=\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\)

\(=(2s-2b)\times\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=2(s-b)\times\frac{(s-c)(s-a)}{\triangle}\)
\(=\frac{2(s-a)(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(R.S=(a+b-c)\tan{\frac{C}{2}}\)
\(=(a+b+c-2c)\times\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\) ➜Note \(\because \tan{\frac{C}{2}}=\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\)

\(=(2s-2c)\times\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=2(s-c)\times\frac{(s-a)(s-b)}{\triangle}\)
\(=\frac{2(s-a)(s-b)(s-c)}{\triangle}\)
\(\therefore L.S=M.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\cos{(B-C)}+\cos{A}\)
\(=\cos{A}+\cos{(B-C)}\)
\(=2\cos{\frac{A+B-C}{2}}\cos{\frac{A-B+C}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{A+B+C-2C}{2}}\cos{\frac{A+B+C-2B}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{\pi-2C}{2}}\cos{\frac{\pi-2B}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-C\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\)
\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-C\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-B\right)}\)
\(=2\sin{C}\sin{B}\) ➜Note
\(\because\) প্রতিটি পদে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=2\times\frac{c}{2R}\times\frac{b}{2R}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{bc}{2R^2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=2\left(a\sin^2{\frac{C}{2}}+c\sin^2{\frac{A}{2}}\right)\)
\(=2\left\{a\times\frac{(s-a)(s-b)}{ab}+c\times\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\right\}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)
এবং \(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)

\(=2\left\{\frac{(s-a)(s-b)}{b}+\frac{(s-b)(s-c)}{b}\right\}\)
\(=2\frac{(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)}{b}\)
\(=2\frac{(s-b)(s-a+s-c)}{b}\)
\(=2\frac{(s-b)(2s-a-c)}{b}\)
\(=2\frac{(s-b)(a+b+c-a-c)}{b}\) ➜Note \(\because 2s=a+b+c\)

\(=2\frac{(s-b)b}{b}\)
\(=2(s-b)\)
\(=2s-2b\)
\(=a+b+c-2b\) ➜Note \(\because 2s=a+b+c\)

\(=c+a-b\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

এখানে, \(\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}=\frac{2R\sin{B}-2R\sin{C}}{2R\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R(\sin{B}-\sin{C})}{2R\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{A}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}}\cos{\frac{A}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=\frac{\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\pi-A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore B+C=\pi-A\)

\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A}{2}\right)}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{\sin{\frac{A}{2}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin{\frac{B-C}{2}}\)
\(\therefore \sin{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}\)
অনুরূপভাবে,
\(\sin{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(L.S=a\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}+b\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}+c\sin{\frac{C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\)
\(=a\sin{\frac{A}{2}}\times\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}+b\sin{\frac{B}{2}}\times\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}+c\sin{\frac{C}{2}}\times\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(\sin{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)
এবং \(\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)

\(=(b-c)\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}+(c-a)\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}+(a-b)\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{(b-c)2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}+(c-a)2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}+(a-b)2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{(b-c)\sin{A}+(c-a)\sin{B}+(a-b)\sin{C}\right\}\) ➜Note \(\because 2\sin{\frac{P}{2}}\cos{\frac{P}{2}}=\sin{P}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{(b-c)\frac{a}{2R}+(c-a)\frac{b}{2R}+(a-b)\frac{c}{2R}\right\}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}, \ \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)

\(=\frac{1}{4R}\left\{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)\right\}\)
\(=\frac{1}{4R}\left\{ab-ca+bc-ab+ca-bc\right\}\)
\(=\frac{1}{4R}\left\{0\right\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{b^2-c^2}{a^2}\sin{2A}+\frac{c^2-a^2}{b^2}\sin{2B}+\frac{a^2-b^2}{c^2}\sin{2C}\)
\(=\frac{b^2-c^2}{a^2}2\sin{A}\cos{A}+\frac{c^2-a^2}{b^2}2\sin{B}\cos{B}+\frac{a^2-b^2}{c^2}2\sin{C}\cos{C}\) ➜Note \(\because \sin{2P}=2\sin{P}\cos{P}\)

\(=\frac{b^2-c^2}{a^2}2\times\frac{a}{2R}\times\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2-a^2}{b^2}2\times\frac{b}{2R}\times\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2-b^2}{c^2}2\times\frac{c}{2R}\times\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}, \ \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)
এবং \(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(=\frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{2abcR}+\frac{(c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)}{2abcR}+\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{2abcR}\)
\(=\frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)+(c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{2abcR}\)
\(=\frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2)-a^2(b^2-c^2)+(c^2-a^2)(c^2+a^2)-b^2(c^2-a^2)+(a^2-b^2)(a^2+b^2)-c^2(a^2-b^2)}{2abcR}\)
\(=\frac{b^4-c^4-a^2b^2+c^2a^2+c^4-a^4-b^2c^2+a^2b^2+a^4-b^4-c^2a^2-b^2c^2}{2abcR}\)
\(=\frac{0}{2abcR}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

এখানে, \(a^3\cos{(B-C)}=a^3(\cos{B}\cos{C}+\sin{B}\sin{C})\) ➜Note \(\because \cos{(P-Q)}=\cos{P}\cos{Q}+\sin{P}\sin{Q}\)

\(=a(a^2\cos{B}\cos{C}+a^2\sin{B}\sin{C})\)
\(=a\left\{a\cos{B}a\cos{C}+(2R\sin{A})^2\times\frac{b}{2R}\times\frac{c}{2R}\right\}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)
এবং \(a=2R\sin{A}\)

\(=a\left\{(c-b\cos{A})(b-c\cos{A})+4R^2\sin^2{A}\times\frac{bc}{4R^2}\right\}\) ➜Note \(\because a\cos{B}=c-b\cos{A}, \ a\cos{C}=b-c\cos{A}\)

\(=a\left\{bc-b^2\cos{A}-c^2\cos{A}+bc\cos^2{A}+bc\sin^2{A}\right\}\)
\(=a\left\{bc-b^2\cos{A}-c^2\cos{A}+bc(\sin^2{A}+\cos^2{A})\right\}\)
\(=a\left\{bc-(b^2+c^2)\cos{A}+bc.1\right\}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=abc-a(b^2+c^2)\cos{A}+abc\)
\(=2abc-a(b^2+c^2)\cos{A}\)
\(\therefore a^3\cos{(B-C)}=2abc-a(b^2+c^2)\cos{A}\)
অনুরূপভাবে,
\(b^3\cos{(C-A)}=2abc-b(c^2+a^2)\cos{B}\)
\(c^3\cos{(B-C)}=2abc-c(a^2+b^2)\cos{C}\)
\(L.S=a^3\cos{(B-C)}+b^3\cos{(C-A)}+c^3\cos{(A-B)}\)
\(=2abc-a(b^2+c^2)\cos{A}+2abc-b(c^2+a^2)\cos{B}+2abc-c(a^2+b^2)\cos{C}\) ➜Note \(\because a^3\cos{(B-C)}=2abc-a(b^2+c^2)\cos{A}\)
\(b^3\cos{(C-A)}=2abc-b(c^2+a^2)\cos{B}\)
এবং \(c^3\cos{(B-C)}=2abc-c(a^2+b^2)\cos{C}\)

\(=6abc-ab^2\cos{A}-ac^2\cos{A}-bc^2\cos{B}-a^2b\cos{B}-a^2c\cos{C}-b^2c\cos{C}\)
\(=6abc-ab(b\cos{A}+a\cos{B})-bc(c\cos{B}+b\cos{C})-ca(c\cos{A}+a\cos{C})\)
\(=6abc-abc-bca-cab\) ➜Note \(\because b\cos{A}+a\cos{B}=c\)
\(c\cos{B}+b\cos{C}=a\)
এবং \(c\cos{A}+a\cos{C}=b\)

\(=6abc-abc-abc-abc\)
\(=6abc-3abc\)
\(=3abc\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=b^2\sin{2C}+c^2\sin{2B}\)
\(=b^22\sin{C}\cos{C}+c^22\sin{B}\cos{B}\) ➜Note \(\because \sin{2P}=2\sin{P}\cos{P}\)

\(=2b^2\times\frac{c}{2R}\cos{C}+2c^2\times\frac{b}{2R}\cos{B}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)

\(=\frac{b^2c}{R}\cos{C}+\frac{bc^2}{R}\cos{B}\)
\(=\frac{bc}{R}(b\cos{C}+c\cos{B})\)
\(=\frac{bc}{R}\times{a}\) ➜Note \(\because b\cos{C}+c\cos{B}=a\)

\(=\frac{abc}{R}\)
\(=4\frac{abc}{4R}\)
\(=4\triangle\) ➜Note \(\because \frac{abc}{4R}=\triangle\)

\(=M.S\)
\(\therefore L.S=M.S\)
আবার,
\(M.S=4\triangle\)
\(=4\times\frac{1}{2}bc\sin{A}\) ➜Note \(\because \triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)

\(=2bc\sin{A}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=M.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(R.S=(a-b)^2\cos^2{\frac{C}{2}}+(a+b)^2\sin^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{(a-b)^22\cos^2{\frac{C}{2}}+(a+b)^22\sin^2{\frac{C}{2}}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{(a-b)^2(1+\cos{C})+(a+b)^2(1-\cos{C})\right\}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{\frac{P}{2}}=1+\cos{P}\)
এবং \(2\sin^2{\frac{P}{2}}=1-\cos{P}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{(a-b)^2+(a-b)^2\cos{C}+(a+b)^2-(a+b)^2\cos{C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(a+b)^2+(a-b)^2-\{(a+b)^2-(a-b)^2\}\cos{C}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[2a^2+2b^2-4ab\cos{C}\right]\) ➜Note \(\because (a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\)
এবং \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)

\(=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(=c^2\) ➜Note \(\because a^2+b^2-2ab\cos{C}=c^2\)

\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{1}{a}\sin{A}+\frac{1}{b}\sin{B}+\frac{1}{c}\sin{C}\)
\(=\frac{1}{a}\times\frac{a}{2R}+\frac{1}{b}\times\frac{b}{2R}+\frac{1}{c}\times\frac{c}{2R}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \frac{a}{2R}=\sin{A}, \ \frac{b}{2R}=\sin{B}, \ \frac{c}{2R}=\sin{C}\)

\(=\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}\)
\(=\frac{3}{2R}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{1}{R}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{4\triangle}{abc}\) ➜Note \(\because \frac{abc}{4R}=\triangle\)
\(\therefore \frac{1}{R}=\frac{4\triangle}{abc}\)

\(=\frac{6\triangle}{abc}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{1}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{1}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{1}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{a}\times\frac{s(s-a)}{bc}+\frac{1}{b}\times\frac{s(s-b)}{ca}+\frac{1}{c}\times\frac{s(s-c)}{ab}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
এবং \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

\(=\frac{s(s-a)}{abc}+\frac{s(s-b)}{abc}+\frac{s(s-c)}{abc}\)
\(=\frac{s(s-a)+s(s-b)+s(s-c)}{abc}\)
\(=\frac{s^2-as+s^2-bs+s^2-cs}{abc}\)
\(=\frac{3s^2-s(a+b+c)}{abc}\)
\(=\frac{3s^2-s\times{2s}}{abc}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=\frac{3s^2-2s^2}{abc}\)
\(=\frac{s^2}{abc}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=(b-c)\cot{\frac{A}{2}}+(c-a)\cot{\frac{B}{2}}+(a-b)\cot{\frac{C}{2}}\)
\(=(b-c)\times\frac{s(s-a)}{\triangle}+(c-a)\times\frac{s(s-b)}{\triangle}+(a-b)\times\frac{s(s-c)}{\triangle}\) ➜Note \(\because \cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)
\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)
এবং \(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)

\(=\frac{s}{\triangle}\{(b-c)(s-a)+(c-a)(s-b)+(a-b)(s-c)\}\)
\(=\frac{s}{\triangle}\{bs-ab-cs+ca+cs-bc-as+ab+as-ca-bs+bc\}\)
\(=\frac{s}{\triangle}\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=bc\cos^2{\frac{A}{2}}+ca\cos^2{\frac{B}{2}}+ab\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=bc\times\frac{s(s-a)}{bc}+ca\times\frac{s(s-b)}{ca}+ab\times\frac{s(s-c)}{ab}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
এবং \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

\(=s(s-a)+s(s-b)+s(s-c)\)
\(=s(s-a+s-b+s-c)\)
\(=s\{3s-(a+b+c)\}\)
\(=s\{3s-2s\}\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(=s\{s\}\)
\(=s^2\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{b-c}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{c-a}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{a-b}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{b-c}{a}\times\left(\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\right)^2+\frac{c-a}{b}\times\left(\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\right)^2+\frac{a-b}{c}\times\left(\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\right)^2\) ➜Note \(\because \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)
এবং \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

\(=\frac{b-c}{a}\times\frac{s(s-a)}{bc}+\frac{c-a}{b}\times\frac{s(s-b)}{ca}+\frac{a-b}{c}\times\frac{s(s-c)}{ab}\)
\(=\frac{s(b-c)(s-a)}{abc}+\frac{s(c-a)(s-b)}{abc}+\frac{s(a-b)(s-c)}{abc}\)
\(=\frac{s(b-c)(s-a)+s(c-a)(s-b)+s(a-b)(s-c)}{abc}\)
\(=\frac{s\{(b-c)(s-a)+(c-a)(s-b)+(a-b)(s-c)\}}{abc}\)
\(=\frac{s\{bs-ab-cs+ca+cs-bc-as+ab+as-ca-bs+bc\}}{abc}\)
\(=\frac{s\{0\}}{abc}\)
\(=\frac{0}{abc}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=(b^2-c^2)\sin^2{A}+(c^2-a^2)\sin^2{B}+(a^2-b^2)\sin^2{C}\)
\(=(4R^2\sin^2{B}-4R^2\sin^2{C})\sin^2{A}+(4R^2\sin^2{C}-4R^2\sin^2{A})\sin^2{B}+(4R^2\sin^2{A}-4R^2\sin^2{B})\sin^2{C}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=4R^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})\sin^2{A}+4R^2(\sin^2{C}-\sin^2{A})\sin^2{B}+4R^2(\sin^2{A}-\sin^2{B})\sin^2{C}\)
\(=4R^2\{(\sin^2{B}-\sin^2{C})\sin^2{A}+(\sin^2{C}-\sin^2{A})\sin^2{B}+(\sin^2{A}-\sin^2{B})\sin^2{C}\}\)
\(=4R^2\{\sin^2{A}\sin^2{B}-\sin^2{C}\sin^2{A}+\sin^2{B}\sin^2{C}-\sin^2{A}\sin^2{B}+\sin^2{C}\sin^2{A}-\sin^2{B}\sin^2{C}\}\)
\(=4R^2\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

বাম পক্ষের প্রথম পদ \(=a^3\sin{(B-C)}\)
\(=a^2.a\sin{(B-C)}\)
\(=a^2.2R\sin{A}\sin{(B-C)}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}\)

\(=2Ra^2\sin{\{\pi-(B+C)\}}\sin{(B-C)}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A=\pi-(B+C)\)

\(=2Ra^2\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B+C)\right\}}\sin{(B-C)}\)
\(=2Ra^2\sin{(B+C)}\sin{(B-C)}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2Ra^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})\) ➜Note \(\because \sin{(P+Q)}\sin{(P-Q)}=\sin^2{P}-\sin^2{Q}\)

\(=2Ra^2\left(\frac{b^2}{4R^2}-\frac{c^2}{4R^2}\right)\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin^2{B}=\frac{b^2}{4R^2}, \ \sin^2{C}=\frac{c^2}{4R^2}\)

\(=\frac{2R}{4R^2}a^2(b^2-c^2)\)
\(=\frac{1}{2R}(a^2b^2-c^2a^2)\)
\(\therefore a^3\sin{(B-C)}=\frac{1}{2R}(a^2b^2-c^2a^2)\)
অনুরূপভাবে,
\(b^3\sin{(C-A)}=\frac{1}{2R}(b^2c^2-a^2b^2)\)
\(c^3\sin{(A-B)}=\frac{1}{2R}(c^2a^2-b^2c^2)\)
\(L.S=a^3\sin{(B-C)}+b^3\sin{(C-A)}+c^3\sin{(A-B)}\)
\(=\frac{1}{2R}(a^2b^2-c^2a^2)+\frac{1}{2R}(b^2c^2-a^2b^2)+\frac{1}{2R}(c^2a^2-b^2c^2)\)
\(=\frac{1}{2R}(a^2b^2-c^2a^2+b^2c^2-a^2b^2+c^2a^2-b^2c^2)\)
\(=\frac{1}{2R}(0)\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

প্রথম অংশ \(=\frac{a\sin{(B-C)}}{b^2-c^2}\)
\(=\frac{2R\sin{A}\sin{(B-C)}}{4R^2\sin^2{B}-4R^2\sin^2{C}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R\sin{\{\pi-(B+C)\}}\sin{(B-C)}}{4R^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A=\pi-(B+C)\)

\(=\frac{\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B+C)\right\}}\sin{(B-C)}}{2R(\sin^2{B}-\sin^2{C})}\)
\(=\frac{\sin{(B+C)}\sin{(B-C)}}{2R(\sin^2{B}-\sin^2{C})}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{\sin^2{B}-\sin^2{C}}{2R(\sin^2{B}-\sin^2{C})}\) ➜Note \(\because \sin{(P+Q)}\sin{(P-Q)}=\sin^2{P}-\sin^2{Q}\)

\(=\frac{1}{2R}\)
\(\therefore \frac{a\sin{(B-C)}}{b^2-c^2}=\frac{1}{2R}\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{b\sin{(C-A)}}{c^2-a^2}=\frac{1}{2R}\)
\(\frac{c\sin{(A-B)}}{a^2-b^2}=\frac{1}{2R}\)
\(\therefore \frac{a\sin{(B-C)}}{b^2-c^2}=\frac{b\sin{(C-A)}}{c^2-a^2}=\frac{c\sin{(A-B)}}{a^2-b^2}\)
(প্রমাণিত)

বাম পক্ষের প্রথম পদ \(=\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{A}}\)
\(=\frac{4R^2\sin^2{A}\sin{(B-C)}}{\sin{A}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}\)

\(=4R^2\sin{A}\sin{(B-C)}\)
\(=4R^2\sin{\{\pi-(B+C)\}}\sin{(B-C)}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A=\pi-(B+C)\)

\(=4R^2\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B+C)\right\}}\sin{(B-C)}\)
\(=4R^2\sin{(B+C)}\sin{(B-C)}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=4R^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})\) ➜Note \(\because \sin{(P+Q)}\sin{(P-Q)}=\sin^2{P}-\sin^2{Q}\)

\(=4R^2\sin^2{B}-4R^2\sin^2{C}\)
\(=(2R\sin{B})^2-(2R\sin{C})^2\)
\(=b^2-c^2\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(\therefore \frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{A}}=b^2-c^2\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{B}}=c^2-a^2\)
\(\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{C}}=a^2-b^2\)
\(L.S=\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{A}}+\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{B}}+\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{C}}\)
\(=b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

বাম পক্ষের প্রথম পদ \(=\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{a.a\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{a.2R\sin{A}\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}\)

\(=\frac{2Ra\sin{\{\pi-(B+C)\}}\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A=\pi-(B+C)\)

\(=\frac{2Ra\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B+C)\right\}}\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{2Ra\sin{(B+C)}\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2Ra(\sin^2{B}-\sin^2{C})}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note \(\because \sin{(P+Q)}\sin{(P-Q)}=\sin^2{P}-\sin^2{Q}\)

\(=\frac{2Ra(\sin{B}+\sin{C})(\sin{B}-\sin{C})}{\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=2Ra(\sin{B}-\sin{C})\)
\(=a(2R\sin{B}-2R\sin{C})\)
\(=a(b-c)\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=ab-ca\)
\(\therefore \frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}=ab-ca\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{C}+\sin{A}}=bc-ab\)
\(\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{A}+\sin{B}}=ca-bc\)
\(L.S=\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}+\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{C}+\sin{A}}+\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{A}+\sin{B}}\)
\(=ab-ca+bc-ab+ca-bc\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

বাম পক্ষের প্রথম পদ \(=\frac{b^2-c^2}{\cos{B}+\cos{C}}\)
\(=\frac{4R^2\sin^2{B}-4R^2\sin^2{C}}{\cos{B}+\cos{C}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{4R^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})}{\cos{B}+\cos{C}}\)
\(=\frac{4R^2(1-\cos^2{B}-1+\cos^2{C})}{\cos{B}+\cos{C}}\) ➜Note \(\because \sin^2{P}=1-\cos^2{P}\)

\(=\frac{4R^2(\cos^2{C}-\cos^2{B})}{\cos{B}+\cos{C}}\)
\(=\frac{4R^2(\cos{C}+\cos{B})(\cos{C}-\cos{B})}{\cos{B}+\cos{C}}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(=4R^2(\cos{C}-\cos{B})\)
\(\therefore \frac{b^2-c^2}{\cos{B}+\cos{C}}=4R^2(\cos{C}-\cos{B})\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{c^2-a^2}{\cos{C}+\cos{A}}=4R^2(\cos{A}-\cos{C})\)
\(\frac{a^2-b^2}{\cos{A}+\cos{B}}=4R^2(\cos{B}-\cos{A})\)
\(L.S=\frac{b^2-c^2}{\cos{B}+\cos{C}}+\frac{c^2-a^2}{\cos{C}+\cos{A}}+\frac{a^2-b^2}{\cos{A}+\cos{B}}\)
\(=4R^2(\cos{C}-\cos{B})+4R^2(\cos{A}-\cos{C})+4R^2(\cos{B}-\cos{A})\)
\(=4R^2(\cos{C}-\cos{B}+\cos{A}-\cos{C}+\cos{B}-\cos{A})\)
\(=4R^2(0)\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{a^2-b^2}{2}.\frac{\sin{A}\sin{B}}{\sin{(A-B)}}\)
\(=\frac{4R^2\sin^2{A}-4R^2\sin^2{B}}{2}.\frac{\sin{A}\sin{B}}{\sin{(A-B)}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}\)

\(=2R^2(\sin^2{A}-\sin^2{B})\times\frac{\sin{A}\sin{B}}{\sin{(A-B)}}\)
\(=2R^2\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}\times\frac{\sin{A}\sin{B}}{\sin{(A-B)}}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}-\sin^2{B}=\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}\)

\(=2R^2\sin{(A+B)}\sin{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}-\sin^2{B}=\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}\)

\(=2R^2\sin{(\pi-C)}\sin{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=2R^2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\sin{A}\sin{B}\)
\(=2R^2\sin{C}\sin{A}\sin{B}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2R^2\times\frac{c}{2R}\times\frac{a}{2R}\sin{B}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(=\triangle\) ➜Note \(\because \frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}=\triangle\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=4\triangle(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})\)
\(=4\times\frac{1}{2}bc\sin{A}\times\frac{\cos{A}}{\sin{A}}+4\times\frac{1}{2}ca\sin{B}\times\frac{\cos{B}}{\sin{B}}+4\times\frac{1}{2}ab\sin{C}\times\frac{\cos{C}}{\sin{C}}\) ➜Note \(\because \triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)

\(=2bc\cos{A}+2ca\cos{B}+2ab\cos{C}\)
\(=2bc\times\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+2ca\times\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+2ab\times\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(=b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

বাম পক্ষের প্রথম পদ \(=(b^2-c^2)\cot{A}\)
\(=(b^2-c^2)\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\) ➜Note \(\because \cot{P}=\frac{\cos{P}}{\sin{P}}\)

\(=(b^2-c^2)\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
এবং \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}\)

\(=(b^2-c^2)\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times\frac{2R}{a}\)
\(=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\times\frac{2R}{2abc}\)
\(=\frac{2R}{2abc}(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\)
\(=\frac{2R}{2abc}\{(b^2-c^2)(b^2+c^2)-a^2(b^2-c^2)\}\)
\(=\frac{2R}{2abc}\{b^4-c^4-a^2(b^2-c^2)\}\)
\(\therefore (b^2-c^2)\cot{A}=\frac{2R}{2abc}\{b^4-c^4-a^2(b^2-c^2)\}\)
অনুরূপভাবে,
\((c^2-a^2)\cot{B}=\frac{2R}{2abc}\{c^4-a^4-b^2(c^2-a^2)\}\)
\((a^2-b^2)\cot{C}=\frac{2R}{2abc}\{a^4-b^4-c^2(a^2-b^2)\}\)
\(L.S=(b^2-c^2)\cot{A}+(c^2-a^2)\cot{B}+(a^2-b^2)\cot{C}\)
\(=\frac{2R}{2abc}\{b^4-c^4-a^2(b^2-c^2)\}+\frac{2R}{2abc}\{c^4-a^4-b^2(c^2-a^2)\}+\frac{2R}{2abc}\{a^4-b^4-c^2(a^2-b^2)\}\)
\(=\frac{2R}{2abc}\{b^4-c^4-a^2b^2+c^2a^2+c^4-a^4-b^2c^2+a^2b^2+a^4-b^4-c^2a^2+b^2c^2\}\)
\(=\frac{2R}{2abc}\{0\}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=a\sin{B}\sin{C}+b\sin{C}\sin{A}+c\sin{A}\sin{B}\)
\(=a\times\frac{b}{2R}\times\frac{c}{2R}+b\times\frac{c}{2R}\times\frac{a}{2R}+c\times\frac{a}{2R}\times\frac{b}{2R}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{abc}{4R^2}+\frac{abc}{4R^2}+\frac{abc}{4R^2}\)
\(=\frac{3abc}{4R^2}\)
\(=\frac{3}{R}\frac{abc}{4R}\)
\(=\frac{3}{R}\triangle\) ➜Note \(\because \frac{abc}{4R}=\triangle\)

\(=\frac{3\triangle}{R}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{\cos{B}\cos{C}}{bc}+\frac{\cos{C}\cos{A}}{ca}+\frac{\cos{A}\cos{B}}{ab}\)
\(=\frac{a\cos{B}\cos{C}+b\cos{C}\cos{A}+c\cos{A}\cos{B}}{abc}\)
\(=\frac{2R\sin{A}\cos{B}\cos{C}+2R\sin{B}\cos{C}\cos{A}+2R\sin{C}\cos{A}\cos{B}}{abc}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{2R}{abc}(\sin{A}\cos{B}\cos{C}+\sin{B}\cos{C}\cos{A}+\sin{C}\cos{A}\cos{B})\)
\(=\frac{2R}{abc}\{(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\cos{C}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\}\)
\(=\frac{2R}{abc}\{\sin{(A+B)}\cos{C}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\}\) ➜Note \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\sin{(A+B)}\)

\(=\frac{2R}{abc}\{\sin{(\pi-C)}\cos{C}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(=\frac{2R}{abc}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{C}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\}\)
\(=\frac{2R}{abc}\{\sin{C}\cos{C}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2R}{abc}\sin{C}\{\cos{C}+\cos{A}\cos{B}\}\)
\(=\frac{2R}{abc}\sin{C}[\cos{\{\pi-(A+B)\}}+\cos{A}\cos{B}]\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore C=\pi-(A+B)\)

\(=\frac{2R}{abc}\sin{C}[\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}+\cos{A}\cos{B}]\)
\(=\frac{2R}{abc}\sin{C}[-\cos{(A+B)}+\cos{A}\cos{B}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2R}{abc}\sin{C}[-\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}+\cos{A}\cos{B}]\) ➜Note \(\because \cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)

\(=\frac{2R}{abc}\sin{C}\sin{A}\sin{B}\)
\(=\frac{2R}{abc}\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(=\frac{2R}{abc}\times\frac{a}{2R}\times\frac{b}{2R}\times\frac{c}{2R}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{1}{4R^2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

বাম পক্ষের লব \(=2\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}\)
\(=2\frac{\cos{A}}{\sin{A}}+\frac{\cos{B}}{\sin{B}}+\frac{\cos{C}}{\sin{C}}\) ➜Note \(\because \cot{P}=\frac{\cos{P}}{\sin{P}}\)

\(=2\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}+\frac{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R}}+\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\frac{c}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
আবার, \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=2\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times\frac{2R}{a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\times\frac{2R}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{2R}{c}\)
\(=2(b^2+c^2-a^2)\times\frac{2R}{2abc}+(c^2+a^2-b^2)\times\frac{2R}{2abc}+(a^2+b^2-c^2)\times\frac{2R}{2abc}\)
\(=\frac{2R}{2abc}(2b^2+2c^2-2a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2)\)
\(=\frac{2R}{2abc}(2b^2+2c^2)\)
\(=\frac{2R}{2abc}2(b^2+c^2)\)
\(=\frac{2R}{abc}(b^2+c^2)\)
\(\therefore 2\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\frac{2R}{abc}(b^2+c^2)\)
বাম পক্ষের হর \(=\cot{A}-\cot{B}+2\cot{C}\)
\(=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}-\frac{\cos{B}}{\sin{B}}+2\frac{\cos{C}}{\sin{C}}\) ➜Note \(\because \cot{P}=\frac{\cos{P}}{\sin{P}}\)

\(=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{a}{2R}}-\frac{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R}}+2\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\frac{c}{2R}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
আবার, \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times\frac{2R}{a}-\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\times\frac{2R}{b}+2\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{2R}{c}\)
\(=(b^2+c^2-a^2)\times\frac{2R}{2abc}-(c^2+a^2-b^2)\times\frac{2R}{2abc}+2(a^2+b^2-c^2)\times\frac{2R}{2abc}\)
\(=\times\frac{2R}{2abc}(b^2+c^2-a^2-c^2-a^2+b^2+2a^2+2b^2-2c^2)\)
\(=\frac{2R}{2abc}(4b^2-2c^2)\)
\(=\frac{2R}{2abc}2(2b^2-c^2)\)
\(=\frac{2R}{abc}(2b^2-c^2)\)
\(\therefore \cot{A}-\cot{B}+2\cot{C}=\frac{2R}{abc}(2b^2-c^2)\)
\(L.S=\frac{2\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}}{\cot{A}-\cot{B}+2\cot{C}}\)
\(=\frac{\frac{2R}{abc}(b^2+c^2)}{\frac{2R}{abc}(2b^2-c^2)}\) ➜Note \(\because 2\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\frac{2R}{abc}(b^2+c^2)\)
এবং \(\cot{A}-\cot{B}+2\cot{C}=\frac{2R}{abc}(2b^2-c^2)\)

\(=\frac{b^2+c^2}{2b^2-c^2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(R.S=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)
\(=2bc\cos{A}+2ca\cos{B}+2ab\cos{C}\)
\(=2bc\times\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+2ca\times\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+2ab\times\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) ➜Note \(\because \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
এবং \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(=b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\frac{(b+c)\cos{A}+(c+a)\cos{B}+(a+b)\cos{C}}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{b\cos{A}+c\cos{A}+c\cos{B}+a\cos{B}+a\cos{C}+b\cos{C}}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{(c\cos{B}+b\cos{C})+(c\cos{A}+a\cos{C})+(a\cos{B}+b\cos{A})}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}\)
\(=\frac{a+b+c}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}\) ➜Note \(\because c\cos{B}+b\cos{C}=a\)
\(c\cos{A}+a\cos{C}=b\)
এবং \(a\cos{B}+b\cos{A}=c\)

\(=\frac{a+b+c}{\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{a}{2R}, \ \sin{B}=\frac{b}{2R}, \ \sin{C}=\frac{c}{2R}\)

\(=\frac{2R(a+b+c)}{a+b+c}\) ➜Note লব ও হরকে \(2R\) দ্বারা গুন করে।

\(=2R\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
আবার,
\(M.S=\frac{a}{\sin{A}}\)
\(=\frac{2R\sin{A}}{\sin{A}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}\)

\(=2R\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=M.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{PQR}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে \(p, \ q, \ r\) এবং \(p^2+q^2-r^2=\sqrt{2}pq\)
এখন, \(\cos{R}=\frac{p^2+q^2-r^2}{2pq}\) ➜Note \(\because \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(=\frac{\sqrt{2}pq}{2pq}\) ➜Note \(\because p^2+q^2-r^2=\sqrt{2}pq\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \cos{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{R}=\cos{45^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos{45^{o}}\)

\(\therefore R=45^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এর পরিসীমা \(2s\) এবং \(4s(s-b)=3ca\)
\(\Rightarrow 2s(2s-2b)=3ca\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(a+b+c-2b)=3ca\) ➜Note \(\because 2s=a+b+c\)

\(\Rightarrow (a+b+c)(a-b+c)=3ca\)
\(\Rightarrow \{(a+c)+b\}\{(a+c)-b\}=3ca\)
\(\Rightarrow (a+c)^2-b^2=3ca\) ➜Note \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow a^2+2ca+c^2-b^2=3ca\) ➜Note \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(\Rightarrow a^2+c^2-b^2=3ca-2ca\)
\(\Rightarrow a^2+c^2-b^2=ca\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+c^2-b^2}{2ca}=\frac{ca}{2ca}\)➜Note উভয় পার্শে \(2ca\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{a^2+c^2-b^2}{2ca}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{B}=\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{a^2+c^2-b^2}{2ca}=\cos{B}\)
এবং \(\frac{1}{2}=\cos{60^{o}}\)

\(\therefore \angle{B}=60^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\((a+b+c)(b+c-a)=3bc\)
\(\Rightarrow \{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\}=3bc\)
\(\Rightarrow (b+c)^2-a^2=3bc\) ➜Note \(\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2-a^2=3bc\) ➜Note \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2=3bc-2bc\)
\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc\)
\(\Rightarrow \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{bc}{2bc}\)➜Note উভয় পার্শে \(2bc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cos{A}\)
এবং \(\frac{1}{2}=\cos{60^{o}}\)

\(\therefore \angle{A}=60^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(c^4-2(a^2+b^2)c^2+a^4+a^2b^2+b^4=0\)
\(\Rightarrow c^4-2c^2a^2-2b^2c^2+a^4+a^2b^2+b^4=0\)
\(\Rightarrow c^4-2c^2a^2-2b^2c^2+a^4+2a^2b^2+b^4=a^2b^2\) ➜Note উভয় পার্শে \(a^2b^2\) যোগ করে।

\(\Rightarrow (a^2)^2+(b^2)^2+(-c^2)^2+2a^2b^2+2b^2(-c^2)+2(-c^2)a^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow (a^2+b^2-c^2)^2=a^2b^2\) ➜Note \(\because a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=\pm\sqrt{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=\pm{ab}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pm\frac{ab}{2ab}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2ab\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\pm\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\pm\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cos{C}\)
এবং \(\frac{1}{2}=\cos{60^{o}}\)

\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{60^{o}} \text{ অথবা,} \ \cos{C}=-\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{60^{o}} \text{ অথবা,} \ \cos{C}=\cos{(90^{o}\times2-60^{o})}\)
\(\Rightarrow C=60^{o} \text{ অথবা,} \ C=180^{o}-60^{o}\)
\(\therefore C=60^{o} \text{ অথবা,} \ C=120^{o}\)
(দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(C=60^{o}\)
\(\Rightarrow C=60^{o}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
এবং \(\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{a^2+b^2-c^2}{ab}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=2c^2+3ab+2bc+2ca\) ➜Note উভয় পার্শে \((2c^2+2ab+2bc+2ca)\) যোগ করে।

\(\Rightarrow (a+b+c)^2+c^2+bc+ca=3c^2+3ab+3bc+3ca\) ➜Note আবার, উভয় পার্শে \((c^2+bc+ca)\) যোগ করে।

\(\Rightarrow (a+b+c)^2+c(a+b+c)=3\{c^2+ab+bc+ca\}\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(a+b+c+c)=3\{c(b+c)+a(b+c)\}\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(a+b+c+c)=3(c+a)(b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{(c+a)+(b+c)}{(c+a)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow \frac{a+c}{(c+a)(b+c)}+\frac{b+c}{(c+a)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{a+b+c}\)
\(\therefore \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\)
(দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\)
\(\Rightarrow \cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(\Rightarrow \cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(\Rightarrow \cos{\frac{A-B}{2}}=\cos{\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{A-B}{2}=\frac{C}{2}\)
\(\Rightarrow A-B=C\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
\(\Rightarrow A+A=A+B+C\) ➜Note উভয় পার্শে \(A\) যোগ করে।

\(\Rightarrow 2A=\pi\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(\therefore A=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমকোণী।
(দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\frac{1}{\sec{A}}=\frac{1}{cosec \ {C}}-\frac{1}{\sec{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sec{A}}+\frac{1}{\sec{B}}=\frac{1}{cosec \ {C}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sec{A}}+\frac{1}{\sec{B}}=\frac{1}{cosec \ {C}}\)
\(\Rightarrow \cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\sec{P}}=\cos{P}\)
এবং \(\frac{1}{cosec \ {P}}=\sin{P}\)

\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(\Rightarrow \cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)
\(\therefore A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(\Rightarrow \cos{\frac{A-B}{2}}=\cos{\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{A-B}{2}=\frac{C}{2}\)
\(\Rightarrow A-B=C\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
\(\Rightarrow A+A=A+B+C\) ➜Note উভয় পার্শে \(A\) যোগ করে।

\(\Rightarrow 2A=\pi\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(\therefore A=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর \(\angle{A}=\) এক সমকোণ।

দেওয়া আছে,
\(\triangle{XYZ}\)-এ \(\angle{Y}=15^{o}\) এবং \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\)
\(\Rightarrow \cos{X}+\cos{Z}=\sin{Y}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{X+Z}{2}}\cos{\frac{X-Z}{2}}=2\sin{\frac{Y}{2}}\cos{\frac{Y}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(\Rightarrow \cos{\frac{\pi-Y}{2}}\cos{\frac{X-Z}{2}}=\sin{\frac{Y}{2}}\cos{\frac{Y}{2}}\) ➜Note \(\because X+Y+Z=\pi\)
\(\therefore X+Z=\pi-Y\)

\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{Y}{2}\right)}\cos{\frac{X-Z}{2}}=\sin{\frac{Y}{2}}\cos{\frac{Y}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\frac{Y}{2}}\cos{\frac{X-Z}{2}}=\sin{\frac{Y}{2}}\cos{\frac{Y}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(\Rightarrow \cos{\frac{X-Z}{2}}=\cos{\left(-\frac{Y}{2}\right)}\) ➜Note \(\because Y=15^{o}\)
\(\therefore \sin{\frac{Y}{2}}\ne{0}\)
এবং \(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)

\(\Rightarrow \frac{X-Z}{2}=-\frac{Y}{2}\)
\(\Rightarrow X-Z=-Y\)
\(\Rightarrow X+Y=Z\)
\(\therefore \angle{X}+\angle{Y}=\angle{Z}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলি \(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}, \ \frac{z}{x}+\frac{x}{y}, \ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\)
ধরি,
\(a=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}, \ b=\frac{z}{x}+\frac{x}{y}, \ c=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow 2s=2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(\therefore s=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\)
\(s-a=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}-\frac{y}{z}-\frac{z}{x}\)
\(\therefore s-a=\frac{x}{y}\)
\(s-b=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}-\frac{z}{x}-\frac{x}{y}\)
\(\therefore s-b=\frac{y}{z}\)
\(s-c=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}-\frac{x}{y}-\frac{y}{z}\)
\(\therefore s-c=\frac{z}{x}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}\times\frac{z}{x}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)}\) বর্গ একক।
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(a=13cm, \ b=7cm\) এবং \(c=8cm.\)
এখন, \(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{7^2+8^2-(13)^2}{2\times7\times8}\) ➜Note \(\because a=13cm, \ b=7cm\) এবং \(c=8cm.\)

\(=\frac{49+64-169}{112}\)
\(=\frac{113-169}{112}\)
\(=\frac{-56}{112}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore \cos{A}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\cos{120^{o}}\) ➜Note \(\because -\frac{1}{2}=\cos{120^{o}}\)

\(\therefore A=120^{o}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{1}{2}\times7\times8\times\sin{120^{o}}\) ➜Note \(\because b=7, \ c=8, \ \angle{A}=120^{o}\)

\(=28\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \sin{120^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=14\sqrt{3}\)
\(=24.25\) বর্গ একক।
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলি \(13, \ 14, \ 15\)
ধরি,
\(a=13, \ b=14, \ c=15\)
\(\Rightarrow a+b+c=13+14+15\)
\(\Rightarrow 2s=42\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(\therefore s=21\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\) ➜Note \(\because s=21, \ a=13, \ b=14, \ c=15\)

\(=\sqrt{21\times8\times7\times6}\)
\(=\sqrt{7056}\)
\(=84\) বর্গ একক।
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এর বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(3:4:5\) এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(24\) বর্গ সে.মি.
ধরি,
\(a=3x, \ b=4x, \ c=5x\)
\(\Rightarrow a+b+c=3x+4x+5x\)
\(\Rightarrow 2s=12x\) ➜Note \(\because a+b+c=2s\)

\(\therefore s=6x\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{6x(6x-3x)(6x-4x)(6x-5x)}\) ➜Note \(\because s=6x, \ a=3x, \ b=4x, \ c=5x\)

\(=\sqrt{6x\times3x\times2x\times{x}}\)
\(=\sqrt{36x^4}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=6x^2\)
শর্ত মতে \(6x^2=24\)
\(\Rightarrow x^2=4\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য,
\(a=3\times2, \ b=4\times2, \ c=5\times2\)
\(\therefore a=6cm, \ b=8cm, \ c=10cm\)

চিত্র হতে,
\(a=2, \ A=\theta, \ B=2\theta, C=120^{o}\)
\(\because A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow \theta+2\theta+120^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow 3\theta=180^{o}-120^{o}\)
\(\Rightarrow 3\theta=60^{o}\)
\(\therefore \theta=20^{o}\)
\(\therefore A=\theta=20^{o}\)
এবং \(B=2\theta\)
\(=2\times20^{o}\)
\(\therefore B=40^{o}\)
আমরা জানি,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{20^{o}}}=\frac{b}{\sin{40^{o}}}=\frac{c}{\sin{120^{o}}}\) ➜Note \(\because a=2, \ A=20^{o}, \ B=40^{o}, \ C=120^{o}\)

\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{40^{o}}}=\frac{c}{\sin{120^{o}}}=\frac{2}{\sin{20^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{40^{o}}}=\frac{2}{\sin{20^{o}}}, \ \frac{c}{\sin{120^{o}}}=\frac{2}{\sin{20^{o}}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{2\sin{40^{o}}}{\sin{20^{o}}}, \ c=\frac{2\sin{120^{o}}}{\sin{20^{o}}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{2\times2\sin{20^{o}}\cos{20^{o}}}{\sin{20^{o}}}, \ c=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin{20^{o}}}\) ➜Note \(\because \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
এবং \(\sin{120^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow b=4\cos{20^{o}}, \ c=\frac{\sqrt{3}}{\sin{20^{o}}}\)
\(\therefore b=3.76, \ c=5.06\)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ যদি \(A=75^{o}, \ B=45^{o}\)
\(\because A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 75^{o}+45^{o}+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 120^{o}+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow C=180^{o}-120^{o}\)
\(\therefore C=60^{o}\)
এখন, \(L.S=c:b\)
\(=\frac{c}{b}\)
\(=\frac{2R\sin{C}}{2R\sin{B}}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=\frac{\sin{60^{o}}}{\sin{45^{o}}}\) ➜Note \(\because C=60^{o}, \ B=45^{o}\)

\(=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \ \sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\times\sqrt{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{3}:\sqrt{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ যদি \(A=45^{o}, \ B=75^{o}\)
\(\because A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 45^{o}+75^{o}+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 120^{o}+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow C=180^{o}-120^{o}\)
\(\therefore C=60^{o}\)
এখন, \(L.S=a+\sqrt{2}c\)
\(=2R\sin{A}+\sqrt{2}\times2R\sin{C}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R\left(\sin{A}+\sqrt{2}\sin{C}\right)\)
\(=2R\left(\sin{45^{o}}+\sqrt{2}\sin{60^{o}}\right)\) ➜Note \(\because A=45^{o}, \ C=60^{o}\)

\(=2R\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ➜Note \(\because \sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=2R\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\right)\)
\(=2R\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=2R\times\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(=4R\times\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
\(=4R\sin{75^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\sin{75^{o}}\)

\(=2\times2R\sin{B}\) ➜Note \(\because B=75^{o}\)

\(=2b\) ➜Note \(\because b=2R\sin{B}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজে \(a=\sqrt{3}b\) এবং \(A=2B\)
এখন, \(a=\sqrt{3}b\)
\(\Rightarrow 2R\sin{A}=\sqrt{3}\times2R\sin{B}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}\)

\(\Rightarrow \sin{A}=\sqrt{3}\sin{B}\)
\(\Rightarrow \sin{2B}=\sqrt{3}\sin{B}\) ➜Note \(\because A=2B\)

\(\Rightarrow 2\sin{B}\cos{B}=\sqrt{3}\sin{B}\) ➜Note \(\because \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(\Rightarrow 2\cos{B}=\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \sin{B}\ne{0}\)

\(\Rightarrow \cos{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{B}=\cos{30^{0}}\) ➜Note \(\because \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos{30^{0}}\)

\(\therefore B=30^{0}\)
এখন, \(A=2B\)
\(=2\times30^{0}\)
\(=60^{0}\)
\(\therefore A=60^{0}\)
আবার,
\(A+B+C=180^{0}\)
\(\Rightarrow 60^{0}+30^{0}+C=180^{0}\) ➜Note \(\because A=60^{0}, \ B=30^{0}\)

\(\Rightarrow 90^{0}+C=180^{0}\)
\(\Rightarrow C=180^{0}-90^{0}\)
\(\therefore C=90^{0}\)
নির্ণেয় কোণসমূহ \(60^{o}, \ 30^{o}, \ 90^{o}\)

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজে \(a=2b\) এবং \(A=3B\)
এখন, \(a=2b\)
\(\Rightarrow 2R\sin{A}=2\times2R\sin{B}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore a=2R\sin{A}, \ b=2R\sin{B}\)

\(\Rightarrow \sin{A}=2\sin{B}\)
\(\Rightarrow \sin{3B}=2\sin{B}\) ➜Note \(\because A=3B\)

\(\Rightarrow 3\sin{B}-4\sin^3{B}=2\sin{B}\) ➜Note \(\because \sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)

\(\Rightarrow \sin{B}(3-4\sin^2{B})=2\sin{B}\)
\(\Rightarrow 3-4\sin^2{B}=2\) ➜Note \(\because \sin{B}\ne{0}\)

\(\Rightarrow -4\sin^2{B}=2-3\)
\(\Rightarrow -4\sin^2{B}=-1\)
\(\Rightarrow \sin^2{B}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \sin{B}=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow \sin{B}=\frac{1}{2}\)➜Note \(\because \sin{B}>0\)

\(\Rightarrow \sin{B}=\sin{30^{0}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{2}=\sin{30^{0}}\)

\(\therefore B=30^{0}\)
এখন, \(A=3B\)
\(=3\times30^{0}\)
\(=90^{0}\)
\(\therefore A=90^{0}\)
আবার,
\(A+B+C=180^{0}\)
\(\Rightarrow 90^{0}+30^{0}+C=180^{0}\) ➜Note \(\because A=90^{0}, \ B=30^{0}\)

\(\Rightarrow 120^{0}+C=180^{0}\)
\(\Rightarrow C=180^{0}-120^{0}\)
\(\therefore C=60^{0}\)
নির্ণেয় কোণসমূহ \(90^{o}, \ 30^{o}, \ 60^{o}\)

দেওয়া আছে,
কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(3, \ 5, \ 7 \)
ধরি, \(a=3, \ b=5, \ c=7\)
যেহেতু বৃহত্তম বাহু \(c\) সুতরাং বৃহত্তম কোণ \(C\)
আমরা জানি,
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\times3\times5}\) ➜Note \(\because a=3, \ b=5, \ c=7\)

\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{9+25-49}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{34-49}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{-15}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{120^{o}}\) ➜Note \(\because -\frac{1}{2}=\cos{120^{o}}\)

\(\therefore C=120^{o}\)
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ স্থুলকোণ।
অতএব ত্রিভুজটি স্থুলকোণী।
স্থুলকোণটির মান \(120^{o}\)

দেওয়া আছে,
কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(x^2+x+1, \ 2x+1\) এবং \(x^2-1\)
ধরি, \(a=x^2+x+1, \ b=2x+1, \ c=x^2-1\)
যেহেতু বৃহত্তম বাহু \(a\) সুতরাং বৃহত্তম কোণ \(A\)
আমরা জানি,
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\frac{(2x+1)^2+(x^2-1)^2-(x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}\) ➜Note \(\because a=x^2+x+1, \ b=2x+1, \ c=x^2-1\)

\(\Rightarrow \cos{A}=\frac{4x^2+4x+1+x^4-2x^2+1-x^4-x^2-1-2x^3-2x-2x^2}{2(2x^3-2x+x^2-1)}\) ➜Note \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
এবং \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow \cos{A}=\frac{2x+1-x^2-2x^3}{2(2x^3-2x+x^2-1)}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\frac{-(2x^3+x^2-2x-1)}{2(2x^3+x^2-2x-1)}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\cos{120^{o}}\) ➜Note \(\because -\frac{1}{2}=\cos{120^{o}}\)

\(\therefore A=120^{o}\)
অতএব সর্বোচ্চ কোণটির মান \(120^{o}\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(m, \ n\) এবং \(\sqrt{m^2+mn+n^2}\)
ধরি, \(a=m, \ b=n, \ c=\sqrt{m^2+mn+n^2}\)
\(m\) ও \(n\) এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য \(\sqrt{m^2+mn+n^2}>m, \ n\)
যেহেতু বৃহত্তম বাহু \(c\) সুতরাং বৃহত্তম কোণ \(C\)
আমরা জানি,
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{m^2+n^2-(\sqrt{m^2+mn+n^2})^2}{2mn}\) ➜Note \(\because a=m, \ b=n, \ c=\sqrt{m^2+mn+n^2}\)

\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{m^2+n^2-m^2-mn-n^2}{2mn}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{-mn}{2mn}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{120^{o}}\) ➜Note \(\because -\frac{1}{2}=\cos{120^{o}}\)

\(\therefore C=120^{o}\)
অতএব বৃহত্তম কোণটির মান \(120^{o}\)
ক্ষুদ্রতম কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(=180^{o}-120^{o}\)
\(=60^{o}\)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(A=45^{o}, \ C=105^{o}\) এবং \(c=\sqrt{3}+1\)
এখানে, \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 45^{o}+B+105^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow 150^{o}+B=180^{o}\)
\(\Rightarrow B=180^{o}-150^{o}\)
\(\therefore B=30^{o}\)
আমরা জানি,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{45^{o}}}=\frac{b}{\sin{30^{o}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{105^{o}}}\) ➜Note \(\because A=45^{o}, \ B=30^{o}, \ C=105^{o}\)
এবং \(c=\sqrt{3}+1\)

\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{45^{o}}}=\frac{b}{\sin{30^{o}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{(90^{o}\times1+15^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{45^{o}}}=\frac{b}{\sin{30^{o}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\cos{15^{o}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{b}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}\) ➜Note \(\because \sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\cos{15^{o}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow \sqrt{2}a=2b=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}a=2b=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}a=2\sqrt{2}, \ 2b=2\sqrt{2}\)
\(\therefore a=2, \ b=\sqrt{2}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটির অপর কোণটির মান এবং বাহুদ্বয় যথাক্রমে \(30^{o}, \ 2, \ \sqrt{2}\)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(B=30^{o}, \ C=45^{o}\) এবং \(a=\sqrt{3}+1\)
এখানে, \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow A+30^{o}+45^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow A+75^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow A=180^{o}-75^{o}\)
\(\therefore A=105^{o}\)
আমরা জানি,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}+1}{\sin{105^{o}}}=\frac{c}{\sin{45^{o}}}\) ➜Note \(\because a=\sqrt{3}+1, \ A=105^{o}\)
এবং \(C=45^{o}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}+1}{\sin{(90^{o}\times1+15^{o})}}=\frac{c}{\sin{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}+1}{\cos{15^{o}}}=\frac{c}{\sin{45^{o}}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}+1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}=\frac{c}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) ➜Note \(\because \cos{15^{o}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
এবং \(\sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{2}c\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}=\sqrt{2}c\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}c=2\sqrt{2}\)
\(\therefore c=2\)
\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}ac\sin{B}\)
\(=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\times2\sin{30^{o}}\)
\(=(\sqrt{3}+1)\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\) বর্গএকক।
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।

ধরি,
\(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলি \(a, \ b, \ c\) সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত
অর্থাৎ \(a-b=b-c\)
\(\Rightarrow (s-b)-(s-a)=(s-c)-(s-b)\)
\(\Rightarrow s(s-b)-s(s-a)=s(s-c)-s(s-b)\)
\(\Rightarrow \frac{s(s-b)}{\triangle}-\frac{s(s-a)}{\triangle}=\frac{s(s-c)}{\triangle}-\frac{s(s-b)}{\triangle}\) ➜Note উভয় পার্শের প্রতিটি পদকে \(\triangle\) দ্বারা ভাগ করে।

\(\Rightarrow \cot{\frac{B}{2}}-\cot{\frac{A}{2}}=\cot{\frac{C}{2}}-\cot{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{s(s-b)}{\triangle}=\cot{\frac{B}{2}}, \ \frac{s(s-a)}{\triangle}=\cot{\frac{A}{2}}=\)
এবং \(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)

\(\Rightarrow -\left(\cot{\frac{A}{2}}-\cot{\frac{B}{2}}\right)=-\left(\cot{\frac{B}{2}}-\cot{\frac{C}{2}}\right)\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{A}{2}}-\cot{\frac{B}{2}}=\cot{\frac{B}{2}}-\cot{\frac{C}{2}}\)
\(\therefore \cot{\frac{A}{2}}, \ \cot{\frac{B}{2}}\) ও \(\cot{\frac{C}{2}}\) সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত ।
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ \(\triangle{A}=60^{o}\)
\(L.S=b+c\)
\(=2R\sin{B}+2R\sin{C}\) ➜Note \(\because \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore b=2R\sin{B}, \ c=2R\sin{C}\)

\(=2R(\sin{B}+\sin{C})\)
\(=2R\times2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=4R\sin{\frac{120^{o}}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-A\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-60^{o}\)
\(\therefore B+C=120^{o}\)

\(=4R\sin{60^{o}}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=4R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because A=60^{o}\)

\(=2\times2R\sin{A}\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=2\times{a}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=2R\)
\(\therefore 2R\sin{A}=a\)

\(=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(a, \ b, \ c\) ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং \(a=\sqrt{b^2+bc+c^2}\)
\(a=\sqrt{b^2+bc+c^2}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+bc+c^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow -bc=b^2+c^2-a^2\)
\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-bc\)
\(\Rightarrow \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2bc\) ভাগ করে,

\(\Rightarrow \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\cos{120^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cos{A}\)
এবং \(-\frac{1}{2}=\cos{120^{o}}\)

\(\therefore A=120^{o}\)
আবার, \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow 120^{o}+B+C=180^{o}\) ➜Note \(\because A=120^{o}\)

\(\Rightarrow B+C=180^{o}-120^{o}\)
\(\therefore B+C=60^{o}\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণদ্বয়ের সমষ্টি।

দেওয়া আছে,
কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির বর্গ অর্থাৎ \(a^2, \ b^2, \ c^2\) সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত
অর্থাৎ \(a^2-b^2=b^2-c^2\)
\(\Rightarrow -2a^2+2b^2=-2b^2+2c^2\) ➜Note উভয় পার্শে \(-2\) গুন করে।

\(\Rightarrow 2b^2-2a^2=2c^2-2b^2\)
\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2-c^2-a^2+b^2=c^2+a^2-b^2-a^2-b^2+c^2\)
\(\Rightarrow \frac{R}{abc}\{(b^2+c^2-a^2)-(c^2+a^2-b^2)\}=\frac{R}{abc}\{(c^2+a^2-b^2)-(a^2+b^2-c^2)\}\) ➜Note উভয় পার্শে \(\frac{R}{abc}\) গুন করে।

\(\Rightarrow \frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}-\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}-\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
\(\Rightarrow \cot{A}-\cot{B}=\cot{B}-\cot{C}\) ➜Note \(\because \cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)
\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)
এবং \(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)

\(\therefore \cot{A}, \ \cot{B}, \ \cot{C}\) সমান্তর প্রগমন ভুক্ত।
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(a=2, \ b=\sqrt{3}+1\) এবং \(C=60^{o}\)
আমরা জানি, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow c^2=2^2+(\sqrt{3}+1)^2-2\times2(\sqrt{3}+1)\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because a=2, \ b=\sqrt{3}+1\)
এবং \(C=60^{o}\)

\(\Rightarrow c^2=4+3+2\sqrt{3}+1-4(\sqrt{3}+1)\times\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
এবং \(\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow c^2=8+2\sqrt{3}-2(\sqrt{3}+1)\)
\(\Rightarrow c^2=8+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\)
\(\Rightarrow c^2=6\)
\(\therefore c=\sqrt{6}\)
আবার,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{B}}=\frac{\sqrt{6}}{\sin{60^{o}}}\) ➜Note \(\because a=2, \ b=\sqrt{3}+1, \ c=\sqrt{6}\)
এবং \(C=60^{o}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{B}}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{B}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{B}}=\frac{2\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin{B}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=2\sqrt{2}, \ \frac{\sqrt{3}+1}{\sin{B}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{2\sqrt{2}}=\sin{A}, \ \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin{B}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\sin{45^{o}}, \ \sin{B}=\sin{75^{o}}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\sqrt{2}}=\sin{45^{o}}, \ \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\sin{75^{o}}\)

\(\therefore A=45^{o}, \ B=75^{o}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির অপর বাহু এবং কোণদ্বয় \(c=\sqrt{6}, \ A=45^{o}, \ B=75^{o}\)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\)-এ \(\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=\frac{b+c+c+a+a+b}{11+12+13}\) ➜Note \(\because \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow \frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=\frac{2(a+b+c)}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=\frac{a+b+c}{18}\)
\(\therefore \frac{a+b+c}{18}=\frac{b+c}{11}\)
\(\Rightarrow \frac{a+b+c}{18}=\frac{b+c}{11}=\frac{a+b+c-b-c}{18-11}\)
\(\Rightarrow \frac{a+b+c}{18}=\frac{b+c}{11}=\frac{a}{7}\)
\(\therefore \frac{a+b+c}{18}=\frac{a}{7} .....(1)\)
আবার,
\(\frac{a+b+c}{18}=\frac{c+a}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{a+b+c}{18}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b+c-c-a}{18-12}\) ➜Note \(\because \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x-y}{a-b}\)

\(\Rightarrow \frac{a+b+c}{18}=\frac{c+a}{12}=\frac{b}{6}\)
\(\therefore \frac{a+b+c}{18}=\frac{b}{6} .....(2)\)
আবার,
\(\frac{a+b+c}{18}=\frac{a+b}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{a+b+c}{18}=\frac{a+b}{13}=\frac{a+b+c-a-b}{18-13}\) ➜Note \(\because \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x-y}{a-b}\)

\(\Rightarrow \frac{a+b+c}{18}=\frac{a+b}{13}=\frac{c}{5}\)
\(\therefore \frac{a+b+c}{18}=\frac{c}{5} .....(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{a}{7}=\frac{b}{6}=\frac{c}{5}\)
ধরি,
\(\frac{a}{7}=\frac{b}{6}=\frac{c}{5}=k\)
\(\therefore a=7k, \ b=6k, \ c=5k\)
এখন, \(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{(6k)^2+(5k)^2-(7k)^2}{2\times6k\times5k}\) ➜Note \(\because a=7k, \ b=6k, \ c=5k\)

\(=\frac{36k^2+25k^2-49k^2}{60k^2}\)
\(=\frac{61k^2-49k^2}{60k^2}\)
\(=\frac{12k^2}{60k^2}\)
\(=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{1}{5}\)
আবার, \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(=\frac{(5k)^2+(7k)^2-(6k)^2}{2\times5k\times7k}\) ➜Note \(\because a=7k, \ b=6k, \ c=5k\)

\(=\frac{25k^2+49k^2-36k^2}{70k^2}\)
\(=\frac{74k^2-36k^2}{70k^2}\)
\(=\frac{38k^2}{70k^2}\)
\(=\frac{19}{35}\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{19}{35}\)
আবার, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(=\frac{(7k)^2+(6k)^2-(5k)^2}{2\times7k\times6k}\) ➜Note \(\because a=7k, \ b=6k, \ c=5k\)

\(=\frac{49k^2+36k^2-25k^2}{84k^2}\)
\(=\frac{85k^2-25k^2}{84k^2}\)
\(=\frac{60k^2}{84k^2}\)
\(=\frac{5}{7}\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{5}{7}\)
এখন, \(\cos{A}:\cos{B}:\cos{C}=\frac{1}{5}:\frac{19}{35}:\frac{5}{7}\)
\(\Rightarrow \cos{A}:\cos{B}:\cos{C}=\frac{1\times35}{5}:\frac{19\times35}{35}:\frac{5\times35}{7}\) ➜Note প্রতিটি অনুপাতকে \(35\) দ্বারা গুন করে,

\(\Rightarrow \cos{A}:\cos{B}:\cos{C}=\frac{1\times35}{5}:\frac{19\times35}{35}:\frac{5\times35}{7}\)
\(\Rightarrow \cos{A}:\cos{B}:\cos{C}=7:19:25\)
\(\therefore \frac{\cos{A}}{7}=\frac{\cos{B}}{19}=\frac{\cos{C}}{25}\)
(প্রমাণিত)