নির্দিষ্ট যোগজীকরণ (Definite Integration)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • নির্দিষ্ট যোগজীকরণ
  • নির্দিষ্ট যোগজীকরণের বৈশিষ্ট্য
  • নির্দিষ্ট যোগজীকরণের প্রয়োগ
  • ক্ষেত্রফল থেকে যোগজের ধারণা
  • নির্দিষ্ট যোগজীকরণে ধ্রুবক \( c\)-এর অপ্রয়োজনীয়তা
  • \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)-এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
নির্দিষ্ট যোগজীকরণঃ
আমরা জেনেছি, যোগজীকরণ হলো অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া। এখন, আমরা একে সমষ্টিকরণের পদ্ধতি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করব। প্রকৃতপক্ষে যোগজীকরণের উৎপত্তিই হলো বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের উদ্দেশ্য নিয়ে। এক্ষেত্রে ক্ষেত্রটিকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে, ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষেত্রের সমষ্টি থেকেই মূল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়।
নির্দিষ্ট যোগজের বৈশিষ্ট্যঃ

\(1.\) \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\)
যেমনঃ \(\int_{0}^{1}{x^2dx}=\int_{0}^{1}{t^2dt}\)
\(2.\) \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}\)
যেমনঃ \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\sin{x}dx}\)
যেহেতু,
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}\)
\(=\left[-\cos{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\left[\cos{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\left[\cos{\frac{\pi}{2}}-\cos{0}\right]\)
\(=-\left[0-1\right]\) ➜ \(\because \cos{\frac{\pi}{2}}=0, \cos{0}=1\)
\(=-\left[-1\right]\)
\(=1\)
এবং
\(-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\sin{x}dx}\)
\(=-\left[-\cos{x}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{0}\)
\(=\left[\cos{x}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{0}\)
\(=\left[\cos{0}-\cos{\frac{\pi}{2}}\right]\)
\(=\left[1-0\right]\) ➜ \(\because \cos{0}=1, \cos{\frac{\pi}{2}}=0\)
\(=1\)
\(\therefore \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\sin{x}dx}\)
\(3.\) \(\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(a-x)dx}\)
যেমনঃ \(\int_{0}^{2}{x^3dx}=\int_{0}^{2}{(2-x)^3dx}\);
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx}\)
ইত্যাদি।

Continue Reading →