সরলরেখা-২ (Straightline-2)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • দুইটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়।
  • সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব ও সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
  • নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব বা, এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • বিভিন্ন শর্তাধীনে সরলরেখার সমীকরণ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ
\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণঃ
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ,

\(\theta=tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\).

এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)

সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ,

\(\theta=tan^{-1}(\pm \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}})\).

এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(2.\) দুইটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব এবং সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত,

\(m_{1}=m_{2}\).

\((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত,

\(m_{1}\times m_{2}=-1\).

সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত,

\(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\).

\((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত,

\(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\).

\(3.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ ,

\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\).

এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

\(4.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,

\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\).

\(5.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,

\(ax+by+k=0\).

এখানে,
\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

\(6.\)একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,

\(bx-ay+k=0\).

এখানে,
\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

\(7.\) তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত
ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ……..(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি ,

\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।

1 2 3 4 5 6