বৃত্ত-১ (Circle-One)

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি পোলার স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(x^{2}+y^{2}=25\)

\(Q.1.(i).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\)

\(Q.1.(i).(e)\) কেন্দ্র \((3, 0^{o})\) এবং পোলগামী
\(Q.1.(i).(b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax=0\)

\(Q.1.(i).(d)\) কেন্দ্র \((4, 30^{o})\), ব্যাসার্ধ \(5\)

\(Q.1.(i).(f)\) পোল, \((a, 0^{o})\) এবং \((b, 90^{o})\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \((a) \ r=5;\) \((b) \ r=a\cos\theta;\) \((c) \ r=b\sin\theta;\) \((d) \ r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-9=0\); \((e) \ r=6\cos\theta;\) \((f) \ r=a\cos\theta+b\sin\theta\)
নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(r=a\)
\(Q.1.(ii)(b)\) \(r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-(12x+12y)+11\sqrt{2}=0;\) \((b) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-8x-8y=0\) \((c) \ x^{2}+y^{2}=a^{2};\) \((d) \ x^{2}+y^{2}-4(x+\sqrt{3}y)+7=0\)
নিম্নোলিখিত বৃত্তগুলির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(iii).(a)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\)

\(Q.1.(iii).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\)

\(Q.1.(iii).(e)\) \(r=2a\cos\theta\)

\(Q.1.(iii).(g)\) \(2(x^{2}+y^{2})-3x+4y=0\)
\(Q.1.(iii).(b)\) \(4(x^{2}+y^{2})+24x-4y-27=0\)

\(Q.1.(iii).(d)\) \(r^{2}-4\sqrt{3}r\cos\theta-4r\sin\theta+15=0\)

\(Q.1.(iii).(f)\) \(x^{2}+y^{2}=2gx-2fy\)
উত্তরঃ \((a) \ (4, -3), 4;\) \((b) \ (-4, \frac{1}{2}), 4;\) \((c) \ (0, \frac{b}{2}), \frac{b}{2};\) \((d) \ (4, \frac{\pi}{6});\) \((e) \ (a, 0^{o});\) \((f) \ (g, -f), \sqrt{g^{2}+f^{2}};\) \((g) \ (\frac{3}{4}, -1), \frac{5}{4}\)
\(Q.1.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((3, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(6\) ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+4y-23=0\)

\(Q.1.(v)\) \(k\) এর কোন মানের জন্য \((x-y+3)^{2}+(kx+2)(y-1)=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে।
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.1.(vi)\) \(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি লেখ এবং এ থেকে দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+17=0\) সমীকরণটি কোন বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে না।

\(Q.1.(vii)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ কুঃ২০১২, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\), \(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)

\(Q.1.(viii)\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((-6, 5)\) এবং \(-3, -4\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে । বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং বাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0, (-3, 1), 5\)

\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং তা মূলবিন্দু দিয়ে যায় । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+10y=0, 8, 10\)

\(Q.1.(x)\) মূলনিয়মে প্রমণ কর যে, \((1, 5)\), \((7, -3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x-1)(x-7)+(y-5)(y+3)=0\) । বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 1), 5\)

\(Q.1.(xi)\) প্রমণ কর যে, \((-2, 3)\), \((3, -4)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x+2)(x-3)+(y-3)(y+4)=0\)।

\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+9=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক এবং \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
[ দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+8=0 \)

\(Q.1.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(x^{2}+y^{2}-6x+8y=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0 \)

\(Q.1.(xiv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((7, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং যা \(x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-14x-4y+28=0 \)

\(Q.1.(xv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, 0)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4x=0\) বৃত্ত ও \(x=3\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-12x+24=0 \)

\(Q.1.(xvi)\) মূলবিন্দু এবং \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্ত ও \(2x+3y+1=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x+8y=0 \)

\(Q.1.(xvii)\) মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ সিঃ ২০১২, ঢাঃরাঃ ২০১১, যঃ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-3x-5y=0 \)

\(Q.1.(xviii)\)একটি বৃত্ত মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(a\) ও \(a\) একক অংশ কর্তন করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-ax-by=0 \)

\(Q.1.(xix)\) \(b\) বাহুবিশিষ্ট \(OABC\) একটি বর্গ । \(OA\) এবং \(OC\) কে অক্ষ ধরে প্রমাণ কর যে, বর্গটির পরিবৃত্তের সমীকরণ হবে \(x^{2}+y^{2}=b(x+y)\)
[রাঃ ২০১০, বঃ ২০১৩ ] ।

\(Q.1.(xx)\) \(ax^{2}+2bxy-2y^{2}+8x+12y+6=0\) একটি বৃত্ত নির্দেশ করলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর। অতপর বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=-2, b=0; (2, 3); 4\)

\(Q.1.(xxi)\) \((a, b)\)কেন্দ্র এবং \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0\)

\(Q.1.(xxii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((9, 4)\) এবং যা \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-18x-8y-3=0\)

\(Q.1.(xxiii)\) \((0, 0)\), \((2a, 0)\) এবং \((0, 2b)\) বিন্দু তিনটি দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তের সমীকরণ, কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0, (a, b), \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

\(Q.1.(xxiv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) এবং \(3x^{2}+3y^{2}-12x+18y+28=0\) বৃত্ত দুইটি এককেন্দ্রিক।
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply