ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান \(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\) \(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) \(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\) \(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) \(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\) \(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\) \(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\) \(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\) \(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\) \(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\) \(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\) \(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\) \(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\) ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের অবান্তর মূলনির্দিষ্ট ব্যবধিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান
General solution of trigonometric equations
এক বা একাধিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্বলিত সমীকরণকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়। সমীকরণটির সংশ্লিষ্ট কোণকেই চলরাশি বলা হয়। চলরাশির যে সকল মানের জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, সেগুলিকে সমীকরণটির সমাধান বলা হয়। সকল সমাধানকে অভিন্ন রাশিমালাতে প্রকাশ করা হলে সেটিকে সাধারণ সমাধান বলে।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে উৎপাদকে প্রকাশ করে যে সকল সরল সমীকরণ পাওয়া যায় সেগুলিকে মূল সমীকরণের প্রতীক সমীকরণ বলা হয়।
যেমনঃ \(2\tan^2{\theta}-3\tan{\theta}+1=0\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়,
\((2\tan{\theta}-1)(\tan{\theta}-1)=0\)
এখানে, প্রতীক সমীকরণ \(2\tan{\theta}-1=0\) এবং \(\tan{\theta}-1=0\)
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের এক বা একাধিক প্রতীক সমীকরণ থাকতে পারে। সে ক্ষেত্রে একটি প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধান মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান নয়। সকল প্রতীক সমীকরণের সাধারণ সমাধানই একত্রে মূল সমীকরণের সাধারণ সমাধান। এ অধ্যায়ে আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় অধ্যয়ন করব।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
\(\sin{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)\(\cos{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)

\(\tan{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=n\pi\)\(\cot{\theta}=0\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)

\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)\(cosec \ {\theta}=cosec \ {\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha\)

\(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)\(\sec{\theta}=\sec{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\pm{\alpha}\)

\(\tan{\theta}=\tan{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)\(\cot{\theta}=\cot{\alpha}\) এর সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)

\(\sin{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=1\) এর সমাধান \(\theta=2n\pi\)

\(\sin{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)\(\cos{\theta}=-1\) এর সমাধান \(\theta=(2n+1)\pi\)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের অবান্তর মূল
Extraneous roots of trigonometric equations
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয় এবং বিভিন্ন প্রক্রিয়ায় সমাধান করে প্রাপ্ত মূলগুলি দৃশ্যত ভিন্ন আকারের হলেও সেগুলি সমতুল্য। কিছু কিছু সমীকরণকে বর্গ করে সমাধান নির্ণয় করে হয়। এ প্রক্রিয়া কিছুটা ত্রুটিপূর্ণ বলে প্রাপ্ত মূলগুলির কোনো কোনোটি প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না। এরূপ মূলকে অবান্তর মূল বলে। সুতরাং প্রকৃত মূল নির্ণয় করার জন্য প্রাপ্ত মূলগুলি দিয়ে প্রদত্ত সমীকরণ সিদ্ধ হয় কিনা তা পরীক্ষা করার প্রয়োজন হয়।
যেমনঃ \(\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}=\sqrt{2}-\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow 3\sin^2{\theta}=2-2\sqrt{2}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow 3(1-\cos^2{\theta})-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\) ➜ \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

\(\Rightarrow 3-3\cos^2{\theta}-2+2\sqrt{2}\cos{\theta}-\cos^2{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -4\cos^2{\theta}+2\sqrt{2}\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow -(4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1)=0\)
\(\Rightarrow 4\cos^2{\theta}-2\sqrt{2}\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{(-2\sqrt{2})^2-4\times4\times{-1}}}}{2\times4}\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\therefore x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{8+16}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{\sqrt{24}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2\sqrt{2}\pm{2\sqrt{6}}}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2(\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}})}{8}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{6}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{2}\sqrt{3}}}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}(1\pm{\sqrt{3}})}{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1\pm{\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}, \ \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{15^{o}}, \ \cos{\theta}=-\sin{15^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(90^{o}+15^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{(105^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \cos{\theta}=\cos{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{12}}, \ \theta=2n\pi\pm{\frac{7\pi}{12}}\)
\(\theta=2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ \theta=2n\pi-\frac{7\pi}{12}\) বসিয়ে দেখা যায় যে, সমীকরণটি সিদ্ধ করে না। সমীকরটি বর্গ করা হয়েছে বলে এই ভুল সমাধান বের হয়েছে।
নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান
Solution of trigonometric equation in a finite interval
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়বৃত্ত হওয়ায় এর মানগুলো পর্যায়ক্রমে আবর্তিত হয়। নির্দিষ্ট ব্যবধিতেও সমাধানের পুনরাবৃত্তি হয়। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান থেকে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে অবস্থিত মানগুলি নির্ণয় করা যায়। আবার লেখচিত্রের সাহায্যে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে সমীকরণের সমাধানগুলি নির্ণয় করা যায়। নিম্নে লেখের সাহায্যে সমাধান নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করা হলো।
\((1)\) প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
\((2)\) ফাংশনের নির্দেশিত স্থানে \(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখা আঁকতে হবে।
\((3)\) সমান্তরাল রেখাটি ফাংশনকে যতবার ছেদ করবে ঠিক ততটি সমাধান বিদ্যমান থাকবে।
\((4)\) ছেদবিন্দুগুলির স্থানাংক, প্রতিসমতা বা ফাংশনের পর্যায়কাল ব্যবহার করে নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর ছেদবিন্দুগুলির \(x\) স্থানাংকই ফাংশনের সমাধান হবে।
অধ্যায় \(7H\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) সাধারণ সমাধান নির্ণয় করঃ
\((a)\) \(\sin{\theta}=\frac{1}{2}\)
\((b)\) \(\sin{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\((c)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\((d)\) \(\cos{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\((e)\) \(\tan{\theta}=\sqrt{3}\)
\((f)\) \(\tan{\theta}=-\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \((a) \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((b) \ n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ 2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((d) \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((e) \ n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((f) \ n\pi-\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

উদাহরণ \(2.\) সমাধান করঃ \(3\tan{x}+\cot{x}=cosec \ {x}\)
উত্তরঃ \(\text{সমাধান অবান্তর বা অপ্রাসঙ্গিক।}\)

উদাহরণ \(3.\) \(\cos{x}=\frac{1}{2}\) যখন, \(0\le{x}\le{360^{o}}\) এর সমাধান লেখের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}; \ 300^{o}\)

উদাহরণ \(4.\) সাধারণ সমাধান নির্ণয় করঃ
\((a)\) \(4\sin{\theta}\cos{\theta}=\sqrt{3}\)
\((b)\) \(2(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})=1\)
\((c)\) \(\tan^2{\theta}+\cot^2{\theta}=2\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((b) \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

উদাহরণ \(5.\) সমাধান করঃ \(\tan{2\theta}\tan{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6} \ \text{অথবা } (2n+1)\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ ২০১৫; বঃ ২০১২,২০১০,২০০৫; ঢাঃ২০১১,২০০৮; কুঃ২০১০,২০০৭,২০০০; যঃ২০১০; রাঃ২০০৯; সিঃ,মাঃ২০০৫; রুয়েটঃ,চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪; বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭ ।

উদাহরণ \(6.\) সমাধান করঃ \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, \ -2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\pm\frac{\pi}{3}, \ \pm\frac{5\pi}{3}\)
দিঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০১; সিঃ২০১০,২০০৭; রাঃ,বঃ২০১০; যঃ২০০৪; কুঃ,চঃ ২০০১ ।

উদাহরণ \(7.\) সমাধান করঃ \(\sin{5x}-\sin{3x}-\sin{x}=0, \ 0\le{x}\le{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(0, \ 15^{o}, \ 75^{o}, \ 105^{o}, \ 165^{o}, \ 180^{o}, \ 195^{o}, \ 255^{o}, \ 285^{o}, \ 345^{o}\) এবং \(360^{o}\)

উদাহরণ \(8.\) সমাধান করঃ \(a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=c, \ |c|\le{\sqrt{a^2+b^2}}\)
উত্তরঃ \(\theta=2n\pi+\alpha\pm\beta\) যেখানে, \(\cos{\beta}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

উদাহরণ \(9.\) সমাধান করঃ \(\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{7\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
দিঃ২০১৭; ঢাঃ২০১৫,২০০৭; চঃ২০১৪,২০০৭; সিঃ২০১৪,২০০৬; যঃ২০১২,২০০৯; বঃ২০০৮,২০০২; কুঃ২০০৬,২০০২; রাঃ২০০৫,২০০১; মাঃ২০১০,২০০৬ ।

উদাহরণ \(10.\) সমাধান করঃ \(\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}=1, \ -2\pi\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3\pi}{2}, \ -\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
দিঃ২০১৫; ঢাঃ২০১১,২০০৩; সিঃ২০০৮,২০০২; যঃ২০১৪,২০১০,২০০৭; বঃ২০১৪,২০০৪; কুঃ২০০৮; রাঃ২০১৩,২০০৮,২০০৬; মাঃ২০০৮,২০০৫ ।

উদাহরণ \(11.\) সমাধান করঃ \(\sec{4\theta}-\sec{2\theta}=2, \ 0\le{\theta}\le{180^{o}}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{10}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ২০০৮; কুঃ২০১১; চুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।

উদাহরণ \(12.\) সমাধান করঃ \(\cot{\theta}+\tan{\theta}=2\sec{\theta}, \ -2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{11\pi}{6}, \ -\frac{7\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}\) এবং \(\frac{5\pi}{6}\)
সিঃ২০১৬,২০১৫,২০১২; ঢাঃ২০১৫,২০১০; বঃ২০১৫,২০০৮; কুঃ২০১৪,২০০৭; চঃ২০১৩; যঃ২০১২; দিঃ২০১১; রাঃ২০০৭; মাঃ২০১২ ।

উদাহরণ \(13.\) \(f(x)=\sin{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{1-x}{1+x}}\)
\((b)\) \(f\{\pi g(\theta)\}=g\{\pi f(\theta)\}\) হলে, দেখাও যে, \(\theta=\pm{\frac{\pi}{4}}+\cos{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(g(x)+f(x)=g(2x)+f(2x)\)
উত্তরঃ \((c) \ 2n\pi, \ \frac{2}{3}\left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০১৫,২০০৫; ঢাঃ২০১৩,২০০৬,২০০২,২০০০; বঃ২০০৪; কুঃ২০১৪,২০০৫,২০০১; চঃ২০১২,২০০৬; যঃ২০১৪,২০১১,২০০৭; দিঃ২০১৪; রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৪; মাঃ২০১৩,২০০৯ ।

উদাহরণ \(14.\) \(\sin{x}=\frac{1}{2}\) যখন, \(0\le{x}\le{360^{o}}\) এর সমাধান লেখের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30^{o}; \ 150^{o}\)

উদাহরণ \(15.\) লেখের সাহায্যে \(\tan{x}=\sqrt{3};\) \(-180^{o}\le{x}\le{180^{o}}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-150^{o}, \ -60^{o}, \ 30^{o}, \ 120^{o}\)

উদাহরণ \(16.\) সমাধান করঃ \(4(\sin^2{x}+\cos{x})=5\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)

উদাহরণ \(17.\) লেখের সাহায্যে \(2\cos^2{x}+\sin{x}=1;\) \(0\le{x}\le{2\pi}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\)

উদাহরণ \(18.\) লেখের সাহায্যে \(\cos{x}=-\frac{1}{2};\) \(0\le{x}\le{360^{o}}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}, \ 240^{o}\)

উদাহরণ \(19.\) লেখের সাহায্যে \(\tan{x}=-1;\) \(-\pi\le{x}\le{\pi}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\)

উদাহরণ \(20.\) লেখের সাহায্যে \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2};\) \(0\le{x}\le{2\pi}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{12}, \ \frac{11\pi}{12}, \ \frac{13\pi}{12}, \ \frac{23\pi}{12}\)

উদাহরণ \(21.\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin^{-1}{x}\)
\((a)\) \(f(x)\) এর পর্যায় কাল ও \(g(x)\) এর মূখ্যমান কত?
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(g\left\{\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+g\left\{\sqrt{f(2\theta)}\right\}=\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) \(4f(x)f(2x)f(3x)=1\) হলে, \(0\lt{x}\lt{\pi}\) ব্যাবধিতে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \left[-\frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}\right]\)
\((c) \ \frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{\pi}{8}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{8}, \ \frac{7\pi}{8}\)

উদাহরণ \(22.\) দুইটি আতসবাজি বিস্ফোরণের ফলে \(y_{1}=a\cos{x_{1}}\) এবং \(y_{2}=b\cos{x_{2}}\) পরিবর্তনশীল সরণ বিশিষ্ট দুইটি শব্দ তরঙ্গ উৎপন্ন হয়। উপরিপাতনের ফলে তরঙ্গদ্বয়ের মিলিত তরঙ্গের সরণ হলো \(y=y_{1}+y_{2}\) । এখানে \(y\) হলো তরঙ্গের সরণ এবং \(x\) হলো সময়।
\((a)\) \(x_{1}=cosec^{-1}{\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}}\) হলে, \(y_{1}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=b=1\) এবং \(x_{1}+x_{2}=\frac{\pi}{2}\) হলে, কত সময় পরে মিলিত তরঙ্গের সরণ \(\sqrt{2}\) একক হবে?
\((c)\) \(x_{1}+x_{2}=\theta\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{y_{1}^2}{a^2}-\frac{2y_{1}y_{2}\cos{\theta}}{ab}+\frac{y_{2}^2}{b^2}=\sin^2{\theta}.\)
উত্তরঃ \((a) \ 1\)
\((b) \ \frac{\pi}{4}\)

উদাহরণ \(23.\) সমাধান করঃ \(2\cos^2{\theta}+2\sqrt{2}\sin{\theta}=3;\) \(0\le{\theta}\le{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

উদাহরণ \(24.\) \(f(x)=\tan^{-1}{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(2f(x)=\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left\{2f(x)\right\}}=2\tan{\left\{f(x)+f(x^3)\right\}}\)
\((c)\) \(f(x)=\tan{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(f(x)f(2x)=1; \ 0\le{x}\le{\pi}\)
উত্তরঃ \((c) \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)

উদাহরণ \(25.\) \(\sin{(\pi\cos{\theta})}=\cos{(\pi\sin{\theta})} ........(1)\)
এবং \(\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}=\sqrt{2} ........(2)\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}\)
\((b)\) উদ্দীপকের \((1)\) নং হতে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((c)\) \(-2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যাবধিতে উদ্দীপকের \((2)\) নং সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ -\frac{19\pi}{12}, \ -\frac{13\pi}{12}, \ \frac{5\pi}{12}, \ \frac{11\pi}{12}\)

উদাহরণ \(26.\) \(f(x)=\cos{x}, \ g(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(\frac{g(2\theta)g(\theta)}{f(2\theta)f(\theta)}=1\) এর সমাধান কর।
\((b)\) \(f\{\pi g(\theta)\}=g\{\pi f(\theta)\}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(f(x)-f(2x)=g(2x)-g(x)\)
উত্তরঃ \((a) \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
\((c) \ 2n\pi, \ \frac{2}{3}\left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)\)

উদাহরণ \(27.\) সমাধান করঃ \(\cos{6\theta}+\cos{4\theta}+\cos{2\theta}+1=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{6}\)

উদাহরণ \(28.\) সমাধান করঃ \(\tan{\theta}+\cot{\theta}=2cosec \ {\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)

উদাহরণ \(29.\) \(a\tan{\theta}+b\sec{\theta}=c\) সমীকরণের দুইটি সমাধান \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{2ac}{a^2-c^2}\)

উদাহরণ \(30.\) সমাধান করঃ \(\cot{x}-\cot{2x}=2\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)

অধ্যায় \(7H\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
সমাধান করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=2\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০০২।

\(Q.1.(ii)\) \(\tan{x}+\tan{3x}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ২০০৫।

\(Q.1.(iii)\) \(4\cos^2{x}+6\sin^2{x}=5\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi\pm\frac{3\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(iv)\) \(\sin^2{2\theta}-3\cos^2{\theta}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০১১; কুঃ২০১০,২০০৯।

\(Q.1.(v)\) \(cosec \ {\theta}+\cot{\theta}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ডুয়েটঃ২০১৪-২০১৫;রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯; মাঃ২০০৬ ।

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=2\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০১৩ ।

\(Q.1.(vii)\) \(cosec \ {\theta}+\cot{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ\(\theta=2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\alpha=\tan^{-1}{(\sqrt{2})}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\sec^2{\theta}+3 cosec^2{\theta}=8\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০০৭ ।

\(Q.1.(ix)\) \(3\tan{\theta}+\cot{\theta}=5 cosec \ {\theta}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ২০১৩ ।

\(Q.1.(x)\) \(2\cos^2{\theta}-3\sin{\theta}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xi)\) \(6\cos^2{x}+\sin{x}=5\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\pi+(-1)^n\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=-\frac{1}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\sqrt{3}\cot^2{x}+4\cot{x}+\sqrt{3}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{5\pi}{6}, \ n\pi+\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\tan^2{\theta}-2\sqrt{3}\sec{\theta}+4=0\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\sec{\alpha}=\sqrt{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০০৫; রাঃ২০১৪; চুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।

\(Q.1.(xiv)\) \(\cot{2\theta}-\cot{4\theta}=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{16}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xv)\) \(4\sin^2{x}+\sqrt{3}=2(1+\sqrt{3})\sin{x}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(2\sin{x}\tan{x}+1=\tan{x}+2\sin{x}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.1.(xvii)\) \(2\sin^2{\theta}+\sin^2{2\theta}=2\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\cos^3{\theta}-\cos{\theta}\sin{\theta}-\sin^3{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi-\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xix)\) \(2\sin{2x}+3\cos{x}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi+(-1)^n\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=-\frac{3}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xx)\) \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})=-1\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{7\pi}{6}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(2\cos^2{x}+\cos^2{2x}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

সমাধান করঃ
\(Q.1.(xxii)\) \(\tan^2{x}+\sec^2{x}=3\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\cot^2{\theta}+cosec^2{\theta}=3\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\sqrt{2}\sec{x}+\tan{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi-\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxv)\) \(2\cos{x}+3\sin{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\alpha+\theta\) যেখানে, \(\cos{\theta}=\frac{2}{\sqrt{13}}, \ \cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{13}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(5\tan^2{\theta}-\sec^2{\theta}=11\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\cos{\theta}+\sec{\theta}=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(8\sin^2{\theta}-2\cos{\theta}=5\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ 2n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=-\frac{3}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxix)\) \(\sin{\theta}+cosec \ {\theta}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxx)\) \(cosec \ {\theta}\cot{\theta}=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin{5\theta}+\sin{\theta}=\sin{3\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin{2\theta}+4\cos{\theta}=\sqrt{3}\sin{\theta}+2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}+\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=4\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxiv)\) \(\sin^2{2\theta}-\sin^2{\theta}=\frac{1}{3}\sin{3\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi, \ 2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\pi+(-1)^n\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{1}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^3{\theta}-\sec^2{\theta}=4\tan^2{\theta}-5\tan{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+\alpha, \ n\pi+\beta\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=2+\sqrt{3}, \ \tan{\beta}=2-\sqrt{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxvi)\) \(cosec \ {\theta}+\sec{\theta}=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \((8n+3)\frac{\pi}{12}, \ (8n+1)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\cos{3\theta}=\cos{2\theta}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ \frac{2}{5}n\pi\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sin{5\theta}\cos{\theta}=\sin{6\theta}\cos{2\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi, \ (2n+1)\frac{\pi}{14}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(4\sin{x}=\sec{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xL)\) \(\sqrt{2}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=1\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLi)\) \(\cos{2x}=\cos{x}\sin{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(n\pi+\alpha)\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=2, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLii)\) \(\sin{4\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{4}+\sin{\frac{5\theta}{2}}\cos{\frac{5\theta}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLiii)\) \(\tan{2\theta}-\tan{\theta}=\frac{1}{2}\sec{\theta}\sec{2\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.1.(xLiv)\) \(\sin{2\theta}=\cos{3\theta}\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{10}, \ (4n-1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

অধ্যায় \(7H\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সমাধান করঃ
\(Q.2.(i)\) \(2\sin^2{\theta}=3\cos{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)
যঃ২০০৯।

\(Q.2.(ii)\) \(4\sin{\theta}\cos{\theta}=1-2\sin{\theta}+2\cos{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{180^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 120^{o}\) এবং \(150^{o}\)
সিঃ২০১৩; রাঃ২০০৩; মাঃ২০০৮ ।

\(Q.2.(iii)\) \(\sin{x}-\cos{x}=0, \ 0\lt{x}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
রাঃ২০১৩ ।

\(Q.2.(iv)\) \(\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}, \ -\pi\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
দিঃ২০১০; বঃ২০০৬; বুয়েটঃ২০০২-২০০৩; রুয়েটঃ২০০৪-২০০৫; চুয়েটঃ২০১০-২০১১ ।

\(Q.2.(v)\) \(\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}=2, \ -\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
ঢাঃ২০১৭,২০১৩,২০০৯,২০০৬; যঃ২০১৫; চঃ২০১২; রাঃ২০১১,২০০৮; মাঃ২০১৩; বুয়েটঃ,রুয়েটঃ,চুয়েটঃ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.2.(vi)\) \(\cos{\theta}-\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ -2\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{23\pi}{12}, \ -\frac{7\pi}{12}, \ \frac{\pi}{12}\)
কুঃ২০১৩,২০০৯; দিঃ২০১৩; মাঃ২০১১ ।

\(Q.2.(vii)\) \(\sqrt{2}\cos{x}-\sqrt{2}\sin{x}=1, \ -\pi\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{7\pi}{12}, \ \frac{\pi}{12}\)
কুঃ২০১৩,২০০৯; দিঃ২০১৩; মাঃ২০১১ ।

\(Q.2.(viii)\) \(\cos{\theta}+\cos{3\theta}+\cos{5\theta}+\cos{7\theta}=0, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{5\pi}{8}, \ \frac{7\pi}{8}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\)

\(Q.2.(ix)\) \(2\sin^2{x}+\sin^2{2x}=2, \ -\pi\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\pm\frac{\pi}{2}, \ \pm\frac{\pi}{4}\) এবং \(\pm\frac{3\pi}{4}\)
মাঃ২০১৩ ।

\(Q.2.(x)\) \(\sin{\theta}-2=\cos{2\theta}, \ -2\pi\le{\theta}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}\)
দিঃ২০১২; চঃ২০১০; যঃ২০০৬ ।

\(Q.2.(xi)\) \(\sec^2{\frac{x}{2}}=2\sqrt{2}\tan{\frac{x}{2}}, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\)
কুঃ২০১৫,২০০৩; বঃ২০১৩; সিঃ২০০৩; বুটেক্সঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.2.(xii)\) \(1+\sqrt{3}\tan^2{\theta}=(1+\sqrt{3})\tan{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 45^{o}, \ 210^{o}\) এবং \(225^{o}\)
বঃ২০১৪,২০০৭; যঃ২০০৫ ।

\(Q.2.(xiii)\) \(\sin{\theta}+\sin{2\theta}+\sin{3\theta}=1+\cos{\theta}+\cos{2\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{2\pi}{3}\) এবং \(\frac{5\pi}{6}\)
চঃ২০০৮; বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.2.(xiv)\) \(4\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}=1, \ 0\lt{x}\lt{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{8}\) এবং \(\frac{7\pi}{8}\)
দিঃ২০১৬,২০১৪,২০১১; রাঃ২০১৫,২০১২,২০০৯; কুঃ২০১২; সিঃ২০১১,২০০৮; ঢাঃ২০০৭; মাঃ২০১৪; চুয়েটঃ২০০৮-২০০৯; কুয়েটঃ২০০৬-২০০৭।

\(Q.2.(xv)\) \(\cos{9x}\cos{7x}=\cos{5x}\cos{3x}, \ -\frac{\pi}{4}\lt{x}\lt{\frac{\pi}{4}}\)
উত্তরঃ \(0, \ \pm\frac{\pi}{12}, \ \pm\frac{\pi}{6}\)
ঢাঃ২০১২ ।

সমাধান করঃ
\(Q.2.(xvi)\) \(2\sin{x}\sin{3x}=1, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ২০১৯,২০১৪; যঃ২০১৩,২০০৮; দিঃ২০১২; রাঃ২০১০; চঃ,সিঃ২০০৯ ।

\(Q.2.(xvii)\) \(4(\cos^2{x}+\sin{x})=5, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(2\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0, \ 0\lt{x}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(60^{o}, \ 300^{o}\)

\(Q.2.(xix)\) \(3\tan^2{x}-4\sqrt{3}\sec{x}+7=0, \ 0\lt{x}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 330^{o}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\tan^2{x}+\sec^2{x}=3\tan{x}, \ 0\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) এবং \(\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=2, \ 0\le{\theta}\le{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{5\pi}{8}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\cos{7x}=\cos{3x}+\sin{5x}, \ -\frac{\pi}{2}\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{5\pi}{12}, \ -\frac{2\pi}{5}, \ -\frac{\pi}{5}, \ -\frac{\pi}{12}, \ 0, \ \frac{\pi}{5}\) এবং \(\frac{2\pi}{5}\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\cos{2x}+\cos{x}+1=0, \ 0\le{x}\le{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(90^{o}, \ 120^{o}, \ 240^{o}\) এবং \(270^{o}\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\sec{4\theta}-\sec{2\theta}=2, \ 0\le{\theta}\le{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 54^{o}, \ 90^{o}, \ 126^{o}, \ 198^{o}, \ 234^{o}, \ 270^{o}, \ 306^{o}\) এবং \(342^{o}\)
ঢাঃ২০০৮; কুঃ২০১১; চুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.2.(xxv)\) \(2(\sin{\theta}\cos{\theta}+\sqrt{3})=\sqrt{3}\cos{\theta}+4\sin{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(60^{o}, \ 120^{o}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(3\tan^2{\theta}+1=\frac{2\sqrt{3}}{\cot{\theta}}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 210^{o}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\tan^2{\theta}+\sec{\theta}=-1, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(180^{o}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\cot^2{\theta}-2\sqrt{2} cosec \ {\theta}+3=0, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 135^{o}\)

\(Q.2.(xxix)\) \(1-2\sin{\theta}-2\cos{\theta}+\cot{\theta}=0, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 135^{o}, \ 150^{o}\) এবং \(315^{o}\)
চঃ২০১৬ ।

\(Q.2.(xxx)\) \((2+\sqrt{3})\cos{\theta}=1-\sin{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(90^{o}, \ 300^{o}\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(4\cot{2\theta}=\cot^2{\theta}-\tan^2{\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 135^{o}, \ 225^{o}\) এবং \(315^{o}\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(1+\cos{x}+\cos{2x}=0, \ 0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{2}\) এবং \(\frac{4\pi}{3}\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(4 \ cosec^2{\theta}-7\cot{\theta} \ cosec \ {\theta}-2=0, \ 0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{(0.314)}\)

অধ্যায় \(7H\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সমাধান করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\tan{x}+\tan{2x}+\tan{x}\tan{2x}=1\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
মাঃ২০১২; রাঃ ২০০২; বঃ২০০৬; চঃ২০০৩; ঢাঃ২০০৯ ।

\(Q.3.(ii)\) \(\sqrt{3}(\tan{x}+\tan{2x})+\tan{x}\tan{2x}=1\)
উত্তরঃ \((6n+1)\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০১১; রাঃ ২০১৪,২০১১,২০০৪,২০০০; দিঃ,চঃ২০১৩; সিঃ২০০৭ ।

\(Q.3.(iii)\) \(\tan{\theta}+\tan{2\theta}+\sqrt{3}\tan{\theta}\tan{2\theta}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \((3n+1)\frac{\pi}{9}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ, রাঃ ২০০৬; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০১৪; বঃ২০০৯ ।

\(Q.3.(iv)\) \(\tan{x}+\tan{2x}+\tan{3x}=\tan{x}\tan{2x}\tan{3x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০১৫; মাঃ২০০৭ ।

\(Q.3.(v)\) \(\cot{x}+\cot{2x}+\cot{3x}=\cot{x}\cot{2x}\cot{3x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫ ।

\(Q.3.(vi)\) \(\sin{\theta}+\cos{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ (4n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
দিঃ২০১৬; চঃ২০১০; সিঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৫; মাঃ২০১৪ ।

\(Q.3.(vii)\) \(\cos{x}-\sin{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ (4n-1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০০১ ।

\(Q.3.(viii)\) \(\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ (6n+1)\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৫; বঃ২০১২,২০০৫; বিআইটিঃ২০০১-২০০২ ।

\(Q.3.(ix)\) \(\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{5\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ২০০৭; রাঃ২০০৫ ।

\(Q.3.(x)\) \(\cos{\theta}+\sqrt{3}\sin{\theta}=2\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\sin{x}+\cos{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ \(2n\pi-\frac{\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{7\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০০২ ।

\(Q.3.(xii)\) \(\cos{\theta}+2\sin{\theta}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০০৪; বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xiii)\) \(\cos{\theta}-\cos{9\theta}=\sin{5\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{5}, \ \frac{1}{4}\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\right\}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০১৭ ।

\(Q.3.(xiv)\) \(\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৩; ঢাঃ২০০৫ ।

\(Q.3.(xv)\) \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{2}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০১৩; রাঃ২০০৭ ।

\(Q.3.(xvi)\) \(\sqrt{2}\cos{3\theta}-\cos{\theta}=\cos{5\theta}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{6}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০১৩; সিঃ২০১০; কুঃ,চঃ২০০৮ ।

\(Q.3.(xvii)\) \(\sin{7\theta}-\sqrt{3}\cos{4\theta}=\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{8}, \ \{3n+(-1)^n\}\frac{\pi}{9}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০০৫; দিঃ২০১০ ।

\(Q.3.(xviii)\) \(\cos{7\theta}=\cos{3\theta}+\sin{5\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{5}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{7\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০০৫; বঃ২০০৭ ।

\(Q.3.(xix)\) \(\cos{\theta}-\cos{7\theta}=\sin{4\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ২০১৪,২০১০; চঃ২০১৪; বঃ,মাঃ২০১১; দিঃ২০০৯; যঃ২০০৮; কুঃ২০০৬ ।

\(Q.3.(xx)\) \(\sin{3\theta}+\sin{5\theta}+\sin{7\theta}+\sin{9\theta}=0\)
উত্তরঃ \(\theta=\frac{n\pi}{6}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০০৩ ।

\(Q.3.(xxi)\) \(\sin^2{2x}-3\cos^2{x}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০১১; কুঃ২০১০ ।

\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^2{\theta}-2\sqrt{3}\sec{\theta}+4=0\)
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\sec{\alpha}=\sqrt{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ২০১৪; কুঃ২০০৫; চুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।

\(Q.3.(xxiii)\) \(\tan^2{x}+\cot^2{x}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০০৭ ।

সমাধান করঃ
\(Q.3.(xxiv)\) \(\cos{2x}+\sin{x}=1\)
উত্তরঃ \(n\pi, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(\ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ২০০৪ ।

\(Q.3.(xxv)\) \(\sec^2{\theta}+\tan^2{\theta}=3\tan{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+\alpha\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=\frac{1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১২; দিঃ২০০৯ ।

\(Q.3.(xxvi)\) \(2\sin{\theta}\tan{\theta}+1=\tan{\theta}+2\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(\ n\in{\mathbb{Z}}\)
চুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xxvii)\) \(\tan{x}+\tan{2x}+\tan{3x}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{3}, \ n\pi\pm\alpha\) যেখানে, \(\tan{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০১১; রাঃ২০০৫ ।

\(Q.3.(xxviii)\) \(\tan^2{\theta}-3cosec^2{\theta}+1=0\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুয়েটঃ২০০৩-২০০৪; টেক্সটাইলঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xxix)\) \(\cos{6x}+\cos{4x}=\sin{3x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ (4n+1)\frac{\pi}{14}, \ (4n-1)\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৬; রাঃ২০১৪; মাঃ২০১০ ।

\(Q.3.(xxx)\) \(\cos^3{x}\sin{3x}+\sin^3{x}\cos{3x}=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০০২ ।

\(Q.3.(xxxi)\) \(\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2\sin{2\theta}}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ঢাঃ২০০৪ ।

\(Q.3.(xxxii)\) \(\cot{2x}=\cos{x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((4n-1)\frac{\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১১ ।

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{2x}}-\frac{1}{\cos{2x}}=4\)
উত্তরঃ \((6n+1)\frac{\pi}{18}, \ (3n+1)\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭, ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\tan{3\theta}\tan{\theta}=1\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{8}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
মাঃ২০১৫ ।

\(Q.3.(xxxv)\) \(\tan{\theta}+\tan{3\theta}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{n\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ২০০৫ ।

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\cos{x}+\sin{x}=\cos{2x}+\sin{2x}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ \frac{2}{3}\left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
দিঃ২০১৪; ঢাঃ২০১৩,২০০৬; চঃ২০১২,২০০৬; সিঃ২০১৫,২০০৫; কুঃ২০১৪,২০০৫; যঃ২০১৪,২০১১,২০০৭; রাঃ২০১২,২০০৮; মাঃ২০১৩,২০০৯ ।

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\sin{\theta}+\sin{2\theta}+\sin{3\theta}=1+\cos{\theta}+\cos{2\theta}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০৮; বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\cos{\theta}+\cos{3\theta}+\cos{5\theta}+\cos{7\theta}=0\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{8}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ (2n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xxxix)\) \(\sin{3x}\sin{x}=\cos{2x}+\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \((2n+1)\frac{\pi}{4}, \ n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xL)\) \(\sin{x}+2\cos{x}=1\)
উত্তরঃ \(2n\pi+\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi-\alpha\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{3}{5}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLi)\) \(\sin{x}+\cos{x}+\sqrt{2}=0\)
উত্তরঃ \((8n-3)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLii)\) \(\cot{\theta}+\cot{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}=2\)
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLiii)\) \(2\cot{\frac{\theta}{2}}=(1+\cot{\theta})^2\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLiv)\) \(\frac{\sin{\alpha}}{\sin{2x}}-\frac{\cos{\alpha}}{\cos{2x}}=2\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}(2n\pi+\alpha), \ \frac{1}{2}\{(2n+1)\pi-\alpha\}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLv)\) \(\sin{\left(\frac{\pi}{4}\tan{\theta}\right)}=\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cot{\theta}\right)}\)
উত্তরঃ \((4n+1)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLvi)\) \(1-2\sin{\theta}=\cos{\theta}\)
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi+2\alpha\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xLvii)\) \(\sqrt{3}\cot^2{\theta}+4\cot{\theta}+\sqrt{3}=0\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{2\pi}{3}, \ n\pi+\frac{5\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.3.(xLviii)\) \(4\sin^2{\theta}+\sqrt{3}=2(1+\sqrt{3})\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

অধ্যায় \(7H\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(1+\sin^2{x}-2\cos^2{x}+3\cos{x}=3-\cos^2{x}\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
সকল বোঃ২০১৮।

\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=\tan{x}. \ \{f(x)\}^2+f^{\prime}(x)=3f(x)\) হলে বিশেষ সমাধান নির্ণয় কর যখন \(0\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}, \ \pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
রাঃ২০১৭।

\(Q.4.(iii)\) \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.4.(iv)\) \(h(x)=\cos{x}. \ 2\{h(x)\}^2+\{h(2x)\}^2=2\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\pi\pm\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০১৭।

\(Q.4.(v)\) \(f(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\sqrt{2}\) হলে, \(f(\sin{\theta})=0.\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০১৯।

\(Q.4.(vi)\) \(\sqrt{2}x=\sin^{-1}{A}, \ \frac{-x}{2}=\cos^{-1}{B}\) এবং \(A-B=0.\) হলে, \(x\) এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(4n+1)\pi}{1+2\sqrt{2}}, \ \frac{(4n-1)\pi}{1-2\sqrt{2}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৯।

\(Q.4.(vii)\) \(g(x)=\cot{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)g\left(\frac{3\pi}{2}-2\theta\right)=1, \ 0\le{\theta}\le{\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
দিঃ২০১৯।

\(Q.4.(viii)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}\) হলে, \(\sqrt{3}g(x)+f(x)=\sqrt{3}\) এর সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2n\pi, \ 2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৭।

\(Q.4.(ix)\) \(g(x)=\cos{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1, \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ -\frac{11\pi}{6}, \ -\frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}\)
যঃ২০১৯।

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(\sqrt{3}f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=2, \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \(-\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
রাঃ২০১৯।

\(Q.4.(xi)\) \(\sin{2\theta}=\cos{3\theta}\) সমীকরণের যে সকল সমাধান \(0^{o}\) হতে \(360^{o}\) এর মধ্যে অবস্থিত, তাদের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 90^{o}, \ 162^{o}, \ 234^{o}, \ 270^{o}, \ 306^{o}\)
বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫।

\(Q.4.(xii)\) \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যাবধিতে \(2\sin{\theta}\sin{3\theta}=1\) সমীকরণটির সমাধান কর।
উত্তরঃ \(\pm\frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=\tan{x}\) হলে, সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos{x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((4n-1)\frac{\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০১৯।

\(Q.4.(xiv)\) \(\cos{\theta}+\sin{\theta}=\cos{2\theta}+\sin{2\theta}\) হলে, সমীকরণটির \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) ব্যাবধিতে সমাধান আছে কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \(0, \ \frac{\pi}{6}\)
দিঃ২০১৭।

\(Q.4.(xv)\) \(\sin{\sqrt{2}x}-\cos{\frac{x}{2}}=0\) হলে, \(x\) এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(4n+1)\pi}{1+2\sqrt{2}}, \ \frac{(4n-1)\pi}{1-2\sqrt{2}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৯।

\(Q.4.(xvi)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\sin^2{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}, \ 0\le{x}\lt{2\pi} \)
উত্তরঃ \(0, \ \frac{\pi}{4}, \ \pi, \ \frac{5\pi}{4}\)

\(Q.4.(xvii)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\cos{\theta}+\cos{3\theta}+\cos{5\theta}+\cos{7\theta}=0, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi} \)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{5\pi}{8}, \ \frac{7\pi}{8}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\)

\(Q.4.(xviii)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\cos{\theta}-\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ -\pi\lt{\theta}\lt{\pi} \)
উত্তরঃ \(-\frac{7\pi}{12}, \ \frac{\pi}{12}\)

\(Q.4.(xix)\) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করঃ \(\sin{4\theta}=\cos{3\theta}+\sin{2\theta}, \ 0\lt{\theta}\lt{\pi} \)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{5\pi}{6}\)

\(Q.4.(xx)\) \(h(x)=\sin{x}\) হলে, \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যবধিতে \(2h(\theta).h(3\theta)=1\) সমীকরণটির সমাধান কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.4.(xxi)\) যদি \(\sin{(\pi\cot{\theta})}=\cos{(\pi\tan{\theta})}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {2\theta}\) বা \(\cot{2\theta}\) এর মান \(\left(n+\frac{1}{4}\right)\) এর সমান, যখন \(n\) এর মান একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়।

\(Q.4.(xxii)\) যদি \(\sin{A}=\sin{B}\) এবং \(\cos{A}=\cos{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B\) অথবা এদের পার্থক্য চার সমকোণের যেকোনো গুণিতকের সমান।

\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(a\cos{\theta}+b\sin{\theta}=c\) সমীকরণের দুইটি সমাধান \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xxiv)\) \(1+\cos{(y-z)}+\cos{(z-x)}+\cos{(x-y)}=0\) হলে, দেখাও যে, \((y-z)\) অথবা, \((z-x)\) অথবা, \((x-y)\) হবে \(\pi\) এর বিজোড় গুণিতকের সমান।

অধ্যায় \(7H\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) \(f(x)=\frac{2x}{1+x^2}, \ g(y)=\frac{1-y^2}{1+y^2}\) এবং \(h(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(\cos^{-1}{m}+\cos^{-1}{n}=\frac{\pi}{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(m^2+n^2=1\)
\((b)\) \(cosec^{-1}{\frac{1}{f(a)}}+\sec^{-1}{\frac{1}{g(b)}}=2\tan^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
\((c)\) \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যবধিতে \(2h(\theta)h(3\theta)=1\) সমীকরণটির সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}\) এবং \(\frac{11\pi}{6}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.5.(ii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sec{A}=\sqrt{5}, \ cosec \ {B}=\frac{5}{3}\) এবং \(\cot{C}=3\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(cosec^{-1}{\sqrt{17}}+\sec^{-1}{\frac{\sqrt{26}}{5}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: থেকে \(A+C-\frac{1}{2}B\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) সমাধান করঃ দৃশ্যকল্প-২: থেকে \(\sqrt{3}f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=2\) যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}{\left(\frac{9}{19}\right)}\)
\((b) \ \tan^{-1}{2}\)
\((c) \ -\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
রাঃ২০১৯।

\(Q.5.(iii)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\) এর মান কত?
\((b)\) \(f\left\{\sqrt{2}g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\left\{\sqrt{g(2\theta)}\right\}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1\) যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{4}\)
\((b) \ \frac{\pi}{2}\)
\((c) \ -\frac{\pi}{2}, \ -\frac{11\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{3\pi}{2}\)
যঃ২০১৯।

\(Q.5.(iv)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\sqrt{2}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(A=2\sin^{-1}{\frac{1}{3}}+\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\)
\((a)\) \(\sec^2{(\cot^{-1}{3})}+cosec^2{(\tan^{-1}{2})}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: থেকে সমাধান করঃ \(f(\sin{\theta})=0\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: থেকে প্রমান কর যে, \(A=\tan^{-1}{\frac{5}{\sqrt{2}}}\)
উত্তরঃ \((a) \ 2\frac{13}{36}\)
\((b) \ n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ -\frac{\pi}{2}, \ -\frac{11\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{3\pi}{2}\)
বঃ২০১৯।

\(Q.5.(v)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(a)=\sec^{-1}{\frac{1}{a}}+\sec^{-1}{\frac{1}{b}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(\alpha)=\sin{(\pi\cos{\alpha})}-\cos{(\pi\sin{\alpha})}\)
\((a)\) \(\cot{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\right)}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-২: থেকে যদি \(g(\alpha)=0\) হয় তবে দেখাও যে, \(\alpha=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১: থেকে \(f(a)=\alpha\) হলে, প্রমান কর যে, \(\sin{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{\alpha}}\)
উত্তরঃ \((a) \ 2\)
চঃ২০১৯।

\(Q.5.(vi)\) \(f(x)=\tan{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\tan^{-1}{\frac{5}{3}}=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(\tan^{-1}{\left\{(2+\sqrt{3})f(x)\right\}}+\tan^{-1}{\left\{(2-\sqrt{3})f(x)\right\}}=\tan^{-1}{\{2f(2x)\}}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos{x}+\sin{x}\)
উত্তরঃ \((c) \ n\pi-\frac{\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\alpha}{2}\) যেখানে, \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
সিঃ২০১৯।

\(Q.5.(vii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sin^{-1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+\cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, \ -2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
\((a)\) প্রমান কর যে, \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((b) 0\)
\((c) \ \pm\frac{\pi}{3}, \ \pm\frac{5\pi}{3}\)
ঢাঃ,যঃ,সিঃ,দিঃ২০১৮।

\(Q.5.(viii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sec^{-1}{\left(\frac{5}{3}\right)}+\cot^{-1}{\left(\frac{12}{5}\right)}+\sin^{-1}{\left(\frac{16}{65}\right)}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{3}\sin{\theta}=2+\cos{\theta}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}\)
\((b)\) দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এর মান \(\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর সমাধান কর যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((c) \ -\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
ঢাঃ২০১৭।

\(Q.5.(ix)\) \(f(x)=\tan{x}\)
\((a)\) \(\cot^{-1}{\cos{\left(cosec^{-1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\right)}}\) এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত \(f(x)\) এর জন্য \(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)=\pi\) হলে প্রমাণ কর যে, প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল \(-1\) হবে।
\((c)\) \(\left\{f(x)\right\}^2+f^{\prime}(x)=3f(x)\) হলে, বিশেষ সমাধান নির্ণয় কর যখন \(0\le{x}\le{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\)
\((c) \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}, \ \pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
রাঃ২০১৭।

\(Q.5.(x)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}, \ \sin{\theta}=\frac{4}{5}\)
\((a)\) \(cosec^{-1}{\sqrt{5}}+\sec^{-1}{\frac{\sqrt{10}}{3}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(\sec^{-1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\theta-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{2}\)
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+f(x)=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{4}\)
\((c) \ 2n\pi, \ 2n\pi+\frac{\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
কুঃ২০১৭।

\(Q.5.(xi)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}=2x\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\pi+(-1)^n\frac{7\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.5.(xii)\) \(g(x)=p\sin^{-1}{x}, \ h(x)=\cos{x}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}=\cot^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\((b)\) \(g(x)\) এর লেখচিত্র অংকন কর, যখন \(p=\frac{1}{2}, \ -1\le{x}\le{1}\)
\((c)\) \(2\left\{h(x)\right\}^2+\left\{h(2x)\right\}^2=2\) সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ \frac{1}{2}(2n\pi\pm\alpha)\) যেখানে, \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
বঃ২০১৭।

\(Q.5.(xiii)\) \(f(x)=\cot^{-1}{y}-\tan^{-1}{x} ........(1)\)
\(\cos{\theta}-\cos{9\theta}=\sin{5\theta} ........(2)\)
\((a)\) \(\sin{\frac{x}{3}}\) এর পর্যায়কাল কত?
\((b)\) \(f(x)=\frac{\pi}{6}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x+y+\sqrt{3}xy=\sqrt{3}\)
\((c)\) উদ্দীপক-২ এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 6\pi\)
\((c) \ \frac{n\pi}{5}, \ \frac{1}{4}\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\right\}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চঃ২০১৭।

\(Q.5.(xiv)\) \(A=\cos{\theta}, \ B=\sin{\theta}, \ C=\cos{2\theta}, \ D=\sin{2\theta}\)
\((a)\) মান নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}{\sin{\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}}}\)
\((b)\) \(A+\sqrt{3}B=\sqrt{2}\) হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।
\((c)\) \(A+B=C+D\) হলে, সমীকরণটি \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) ব্যাবধিতে সমাধান আছে কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{6}\)
\((b) \ 2n\pi+\frac{7\pi}{12}, \ 2n\pi+\frac{\pi}{12}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ 0, \ \frac{\pi}{6}\)
দিঃ২০১৭।

\(Q.5.(xv)\) \(f(x)=\tan{\theta}\) এবং \(\sin{\theta}=\frac{12}{13}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot^{-1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\frac{1}{2}\sec^{-1}{\frac{1+x}{1-x}}\)
\((b)\) সমাধান করঃ \(\tan^2{x}+\sec^2{x}=3\tan{x}, \ 0\le{x}\le{2\pi}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot^{-1}{\frac{3}{4}}+\frac{\theta}{2}-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\cot^{-1}{\frac{29}{28}}\)
উত্তরঃ \((b) \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\) এবং \(\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)

\(Q.5.(xvi)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \(f\left(\cot^{-1}{\frac{3}{4}}\right)\) এর মান কত?
\((b)\) \(f^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+f^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\theta\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}f(\theta)+\frac{y^2}{b^2}=1-\left\{f(x)\right\}^2\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(f(\theta)-f(7\theta)=g(4\theta)\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{5}\)
\((c) \ \frac{n\pi}{4}, \ \frac{n\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.5.(xvii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\cos^{-1}{\frac{3}{5}}+\sin^{-1}{\frac{5}{13}}+cosec^{-1}{\frac{65}{16}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\tan{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(2\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\)
\((b)\) দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এর মান \(\frac{\pi}{2}\) হবে।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: থেকে সমাধান করঃ \(f(x)+f(2x)+f(3x)=f(x)f(2x)f(3x)\) যখন, \(0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((c) \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \pi, \ \frac{4\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)

\(Q.5.(xviii)\) \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \(\cos{3x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) সমাধান করঃ \(f(x)+f(2x)+f(3x)=0\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(4f(x)f(2x)f(3x)=1\) যখন, \(0\lt{x}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{2n\pi}{3}\pm\frac{7\pi}{18}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((b) \ (2n+1)\frac{\pi}{4}, \ 2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\((c) \ \frac{\pi}{8}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{8}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{8}\) এবং \(\frac{7\pi}{8}\)

\(Q.5.(xix)\) \(f(x)=\tan^{-1}{x}, \ h(x)=\sin^{-1}{x}, \ g(x)=\sec{x}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f\left(\frac{5}{6}\right)-f\left(\frac{49}{71}\right)=f\left(\frac{1}{11}\right)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(h\left(\sqrt{2}\sin{\theta}\right)+h\left(\sqrt{\cos{2\theta}}\right)=\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) সমাধান করঃ \(g(4\theta)-g(2\theta)=2\) যখন, \(0\lt{x}\lt{180^{o}}\)
উত্তরঃ \((c) \ 18^{o}, \ 54^{o}, \ 90^{o}, \ 126^{o}\) এবং \(162^{o}\)

\(Q.5.(xx)\) \(\cot{\theta}+\tan{\theta}=2\sec{\theta}\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং \(f(x)=\sin^{-1}{\left\{\sqrt{2(1-x^2)}\right\}}+\sin^{-1}{\left\{\sqrt{\cos{(2\theta)}}\right\}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\frac{3}{4}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(f(\cos{\theta})=\frac{\pi}{2}\)
\((c)\) \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\) সীমার মধ্যে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ -\frac{11\pi}{6}, \ -\frac{7\pi}{6}, \ \frac{\pi}{6}\) এবং \(\frac{5\pi}{6}\)

\(Q.5.(xxi)\) \(A=\sin^{-1}{\frac{x}{y}}, \ B=\cos^{-1}{\frac{a}{x}}\) এবং \(C=\cos^{-1}{\frac{b}{y}}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\{\cos{(\sin^{-1}{x})}\}^2=\{\sin{(\cos^{-1}{x})}\}^2\)
\((b)\) দেখাও যে, \(B+C=\cos^{-1}{\left\{\frac{ab}{xy}-\frac{1}{xy}\sqrt{(x^2-a^2)(y^2-b^2)}\right\}}\)
\((c)\) \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^4-x^2y^2-2abx^2+a^2y^2+b^2x^2=0\)

\(Q.5.(xxii)\) \(P=\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}-\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{4}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\) এবং \(\tan^{-1}{x}=A\)
\((a)\) \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\) কে \(\tan^{-1}{y}\) এ রুপান্তর কর, যেখানে \(y=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(5A=\tan^{-1}{\left\{\frac{x^5-10x^3+5x}{5x^4-10x^2+1}\right\}}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(P=\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\)

\(Q.5.(xxiii)\) \(f(t)=\sqrt{3}\sin{t}+\cos{t}\) এবং \(g(t)=\tan^{-1}{t}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}=\cot{\frac{xy-1}{x+y}}\)
\((b)\) \(g\left(\frac{p}{q}\right)+g\left(\frac{r}{s}\right)=\theta\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((sq-rp)\sin{\theta}=(rq+ps)\cos{\theta}\)
\((c)\) \(f(t)=\sqrt{3}\) সমীকরণটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((c) \ 2n\pi+\frac{\pi}{2}, \ 2n\pi+\frac{\pi}{6}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.5.(xxiv)\) দেওয়া আছে, \(f(x)=\sin^{-1}{x}, \ g(x)=\cos^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) এবং \(h(x)=\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)=g(x)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)g(x)h(x)=\left\{f(x)\right\}^3\)
\((c)\) \(\left\{f(x)\right\}^2+\left\{g(x)\right\}^2+\left\{h(x)\right\}^2=\frac{3}{16}\pi^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(Q.5.(xxv)\) দেওয়া আছে, \(f(x)=cosec \ {x}, \ g(x)=\tan{x}\)
\((a)\) যদি \(x=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{3}{5}}\) হয় তাহলে, প্রমাণ কর যে, \(\tan{x}=\frac{1}{2}\)
\((b)\) \(2\tan^{-1}{\left\{f(x)\right\}}=\cot^{-1}{\left(\frac{\cos{x}}{2}\right)}\) এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\left\{f\left(\cos^{-1}{x}\right)\right\}}-\tan^{-1}{\left\{g\left(\sin^{-1}{x}\right)\right\}}=\tan^{-1}{\left\{\frac{(1-x)\sqrt{1-x^2}}{1+x-x^2}\right\}}\)
উত্তরঃ \((b) \ (2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\pi+\frac{3\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.5.(xxvi)\) দেওয়া আছে, \(f(x)=\cos^{-1}{x}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
\((b)\) \(f(x)+f(y)+f(z)=\pi\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
\((c)\) \(f(x)=\theta\) হলে, \(4(1-x^2+x)=5\) এর সমাধান নির্ণয় কর যখন, \(-2\pi\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ \((b) \ \pm\frac{\pi}{3}, \ \pm\frac{5\pi}{3}\)

\(Q.5.(xxvii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^2}}-\cos^{-1}{\frac{1-b^2}{1+b^2}}=2\tan^{-1}{x}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(2\sin{\theta}\sin{3\theta}=1, \ 0\le{\theta}\le{\pi}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\cot{\cos^{-1}{\sin{\tan^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\frac{3}{4}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ থেকে সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর এবং প্রদত্ত সীমার মধ্যে \(\theta\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \ n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ (2n+1)\frac{\pi}{4}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
এবং \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4}\)

\(Q.5.(xxviii)\) \(f(x)=\sin{x}; \ \triangle{ABC}\)-এ \(\cot^{-1}{\frac{1}{2}}=B, \ \cot^{-1}{\frac{1}{3}}=C\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {\sin^{-1}{\tan{\sec^{-1}{\frac{x}{y}}}}}=\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}\)
\((b)\) \(2+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sqrt{3}f(x); \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\) সমীকরণটি সমাধান কর
\((c)\) \(\angle{A}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ -\frac{4\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
\((c) \ \frac{\pi}{4}\)