অনির্দিষ্ট যোগজীকরণ ( Indefinite integration )

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • যোগজীকরণের ধারণা
  • অনির্দিষ্ট যোগজ
  • যোগজীকরণ ধ্রুবক
  • প্রতিঅন্তরজ কি এবং তার ব্যাখ্যা
  • অনির্দিষ্ট যোগজরূপে প্রতিঅন্তরজ
  • অন্তরজের সূত্রাবলী
  • যোগজীকরণের সূত্রাবলী
  • \(0\) এর যোগজ নির্ণয়
যোগজীকরণ।
Integration.
straight3

গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজ
Gottfried Wilhelm Leibniz
( ১৬৪৬-১৭১৬ )
ক্যালকুলাসে ঐতিহাসিকভাবে যোগজীকরণের মৌলিক ধারণা অন্তরীকরণ সৃষ্টির অনেক পূর্বে প্রকাশিত হয়। গ্রিক বিজ্ঞানী আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। এর সময় হতে যোগজীকরণের মৌলিক ধারণার সূত্রপাত হয়। অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া এবং সমষ্টিকরণ ধারণার সম্প্রসারণই যোগজীকরণ। এটি ক্যালকুলাসের অন্যতম প্রধান অংশ।
সর্বপ্রথম যোগজীকরণের কলাকৌশল সম্পর্কিত আলোচনা করেন প্রাচীন গ্রিক জ্যোতির্বিদ ইউডেক্সেস। অপর দিকে প্রাচীন গ্রিক বিজ্ঞানী এক্সেডাস জানা বস্তুর ক্ষেত্রফল ও আয়তনকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অসংখ্য খন্ডে বিভক্ত করে যোগজীকরণের মাধ্যমে ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করেন। পরবর্তিতে আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। তা সংস্কার করে উপবৃত্ত ও বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করেন। সপ্তদশ শতাব্দীতে স্যার আইজ্যাক নিউটন straight3 ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজ straight3 নিউটনের জন্মের চার বছর পরে ১৬৪৬ খ্রিস্টাব্দে ১লা জুলাই জার্মানির Leipzig শহরে এক সম্ভ্রান্ত পরিবারে গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজ জন্ম গ্রহণ করেন। তিনি একজন জার্মান দার্শনিক ও গণিতবিদ যাকে ক্যালকুলাসের আবিস্কার কর্তা হিসেবে সম্মান দেওয়া হয়। তার ব্যবহৃত ক্যালকুলাসের অংকপাতন পদ্ধতি বা নোটেশনগুলি বর্তমানে অনুসরণ করা হয়। আধুনিক কম্পিউটারের মূল ভিত্তি বাইনারি পদ্ধতি তাঁর উদ্ভাবন। পদার্থবিজ্ঞান, জীববিজ্ঞান, সম্ভাবনা তত্ত্ব, তথ্য বিজ্ঞানে তাঁর ব্যাপক অবদান রয়েছে। সতন্ত্রভাবে যোগজীকরণের মূলনিতী লিপিবদ্ধ করেন। গটফ্রেড উইলহেম লিবনিজই সর্বপ্রথম Summation শব্দের প্রথম অক্ষর ‘S’ কে সম্প্রসারণ করে \(\int\) চিহ্নটিকে যোগজীকরণের প্রতীকরূপে ব্যবহার করেন। অসীম ধারার সমষ্টি নির্ণয় প্রকৃতপক্ষে যোগজীকরণের মূল উদ্দেশ্য। বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় প্রক্রিয়ায় উক্ত অসীম ধারার উদ্ভব হয়। ফাংশনের গড় মান, দুইটি বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, আবর্তনজনিত ঘনবস্তুর আয়তন, বস্তুর সরণ প্রক্রিয়ায় কৃতকাজের পরীক্ষা ইত্যাদি নির্ণয়ে যোগজীকরণ ব্যবহৃত হয়। গণিত ও পদার্থবিদ্যায় যোগজীকরণের ভূমিকা অনস্বীকার্য।

Continue Reading →

গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতা
  • রোলের উপপাদ্য
  • টেলরের ধারা
  • গড়মান উপপাদ্য
  • মধ্যবর্তী মাণ উপপাদ্য
  • ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন
  • ফাংশনের চরম মাণ
  • ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান
  • গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত
  • গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতি
  • গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়
  • খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি
ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতাঃ
ধরি, \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত \(a>c>b\) হলে ফাংশনটি \(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি \[f^{\prime}(c)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] বিদ্যমান থাকে এবং \[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] ও \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] এর মাণ সসীম ও পরস্পর সমান হয়।
স্বরনীয় বিষয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন \(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন \(x=c\)বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে।
ফাংশন \(f(x)\)-কে \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি সকল \(x\in(a, b)\) বিন্দুতে \(f(x)\) অন্তরীকরণযোগ্য হয়।

Continue Reading →

অন্তরীকরণের জ্যামিতিক ব্যখ্যা (Geometric Interpretation Of Derivative)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • স্পর্শক।
  • অভিলম্ব।
  • অন্তরজের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা।
  • নির্দিষ্ট বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল।
  • নির্দিষ্ট বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শক।
  • নির্দিষ্ট বিন্দুতে বক্ররেখার অভিলম্ব।
  • পরিবর্তনের হার হিসাবে অন্তরজ।
  • স্পর্শকের ভিন্ন ভিন্ন অবস্থান সাপেক্ষে এর ঢাল নির্ণয়।
স্পর্শকঃ মনে করি কোনো বক্ররেখার উপর \(P\) একটি বিন্দু। \(P\) বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করি যা ঐ বক্ররেখাকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং আমরা বলতে পারি \(PQ\) একটি ছেদক। এখন \(P\) কে কেন্দ্র করে যদি ছেদক \(PQ\) কে এমনভাবে ঘুরানো হয় যেন \(Q\) বিন্দু বক্ররেখা বরাবর \(P\) এর সমীপবর্তী হয়ে \(P\) বিন্দুর সহিত সম্পুর্ণভাবে মিলে যায়। ছেদক \(PQ\) এর এই সীমায়িত অবস্থানে \(P\) বিন্দুতে ঐ বক্ররেখার উপর \(PQ\) এর এই অবস্থানকে স্পর্শক বলে।
অভিলম্বঃ কোনো বক্ররেখার স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত এবং স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে বক্ররেখাটির অভিলম্ব বলে।
অন্তরজের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা।
Geometric Interpretation Of Derivative.

Continue Reading →

পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ (Successive Differentiation)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ।
  • অন্তরজের প্রতীক।
  • ফাংশনের \(n\) তম অন্তরীকরণ।
  • ম্যাকলরিনের উপপাদ্য।
পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ।
Successive Differentiation.

Continue Reading →