বৃত্ত-১ (Circle-One)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • বৃত্ত সম্পর্কে ধারণা।
  • গনিত জগতে বৃত্তের আবির্ভাব।
  • বৃত্তের সঙ্গা।
  • বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য।
  • নির্দিষ্ট কেন্দ এবং ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ ।
  • পোলার স্থানাংকে বৃত্তের সমীকরণ।
  • বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
  • বিভিন্ন শর্ত সাপেক্ষে বৃত্তের সমীকরণ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
বৃত্ত
The Circle
straight3

ইউক্লিড
৩০০ খ্রিষ্টপূর্বাব্দে ইউক্লিড তাঁর এলিমেন্ট গ্রন্থের তৃতীয় খন্ডে বৃত্তের বৈশিষ্ট্যসমূহের উপর আলোচনা করেন।
বক্ররেখার মধ্যে বৃত্ত সর্বাধীক পরিচিত এবং গুরুত্বপূর্ণ। স্কুল গণিতে বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয় আলোচিত হয়েছে। কোনো সমতলে একটি চলমান বিন্দু এমনভাবে পরিভ্রমণ করে যে, চলমান বিন্দু হতে ঐ সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব সর্বদা সমান হয়, তবে উক্ত চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথটিই বৃত্ত। নির্দিষ্ট দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে। গ্রীক শব্দ ‘Kirkos’ থেকে বৃত্ত (Circle) শব্দটি এসেছে। ‘Kirkos’ শব্দটির অর্থ আংটা।
বৃত্ত সম্পর্কে মানুষের ধারণা আক্রিতিক। গ্রিক দার্শনিক ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। , প্লেটোর straight3 প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ – খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। এবং আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। বৃত্তের পরিমার্জন করেন। ১৭০০ খ্রিস্টাব্দে রাইন্ড প্যাপিরাস straight3The late Alexander Henry Rhind was the only surviving son of Josiah Rhind of Sibster, banker in Wick. He was born on the 26th July 1833, and during his earlier years pursued his studies at the Pulteneytown Academy, under the tuition of Mr Andrew Scott, now Professor of Oriental Languages in the University of Aberdeen. He then proceeded to the University of Edinburgh, where he became a student in the class of Natural History in the session of 1848-49, and in the class of Natural Philosophy in the session of 1849-50. ( Rhind Papyrus) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন। গাড়ীর চাকা, চন্দ্র, সূর্য এবং গাছের প্রস্তছেদ প্রভৃতি বস্তু বৃত্তাকার দেখায়। স্থানাংক জ্যামিতিতে, ক্যালকুলাসে, জ্যোতির্বিদ্যায় এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্স ডিজাইনে বৃত্ত সম্পর্কিত অধ্যয়ন গুরুত্বপূর্ণ। প্রাচীন সভ্যতায় যোগাযোগের মাধ্যম চাকাবৃত্তের ধারণা থেকে সৃষ্ট, যা এই উত্তর আধুনিক সভ্যতায় বিস্ময় এনেছে।
উচ্চমাধ্যমিক গণিতে বৃত্তকে সমীকরণের মাধ্যমে উপস্থাপন ও সংশ্লিষ্ট কতিপয় বিষয়ের উপর আলোকপাত করা হয়েছে।
বৃত্তের সঙ্গাঃ
সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুসমুহের সেট দ্বারা উৎপন্ন জ্যামিতিক চিত্রকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র (Center) এবং স্থির দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius) বলে।

বৃত্তের সমীকরণ চিহ্নিতকরণের উপায়ঃ
\(x\) ও \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণে \(x^{2}\) ও \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান এবং \(xy\) সম্বলিত পদের সহগ শুন্য \((0)\) হলে, তা বৃত্ত প্রকাশ করে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
straight3

\(1.\) কেন্দ্র মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) বৃত্তের সমীকরণ।

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

straight3

\(2.\) কেন্দ্র \(P(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) বৃত্তের সমীকরণ।

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)

straight3

\(3.\)বৃত্তের সধারণ সমীকরণ।

\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)

কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের বৈশিষ্ট্যঃ
\((a)\) এটি \(x, y\) সম্বলিত একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
\((b)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে।
\((c)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না।
\((d)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে।
straight3

\(4.\) \(x, y\) সম্বলিত সধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

\(ax^{2}+2hxy+by^{2}\)\(+2gx+2fy+c=0\)

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের বৃত্ত প্রকাশ করার শর্তাবলীঃ
\((a)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)।
\((b)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((c)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে।
এই ক্ষেত্রে বৃত্তের,
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
straight3

\(5.\) কেন্দ্র \((h, k)\) এবং \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}\)\(=(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}\)

কেন্দ্রঃ \((h, k)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}}\)
straight3

\(6.\) \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ।

\((x-x_{1})(x-x_{2})+\)\((y-y_{1})(y-y_{2})=0\)

straight3

\(7.\) মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।

\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0\)

\(8.\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত।
সাধারণ সমীকরণঃ

\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)

straight3

\((a)\) \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ

\(g^{2}=c\)

straight3

\((b)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ

\(f^{2}=c\)

straight3

\((c)\) উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ

\(g^{2}=f^{2}=c\)

\(9.\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ যখন, অক্ষদ্বয়কে ছেদ করে।
সাধারণ সমীকরণঃ

\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)

\((a)\) \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণঃ

straight3
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)

\((b)\) \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণঃ

straight3
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)

অনুসিদ্ধান্তঃ

straight3

\(10.\) একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণঃ

\(x^{2}+y^{2}+2gx\)\(+2fy+c=0\)

সরলরেখার সমীকরণঃ

\(ax+by+c_{1}=0\)

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণঃ

\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\)

\(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।
\(11.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ।
[ খলিফার নিয়ম।]

\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+\)\(k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\)
straight3

\(12.\) বৃত্তের সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি

\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}\)\(+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের,

straight3

\((a)\) বাহিরে অবস্থান করবে যদি,

\(f(x_{1},y_{1})>0\) হয়।

straight3

\((b)\) পরিধীর উপরে অবস্থান করবে যদি,

\(f(x_{1},y_{1})=0\) হয়।

straight3

\((c)\) ভিতরে অবস্থান করবে যদি,

\(0>f(x_{1},y_{1}) \) হয়।

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(13.\) দুইটি বৃত্তের পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত।

\(S_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{1}x\)\(+2f_{1}y+c_{1}=0 ….(1)\) বৃত্তের,

কেন্দ্রঃ \(C_{1}\)
ব্যাসার্ধঃ \(r_{1}\)

\(S_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ….(2)\) বৃত্তের,

কেন্দ্রঃ \(C_{2}\)
ব্যাসার্ধঃ \(r_{2}\)
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=C_{1}C_{2}\)
straight3

\((a)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি,

\(C_{1}C_{2}=r_{1}+r_{2}\) হয়।

straight3

\((b)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি,

\(C_{1}C_{2}=|r_{1}-r_{2}|\) হয়।

অনুসিদ্ধান্তঃ

straight3

\(14.\)দুইটি বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।

\(S_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0 ….(1)\)
\(S_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ….(2)\)

বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

\(S_{1}-S_{2}=0 …..(3)\)

বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

\(S_{1}+k(S_{1}-S_{2})=0\)

\(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রূবক)।
\(15.\) পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তের সমীকরণ।

\(x^{2}+y^{2}=a^{2} ….(1)\)

বৃত্ত \((1)\) এর পোলার সমীকরণ,

\(r=a\)
\((b)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2} ….(2)\)

বৃত্ত \((2)\) এর পোলার সমীকরণ,

\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
\((c)\) বৃত্তের সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ….(3)\)

বৃত্ত \((3)\) এর পোলার সমীকরণ,

\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+c=0\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply