মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ ( Integration of Rational Fractions )

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ
  • মূলদ ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরের নিয়ম
  • আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরের অভিজ্ঞতালব্দধ পদ্ধতি
  • লক্ষণীয় এবং স্মরণীয় তত্তসমুহ
মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণঃ
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগজ নির্ণয় করতে হলে প্রথমে তাকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক অংশের জন্য পৃথক যোজিত মান নির্ণয় করতে হয়। যদি কোনো যোগজ \(\int{\frac{\phi(x)}{\psi(x)}dx}\) আকারের থাকে ও আনুপাতিক ফাংশন \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) এর হরের ঘাত লবের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয় এবং \( \psi(x)\) কে বিভিন্ন উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। তবে \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) কে আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।
যদি লবের ঘাত হরের ঘাতের সমান হয় অথবা হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয়, তবে সাধারণ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে \(\phi(x)\) কে \(\psi(x)\) দ্বারা এমনভাবে ভাগ করতে হবে, যেন অবশিষ্টের লবের ঘাত, হর \(\psi(x)\) এর ঘাত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয়।

Continue Reading →

বিশেষ আকারের যোগজীকরণ-২ (Integration of spacial type-2)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • কতিপয় আদর্শ যোগজ
  • আদর্শ সূত্র হতে অনুসিদ্ধান্ত
  • আদর্শ সূত্র ব্যবহার করে যোগজ নির্ণয়
  • বিশেষ আকারের যোগজ গুলির উদাহরণসহ ব্যাখ্যা
  • যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল
কতিপয় আদর্শ যোগজ
ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
2 \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
3 \(\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\frac{1}{a}\sec^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
4 \(\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{a+x}{a-x}\right|}+c\)
5 \(\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}+c\)
6 \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}=\ln{|\sqrt{a^2+x^2}+x|}+c\)
7 \(\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln{|\sqrt{x^2-a^2}+x|}+c\)
8 \(\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+c\)

Continue Reading →

বিশেষ আকারের যোগজীকরণ-১ (Integration of spacial type-1)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • কতিপয় স্মরণীয় আকারের যোগজ
  • বিশেষ আকারের যোগজ
  • বিশেষ আকারের যোগজ নির্ণয়ের সূত্র
  • বিশেষ আকারের যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল
কতিপয় স্মরণীয় আকারের যোগজ
ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\int{f\{g(x)\}g^{\prime}(x)dx}=\int{f(t)dz}\)
2 \(\int{\{f(x)\}^{n}f^{\prime}(x)dx}=\frac{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+c\)
3 \(\int{e^{f(x)}f^{\prime}(x)dx}=e^{f(x)}+c\)
4 \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}=2\sqrt{f(x)}+c\)
5 \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}=\ln{|f(x)|}+c\)
6 \(\int{\tan{x}dx}=\ln{|\sec{x}|}+c\)
7 \(\int{\cot{x}dx}=\ln{|\sin{x}|}+c\)
8 \(\int{\sec{x}dx}=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c=\ln{|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}|}+c\)
9 \(\int{cosec \ {x}dx}=\ln{|cosec \ {x}-\cot{x}|}+c=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)

Continue Reading →

যোগজীকরণ-প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ( Inetgration- Replacement method)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
  • প্রতিস্থাপন সূত্র ব্যবহার করে অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়
  • অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল
  • কতিপয় স্মরণীয় ফাংশনের যোগজ
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ( Method of Replacement )

যোগজীকরণ প্রক্রিয়ায় অনেক সময় প্রদত্ত ফাংশনের সরাসরি যোগজ নির্ণয় করা কঠিন হয়ে পড়ে। সেই ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি যোগজীকরণ প্রক্রিয়াকে সহজ করে দেয়।
প্রদত্ত যোজ্য রাশি এর অন্তর্ভুক্ত কোনো ফাংশনের পরিবর্তে একটি চলরাশি স্থাপন করাকে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বলে।
\(\int{f(ax+b)dx}\) এর ক্ষেত্রে \(ax+b\) কে \(t\) ধরতে হয়।

ধরি,
\(ax+b=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dt\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dt\)

\(\int{f(ax+b)dx}\)
\(=\int{f(t).\frac{1}{a}dt}\)
\(=\frac{1}{a}\int{f(t)dt}\)
\(\therefore \int{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{f(t)dt}\) এর পর প্রমিত ফাংশনের সূত্র প্রয়োগ করে যোগজীকরণ করতে হয়।

Continue Reading →