বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) প্রমাণ কর যে, \(3x+4y-38=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-2y=15\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 5)\)

\(Q.1.(ii)\) \(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)

\(Q.1.(iii)\) \(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।

\(Q.1.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।

\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।

\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।

\(Q.1.(vii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং যা \(5x-12y+3=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

\(Q.1.(viii)\) \(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।

\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নীর্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং একটি স্পর্শক \(5x-12y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

\(Q.1.(x)\) \(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।

\(Q.1.(xi)\) \(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।

\(Q.1.(xii)\) \(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ] ।

\(Q.1.(xiii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।

\(Q.1.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(4x+3y-25=0, 4x+3y+5=0\)।

\(Q.1.(xv)\) দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।
\(Q.1.(xvi)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তের স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।

\(Q.1.(xvii)\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y-8=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(5x-12y=9\) রেখার সমান্তরাল । স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, সিঃ২০১১ ]
উত্তরঃ \(5x-12y-51=0; 5x-12y+131=0 \)।

\(Q.1.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\) বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y=x\) রেখার সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(x-y\pm 10=0 \)।

\(Q.1.(xix)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল; ঐ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+5=0, x+1=0\)।

\(Q.1.(xx)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(X\) অক্ষের সমান্তরাল; তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, y+6=0\)।

\(Q.1.(xxi)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)
সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুটি নির্ণয় করতে হবে।
\(Q.1.(xxii)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে স্পর্শ করে।

\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(4x+3y-3=0\) ও \(12x+5y-13=0\) রেখাটি দুইটি \((-2, -3)\) কেন্দ্র ও \(4\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।
কেন্দ্র হতে সরলরেখাগুলির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান দেখাতে হবে। অর্থাৎ \(Q.1.(i)\)-এর প্রথম অংশের অনুরূপ।
\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \(x+2y=10, x-2y=10\)

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।

\(Q.1.(xxvi)\) \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।

\(Q.1.(xxvii)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।

\(Q.1.(xxviii)\) \((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।

\(Q.1.(xxix)\) যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।
1 2 3 4 5 6 7